Bab VII Contoh Aplikasi

(1)

Bab VII Contoh Aplikasi

Dalam bab ini akan diberikan ilustrasi tentang aplikasi statistik penguji VVVS dalam memonitor kestabilan matriks korelasi pada proses produksi dudukan kabel tegangan tinggi (flange) di PT PINDAD (Persero). Pemonitoran tersebut akan dilakukan dengan menggunakan pendekatan Multivariate Statistical Process Control (MSPC). Hal ini dapat ditemukan dalam Herdiani dan Djauhari (2007).

VII.1 Pendekatan MSPC

Misalkan dimiliki m sampel acak yang masing-masing berukuran n₁, n₂,…, dan n_m dan sampel yang satu saling bebas dengan sampel yang lain. Sampel ini berasal dari distribusi normal p-variate normal dengan matriks variansi kovariansi Σ₁, Σ₂, …, Σ_m yang masing-masing bersifat definit positif. Misalkan Pi adalah matriks korelasi populasi ke-i

and Ri adalah matriks korelasi sampel ke-i. Dengan menggunakan pendekatan MSPC,

maka pengujian hipotesis 0

H : P₁ = P2 = … = Pm (=P0) lawanH : 1 Pi ≠ Pj untuk suatu i ≠j adalah ekivalen dengan pengujian

0

H : P_i =P0 lawanH : 1 Pi ≠ P0

yang dilakukan berturut-turut untuk i = 1, 2, ... , m. Pendekatan seperti ini dapat dlihat dalam Alt dan Smith (1988), Wierda (1994), Woodall, W.H., dan Montgomery, D.C. (1999) dan Montgomery (2001 dan 2005) dan Djauhari (2005a) dan pustaka-pustaka di dalamnya..

Berdasarkan pendekatan MSPC, dengan menggunakan distribusi asimtotik VVVS sampel yang telah dikemukakan dalam Bab IV dan Bab V, maka kestabilan barisan matriks korelasi dimonitor dengan cara:

1. Memplot VVVS sampel vec R( )i 2 diplot untuk semua i = 1, 2, … , m;

(2)

BKA = µ0 + 0 2 z ._ασ dan BKB = max {0, µ0 – 0 2 z ._ασ } di mana a. µ0 ≈ ( ) 2 0 vec P ; b. σ0 ≈

(

( )

)

(

( )

)

t 0 p 0 p 0 8 vec P M M vec P n 1− Φ ; c. Φ0 =

{

I_p2 −

(

I_p⊗P₀

)

Λ_p

}

(

P₀⊗P₀

)

{

I_p2 −Λ_p

(

I_p⊗P₀

)

}

dan d. 2

z_α adalah kuantil ke-

(

1

)

2

−α dari distribusi normal standar.

3. Hipotesis tentang kestabilan barisan matriks korelasi ditolak pada tingkat keberartian α jika ada nilai k sehingga v e c R( )k 2 melebihi BKA atau kurang

dari BKB.

Apabila P₀ tidak diketahui, maka µ0dan σ0 harus ditaksir. Misalkan taksirannya adalah ˆ

µ dan _σ_ˆ2_{. Dalam hal ini, batas-batas kontrolnya adalah}

BKA = µˆ + 2 z ˆ n 1− α σ dan BKB = max {0, µˆ – 2 z ˆ n 1− α σ}.

Pada bagian selanjutnya akan diperlihatkan bagaimana caranya mencari penaksir µˆ dan

2 ˆ

σ .

VII.2 Penaksiran Parameter

Misalkan N = m i i 1 n =

∑

. Jadi, Rtotal = m i i i 1 1 n R

N

∑

₌ menyatakan matriks korelasi total. Jika

semua ukuran sampel sama yaitu n₀, maka R_total = R =

m i i 1 1

R

m

∑

₌ adalah rata-rata dari m

buah matriks korelasi. Dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti yang dikemukakan dalam Montgomery (2001, hal. 534 dan 2005, hal. 513), penulis mengambil

(3)

total

R sebagai taksiran untuk P₀. Oleh karena itu, berdasarkan pendekatan ini, maka µˆ

≈ ( )2

total

vec R dan σˆ2 ≈ 8

(

vec R

(

_total

)

tM_pˆM_p

(

vec R

(

_total

)

n 1− Φ di mana

ˆ

Φ =

{

I_p2 −

(

I_p ⊗R_total

)

Λ_p

}

(

R_total⊗R_total

)

{

I_p2 −Λ_p

(

I_p ⊗R_total

)

}

.

VII.3 Contoh

Pada Tabel VII.1 disajikan m = 22 buah matriks kovariansi sampel yang saling bebas. Sampel ini digunakan untuk memonitor proses produksi dudukan kabel tegangan tinggi (flange) di PT PINDAD (Persero), Bandung, Jawa Barat. Ada p = 3 karakteristik kualitas produksi yang menjadi acuan. Setiap sampel memiliki ukuran yang sama yakni n0 = 4.

Kestabilan matriks kovariansinya telah dilaporkan dalam Djauhari (2005a). Di bawah ini akan diselidiki tentang kestabilan matriks korelasinya. Pertama, dengan menggunakan statistik VVVS melalui pendekatan MSPC. Kedua, dengan menggunakan statistik M-Box yang kemudian dilanjutkan dengan menggunakan statistik Jennrich. Hasil yang diberikan ketiga statistik itu akan dibandingkan.

VII.3.1 Pengujian melalui Statistik VVVS dengan Pendekatan MSPC

Langkah pertama adalah menghitung matriks korelasi untuk setiap sampel berdasarkan data pada Tabel VII.1. Selanjutnya dihitung nilai VVVS sampel yang tidak lain sama dengan jumlah kuadrat semua elemen dari matriks korelasi. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel VII.2.

(4)

Tabel VII.1. Matriks kovariansi sampel

Sampel Matriks Kovariansi Sampel Matriks Kovariansi

1 0.00020 -0.00072 -5.34E-05 12 0.00117 -0.00199 -0.00017 -0.00072 0.031654 -0.00144 -0.00199 0.00661 0.00016 -5.34E-05 -0.00144 0.00026 -0.00017 0.00016 0.00029 2 0.00119 -0.00193 -0.00012 13 8.69E-05 -0.00030 5.17E-05 -0.00193 0.02558 0.00052 -0.0003 0.00878 0.00022 -0.00012 0.00052 2.87E-05 5.17E-05 0.00022 0.00015 3 0.00235 -0.00094 -0.00014 14 0.00094 -0.00085 4.33E-05 -0.00094 0.00944 -0.00011 -0.00085 0.00241 -8.56E-05

-0.00014 -0.00011 2.36E-05 4.33E-05 -8.56E-05 5.58E-06

4 0.00052 -0.00182 -4.5E-05 15 0.00027 -0.00180 6.88E-06

-0.00182 0.02120 0.00059 -0.00180 0.02884 -0.00031

-4.53E-05 0.00059 0.00003 6.88E-06 -0.00031 2.57E-05

5 0.00080 -0.00077 -7.93E-05 16 0.00307 -0.00508 -1.68E-05

-0.00077 0.02053 -5.13E-05 -0.00508 0.09693 -0.00080

-7.93E-05 -5.13E-05 4.16E-05 -1.68E-05 -0.00080 1.77E-05

6 0.00106 -0.00128 5.75E-05 17 0.00052 -0.00193 -9.3E-05

-0.00128 0.01165 -0.00047 -0.00193 0.03410 0.00034

5.75E-05 -0.00047 7.03E-05 -9.3E-05 0.00034 5.17E-05

7 0.00038 -0.00053 8.71E-05 18 0.00129 -0.00179 -9.75E-06

-0.00053 0.00470 0.00011 -0.00179 0.02035 -0.00025

8.71E-05 0.00011 8.23E-05 -9.75E-06 -0.00025 3.27E-05

8 0.00019 3.95E-05 -6.5E-05 19 9.17E-07 5.69E-05 1.25E-06

3.95E-05 0.00178 -0.00012 5.69E-05 0.02260 7.50E-05

-6.5E-05 -0.00012 6.93E-05 1.25E-06 7.50E-05 0.00001

9 0.00052 -0.00193 -9.3E-05 20 0.00076 -0.00055 9.33E-05

-0.00193 0.03410 0.00034 -0.00055 0.02707 -0.00042

-9.3E-05 0.00034 5.17E-05 9.33E-05 -0.00042 0.00021

10 0.00129 -0.00179 -9.75E-06 21 0.00056 -0.00213 -9.6E-05

-0.00179 0.02035 -0.00025 -0.00213 0.03132 0.00033

-9.75E-06 -0.00025 3.27E-05 -9.6E-05 0.00033 5.17E-05

11 0.00151 -0.00090 -0.00033 22 0.00474 -0.00483 -0.00013

-0.00090 0.00386 0.00026 -0.00483 0.02474 0.00020

(5)

Tablel VII.2. Nilai dari VVVS sampel

Sampel vec R( )i 2 Sampel ( )

2 i vec R 1 3,7829 12 4,2190 2 4,8359 13 3,7261 3 3,8950 14 5,4396 4 4,8089 15 4,0988 5 3,4563 16 3,9297 6 3,8942 17 4,2032 7 3,8616 18 3,4362 8 3,8839 19 3,5914 9 4,2032 20 3,1991 10 3,4362 21 4,2856 11 4,6374 22 3,9463

Setelah melalui berbagai perhitungan seperti perhitungan Rtotal, ( ) 2 total

vec R ,

p

M , Φˆ , dan Λ maka akan diperoleh p

a. µˆ ≈ vec R( _total)2 = 3,2927,

b. Φˆ =

{

I_p2 −

(

I_p⊗R_total

)

Λ_p

}

(

R_total ⊗R_total

)

{

I_p2 −Λ_p

(

I_p⊗R_total

)

}

= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8837 -0,0933 -0,1028 0 0,0211 0,0027 -0,1493 0 0 -0,0933 0,9712 0,0109 0 -0,3301 -0,0279 0,01 0 0 -0,1028 0,0109 0,8837 0 -0,1816 -0,0303 0,0002 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0211 -0,3301 -0,1817 0 0,9987 0,0004 -0,0013 0 0 0,0027 -0,0279 -0,0303 0 0,0004 0,9712 -0,3471 0 0 -0,1493 0,01 0,0002 0 -0,0013 -0,3471 0,9987 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , dan c. _σ_ˆ2 ≈ 8

(

_{vec R}

(

)

t_M Φ_ˆ_M

(

_{vec R}

(

)

= 0,5605

(6)

Dari hasil perhitungan itu, dengan mengambil taraf kebermaknaan α = 5 %,maka akan diperoleh BKB = 1,8253 dan BKA= 4,7601. Apabila BKB, BKA dan nilai-nilai dari VVSV sampel pada Tabel VII.2 diplot, grafik yang dihasilkan akan tampak seperti dalam Gambar VII.1. 0 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Sampel N ilai d a ri VVSV Sam p el BKB = 1,8253 BKA = 4,7601

Gambar VII.1. Bagan kontrol VVVS Sampel untuk proses produksi dudukan kabel tegangan tinggi

Pada gambar ini memberikan sinyal bahwa kestabilan matriks korelasi ditolak karena VVVS sampel ke-2, 4 dan 14 lebih besar dari batas atasnya.

VII.3.2 Pengujian melalui Statistik M-Box

Untuk menguji hipotesis kestabilan matriks korelasi, Tang (1998), Annaert et al. (2003), dan Da Costa Jr dkk (2005), menggunakan statistik M-Box

M = nlnRtotal −

∑

ln Ri m

i i =1

n

yang telah dikemukakan pada Bab II. Kestabilan ditolak pada tingkat keberartian α jika M

(7)

Tabel VII.1, pada Tabel VII.3 disajikan nilai berbagai statistik yang dibutuhkan untuk menghitung M.

Tabel VII.3. Berbagai statistik dalam statistic M-Box

Statistik D ₁ D 2 f 1 f 2 b

Nilai 0,2831 0,1091 126 4,42E+003 1,83E+002

Dari tabel ini diperoleh M = 40,1124 dan M

b = 0,2191. Jika diambil α = 5 %, maka akan diperoleh titik kritis F_{0 ,05;126 ,4.42E+003} = 0,8001. Dengan demikian, M

b < F0 ,05;126 ,4.42E+003 yang berarti bahwa hipotesis kestabilan matriks korelasi diterima.

VII.3.3 Pengujian melalui Statistik Jennrich

Untuk menguji hipotesis kestabilan barisan matriks korelasi, Jennrich (1970) mengusulkan penggunaan statistik berikut

J =

( )

2 t 1 i i i 1 Tr Z S 2 − ⎧ ₋ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

∑

m ∆ ∆ i =1

seperti yang telah diutarakan pada Bab II. Kestabilan ditolak pada tingkat keberartian α jika J > χα2;df, di mana

2 ;df

α

χ adalah kuantil ke-

(

1−α dari

)

χ . df2

Berdasarkan data pada Tabel VII.1, diperoleh hasil perhitungan berikut. J = 34,6542 dan untuk α = 5 %, titik kritisnya χ2_0,05;33 = 45,7414. Dengan demikian, karena J < χ2_0,05;33, maka disimpulkan bahwa hipotesis kestabilan matriks korelasi melalui statitik Jennrich dapat diterima.

(8)

VII.4 Catatan

Contoh di atas memperlihatkan bahwa kedua statistik Jennrich dan statistik M-Box memberikan kesimpulan yang sama yang berbeda dengan yang diberikan oleh statistik VVVS dengan pendekatan MSPC. Namun, seperti yang dilaporkan dalam Bab VI, statistik VVVS memiliki kuasa yang lebih baik dari pada statistik Jennrich. Oleh karena itu, keputusan yang diberikan statistik VVVS lebih dapat dipertanggungjawabkan.