DEFERENSIAL
Laju perubahan nilai f : x f(x) pada x = a atau turunan f pada x = a adalah
h a f h a f it h ) ( ) ( lim 0
Limit ini disebut derivatif atau turunan f pada x = a dan dinyatakan dengan f ‘ (a) f ‘ (a) = h a f h a f it h ) ( ) ( lim 0 secara umum f ‘ (x) = h x f h x f it h ) ( ) ( lim 0 Turunan f(x) dilambangkan dengan f’(x) atau
dx dy Rumus-rumus penting : y xn y' nxn 1 * . ' ln 1 ' log u a u y u a y * y ( f (x))n y' n(f (x)n 1.f '(x) * y lnu y' u1u' * y au y' auln a.u' * y sin u y' cos u.u' * y eu y' euu' * y cos u y' sin u.u' * y = U V y ‘ = U’ V’ * y tgu y' sec2u.u'
* y = U.V y’ = U’V+V’U * y cot gu y' cos ec2u.u' * 2 ' ' ' v uv v u y v u
y * y cos ecu y' cos ecu .cot gu.u'
* y sec u y' sec u.tgu.u' Contoh : Jika ( ) 3 2, m ak a '( ) ... 1 x f x f x x cara cerdik: 2 ' ' ( ) u ' u v u v f x y v v ( ) '( ) ( )2 ax b ad bc f x f x cx d cx d 3 2 ' 3 1 ' 1 u x u v x v 2 2 3.1 1.2 1 '( ) ( 1) ( 1) f x x x 2 2 3( 1) (3 2)1 1 '( ) ( 1) ( 1) x x f x x x
Rumus trigono yang perlu diingat :
b a b
a b
a ) cos cos sin sin
cos( b a b a b
a ) sin cos cos sin
sin( b a b a b a tan tan 1 tan tan ) tan( ) ( cos ) ( sin 2 sin sin 2 1 2 1 b a b a b a ) ( sin ) ( cos 2 sin sin 21 2 1 b a b a b a ) ( cos ) ( cos 2 cos cos 1 2 1 b a b a b a ) ( sin ) ( sin 2 cos cos 1 2 1 b a b a b a
Bab 13
Penggunaan Turunan :
1. Gradien garis singgung kurva
Gradien garis singgung di (a,b) adalah m= f’(a)
2. Fungsi naik / turun Diketahui y = f(x)
Jika f’(x) < 0 maka f(x) turun Jika f’(x) > 0 maka f(x) naik 3. Titik Stationer
Jika y = f(x)
Bila f’(a) = 0 , maka (a,f(a)) merupakan titik Stationer (a,f(a)) titik minimum jika f “ (a) > 0
(a,f(a)) titik maksimum jika f “ (a) < 0 (a,f(a)) titik belok jika f “ (a) = 0 Contoh :
Nilai minimum dari kuadrat jarak titik P(0,3) ke titik Q yang terletak pada parabola 2
1 y x adalah … a. 1 7 8 b. 7 4 c. 3 2 d. 5 4 e. 9 8 Jawab : 2 2 2 4 2 ( 0) ( 1 3) 3 4 P Q x x x x cara cerdik : Misal 4 2 3 4
y x x Nilai min dari kuadrat jarak ttk P(0,q) thd
' m ax m ax 0 P Q y y parabola 2 y x c ' 3 4 6 0 y x x 2 1 4 R q c 3 2 3 3 2 2 4x 6x x x 2 1 7 4 4 3 1 ( ) R 4 2 2 3 3 7 2 2 4 (P Q) 3. 4 Contoh :
Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi oleh 2
6 x y dan y = 4 adalah : a. 32 3 b. 3 2 2 2 c. 8 2 d. 8 e. 32 Jawab : 2 3 1 1 6 3 ' 2 ( 4 ) 8 L x x x x cara cerdik : Luas maksimum L’= 0 23 . 3 3 parabola m aks l a b L 2 ' 8 0 2 2 L x x 2 3.4 6 .4 3 2 2 3 3 L (a ,b ) y = f(x ) g X Y 2 6 x y Y=4
Untuk x 2 2, maka L = 3 2
2 2
4. Kecepatan dan Percepatan
Jika jarak yang ditempuh S merupakan fungsi waktu t , S = S(t) Maka : *) Kecepatan/V = S ‘ (t)
*) Percepatan/ a = S “ (t) SOAL LATIHAN :
1. Fungsi f (x) 2x3 24x 23 dalam interval 3 x 1memiliki nilai maksimum sama dengan …(E.98)
A. 1 B. 9 C. 39 D. 41 E. 55
2. F(x) sin 2(2x 3), turunan pertama F(x) adalah …(E.98)
A. 4 sin (2x + 3) cos(2x + 3) B. 2 sin(2x + 3) cos (2x + 3) C. sin (2x + 3) cos (2x + 3) D. –2sin(2x + 3) cos(2x + 3) E. –4 sin (2x +3) cos (2x + 3)
3. Jika 4 ( )
3 sin 2 co s 3 , m ak a f x ad alah ...
y x x x
x
A. 2 cos 3x – 3 sin 2x B. 6 cos 3x + 3 sin 2x C. 2 cos 3x + 3 sin 2x D. 6 cos 3x + 3 sin 2x E. -6 cos 3x – 3 sin 2x
4. Turunan pertama dari F(x) cos 5(4x 2) adalah F’(x)=…(E.97)
A. 5cos4(4x 2)sin(4x 2) B. 5cos4(4x 2)sin( 4x 2) C. 20cos4(4x 2)sin( 2x 2) D. 10cos3(4x 2)sin(8x 4) E. 10cos3(4x 2)sin(8x 4)
5. Turunan pertama F(x)= 5 sin x cos x adalah F’(x )=… (E.96)
A. 5 sin 2x B. 5 cos 2x C. 5sin 2 x cos x D. 5sin xcos 2 x E. sin 2x cos x 6. Turunan pertama dari F(x) = (3x+4)2sin 2x adalah F’(x)= …(E.96)
A. 6 ( 3x + 4) + 2 cos 2x B. 2 (3x + 4) + 2 cos 2x
C. ( 3x + 4) sin 2x + (3x + 4 ) cos 2x D. ( 3x + 4) 3sin 2x + (3x + 4 ) cos 2x E. (6x + 8 )(3 sin 2x + (3x + 4) cos 2x)
7. Nilai mksimum dari f(x)= x3 6x2 9x pada interval 1 x 3 adalah …(E.00)
A. 16 B. 4 C. 3 D. 1 E. 0
8. Turunan pertama fungsi f(x) = cos 3(5 4x) adalah f ‘(x) = ….(E.00)
A. 12cos2(5 4x)sin(5 4x) B. 12cos(5 4x)sin(5 4x) C. 12sin 2(5 4x)sin(5 4x)
D. 6sin(5 4x)sin(10 8x) E. 6cos(5 4x)sin(10 8x) 9. Diketahui fungsi F(x) = x x 1 2 2
, turunan pertama F(x) adalah F ‘(x) = …(E.99)
A. 2 2 3 x x x B. 2 2 5 x x x C. x x x 2 2 3 D. x x x 2 2 2 5 E. x x x 2 3 3 2 10. Fungsi F(x) = ( x + 5)(x-1)2turun pada interval ….…(E.99)
A. x 1atau x 3 B. x 3atau x 1 C. 0 x 1
D. 1 x 3 E. 3 x 1
11. Nilai maksimum dari ( ) 3 3 9 2
1
x x
x
f dalam interval 1 x 4 adalah…(E.99)
A. 163 2
B. 18 C. 20 D. 25 E. 38 12. Turunan pertama dari F(x)= 2cos 3(3 5x) adalah F’(x) = …(E.99)
A. – 15 sin(6-10x)cos(3-5x) B. 15 sin (6 –10x) cos (3 – 5x) C. 15 cos 2 (3 – 5x) sin (3 – 5x ) D. 18 cos2(3 – 5x) sin (3 – 5x)
E. – 18 cos2(3 – 5x) sin ( 3 – 5x)
13. Nilai minimum fungsi f(x) = 2x3 3x2 3 dalam interval 2 x 1 adalah …
A. –6 B. –1 C. 3 D. 6 E. 8
14. Nilai minimum dari kuadrat jarak titik P (0,3) ke titik Q yang terletak pada parabola 1 2 x y adalah … A. 8 17 B. 4 7 C. 2 3 D. 4 5 E. 8 3
15. Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi oleh x2 6y dan y = 4 adalah … A. 32 3B. 2 2 32 C. 8 2 D. 8 E. 32 16. Jika f(x) = 1 2 3 x x , maka f’ (x) = … A. 2 ) 1 ( 2 3 x x B. 2 ) 1 ( 2 3 x x C. 2 ) 1 ( 3 2 x x D. 2 ) 1 ( 1 x E. ( 1)2 1 x
17. Koordinat titik pada parabol y x2 4x 1 yang garis singgungnya sejajar sumbu x adalah …
A. (3,-2) B. (3,2) C. (-2,3) D. (2,3) E. (2,-3)
18. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari x (3 900 120 )
x
x ratus ribu rupiah. Agar proyek minimum maka proyek tersebut diselesaiakn dalam waktu … hari
A. 40 B. 60 C. 90 D. 120 E. 150 19. Turunan fungsi y 4 ( x2 2 3)3 adalah …
A. 4 2 3 2 x x B. 4 2 3 2 3 x x C. 4 2 3 2 3 16 x x D. 4 2 3 2 3x x E. 4 2 3 2 3x x
20. Garis singgung di titik (2,8) pada kurva f (x) 2x x 2 memotong sumbu x dan sumbu y di titik (a,0) dan (0,b). Nilai a + b = …
A. 10 1 1 B. 5 1 1 C. 10 3 1 D. 5 2 1 E. 5 3 1
21. Jika nilai maksimum fungsi y x p 2x adalah 4, maka p = ….
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 E. 8
22. Garis singgung pada kurva 2
5
y x yang sejajar dengan 12x – y = 17 , menyinggung kurva dititik :
A. ( 6 , 41 ) B. ( 5 , 30 ) C. ( 7, 40 ) D. ( 3 , 45 ) E. ( 2 , 26 ) 23. Grafik fungsi 3 2
( ) 2 9 12
f x x x x naik pada interval :
A. x < -1 atau x > 2 B. –1 < x < 2 C. x > 1 atau x > 2 D. x < 1 atau x > 2 E. x < -2 atau x > 1
24. Nilai ekstrim fungsi 2
( ) ( 2)( 1)
f x x x dicapai jika :
A. x = -1 dan x = -2 B. x = 1 dan x = 2 C. x = -1 dan x = 5 3
D. x = 1 dan x = 5
3 E. x = -1 dan x = - 5 3
25. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaiakn dalam x hari dengan biaya proyek per hari ( 3x – 900 ) + 120/x) ratus ribu rupiah . Agar biaya proyek minimum, maka proyek tersebut harus diselesaiakan dalam waktu :
Kasih itu murah hati
Sabar sederhana
Soal – soal Turunan Ujian Nasional
Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai 1. Jika f(x) = sin² ( 2x + π/6 ), maka nilai f′(0) = ….
a. 2√3 b.2 c.√3 d.´√3 e.´√2
2. Turunan pertama dari f(x) = sin ( 3x² – 2 ) adalah f’(x) = …. a. 2 sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 ) b. 12x sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 ) c. 12x sin² ( 3x² – 2 ) cos ( 6x² – 4 ) d. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos² ( 3x² – 2 ) e. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos ( 3x² – 2 ) 3. Turunan dari f(x) = 3 2 2 ) 5 3 ( cos x x adalah f’(x) = …. a. cos (3 5 ).sin(3 5 ) 2 3 2 2 3 1 x x x x b. (6 5).cos (3 5 ) 2 3 3 2 1 x x x c. cos (3 5 ).sin(3 5 ) 3 2 2 2 3 1 x x x x d. (6 5) tan(3 2 5 ) 3 cos2(3 2 5 ) 3 2 x x x x x e. (6 5) tan(3 2 5 ) 3 cos2(3 2 5 ) 3 2 x x x x x
4. Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah ….
a. f x cos xsin 2x 2 3 ) ( ' b. f x cos xsin 2x 2 3 ) ( ' c. f'(x) 3sin xcos x d. f'(x) 3sin xcos x e. f'(x) 3cos2 x 5. Jika f(x) = ( 2x – 1 )² ( x + 2 ), maka f’(x) = …. a. 4 ( 2x – 1 ) ( x + 3 ) b. 2 ( 2x – 1 ) ( 5x + 6 ) c. ( 2x – 1 ) ( 6x + 5 ) d. ( 2x – 1 ) ( 6x + 11 ) e. ( 2x – 1 ) ( 6x + 7 )
6. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = 3x2 5 adalah f ’, maka f’(x) = …. a. 5 3 3 2 x x b. 5 3 3 2 x c. 5 3 6 2 x d. 5 3x2 x e. 5 3 6 2 x x
7. Diketahui f(x) = 4x2 9, Jika f’(x) adalah turunan pertama dari f(x), maka nilai f’(2) = ….
a. 0,1 b.1,6 c.2,5 d.5,0 e.7,0 8. Diketahui x x x f 1 4 2 ) ( , Nilai f’(4) = …. a. 1/3 b.3/7 c.3/5 d.1 e.4 9. Jika f(x) = 2 1 x , maka ( f(sin x )) .... dx d a. x 2 sin 1 x sin b. x 2 sin 1 x cos c. x 2 sin 1 2 x sin d. x 2 sin 1 2x sin e. x 2 sin 1 x x.cos sin
10. Turunan pertama fungsi f9x) = (6x – 3)³ (2x – 1) adalah f’(x). Nilai dari f’(1) = ….
a. 18 b.24 c.54 d.162 e.216
11. Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f’(x) = …. a. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
b. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) c. –2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) d. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x) e. –3 sin² (3 – 2x) sin (6 – 4x) Materi Pokok : Aplikasi Turunan 12. Perhatikan gambar !
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah ….
a. ( 2,5 ) b.( 2,5/2 ) c.( 2,2/5 ) d.( 5/2,2 ) e.( 2/5,2 )
13. Persamaan garis singgung kurva y = ³√( 5 + x ) di titik dengan absis 3 adalah ….
a. x – 12y + 21 = 0 b.x – 12y + 23 = 0 c.x – 12y + 27 = 0
i. x – 12y + 34 = 0 e.x – 12y + 38 = 0
14. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya ( 4x – 160 + 2000/x )ribu rupiah per hari. Biaya minmum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah ….
a. Rp. 200.000,00 b.Rp. 400.000,00 c.Rp. 560.000,00 d.Rp. 600.000,00 e.Rp. 800.000,00 15. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam ( 4x – 800 +
120/x ) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam.
16. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) = 3t 1 ( s dalam meter dan t dalam detikk ).
Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det.
a. 3/10 b.3/5 c.3/2 d.3 e.5
17. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan ( 225x – x² ) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah ….
a. 120 b.130 c.140 d.150 e.160
18. Persamaan garis inggung pada kurva y = –2x + 6x + 7 yang tegak lurus garis x – 2y + 13 = 0 adalah …. a. 2x + y + 15 = 0 b.2x + y – 15 = 0 c.2x – y – 15 = 0 d.4x – 2y + 29 = 0 e.4x + 2y + 29 = 0
19. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm². Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persgi adalah … cm.
a. 6 b.8 c.10 d.12 e.16
20. Garis singgung pada kurva y = x² – 4x + 3 di titik ( 1,0 ) adalah ….
a. y = x – 1 b.y = –x + 1 c.y = 2x – 2 d.y = –2x + 1 e.y = 3x – 3
21. Grafik fungsi f(x) = x³ + ax² + bx +c hanya turun pada interval –1 < x < 5. Nilai a + b = ….
a. – 21 b. – 9 c.9 d.21 e.24
22. Sebuah tabung tanpa tutup bervolume 512 cm³. Luas tabung akan minimum jika jari – jari tabung adalah … cm.
a. 2 3 8 b.4 3 2 c.16 3 2 d.8 3 2 e. 3 2 3 8
23. Garis l tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0 dan menyinggung kurva y = x² – x – 6. Ordinat titik singgung garis l pada kurva tersebut adalah ….
a. – 12 b.– 4 c.– 2 d.2 e.4
24. Persamaan garis singgung kurva y = x 2x di titik pada kurva dengan absis 2 adalah ….
a. y = 3x – 2 b.y = 3x + 2 c.y = 3x – 1 d.y = –3x + 2 e.y = –3x + 1
25. Fungsi y = 4x³ – 6x² + 2 naik pada interval ….
a. x < 0 atau x > 1 b.x > 1 c.x < 1 d.x < 0 e.0 < x < 1 26. Nilai maksimum fungsi f(x) = x³ + 3x² – 9x dalam interval –3 ≤ x ≤ 2 adalah ….
a. 25 b.27 c.29 d.31 e.33
27. Nilai maksimum dari 2
100 x
y pada interval –6 ≤ x ≤ 8 adalah ….
