Kumpulan Soal-Soal Diferensial
1. Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2)4+(4x-1)3 adalah . . . Jawab:
misalnya :
f (x) = y = (3x-2)4 misal U = (3x-2) du/dx = 3 dy/dx = n.Un-1 . du/dx
= 4. (3x-2)4-1.3 = 12 (3x-2)3
Terus berlanjut ke persamaan berikutnya :
f (x) = y = (4x-1)3 misal U = (4x-1) du/dx = 4 dy/dx = n.U.n-1 . du/dx
= 3. (4x-1)3-1. 4 = 12 (4x-1)2
Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :
f (x) = y = (3x-2)4+(4x-1)3
= 12 (3x-2)3 + 12 (4x-1)2 = 12 (3x-2)3 + (4x-1)2
2. Tentukan turunan pertama dari y = adalah . . .
Jawab :
y = , kita misalkan U = 5x2+7 maka du/dx = 10x V = 4x + 3 maka dv/dx = 4
= (4x+3) (10x) – (5x2 + 7) (4) (4x + 3)2 = 40x2 + 30x – 20x2 – 28 (4x + 3)2 = 20x2 + 30x – 28 (4x + 3)2
3. Jika jumlah penduduk suatu daerah dalam t tahun mendatang dapat
dinyatakan dalam fungsi t : f (t) = 10.000.000+11.000t-800 t2 maka dapatkan laju pertumbuhan penduduk didaerah tersebut pada saat lima tahun mendatang !
Jawab :
f (t) = 10.000.000 + 11.000 t - 8.00 t2 f’ (t) = 11.000 - 8.00 t
sehingga laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah f’ (5) = 11.000- 8.00 . (5)
= 11.000 – 4.000 = 7.000
Jadi laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah 7.000 orang
4. Jika diketahui fungsi total cost untuk memproduksi x satuan barang adalah TC = x3-4x2+16x+80, maka tentukan MC pada saat memproduksi 20 satuan barang !
Jawab :
TC = x3-4x2+16x+80 MC = TCI = 3x2-8x+16
Sehingga MC untuk x = 20 adalah MC = 3 (20)2 – 8 (20) + 16
= 3 (4.00) – 8 (20) + 16 = 1.200 – 1.60 + 16 = 1.050
Satuan rupiah MC = 3 (20)2 – 8 (20) + 16 = 1.050 satuan rupiah
Ini berarti pada posisi x = 20 satuan baran, akan terjadi tingkat perubahan biaya sebesar 1.050 satuan rupiah jika x berubah 1 unit.
5. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari adalah
y = (2x + - 80) dalam ribuan rupiah, biaya proyek minimum dalam x hari adalah . . .
jawab :
y = (2x + - 80)
y (x) = (2x2 + 10.000 – 80x)
biaya minimum diperoleh jika yI (x) = 0 4x-80 = 0 x = 20
Biaya minimum adalah :
y (20) = 2 (20)2 + 10.000 – 80.20 = 800 + 10.000 – 1.600
= 9.200
Karena satuannya dalam ribuan, maka dikalikan 1.000 = Rp.
9.200.000,-6. Jika f(x) = sin2 (2x + π/6), maka nilai f′(0) = … Jawab :
f’(x) = 2 sin (2x + π/6)(2) = 4 sin (2x + π/6) f’(0) = 4 sin (2(0) + π/6) = 4 sin (π/6) = 4(1/2) = 2
7. Turunan pertama dari f(x) = sin3(3x2 – 2) adalah f‘(x) = … jawab:
f(x) = sin3(3x2 – 2)
f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 2).3.6x.cos (3x2 – 2) = 18x sin2(3x2 – 2) cos (3x2 – 2)
8. Turunan dari f(x) = adalah f‘(x) = … jawab : f(x) = = (cos2(3x2 + 5x))1/3 = cos2/3(3x2 + 5x) f’(x) = 2/3 cos-1/3(3x2 + 5x).(-sin(3x2 + 5x)).(6x + 5) = -2/3 (6x + 5) cos-1/3(3x2 + 5x) sin(3x2 + 5x)
9. Turunan pertama f(x) = cos3 x adalah … Jawab :
f(x) = cos3 x
f’(x) = 3 cos2 x (-sin x) = -3 cos2 x sin x
= -3/2 cos x (2 cos x sin x) = -3/2 cos x sin 2x
Jawab : y = = (5 + x)1/3 m = y’ = 1/3 (5 + x)-2/3 (1) y’(3) = 1/3 (5 + 3)-2/3 (1) = 1/3 ((8)2/3)-1 = 1/3 (4)-1 = 1/12
Untuk memperoleh y1 maka kita substitusi nilai absis (x1 = 3) ke persamaan di soal sehingga diperoleh y1 = = 2
Persamaan Umum Garis Singgung : (y – y1) = m(x – x1) (y – 2) = 1/12 (x – 3) [kalikan 12 kedua ruas]
12(y – 2) = (x – 3) 12y – 24 = x – 3 x – 12y + 21 = 0
11. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + 2000/x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah …
Jawab :
Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 160 + 2000/x Biaya proyek dalam x hari : (4x – 160 + 2000/x)x f(x) = 4x2 – 160x + 2000
Agar biaya minimum : f’(x) = 0
f’(x) = 8x – 160 0 = 8x – 160 8x = 160 x = 20 hari
Jadi biaya minimum per hari adalah = (4x – 160 + 2000/x) ribu rupiah = (4(20) – 160 + 2000/20) ribu rupiah = (80 – 160 + 100) ribu rupiah = 20 ribu rupiah = 20.000
12. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (4x – 800 + 120/x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam.
Jawab :
Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 800 + 120/x Biaya proyek dalam x hari : (4x – 800 + 120/x)x f(x) = 4x2 – 800x + 120
Agar biaya minimum : f’(x) = 0
f’(x) = 8x – 800 0 = 8x – 800 8x = 800 x = 100 jam
13. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) = (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det. Jawab : s = f(t) = = (3t + 1)1/2 v = = f’(t) = 1/2 (3t + 1)-1/2 (3) f’(8) = 3/2 (3(8) + 1)-1/2 = 3/2 (24 + 1)-1/2
= 3/2 (251/2)-1 = 3/2 (5)-1 = 3/10
14. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x – x2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah …
Jawab :
Keuntungan setiap barang : 225x – x2 Keuntungan x barang : (225x – x2)x f(x) = 225x2 – x3 f’(x) = 450x – 3x2 0 = 450x – 3x2 0 = x(450 – 3x) x = 0 atau x = 150
jadi jumlah barang yang diproduksi agar untung maksimum adalah 150 barang. 15. f(x) = 13x-6 ,tentukan f’(4) !
Jawab:
f’(4) = = = = = 13