BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR

BAB I

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem persamaan ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Dalam bidang ilmu ukur sistem persamaan diperlukan untuk mencari titik potong beberapa garis yang sebidang, di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya peubah dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi peubah (variabel).

Dalam bab ini, akan dibahas sistem persamaan linear bukan hanya yang mampunyai penyelesaian tunggal tetapi juga yang mempunyai penyelesaian tak hingga banyaknya, serta yang tidak mempunyai penyelesaian.

TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat

menyelesaikan sistem persamaan dan pertidaksamaan

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear dan Solusi Sistem Persamaan Linear Bentuk umum sistem persamaan linear adalah :

m n mn m m m n n n n n n b x a ... x a x a x a ... ... ... ... ... ... b x a ... x a x a x a b x a ... x a x a x a b x a ... x a x a x a                     3 3 2 2 1 1 3 3 3 33 2 32 1 31 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11

Sistem persamaan di atas terdiri dari m persamaan dan n peubah, dan dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks sebagai

a a a a a a a a a a a a a a a a n n n m m m mn 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                       x x x x_n 1 2 3 . . .                       = b b b b_m 1 2 3 . . .                       .

Jika Amxn = a a a a a a a a a a a a a a a a n n n m m m mn 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                       , Xnx1 = x x x x_n 1 2 3 . . .                       , dan Bmx1 = b b b b_m 1 2 3 . . .                       , maka sistem

persamaan linear di atas dapat dituliskan sebagai AX = B.

Jika B merupakan matriks nol, maka sistem persamaan linearnya disebut sistem persamaan linear homogen. Sedangkan jika B bukan matriks nol, maka sistem persamaan linearnya disebut sistem persamaan linear non homogen. Matriks Y disebut penyelesaian dari sistem persamaan linear AX = B, jika AY = B bernilai benar.

Contoh :

a. Tentukan apakah x = 1, y = -1, dan z = 1 merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + 2y + 2z = 1, 2x – y + 3z = 6, 3x –2y + z = 6 b. Tentukan apakah Y =           1 1 1

merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear

             1 2 1 3 1 3 2 3 2 X =             2 1 3 . Penyelesaian :

a. Jika x = 1, y = -1, dan z = 1 ke sistem persamaan linear, maka diperoleh

x + 2y + 2z = 1 + 2(-1) + 2.1 = 1

2x – y + 3z = 2.1 – (-1) + 3.1 = 6 3x –2y + z = 3.1 – 2(-1) + 1 = 6

Jadi x = 1, y = -1, dan z = 1 merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear

x + 2y + 2z = 1, 2x – y + 3z = 6, 3x –2y + z = 6. b. Jika Y =           1 1 1

disubstitusikan ke sistem persamaan linear

             1 2 1 3 1 3 2 3 2 X =             2 1 3 , maka diperoleh              1 2 1 3 1 3 2 3 2           1 1 1 =                         2 1 3 2 1 3 .

             1 2 1 3 1 3 2 3 2 X =             2 1 3 Soal Latihan

1. Tentukan apakah nilai peubah/variabel yang diberikan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear (SPL) yang diberikan.

a. x = 1, y = -2, z = -1, SPL : x + 2y + 2z = 1, 2x – y + 3z = 6, dan 3x –2y + z = 6 b. x = 1, y = -1, z = -1, SPL : x + 2y + 2z = -3, x – y + 3z = -1, dan 3x –2y - z = 3 c. x = 2, y = -1, z = 2, SPL : x + y + 2z = 7, 3x – 2y - 3z = 2, dan x –2y + z = 6 d. SPL : x + y + z = 2, x +2y + 3z = -5, dan 2x + 3y + 4z = -3, i. x = -7, y = -5, z = 0 ii. x = -6, y = -5, z = -1 iii. x = -4, y = -9, z = 1

2. Tentukan apakah matriks di bawah ini merupakan penyelesaian dari SPL yang diberikan. a. Y = 1 1 1           , SPL :              1 2 1 3 1 3 2 3 2 X =           0 5 7 b. Y =           3 1 2 , SPL :              1 2 1 1 1 3 2 3 2 X =             3 4 13 c. Y =             3 1 1 , SPL :              1 2 1 1 1 1 2 1 2 X =             4 4 3 d. SPL :               1 2 3 1 1 1 2 1 2 X =              1 4 3 i. Y =           1 7 4 ii. Y =           0 11 7 iii. Y =            2 3 1

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL)

Di SMU telah diajarkan metode substitusi, eliminasi, metode invers matriks, dan metode Cramer untuk menyelesaian sistem persamaan linear, khususnya sistem persamaan linear dengan dua atau tiga persamaan dan dua atau tiga peubah. Dalam bagian ini diberikan metode lain, yaitu metode Gauss-Jordan. Pada metode Gauss-Jordan, alat bantu yang digunakan adalah matriks baris eselon tereduksi dan operasi baris elementer.

Matriks Baris Eselon Tereduksi

Matriks A (sebarang) disebut matriks baris eselon tereduksi, jika memenuhi :

1. Jika ada baris yang elemennya ada yang tidak nol, maka elemen pertama yang tak nol adalah 1 dan disebut utama 1

2. Utama 1 pada baris yang lebih bawah ada di sebelah kanan utama 1 baris sebelumnya 3. Elemen di atas dan di bawah utama 1 adalah nol

4. Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka baris tersebut berada pada baris paling bawah. Contoh :             0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0

merupakan matriks baris eselon tereduksi, sedangkan

            0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 dan             1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0

bukan matriks baris eselon tereduksi

(mengapa?).

Suatu matriks A dapat diubah ke bentuk matriks baris eselon tereduksi dengan menggunakan operasi baris elementer. Terdapat tiga jenis operasi baris elementer, yaitu : 1. menukarkan dua baris

2. mengalikan baris tertentu dengan konstanta tak nol 3. menambah satu baris dengan kelipatan baris yang lain

Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan operasi baris elementer, maka B disebut ekivalen baris dengan A.

Penyelesaian SPL dengan Metode Gauss-Jordan

Jika SPL : AX = B akan diselesaikan dengan metode Gauss-Jordan, maka terlebih dahulu dibuat matriks



A B



kemudian dengan serangkaian operasi baris elementer elementer dibuat matriks yang ekivalen dengan matriks



A B



dengan matriks di sebelah kiri tanda partisi memuat matriks identitas dengan orde terbesar.

Contoh

Tentukan penyelesaian SPL di bawah ini :

a. x + 2y – z = 2, 2x – 3y + z = -1, dan –x + 5y + z = 12 b. x + y – 3z = 1 dan x – y – 2z = -1.

c. x – y = 4, x + y = 2, 2x – y = 7, dan 2x – 3y = 9 Penyelesaian :

a. SPL : x + 2y – z = 2, 2x – 3y + z = -1, dan –x + 5y + z = 12 dapat dituliskan sebagai : AX = B, dengan A=              1 5 1 1 3 2 1 2 1 , X =           z y x , dan B =           12 1 -2 .



A B



=               12 1 5 1 1 1 3 2 2 1 2 1                 14 0 7 0 5 3 7 0 2 1 2 1 1 3 1 2 2 b b b b              14 0 7 0 9 3 0 0 2 1 2 1 3 2 b b                                       3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 3 1 0 0 2 0 1 0 5 0 2 1 3 1 0 0 2 0 1 0 2 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 2 7 3 7 3 b b b b / b / b / b / b .

Dari hasil operasi di atas diperoleh x = 1, y = 2 dan z = 3.

b. SPL : x + y – 3z = 1 dan x – y – 2z = -1 dapat dituliskan sebagai AX = B, dengan

A = _         2 1 1 3 1 1 , X =           z y x , dan B = _      1 -1 .



A B



= _                                2 1 2 0 0 5 0 2 2 1 2 0 1 3 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 b2 b1 2b1 b2 _          1 2 1 1 0 0 2 5 0 1 2 2 2 1 / / / b / b . Dari hasil operasi di atas diperoleh :

x – 5

2z = 0 atau x = 5

2z dan y – ½ z = 1 atau y = ½ z + 1. Oleh karena itu penyelesaian SPL di atas adalah z = t, x = 5

2t, dan y = ½ t + 1.

SPL : x – y = 4, x + y = 2, 2x – y = 7, dan 2x – 3y = 9 dapat dituliskan sebagi AX=B, dengan A =                3 2 1 2 1 1 1 1 , X = _      y x , dan B = .             9 7 2 4



A B



=                9 3 2 7 1 2 2 1 1 4 1 1     b b b b b b 2 1 3 1 4 1 2 2                                                  0 0 0 0 0 0 1 1 0 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 3 0 1 1 1 0 1 1 0 2 2 0 4 1 1 3 2 3 2 3 4 3 2 3 1 2 b b b b b b b b b b .

Soal Latihan

Dengan menggunakan metode Gauss-Jordan, tentukan penyelesaian dari SPL di bawah ini. 1. 2x – y + 3z = 13, x + y + 2z = 5, dan 3x + 5y + 2z = -1 2. x – 2y + z = 7, 2x + 2y + 3z = 11, dan 4x - 2y + 9z = 37 3. 2p + q + r + s = 1, 3p - 2q + r - s = 3, p + 2q + 3r - 2s = -6, dan p + 3q + 2r + 2s = -2 4. p + q + r + s = 3, p - 2q + 3r + 5s = 14, 2p + 3q + 3r - s = 4, dan 3p - 2q + 6r - 5s = 12 5. x + 2y + z = 6, dan -2x + y - 3z = -2 6. p + q + r - s = 1, 2p - q + 2r + s = 2, dan 3p + q + 2r + 4s = 3 7. 2x – 3y + z = 12, 4x + 2y + 3z = 21, 3x – 2y + z = 13, dan x - y + 2z = 12 8. p + q + r + s = 5, p - q - r + s = 5, p - q + r - s = 3, p + q - r - s = -5, dan p - q - r - s = -1

9. Diketahui sebuah perusahan memproduksi tiga jenis obat, misalkan obat I, II, dan III. Untuk memproduksi obat-obat tersebut digunakan bahan baku A, B, dan C. Untuk memproduksi obat I dibutuhkan 3 unit bahan baku A, 2 unit bahan baku B, dan 1 unit bahan baku C. Untuk memproduksi obat II dibutuhkan 5 unit bahan baku A, 1 unit bahan baku B, dan 3 unit bahan baku C. Untuk memproduksi obat III dibutuhkan 2 unit bahan baku A, 3 unit bahan baku B, dan 5 unit bahan baku C. Jika suatu hari perusahaan tersebut menghabiskan bahan baku A, B, dan C berturut-turut adalah 16000 unit, 8500 unit, dan 14500 unit, maka buatlah sistem persamaan linear yang berhubungan dengan permasalahan di atas dan carilah banyaknya obat yang dapat diproduksi pada hari tersebut.

10. Untuk menghindari resiko tabungan, Andi mendepositokan uangnya sejumlah Rp35.000.000,- sebagian di bank A, sebagian di bank B, dan sebagian di bank C, dengan bunga bank A, B, dan C berturut-turut sebesar 16%, 17% dan 18% per tahun. Diketahui bahwa Andi setiap tahunnya menerima bunga deposito dari ketiga bank di atas sebesar Rp5.960.000,-dan dua kali besar tabungan Andi di bank C, Rp4.000.000,- lebih banyak dibandingkan dengan jumlah tabungan Andi di bank A dan B. Carilah besar tabungan Ali pada masing-masing bank.

11. Perusahaan Bintang Merah barang A dan B menggunakan 3 jenis faktor produksi, yaitu bahan baku, modal, dan tenaga kerja. Untuk setiap unit barang A digunakan 200 unit bahan baku dan 500 unit modal, sedangkan untuk setiap unit barang B digunakan 100 unit bahan baku dan 300 unit modal. Faktor tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi barang A dan B berturut-turut adalah 400 unit dan 300 unit. Jika biaya produksi untuk setiap unit barang A dan B berturut-turut adalah Rp19.000,- dan Rp12.000,-, maka tentukan harga yang mungkin untuk masing-masing faktor produksi. 12. Seorang ahli diet menyiapkan bahan yang terdiri atas 3 jenis makanan A, B, dan C.

Setiap ons makanan jenis A mengandung 2 unit protein, 3 unit lemak, dan 4 unit karbohidrat. Setiap ons makanan jenis B mengandung 3 unit protein, 2 unit lemak, dan 1 unit karbohidrat. Setiap ons makanan jenis C mengandung 3 unit protein, 3 unit

lemak, dan 2 unit karbohidrat. Tentukan berapa ons setiap jenis makanan yang harus digunakan, jika makanan yang akan dibuat harus mengandung 25 unit protein, 24 unit lemak, dan 21 unit karbohidrat.

13. Sebuah perusahaaan memproduksi dua jenis belerang, yaitu yang berkualitas rendah dan yang berkualitas tinggi. Setiap ton belerang kualitas rendah diproses selama 5 menit di tempat pencampuran dan 5 menit di tempat penyaringan, sedangkan setiap ton belerang kualitas tinggi diproses selama 4 menit di tempat pencampuran dan 2 menit di tempat penyaringan. Jika dalam satu periode produksi tempat pencampuran hanya dapat digunakan selama 3 jam dan tempat penyaringan hanya dapat digunakan selama dua jam, maka tentukan banyaknya masing-masing belerang yang dapat diproduksi dalam satu periode.

14. Sebuah pabrik membuat tiga jenis produk kimia, yaitu jenis A, B, dan C. Setiap produk dihasilkan melalui pemrosesan dua mesin, yaitu mesin X dan Y. Setiap ton produk A diproses dalam mesin X selama 2 jam dan 2 jam dalam mesin Y. Setiap ton produk B diproses dalam mesin X selama 3 jam dan 2 jam dalam mesin Y. Setiap ton produk C diproses dalam mesin X selama 4 jam dan 3 jam dalam mesin Y. Jika mesin X dan Y setiap minggunya masing-masing dapat digunakan selama 80 jam dan 60 jam, maka tentukan banyaknya masing-masing jenis produk kimia yang dapat dibuat.