Distribusi Normal Multivariat

Husty Serviana Husain

1

Abstrak

Pada pengendalian proses univariat berdasarkan variabel, biasanya digunakan model distribusi normal untuk mengamati kualitas proses dari waktu ke waktu.

Fungsi kepadatan peluangnya (fkp) adalah

2 2

1

1

( )

exp

,

2

2

x

f x



x















_

_

   





,

dimana



adalah meannya dan



2 adalah variansinya. Dalam kenyataannya, seringkali kualitas proses ditentukan oleh lebih dari satu karakteristik yang saling berkorelasi. Dalam hal ini kita bisa saja melakukan pengendalian terhadap masing-masing karakteristik satu-persatu. Akan tetapi hal ini akan menimbulkan banyak sekali kesalahan seperti dikemukakan Montgomery [4]. Oleh karena itu pengendalian proses harus melibatkan semua karakteristik sekaligus. Untuk itu digunakan distribusi normal mulitivariat. Distribusi ini dan beberapa sifatnya merupakan topik bahasan dalam tulisan ini.

Kata Kunci: Distribusi Normal Bivariat, Statistical Proces Control .

1.

Pendahuluan

Pengendalian proses secara statistik (Statistical Proces Control atau disingkat SPC), dibagi ke dalam dua jenis yaitu SPC univariat dan SPC mulitivariat. Dalam SPC univariat hanya satu variabel karakteristik mutu yang dikaji. Kenyataannya, banyak sekali proses yang ditentukan oleh sejumlah karateristik mutu yang terpadu, yang satu sama lainnya berkorelasi. Dalam hal ini, digunakan SPC multivariat. Dengan asumsi bahwa proses memiliki ditribusi normal multivariat. Sehingga tulisan ini akan fokus pada teori distribusi normal multivariat, sebagai distribusi yang digunakan dalam SPC multivariat.

2. Distribusi Normal Multivariat

2.1.

Definisi Distribusi Normal Multivariat

Vektor random yang terdiri atas p komponen X (X X₁, ₂,...,X_p)t dikatakan

berdistribusi normal multivariat dengan vektor mean



dan matriks variansi-kovariansi  _yang

definit positif, jika fungsi kepadatan peluang bersama X X₁, ₂,...,Xp adalah:

1 1 2 ₂

1

1

( )

exp

(

)

(

)

2

(2 )

t p

f x

x



x













_









_







(1)

dengan



1, 2,...,



t p

x x x x di Rp. Untuk selanjutnya vektor randomX _yang

berdistribusi normal p-variat tersebut diberi lambangX ~ Np( , )



 . Berikut ini

dikemukakan fungsi pembangkit momen dari X yang akan digunakan dalam pengkajian

distribusi normal multivariat selanjutnya.

2.2.

Teorema 1 Distribusi Normal Multivariat

Jika X ~Np( , )



 , maka fungsi pembangkit momen dari X , ditulis MX

 

t ,

dengan t



t t₁, ,...,₂ tp



t adalah

 

1 exp 2 t t X M t  _t



 t t_  . Bukti.

 

1 exp 2 t t X M t  _t



 t t_  . Karena X ~N_p( , )



 , maka

 

 

1





1 2 2 2

1

1

...

exp

...

2

2

t p p X

M

t

t x

x



dx dx

dx



   







_





_







 



1 1 1 1

 



1 1 ... .exp 2 2 t t t t t t k t x x x x

 

x







t



t           _           

 

;



 





1 2

...

t t t t p

t

t t

t

t



t



dx dx

dx



   



dimana

 

1 2 2

1

2

p

k









1 1 1 1 1 ... .exp 2 t t t t k x x x



x t



x





          _         

 





1 2

1

...

2

t t t t t t t t p

t

t x t

t

t

t

t

t

t

dx dx

dx

















  

  

_





 

1







1 2 1 1 ... .exp 2 ... 2 2 t t t p k x



t x



t t



t t dx dx dx         _          _  

 







 

1



1 2 1 1 ... .exp 2 ... 2 2 t t t p k t



t t x



t x



t dx dx dx         _          _  

 



 

1



1 2 1 1 ... .exp exp ... 2 2 t t t p k t



t t x



t x



t dx dx dx           _   _{ }       _    

 

 



 



1 1 2 1 2 2

1

1

1

exp

...

exp

...

2

2

2

t t t p p

t



t

t

x



t

x



t

dx dx

dx



    











_





_

_



  



 

_





 

_





Integral di ruas kanan bernilai 1, sebab integrannya merupakan fungsi kepadatan peluang dari vektor random yang berdistribusi

N

_p







 

t



,





. Oleh karena itu fungsi pembangkit

momen dari X adalah

 

exp 1

2

t t t

x

M t  _t



 t t _

 .

2.3.

Teorema 2 Distribusi Normal Multivariat

DiketahuiX ~ Np( , )



 dengan  _{definit positif. Jika} Cpxpsuatu matriks non singular

dan

a

suatu vektor skalar di Rp, maka

Y



C X





a



~

N

_p



C

 





a C

,



C

t



.

Bukti.

Karena X ~N_p( , )



 , maka PDF dari X adalah

 

 



 



1 2 1 1 exp , 2 2 t p p f x x



x



x R



    _    _    

Karena C_pxpnon singular, maka

X



C Y

1



a

. Dengan demikian, PDF dari Yadalah

 

 

 

mod

 

g y



f x y

J

, dengan

mod J

 

adalah nilai mutlak dari deterrminan Jacobian transformasi J. Jadi, 1 1 1 1 2 11 12 1 2 2 2 _{21 22 2} 1 2 ₁ 1 2 1 2 . . . . . . _{. .} 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p p p p p p pp p p p p x x x y y y C C C x x x C C C y y y J C C C C C x x x y y y                        Akibatnya,

  

1



1 mod g y f C y a C      _ _  

 













1 1 1 2 1 1 1 exp mod 2 2 t p C y a C y a C







        _      _ _ _   _{ } 

 

















1 1 1 2 1 1 1 exp mod 2 2 t p C y a C y a C







        _      _{  }   _{ } 

 





















1 1 1 2 1 1 1 exp mod 2 2 t p C y C a C y C a C







        _      _ _ _   _{ } 

 









 









1 1 1 2 1 1 1 exp mod 2 2 t _t p y C a C C y C a C







        _      _ _ _   _{ } 

 





















1 2 1 1 1 exp 2 2 t t p y C a C C y C a C C







    _{ }  _      _      

 





















1 ' 2 1 1 1 exp 2 2 t t p y C a C C y C a C C







    _{ }  _      _{ }     _{ }

 





















1 2 1 1 exp , 2 2 t t p p t y C a C C y C a y R C C







    _      _    

Ini adalah PDF dari vektor acak berdistribusi

N

_p



C

 





a C

,



C

t



. Dengan demikian





~

_p



 

,

t



Y



C X



a

N

C





a C



C

.

2.4.

Teorema 3 Distribusi Normal Multivariat

Misalkan X ~N_p( , )



 dengan  _{non singulir dan} X _{merupakan super posisi}

    1 2 X X X         

dimana X 1 dan X 2 berturut-turut berdimensi q dan p – q. Maka vektor random

 1

X dan X 2 independen jika dan hanya jika matriks kovariansi antara  

1 X dan X 2 adalah 12 0   (matriks nol). Bukti. Kita tuliskan   1 2 1

.

.

q

X

X

X

X



































dan   1 2 2

.

.

q q p

X

X

X

X

 



































.

(i) Misalkan X 1 dan X 2 independen. Jadi untuk setiap k = 1,2,...,q dan setiap m =

1,2,...,(p-q), variabel-variabel random X_k dan X_{q m} adalah

 



k k





q m q m



k q m E X X



_  _ 



_ 



_ _ E_



X_k



_k



_{ }E



X_{q m} 



_{q m}



_

= 0

Karena ini berlaku untuk setiap k dan m, maka

            1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 12 1 2 . . _{0 0 . . 0} . . 0 0 . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . 0 . . p q q p q q qp q q q q



















       _{  }  _{  }  _{  }  _{  }  _      _{  }  _{  }  _{  }  

Jadi ₁₂ adalah matriks nol

(ii) Misalkan  ₁₂ 0. Maka matriks variansi-kovariansi dari vektor random X , yakni ,

dapat dituliskan sebagai berikut.

11 12 11 21 22 22

0

0









 



 

_

_{ }



_









 



dimana 21

 

12 0 t     . Karena 1 1 11 1 22

0

0

  







  

_







, maka bentuk kuadrat



 



1 t

Q X 



 X 



dapat

pula ditulis sebagai berikut.

                1 1 1 1 1 11 1 1 2 1 2 22

0

0

t

x

x

Q

x

x









 



_



_

_

_



_













_

_



_



_



_



_













   





   



        1 1 1 1 1 2 2 ₁₁ 1 1 2 22 0 0 t t _x x x x









         _{ } _   _{ }      _  _



 1  1



₁₁1



 1  1





 2  2



₂₂1



 2  2



t t

x





x



x





x



















Q1Q2

dimana Q1 dan Q2 berturut-turut menyatakan suku pertama dan kedua. Selanjutnya

 

 

1 2 2

1

1

exp

2

2

p

f x

Q









_



_







 

1 1

 

1 2 2 2 2 2 11 22 1 1 1 1 exp exp 2 2 2 2 p Q p q Q





         _{ } _{ } _      _  _    

Sedangkan fungsi yang di dalam tanda kurawal pertama dan kedua berturut-turut merupakan f.k.p dari X 1 dan dari  

2

X . Jadi,

f x

 



f x

₁

 

 1

f

₂

 

x

 2 dengan f₁ dan f₂ adalah f.k.p marginal dari X 1 dan dari X 2 . Ini berarti X 1 dan X 2 independen.

3. Kesimpulan

Tulisan ini hanya membahas beberapa teori mengenai distribusi normal multivariat dan pembuktiannya, yang akan banyak digunakan sebagai distribusi dalam pengendalian kualitas proses statistik secara multivariat (SPC multivariat).

Daftar Pustaka

[1] Anderson T.W., 1958. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. John Wiley &

Son, New York, NY.

[2] Djauhari M.A., 1987. Pengantar Statiska Matematika II. Departemen Pendidikan dan

Kebudayaan, Universitas Terbuka.

[3] Hoong R.V., and Craig T.A., 1995. Introduction to Mathematical Statistics, 5th edition. Prentice Hall, Inc., New Jersey.

[4] Montgomery D.C., 2001. Introduction to Statical Qualtiy Control, 4th edition. John Wiley