BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 - Analisa Tegangan Statik Sistem Perpipaan Pada Pompa Air Umpan ( Feed Water Pump ) Dengan Menggunakan Software Caesar Ii Versi. 5.10

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Perpipaan

Pipa digunakan untuk mengalirkan fluida (zat cair atau gas) dari satu atau

beberapa titik ke satu titik atau beberapa titik lainnya. Sistem perpipaan (piping

sistem) terdiri dari gabungan pipa-pipa yang memiliki panjang total relatif pendek

dan digunakan untuk mengalirkan fluida dari suatu peralatan ke peralatan lainnya

yang beroperasi pada suatu plant. Sistem perpipaan dilengkapi dengan

komponen-komponen seperti katup, flens, belokan, percabangan, nozzle, reducer, tumpuan,

isolasi, dan lain-lain.

Dalam dunia industri, biasa dikenal beberapa istilah mengenai sistem perpipaan

seperti piping dan pipeline. Piping adalah sistem perpipaan di suatu plant, sebagai

fasilitas untuk mengantarkan fluida (cairan atau gas) antara satu komponen ke

komponen lainnya untuk melewati proses-proses tertentu. Piping ini tidak akan

keluar dari satu wilayah plant.Sedangkan Pipeline adalah sistem perpipaan untuk

mengantarkan fluida antara satu plant ke plant lainnya yang biasanya melewati

beberapa daerah.Ukuran panjang pipa biasanya memiliki panjang lebih dari 1 km

bergantung jarak antar plant.

Sistem perpipaan dapat ditemukan hampir pada semua jenis industri, dari

sistem pipa tunggal yang sederhana sampai sistem pipa bercabang yang sangat

kompleks. Contoh sistem perpipaan adalah, sistem distribusi air minum pada gedung

penyimpan, sistem distribusi udara pendingin pada suatu gedung, sistem distribusi

uap pada proses pengeringan dan lain sebagainya.

Sistem perpipaan meliputi semua komponen dari lokasi awal sampai dengan

lokasi tujuan antara lain, saringan (strainer), katup atau kran, sambungan, nosel dan

sebagainya. Untuk sistem perpipaan yang fluidanya liquid, umumnya dari lokasi

awal fluida, dipasang saringan untuk menyaring kotoran agar tidak menyumbat aliran

fuida. Saringan dilengkapi dengan katup searah ( foot valve) yang fungsinya

mencegah aliran kembali ke lokasi awal atau tandon. Sedangkan sambungan dapat

berupa sambungan penampang tetap, sambungan penampang berubah, belokan

(elbow) atau sambungan bentuk T (Tee).

2.2 Teori Tegangan

Pengetahuan mengenai sifat-sifat mekanik material sangat penting.Melalui

pengetahuan ini dapat diperkirakan tegangan-tegangan yang terjadi pada sistem

perpipaan.Dalam kode ditetapkan aturan-aturan agar pada sistem perpipaan tidak

terjadi tegangan yang berlebih sehingga dapat terhindar dari kegagalan.Secara umum

teori tegangan pada sistem perpipaan merupakan pengembangan dari teori tegangan

dalam mekanika.Oleh sebab itu, dapat digunakan dalam perhitungan dan analisis

tegangan pada sistem perpipaan.

2.2.1. Tegangan Satu Arah (Uniaxial)

Tegangan uniaxial adalah tegangan yang bekerja pada suatu benda dimana

merupakan tegangan tarik untuk keadaan normal ( tanpa terbentuk sudut ). Untuk

tegangan yang terdapat pada benda dengan sudut tertentu,maka akan dihasilkan

tagangan geser dan tegangan tarik dalam arah 𝜃𝜃.Keadaan tegangan ini pada aplikasi

suatu batang lurus berpenampang A dengan gaya dan arah yang ditunjukkan seperti

gambar 2.1. Dianggap bahwa tegangan terbagi rata diseluruh penampang yang tegak

lurus dengan luasan pada benda, dimana gaya yang bekerja terdapat pada koordinat

sumbu x.

Gambar 2.1 Distribusi Tegangan Uniaxial

Akibat dari gaya-gaya yang bekerja pada benda, maka akan terbentuk sudut

potong pada benda sebesar 𝜃𝜃. Dimana dengan sudut tersebut akan diproyeksikan

nilai tegangan – tegangan yang terjadi pada benda tersebut seperti tegangan geser

dan tarik dalam arah 𝜃𝜃. Kesetimbangan gaya dan tegangan dapat dilihat pada gambar

2.2.

Gambar 2.2 Distribusi Tegangan Uniaxial

Persamaan untuk distribusi tegangan pada gambar 2.2 dapat dilihat pada

persamaan dibawah ini.

A

F F

𝜎𝜎=𝐹𝐹

𝐴𝐴

F 𝜃𝜃

𝜎𝜎=𝐹𝐹

dimana:

σ

= tegangan (N/𝑚𝑚2)

P = gaya (N)

A = luas penampang (𝑚𝑚2)

Gambar 2.3 distribusi tegangan pada penampang sederhana

Gambar 2.4 Distribusi Tegangan Uniaxial terhadap sudut 𝜃𝜃

Pada gambar 2.3 terlihat beberapa tegangan yang terdapat pada benda yang

membentuk sudut 𝜃𝜃. Dengan menuliskan bentuk persamaan dari gambar tersebut

kedalam kesetimbangan gaya maka akan diperoleh nilai tegangan tarik dan tegangan

geser.

Untuk persamaan tegangan tarik pada gambar 2.3 diperoleh dengan

menjumlahkan tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan terhadap

sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang samadengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 , dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.1.

𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑥𝑥

𝜎𝜎𝑥𝑥

𝜃𝜃

𝜃𝜃

𝐴𝐴𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 -𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 0 (2.1)

Untuk menentukan nilai 𝐴𝐴_𝑥𝑥 dapat diubah ke dalam bentuk A𝜃𝜃 dengan menggunakan persamaan 2.2 :

(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) =𝐴𝐴_𝑥𝑥 = 𝐴𝐴_𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

(𝐴𝐴 − 𝐶𝐶) =𝐴𝐴_𝑦𝑦 = 𝐴𝐴_𝜃𝜃𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 (2.2)

Dengan demikian nilai 𝐴𝐴_𝑥𝑥 pada persamaan 2.2, dapat disubstitusikan kedalam persamaan 2.1 sehingga akan diperoleh persamaan tegangan tarik 𝜎𝜎_𝜃𝜃yang bekerja terhadap sumbu 𝜃𝜃,dapat dilihat pada persamaan 2.3:

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃-𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃= 0

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 (2.3)

Pada saat kondisi 𝜃𝜃 = 0 , maka persamaan 2.3 akan berubah menjadi

persamaan 2.4 :

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(12)

𝜎𝜎_𝜃𝜃 = 𝜎𝜎_𝑥𝑥 (2.4)

𝐴𝐴𝑦𝑦

𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃

𝐴𝐴𝑥𝑥

𝐴𝐴 𝐵𝐵

Untuk persamaan tegangan geser pada gambar 2.3 diperoleh dengan

menjumlahkan semua tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan geser

terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang sama dengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃, dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.5 :

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃= 0

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃 =𝜎𝜎𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 (2.5)

Melalui persamaan trigonometri diketahui bahwa :

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃= 1

2 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃

Dengan merubah persamaan trigonometri diatas kedalam persamaan

trigonometri pada persamaan tegangan geser maka akan dihasilkan persamaan akhir

untuk tegangan geser, yaitu pada persamaan 2.6 :

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥1₂𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 (2.6)

Pada saat kondisi 𝜃𝜃 = 0 dan 𝜃𝜃 = 45𝑐𝑐 , akan diperoleh tegangan geser:

𝜃𝜃 = 0 𝜃𝜃 = 45𝑐𝑐

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥1₂𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2(0) 𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥1₂𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2(45°)

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang

dapat diterima oleh benda yang mengalami gaya tarik pada luasan .Tegangan tarik

maksimum merupakan batas pada benda untuk berubah bentuk ketika diberikan

pembebanan secara terus menerus sehingga melewati batas nilai tegangan

maksimum.Nilai dari tegangan ini dapat dihitung melalui perhitungan secara

matimatik pada lingkaran mohr pada gambar 2.4.

Syarat untuk memperoleh tegangan tarik maksimum adalah :

Syarat 𝜕𝜕𝜎𝜎𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0

𝑑𝑑(𝜎𝜎𝑥𝑥 2 +

𝜎𝜎𝑥𝑥

2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃)

𝑑𝑑𝜃𝜃 = 0

0 + −2 �𝜎𝜎𝑥𝑥

2 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃� = 0

−2�𝜎𝜎𝑥𝑥

2 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃� = 0

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 0 −𝜎𝜎𝑥𝑥 = 0 2𝜃𝜃= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠−10

𝜃𝜃 = 1 2 (𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠

−1₀₎

𝜃𝜃 = 0, 90, 180

𝜃𝜃 = 0,𝜋𝜋 2,𝜋𝜋

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎₂𝑥𝑥 + 𝜎𝜎₂𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎₂𝑥𝑥+ 𝜎𝜎₂𝑥𝑥 (1) = 𝜎𝜎𝑥𝑥

𝜎𝜎𝜃𝜃𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 ( 2.7)

Tegangan geser maksimum adalah tegangan yang paling besar diterima benda

ketika diberikan gaya F pada arah 𝜃𝜃. Dengan demikian tegangan geser maksimum

merupakan batas dari tegangan yang dapat diterima oleh benda yang jika diberikan

gaya yang lebih besar maka akan terjadi perubahan bentuk pada benda.

Syarat untuk terjadinya tegangan geser maksimum adalah :

𝜕𝜕𝜏𝜏𝜃𝜃

Sehingga dengan memasukkan besaran sudut yang menghasilkan tegangan

geser maksimum akan diperoleh nilai maksimum dari tegangan geser yaitu pada

2.2.1.1 Lingkaran Mohruntuk Tegangan Uniaxial

Persamaan lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial diperoleh dengan

menjumlahkan kuadrat dari tiap –tiap tegangan geser dan tegangan tarik pada arah 𝜃𝜃

yang merupakan bentuk dari persamaan dasar lingkaran. Persamaan yang dibentuk

akan menjadi persamaan lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial, merupakan bentuk

perwakilan dari besaran besaran nilai tegangan kedalam bentuk gambar.

Penyederhanaan persamaan untuk lingkaran mohr dapat dilakukan dengan

menggunakan persamaan trigonometri dalam aturan kosinus sebagai berikut.

cos 2𝜃𝜃 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 − 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃

Cos 2𝜃𝜃 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 −(1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃)

cos 2𝜃𝜃 = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 − 1

2cos 2𝜃𝜃 = 1 +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃

cos2𝜃𝜃= 1 2 +

1

2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃

Persamaan untuk tegangan tarik pada arah 𝜃𝜃 dengan menggunakan

penyederhanaan aturan kosinus.

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 ( 1

2 + 1

2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃)

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎₂𝑥𝑥 +𝜎𝜎₂𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃

Persamaan untuk tegangan geser pada permukaan 𝜃𝜃 yaitu :

Pada penjumlahan eliminasi yang sama sehingga akan menghasilkan persamaan

lingkaran mohr sebagai berikut:

(𝜎𝜎_𝜃𝜃 −𝜎𝜎𝑥𝑥

Dengan demikian persamaan lingkaran mohr diperoleh pada persamaan 2.12:

(𝜎𝜎_𝜃𝜃 −𝜎𝜎𝑥𝑥 2)

2 _+𝜏𝜏

𝜃𝜃2 = = (𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2 ( 2.12 )

Gambar 2.5 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Uniaxial

Gambar 2.5 pada lingkaran mohr merupakan bentuk perhitungan tegangan

secarah menyeluruh, dimana dengan gambar tersebut akan dapat lebih mudah untuk

menentukan tegangan maksimum dan minimum yang dialami oleh benda yang dapat

dilihat melalui ilustrasi gambar. Pada lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial dapat

dilihat bahwa nilai dari tegangan minimum adalah nol untuk tegangan tarik.

A O

𝜏𝜏

𝜎𝜎

B

𝐵𝐵′ M

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

𝜎𝜎𝜃𝜃−𝜎𝜎₂𝑥𝑥

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

2𝜃𝜃 𝜏𝜏𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 𝜎𝜎𝜃𝜃

x y

n

𝜃𝜃 𝜃𝜃

2.2.2. Tegangan Dua Arah (Biaxial)

Tegangan biaxial adalah tegangan yang bekerja pada suatu benda dimana

gaya yang berkerja terjadidalam dua arah. Tegangan dalam dua arah meliputi

tegangan terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y.Tegangan yang dialami oleh

benda merupakan tegangan tarik untuk keadaan normal ( tanpa terbentuk sudut ).

Untuk tegangan yang terdapat pada benda dengan sudut tertentu,maka akan

dihasilkan tagangan geser dan tegangan tarik dalam arah 𝜃𝜃. sehingga dengan

menggunakan kesetimbangan energi akan diperoleh persamaan persamaan untuk

tegangan geser dan tegangan tarik. Pada tegangan biaxial terdapat tiga tegangan yang

bekerja pada tiap garis yang sama yaitu tegangan pada sudut 𝜃𝜃, tegangan pada luasan

sumbu y dan tegangan pada sumbu x yang diproyeksikan terhadap satu garis yang

sama.

Gambar.2.6 tegangan biaksial

Dari gambar 2.6 akan diperoleh persamaan untuk tegangan tarik dan geser

dengan menggunakan kesetimbangan gaya pada satu sumbu garis yang sama.Untuk

persamaan tegangan tarik pada gambar 2.5 diperoleh dengan menjumlahkan

tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja

pada arah yang samadengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 dan 𝜎𝜎_𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 pada dua luasan yang berbeda dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.13.

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃−𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥cos θ −𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 sin θ =0

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥cos θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 sin θ

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃 cos θ) cos θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃 sin θ) sin θ

𝜎𝜎𝜃𝜃= 𝜎𝜎𝑥𝑥 cos2θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦 sin2

𝜎𝜎_𝜃𝜃= 1

2 (𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦) + 1

2 (𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦) cos 2θ ( 2.13 ) θ

Jadi persamaan untuk menentukan tegangan maksimal pada tegangan dua arah

adalah :

𝝈𝝈𝜽𝜽= 𝟏𝟏_𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙 + 𝝈𝝈𝒚𝒚) + 𝟏𝟏_𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙− 𝝈𝝈𝒚𝒚) cos 2θ (2.14)

Untuk persamaan tegangan geser pada gambar 2.5 diperoleh dengan

menjumlahkan semua tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan geser

terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang sama dengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 dan

𝜎𝜎𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃pada dua gaya yang bekerja pada permukaan 𝜃𝜃 dengan menggunakan

𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 0

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 =𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 =𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝝉𝝉𝜽𝜽= 𝟏𝟏_𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙− 𝝈𝝈𝒚𝒚)sin2θ (2.15)

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang

dapat diterima oleh benda yang mengalami gaya tarik pada luasan .Tegangan tarik

maksimum merupakan batas pada benda untuk berubah bentuk ketika diberikan

pembebanan secara terus menerus sehingga melewati batas nilai tegangan

maksimum.Nilai dari tegangan ini dapat dihitung melalui perhitungan secara

matimatik pada lingkaran mohr pada gambar 2.6 diatas.

Syarat untuk mendapatkan tegangan tarik maksimum adalah :

𝜕𝜕𝜎𝜎𝜃𝜃

𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0

𝜕𝜕[�σx+ σy 2 �+ �

σx−σy

2 � cos2θ

𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0

0 + −2�σx− σy

2 � sin2θ= 0

− (σx − σy) sin2θ= 0

sin2θ= 0

Tegangan tarik maksimum diperoleh dengan mensubsitusikan nilai sudut yang

mengakibatkan terbentuknya tegangan tarik maksimum untuk tegangan biaxial.

σθ= (σx+ ₂σy) + (σx−σy₂ ) cos 2θ

Tegangan geser maksimum adalah tegangan yang paling besar diterima benda

ketika diberikan gaya F pada arah 𝜃𝜃. Dengan demikian tegangan geser maksimum

merupakan batas dari tegangan yang dapat diterima oleh benda yang jika diberikan

gaya yang lebih besar maka akan terjadi perubahan bentuk pada benda.

Syarat untuk terjadinya tegangan geser maksimum adalah :

Dengan demikian akan diperoleh nilai dari tegangan geser maksimum dengan

memasukkan besaran dari nilai sudut yang menghasilkan tegangan maksimum.

Sehingga akan diperoleh tegangan geser maksimum untuk biaxial ditunjukkan pada

persamaan 2.17 :

τθ= �σx−σy₂ �sin2 (𝜋𝜋₄)

τθ= �σx−σy₂ �sin 2 (45o)

τmax= � σx−σy

2 � ( 2.17)

2.2.2.1Lingkaran Mohr untuk Tegangan Biaxial

Persamaan lingkaran mohr untuk tegangan biaxial diperoleh dengan

menjumlahkan kuadrat dari tiap –tiap tegangan geser dan tegangan tarik pada arah 𝜃𝜃

yang merupakan bentuk dari persamaan dasar lingkaran. Persamaan yang dibentuk

akan menjadi persamaan lingkaran mohr untuk tegangan biaxial, merupakan bentuk

perwakilan dari besaran besaran nilai tegangan kedalam bentuk gambar.

σθ= (σx+ ₂σy) + (σx−σy₂ ) cos 2θ

σθ−(σx+ ₂σy) = (σx−σy₂ ) cos 2θ

Sehingga dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap persamaan tegangan akan

terbentuk persamaan lingkaran dasar dalam bentuk tegangan umum yang dapat

menentukan nilai maksimum dan nilai minimum tegangan geser dan tegangan tarik.

[σ_θ− (σx+ σy

Gambar 2.7 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Biaxial

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃

Gambar 2.7 pada lingkaran mohr merupakan bentuk perhitungan tegangan

secarah menyeluruh, dimana dengan gambar tersebut akan dapat lebih mudah untuk

menentukan tegangan maksimum dan minimum yang dialami oleh benda yang dapat

dilihat melalui ilustrasi gambar. Pada lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial dapat

dilihat bahwa nilai dari tegangan minimum adalah nol untuk tegangan tarik.

2.2.3 Tegangan Utama (Principal Stress)

Tegangan maksimum atau minimum pada suatu batang dapat digambarkan

pada sebuah elemen yang mendapat beban. Dimana penjabaran tegangan yang terjadi

dapat diuraikan, sehingga nantinya mendapatkan persamaan minimum dan

maksimum untuk mencari nilai suatu tegangan. Titik centroid pada benda akan

menjabarkan tegangan-tegangan yang terjadi, sehingga untuk mendapatkan

persamaan akan lebih mudah.

Gambar.2.8 tegangan utama

Tegangan tarik utama adalah tegangan yang dibentuk dari gaya tarik utama

pada tiap – tiap sumbu yaitu tegangan tarik pada sumbu x dan tegangan tarik

terhadap sumbu y, dimana persamaan untuk tegangan tarik utama diperoleh dengan

menjumlahkan tiap tegangan pada satu sumbu yang sama dan segaris. Tegangan tarik

pada luasan θ terletak pada satu garis dengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥cos θ dan σysin θ. Dengan

penjumlahan secara vektor maka akan diperoleh persamaan untuk tegangan tarik

utama yang terlihat pada persamaan 2.18 berikut :

σθAθ = σx Axcos θ + σy Ay sin θ- 2 τ σθAθ= σ

xy A_θcos θ sin θ

x (Aθcos θ) cos θ+ σy (Aθsin θ)sin θ - 2 τ σθ = σ

xy Aθcos θ sin θ x cos2θ+ σy sin2θ- 2 τxy

𝛔𝛔𝛉𝛉 = (𝛔𝛔𝐱𝐱+ _𝟐𝟐𝛔𝛔𝐲𝐲)+(𝛔𝛔𝐱𝐱−_𝟐𝟐𝛔𝛔𝐲𝐲) cos 2θ - 2 τ

cos θ sin θ

xy sin 2θ ( 2.18)

Tegangan geser utama adalah tegangan yang dibentuk dari gaya geser utama

pada tiap – tiap sumbu yaitu tegangan geser pada sumbu x dan tegangan geser

terhadap sumbu y, dimana persamaan untuk tegangan geser utama diperoleh dengan

menjumlahkan tiap tegangan pada satu sumbu yang sama dan segaris. Tegangan

geser θ yang terletak pada satu garis dengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥sin θ dan σycos θ. Dengan

penjumlahan secara vektor maka akan diperoleh persamaan untuk tegangan geser

utama yang terlihat pada persamaan 2.19(Lit.Timosenko hal 75).

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 +𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃+𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 0

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 =𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃+𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 −

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang

mampu diterima oleh beban. Tegangan tarik maksimum merupakan batas yang

diizinkan dalam pemberian gaya berupa pembebanan. Tagangan tarik maksimum

pada tegangan utama memiliki syarat dalam penentuan nilai sudut yang dibentuk.

Syarat untuk memperoleh tegangan tarik utama maksimum adalah :

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃

Sehingga Tegangan Tarik Utama Maximum adalah :

𝜎𝜎𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = �𝜎𝜎𝑥𝑥

Tegangan geser utama maksimumadalah batas nilai tegangan tertinggi yang

mampu diterima oleh benda pada pembentukan sudut tertentu, dimana nilai sudut

yang dibentuk dapat ditentukan dengan menentukan titik maksimum dari tegangan

geser utama.Syarat untuk menentukan tegangan geser utama maksimum

mempengaruhi besarnya pembebana yang mampu diterima oleh benda.

Syarat untuk memperoleh tegangan geser utama maksimum adalah :

𝜕𝜕𝜏𝜏𝜃𝜃

𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0

𝜕𝜕 ��𝜎𝜎𝑥𝑥−𝜎𝜎𝑦𝑦

𝜕𝜕 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎₂ 𝑦𝑦� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃+𝜏𝜏_{𝑥𝑥𝑦𝑦}(−2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃) = 0

Sehingga Tegangan Geser Maximum Utama adalah :

𝜏𝜏𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎₂ 𝑦𝑦� 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃+𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃

2.2.3.1. LingkaranMohr Tegangan Utama

Lingkaran mohr untuk tegangan utama dibentuk dari persamaan dasar dari

geser utama.Persamaan yang diperoleh merupakan dasar untuk membentuk

lingkaran.Tegangan maksimum dan minimum dapat dihitung melalui perhitungan

untuk titik terjauh pada lingkaran sepanjang sumbu x dan tegangan tarik utama

minimum dapat dihitung melalui penentuan titik terdekat pada sumbu x. Persamaan –

persamaan tersebut dapat dilihat pada lingkaran mohr pada gambar 2.9.

Gambar 2.9 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Utama

Dengan demikian nilai – nilai tegangan yang dapat diperhitungkan pada

pembebana yang diberikan dapat dilihat berdasarkan gambar yang dilukis

pembentuk.Diagram mohr merupakan bentuk dari semua tegangan yang

mempengaruhi benda yang dapat dilihat melalui gambar.

2.3. Sistem Penumpu

Pipe support adalah salah satu bagian yang penting dalam sistem perpipaan

atau di suatu plant.Sistem penumpu berfungsi untuk menahan dan mengkondisikan

suatu sistem perpipaan sehingga aman sampai waktu yang telah ditentukan, bahkan

diharapkan berfungsi selama pipa masih digunakan.

2.3.1. Momen Lentur (Bending Momen)

Jadi momen lentur merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan

besaran yang sama. Momen lentur juga dinotasikan dengan M. Momen lentur lebih

lazim digunakan daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini

dapat dinyatakan secara langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya.

2.3.2. Gaya geser

Gaya geser adalah berlawanan arah dengan tahanan geser tetapi besarnya

sama. Biasanya dinyatakan dengan V. Dalam perhitungan, gaya geser lebih sering

digunakan daripada tahanan geser.

2.3.3. Gaya dan Momen pada tumpuan

menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik

tersebut.Untuk menentukan besarnya resultan pada tumpuan dapat menggunakan

persamaan-persamaan kesetimbangan.

Berikut ini adalah contoh analisa 1 dimensi arah x untuk menentukan arah

gaya dan momen pada sebuah pipa yang ditumpu.

RAx

RAy RBy

Gambar 2.10 Free Body Diagram kesetimbangan gaya dan momen

Dari diagram benda bebas diatas akan didapatgaya–gaya reaksi yang bekerja

pada tiap tumpuan yangterlihat pada persamaan dari gambar 2.10 :

∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0

𝑃𝑃𝜃𝜃 − 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦(𝐿𝐿) = 0

A B

L

a b

𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦

=

𝑃𝑃𝜃𝜃_𝐿𝐿

∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 + 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦− 𝑃𝑃 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 =𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 =𝑃𝑃 −

𝑃𝑃𝜃𝜃

_𝐿𝐿

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦

=

𝑃𝑃𝑏𝑏

_𝐿𝐿

Persamaan momen untuk batasan0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝜃𝜃

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑥𝑥

𝑅𝑅_{𝐴𝐴𝑦𝑦}

∑𝑀𝑀 = 0

𝑀𝑀𝑥𝑥 − 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 0

𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥)

𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿 (𝑥𝑥)

Untuk nilai x = 0

𝑀𝑀0 = 0

Untuk nilai x = a

v

Mx

𝑀𝑀𝜃𝜃 = 𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿𝜃𝜃

Dan untuk persamaan gaya geser diperoleh :

∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 − 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0

𝑉𝑉𝑥𝑥 =𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦

𝑉𝑉𝑥𝑥 =𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿

Untuk nilai x = 0

𝑉𝑉0 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

𝐿𝐿

Untuk nilai x = a

𝑉𝑉𝜃𝜃 = 𝑃𝑃_𝐿𝐿𝑏𝑏

Sedangkan persamaan momen untuk batasan 𝜃𝜃 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝐿𝐿

x

M

a v

𝑅𝑅_{𝐴𝐴𝑋𝑋}

𝑅𝑅_{𝐴𝐴𝑋𝑋}

Nx P

∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0

𝑀𝑀𝑥𝑥 +𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃)− 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 0

𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥)− 𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃)

𝑀𝑀𝑥𝑥 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

_𝐿𝐿

(𝑥𝑥)− 𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃)

Untuk nilai x = a

𝑀𝑀𝜃𝜃 =𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿𝜃𝜃

Untuk nilai x = l

𝑀𝑀𝑙𝑙 = 0

Dan untuk persamaan gaya geser diperoleh :

∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 − 𝑃𝑃 − 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0

𝑉𝑉𝑥𝑥 =𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 − 𝑃𝑃

𝑉𝑉𝑥𝑥 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

_𝐿𝐿

− 𝑃𝑃

𝑉𝑉𝑥𝑥 = −

𝑃𝑃𝜃𝜃

_𝐿𝐿

Untuk nilai x = a

Untuk nilai x = l

𝑉𝑉𝑙𝑙 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

_{𝐿𝐿 − 𝑃𝑃}

𝑉𝑉𝑙𝑙 =−

𝑃𝑃𝜃𝜃

_𝐿𝐿

Dari hasil penurunan persamaan diatas untuk momen dan gaya geser akan

didapat bentuk diagram untuk masing-masing persamaan momen dan gaya geser

dimana gambar yang dihasilkan berdasarkan bentuk dari diagram benda bebas pada

gambar 2.11 :

Gambar 2.11 Diagram gaya geser dan momen lentur

A B

L

a b

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑥𝑥

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦

P

𝑃𝑃𝑏𝑏

𝐿𝐿 _{𝑃𝑃𝜃𝜃}

𝐿𝐿

−

+

2.4 Klasifikasi Tegangan

Tegangan yang tejadi dalam sistem perpipaan dapat dikelompokkan ke dalam

dua kategori, yakni Tegangan Normal (Normal Stress) dan Tegangan Geser (Shear

Stress). Tegangan normal terdiri dari tiga komponen tegangan, yang masing-masing

adalah:

1. Tegangan Longitudinal (Longitudinal Stress), yaitu tegangan yang searah

panjang pipa.

2. Tegangan Tangensial atau Tegangan Keliling (Circumferential Stressatau

Hoop Stress), yaitu tegangan yang searah garis singgung penampang pipa.

3. Tegangan Radial (Radial Stress), yaitu tegangan searah jari-jari penampang

pipa.

Tegangan Geser terdiri dari dua komponen tegangan, yang masing-masing adalah:

1. Tegangan Geser (Shear Stress), yaitu tegangan akibat adanya gaya yang

berimpit atau terletak pada luas permukaan pipa.

2. Tegangan Puntir atau Tegangan Torsi (Torsional Stress), yaitu tegangan yang

terjadi akibat momen puntir pada pipa.

2.4.1 Tegangan Longitudinal ( Longitudinal Stress)

Tegangan Longitudinal merupakan jumlah dari Tegangan Aksial (Axial

Stress), Tegangan Lentur (Bending Stress) dan Tegangan Tekanan Dalam (Internal

2.4.1.1 Tegangan Aksial

Tegangan aksial adalah tegangan yang ditimbulkan oleh gayaF

axyang

bekerjasearah dengan sumbu pipa, dan dapat diperlihatkan seperti gambar 2.12:

Gambar 2.12Tegangan Aksial

σ

Dimana :

ax = 𝐹𝐹𝜃𝜃𝑥𝑥

𝐴𝐴𝑚𝑚

(2.20)

σ

_ax

Am = luas penampang pipa =tegangan aksial

= 𝜋𝜋 4(do

2

– di2

do = diameter luar

)

di = diameter dalam

Fax = gaya normal (N)

2.4.1.2Tegangan Lentur (Bending Stress)

Tegangan yang ditimbulkan oleh momen M yang bekerja diujung-ujung

lentur maksimum terletak pada permukaan pipa dan nol pada sumbu pipa, dapat

ditunjukkan pada gambar 2.13:

Gambar 2.13.Bending Momen

𝜎𝜎

𝑏𝑏

=

𝑀𝑀_𝐼𝐼𝑥𝑥𝑐𝑐 (2.21)

Tegangan maksimum terjadi pada dinding terluar dari pipa

𝜎𝜎

𝑏𝑏𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥

=

𝑀𝑀𝑥𝑥_𝐼𝐼𝑅𝑅𝑐𝑐

=

𝑀𝑀_𝑍𝑍

(2.22)

Dimana :

M = momen bending

c = jari-jari terluar pipa

I = Momen inersia penampang

I = 𝜋𝜋 64( do

4 _{– di}4

Z = section modulus

= 𝐼𝐼 𝑅𝑅𝑐𝑐

)

2.4.2 Tegangan Geser

bekerja sejajar terhadap permukaan pipa. Tegangan geser terjadi diakibatkan oleh

gaya yang bekerja sejajar dengan permukaan pipa dan karena adanya momen torsi

yang terdapat pada pipa, momen torsi ini dapat berupa dua gaya yang bekerja sejajar

dengan arah yang berlawanan (momen kopel).

2.4.2.1 Akibat gaya geser (V)

Tegangan geser akibat gaya geser (V) dapat dihitung dengan menggunakan

persamaan 2.23:

τ

Dimana :

max

=

𝑉𝑉

𝐴𝐴 (2.23)

V = Gaya Geser

A = Luas penampang

Tegangan ini mempunyai nilai minimum di sumbu netral (di sumbu simetri

pipa) dan bernilai nol pada titik dimana tegangan lendut maksimum( yaitu pada

permukaan luar dinding pipa). Karena hal ini dan juga karena besarnya tegangan ini

biasanya sangat kecil, maka tegangan ini dapat diabaikan.

2.4.2.2Akibat momen puntir

Tegangan geser akibat momen puntir (Mt) dapat dihitung dengan

menggunakan persamaan 2.24(Lit. Hibeller, Hal 143) :

Dimana :

Mt = Momen Puntir

J = Momen Inersia Polar

Tegangan ini terjadi akibat adanya momen yang bekerja pada pipa yang

mengakibatkan adanya pergeseran sudut terhadap sumbu pipa, momen yang bekerja

dapat berupa momen ataupun gaya yang mengakibatkan terjadinya puntiran.

2.4.3 Tegangan Torsi

Suatu bentangan bahan dengan luas permukaan tetapdikenai suatu puntiran (

twisting ) pada setiap ujungnya danpuntiran ini disebut juga dengan torsional, dan

bentangan bendatersebut dikatakan sebagai poros ( shaft ).Distribusi tegangan

bervariasi dari nol pada pusat poros sampai dengan maksimum pada sisi luar poros,

seperti diilustrasikan pada gambar 2.14:

2.4.3.1Momen Inersia( Polar )

Untuk suatu batang bulat berlubang (pipa) dengan diameter luar Do dan

diameter dalam Di

Dimana :

, momen kutub inersia (polar momen of inertia) penampang

melintang luasnya, biasanya dinotasikan dengan J (Lit.Hibbeler, hal 72).

J = 𝜋𝜋

32 (D0

4 _{– Di}4₎

Momen kutub inersia untuk batang bulat tanpa lubang (batang pejal) dapat

diperoleh dengan memberi nilai Di = 0. Kuantitas dari J merupakan sifat matematis

dari geometri penampang yang melintang yang muncul dalam kajian tegangan pada

batang atau poros bulat yang dikenai torsi.

2.4.3.2Regangan geser

Suatu garis membujur a-b digambarkan pada permukaan poros tanpa

beban.Setelah suatu momen punter T dikenakan pada poros, garis a-b bergerak

menjadi a-b’ seperti ditunjukkan pada gambar berikut.Sudut γ, yang diukur dalam

radian, diantara posisi garis akhir dengan garis awal didefinisikan sebagai regangan

geser pada permukaan poros. Definisi yang sama berlaku untuk setiap titik pada

batang poros tersebut, dapat ditunjukkan pada gambar 2.15:

2.5 Persamaan Tegangan Pada Sistem Perpipaan

Persamaan tegangan pada sistem perpipaan merupakan persamaan yang dapat

diturunkan dari persamaan untuk tegangan 𝜎𝜎_1,2 yang sesuai dengan aplikasi tersebut.

Pada dasarnya persamaan tegangan yang dihasilkan pada tiap kondisi yang berbeda

diperoleh dari persamaan untuk tegangan utama, yang membedakan persamaan

tegangan pada tiap-tiap kondisi itu adalah tegangan terhadap sumbu x dan tegangan

terhadap sumbu y. Pada kondisi bending tegangan terhadap sumbu x tidak berlaku

atau diabaikan dengan sudut pembentuk

𝜃𝜃

dengan nilai 90 derajat. Secara umum

akan terlihat pada gambar 2.16.

Gambar 2.16 Sistem Perpipaan Sederhana

Maka akan berlaku persamaan Tegangan Utama dengan ketentuan dimana

pada gambar diatas menunjukkan bahwa, arah tegangan terhadap sumbu x adalah 0,

dan hanya ada tegangan yang bekerja terhadap sumbu y. Tegangan geser yang terjadi

pada gambar diatas adalah tegangan geser akibat gaya geser yang bekerja searah

dengan luas penampang pipa, secara umum dapat dilihat pada persamaan dibawah ini

𝜎𝜎1,2 = � 𝜎𝜎𝑥𝑥+𝜎𝜎_𝑦𝑦

2 �±�� 𝜎𝜎𝑥𝑥−𝜎𝜎𝑦𝑦

2 � 2

+𝜏𝜏_{𝑥𝑥𝑦𝑦}2

Dimana 𝜎𝜎_𝑦𝑦 dan 𝜏𝜏_{𝑥𝑥𝑦𝑦} pada kondisi lentur pada sistem penumpu akan berubah menjadi

persamaan yang sesuai dengan keadaan dari bentuk beam yang dalam hal ini

berbentuk pipa dimana tidak terjadi tegangan dalam arah sumbu x (𝜎𝜎_𝑥𝑥=0).

𝜎𝜎𝑥𝑥 = 0( tidak ada tegangan terhadap sumbu x )

𝜎𝜎𝑦𝑦=𝑀𝑀_𝐼𝐼𝑥𝑥 𝑐𝑐

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦= 𝑉𝑉_𝐴𝐴

Dimana :

M= momen bending

C= jari-jari terluar pipa

I= Momen inersia penampang

V= Gaya Geser

A= Luas penampang

Sehingga akan diperoleh persamaan untuk tegangan lentur pada sistem penumpu

yaitu :

𝜎𝜎1,2 =�

𝜎𝜎𝑥𝑥 +𝜎𝜎𝑦𝑦

2 �±��

𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦

2 �

2

𝜎𝜎1,2 =

𝜎𝜎𝑦𝑦 2 ±��

𝜎𝜎𝑦𝑦 2�

2

+𝜏𝜏_{𝑥𝑥𝑦𝑦}2

𝜎𝜎1 =

𝜎𝜎𝑦𝑦 2 +��

𝜎𝜎𝑦𝑦 2�

2

+𝜏𝜏_{𝑥𝑥𝑦𝑦}2

𝜎𝜎2 =

𝜎𝜎𝑦𝑦 2 − ��

𝜎𝜎𝑦𝑦 2�

2