MODUL 12
FUNGSI ALIH DAN PERSAMAAN KEADAAN DENGAN
TRANSFORMASI Z
12.1. Sistem waktu Diskrit
Sistem waktu diskrit atau sistem data tercacah adalah sistem dinamik dimana satu atau lebih variabel-variabelnya hanya dapat berubah pada saat-saat diskrit. Saat-saat diskrit ini biasanya dinyatakan dengan kT ( k = 0,1,2,… ) dan T merupakan periode cacah, yakni waktu dimana pengukuran fisis dilakukan atau saat memori dalam komputer digital dibaca dan sebagainya. Bentuk sinyal keluaran dari sistem ini adalah berupa data tercacah (sampled-data).[4]
Dibawah ini, diperlihatkan diagram blok pada sistem kendali digital yang menerapkan sistem waktu diskrit atau sistem data tercacah.
Dalam hal ini, peranan transformasi z dalam sistem waktu diskrit adalah untuk menganalisis sistem waktu diskrit linier parameter konstan sama seperti halnya transformasi Laplace yang dipergunakan untuk menganalisis sistem kontinyu linier.
Analisis system waktu diskrit dapat dilakukan secara mudah dengan dua pendekatan:
a. Dengan pendekatan metode transformasi-z b. Dengan pendekatan ruang keadaan
Dibawah ini dijelaskan dasar-dasar dari metode transformasi-z dan ruang keadaan
+
-
A / D
K o m p u t e r
d i g i t a l
D / A
K e n d a lia n
S e n s o r
A n t a r m u k a A n t a r m u k a e ( t ) e ( k T ) m ( k T )
12.2. Transformasi-Z dari Suatu Barisan Bilangan x(k)
Transformasi –z dari suatu barisan bilangan x(k) didefinisikan sebagai suatu deret pangkat dalam z-k dengan koefisien-koefisien sama dengan nilai x(k). Transformasi ini biasanya dituliskan dalam bentuk: [2a]
...
dimana [.] menyatakan transformasi –z. Persamaan diatas dapat dituliskan kembali sebagai bentuk: [2a]
12.3. Persamaan Differensial dengan Metode Transformasi Z
Pada sistem diskrit yang linier time-invariant, persamaan differensialnya dapat juga diselesaikan dengan metode transformasi z. Berikut ini, di asumsikan bahwa barisan masukan x(k) diketahui: [6]
) menerapkan transformasi Z pada setiap suku yang terdapat pada persamaan tersebut diatas, maka persamaan akan dapat di tuliskan kembali dalam bentuk:
)
atau dapat dituliskan sebagai:[6]
n
12.4. Transformasi Z Invers
Untuk mencari transformasi z invers, kita anggap bahwa deret waktu x (kT) atau x(k) adalah nol untuk k< 0. Seperti terlihat pada persamaan berikut, pencarian transformasi z invers adalah dengan menguraikan X(z) menjadi suatu deret pangkat tak terhingga.
12.5. Fungsi Alih dengan transformasi Z
Fungsi alih dengan transformasi –z (G(z)) dikenal sebagai fungsi alih pulsa (pulse transfer function) dan merupakan fungsi alih antara masukan tercuplik dan fungsi keluaran pada saat pencuplikan. Di perlihatkan pada diagram blok berikut ini.
G p ( s )
R ( s )
R * ( s )
1 - e
- T sC ( s )
s
d a t a h o ld
Gambar 12-2 Diagram blok fungsi alih dengan data yang dicuplik
Pada blok diagram diatas fungsi alih proses adalah Gp(s). Sedangkan, masukan dan keluaran fungsi alih tersebut masing-masing adalah R(s) dan C(s). Seperti yang diperlihatkan pada blok diagram tersebut bahwa secara umum fungsi alih data hold akan selalu di kombinasikan dengan fungsi alih proses yang merupakan bagian dari suatu sistem yang mengikuti data hold.
Tujuan dari suatu data hold adalah untuk melakukan rekonstruksi dari pencuplikan ideal ke bentuk pendekatan tertentu dari suatu sinyal masukan tercuplik, juga untuk mengurangi hilangnya informasi dari sinyal sebenarnya pada saat proses pencuplikan terjadi.
A m p i t u d o
t
0 T 2 T 3 T 4 T 5 T
m a s u k a n k e
p e n c u p l i k e * ( t ) k e l u a r a n d a r i d a t ah o l d
Gambar 12-3 Keluaran dan masukan dari pencuplikan
12.5.1. Fungsi Alih dengan Lup Terbuka
1
s + m
R (s )
R *(s )
1
C (s )
s + n
Gambar 12-4a
Blok diagram diatas merupakan sistem waktu diskrit dengan satu pencacahan, pencuplikan atau pencacahan terjadi jika G1(s) dan G2(s) telah dikalikan terlebih dahulu. Atau dengan kata lain fungsi alih data hold diletakkan setelah G1(s).G2(s).
Fungi alih dari blok diagram diatas dapat dicari sebagai berikut:
) ( ). ( )
( ) (
2 1 s G s G
s R
s C
) 1
)( 1
)( (
) (
) (
) (
1 1
) (
) (
) ( . ) (
) (
1 1
1 2
1
z e z
e n m
z e e
z R
z C
m s n s z
R z C
z G G z R
z C
mT nT
mT nT
b. Fungsi alih kedua
1
s+ n
1
s+ m
R (s)
R *(s)
B (s) B *(s)
C (s)
Gambar 12-4b
Blok diagram diatas merupakan sistem waktu diskrit dengan dua pencacahan, pencuplikan atau pencacahan terjadi pada masing-masing G1(s) dan G2(s). Atau dengan kata lain fungsi alih G1(s) dan G2(s) , keduanya mengandung fungsi alih data hold .
Fungi alih dari blok diagram diatas dapat dicari sebagai berikut:
) ( ). ( )
( ) (
2 1 z G z G
z R
z C
) )(
( ) (
) (
1 1
) (
) (
2
mT
nT z e
e z
z z
R z C
m s Z n s z
R z C
Dari dua bentuk fungsi alih pulsa yang telah diuraikan di atas maka dapat
dinyatakan bahwa G1G2(z) G1(z)G2(z)
12.5.2. Fungsi Alih dengan Lup Tertutup
G (s )
R (s )
+
-
C (s )
H (s )
e (s )
e *(s )
Gambar 12-5 Fungsi alih pulsa dengan lup tertutup
Blok diagram diatas merupakan sistem waktu diskrit yang mempunyai satu pencacahan dengan lup tertutup.
Seperti halnya fungsi alih Laplace dalam sistem kontinyu, maka fungsi alih pulsa untuk blok diagram di atas dapat dinyatakan dengan:
) ( 1
) ( )
( ) (
z GH
z G z
R z C
Konfigurasi selanjutnya dari sistem waktu diskrit lup tertutup dan keluarannya, bisa dilihat pada buku [8].
Contoh
1 -e
-s T sR ( s )
+
-
e (s )
e * (s )
s (s + 1 )
1
C ( s )
d a ta h o ld
Penyelesaian:
Fungsi alih pulsa system lup tertutup tersebut adalah:
) Selanjutnya, karena T=1, diperoleh kT = k dan g(k)= (k-1+e-k)-(k-2+e-(k-1))=e-k+1-e-(k-1) (k= 1, 2,3,…) g(0)=0
Dengan demikian G(z) diperoleh sebagai:
368
dengan masukan fungsi tangga satuan (unit step)
1
R , selanjutnya keluaran
C(z) yang diperoleh adalah:
...
dengan demikian, transformasi z invers dari C(z) akan memberikan nilai: C(0)=0
C(5)=1,147 C(6)=0,8125
12.6. Persamaan Keadaan dengan Transformasi Z
Seperti halnya dengan model persamaan keadaan pada sistem kontinyu standar dari persamaan keadaan dengan transformasi z dapat dituliskan dalam bentuk:
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) 1 (
k Du k Cx k y
k Hu k Gx k
x
dimana:
G = matriks sistem (nxn) H = matriks masukan ( nxr) C = matriks keluaran (pxn)
D = merepresentasikan hubungan langsung antara masukan dan keluaran (pxr)
x(k+1)= turunan dari vektor x(k)
x(k) = vektor keadaan (nx1), tersusun dari sistem orde-n
u(k) = vektor masukan (rx1), tersusun dari fungsi-fungsi masukan sistem y(k) = vektor keluaran (px1), terbentuk dari keluaran yang ditentukan
12.6. Penyelesaian Persamaan Keadaan dengan Transformasi Z
Dibawah ini, dituliskan beberapa contoh penyelesaian persamaan keadaan dengan transformasi z dalam sistem waktu diskrit .
Contoh -1:
Suatu fungsi alih sistem diskrit dinyatakan sebagai berikut:
2 3 )
( 2
z z
z z
G
Carilah nilai persamaan variable keadaan dari fungsi alih transformasi Z tersebut !
Penyelesaian
Persamaan fungsi alih transformasi Z yang dituliskan dalam bentuk:
2 3 )
( 2
z z
z z
)
Selanjutnya, persamaan variable masukannya adalah:
)
sedangkan persamaan variable keuarannya adalah sebagai berikut:
Contoh -2:
Dari Persamaan variable keadaan sistem diskrit yang dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:
Tentukan persamaan fungsi alih transformasi Z !
2
3
)
(
1
0
.
2
3
2
3
2
3
1
2
3
3
1
0
)
(
.
]
.[
)
(
2
2 2
2 2
1
