Solusi Persamaan Diferensial Biasa (Bagian 2)

Solusi Persamaan Diferensial Biasa

(Bag. 2)

Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus

Informatika I

Metode

Predictor-Corrector

•

Metode Heun adalah salah satu metode

predictor-corrector

(P-C)satu-langkah (one-step).

•

Metode satu-langkah

(

one-step

): untuk menaksir

nilai

y

(

x

_r

_r

₊₁

₊₁

) dibutuhkan satu buah taksiran nilai

sebelumnya,

y

(

x

_r

).

•

Terdapat metode P-C yang multi-langkah (

multi-step

).

•

Metode banyak-langkah

(

multi-step

): perkiraan nilai

•

Metode P-C multi-langkah:

predictor

: Menaksir

y

_r

₊₁

dari

y

_r

,

y

_r

_-1

,

y

_r

_-2

,...

corrector

: Memperbaiki nilai

y

_r

₊₁

dari

predictor

•

Metode P-C yang banyak ditulis dalam literatur dan

kita bahas di sini adalah:

1. Metode Adams-Bashforth-Moulton.

2. Metode Milne-Simpson

Metode Adams-Bashforth-Moulton

•

predictor

:

y

*

r

+1

=

y

r

+

h

/

24

( -9

f

r

-3

+ 37

f

r

-2

-59

f

r

-1

+ 55

f

r

)

•

corrector

:

y

r

+1

=

y

r

+

h

/

24

(

f

r

-2

- 5

f

r

-1

+ 19

f

r

+ 9

f

*

r

+1

)

•

Galat per langkah metode Adams-Bashforth-Moulton

adalah dalam orde

O

(

h

5

), yaitu:

adalah dalam orde

O

(

h

5

), yaitu:

predictor

:

E

_p

=

Y

_r

₊₁

-

y

*

_r

₊₁

≈

251

/

720

h

5

y

(5)

(

t

)

,

x

r

-3

<

t

<

x

r

+1

corrector

:

E

_p

=

Y

_r

₊₁

-

y

_r

₊₁

≈

-19

/

720

h

5

y

(5)

(

t

)

,

x

r

-3

<

t

<

x

r

+1

•

Galat longgokan adalah dalam orde

O

(

h

4

). Karena itu, metode

Metode Milne-Simpson

•

predictor

:

y

*

r+1

=

y

r

-3

+

4

h

/

3

(2

f

r

-2

-

f

r

-1

+ 2

f

r

)

•

corrector

:

y

r

+1

=

y

r

-1

+

h

/

3

(

f

r

-1

+ 4

f

r

+

f

r

+1

)

•

Galat per langkahnya adalah dalam orde

O

(

h

5

), yaitu:

•

Galat per langkahnya adalah dalam orde

O

(

h

5

), yaitu:

predictor

:

E

p

=

Y

r+1

-

y

*

r+1

≈

90

28

h

5

y

(5)

(

t

)

corrector

:

E

p

=

Y

r+1

-

y

r+1

≈

90

1

h

5

−

Metode Hamming

predictor

:

y

*

r

+1

=

y

r

-3

+

4

h

/

3

(2

f

r

-2

-

f

r

-1

+ 2

f

r

)

corrector

:

y

r

+1

=

8

2

−

−

r

y

+

8

9

y

_r

+

8

3

h

Prosedur Pendahuluan

•

PDB hanya mempunyai satu nilai awal, yaitu

y

0

=

y

(

x

₀

).

•

Dengan demikian, metode banyak-langkah tidak

swa-•

Dengan demikian, metode banyak-langkah tidak

swa-mulai (

self-start

), sehingga tidak dapat diterapkan

langsung, sebab metode tersebut memerlukan

beberapa buah nilai awal.

•

Misalkan

predictor

mempunyai persamaan

y

*

_r

₊₁

=

y

_r

+

h

_/

12

(23

f

r

- 16

f

r

-1

+ 5

f

r

-2

)

•

Untuk menghitung

y

*

3

, kita harus mempunyai nilai

y

0

,

y

1

, dan

y

2

agar nilai

f

₀

=

f

(

x

₀

,

y

₀

) ,

f

₁

=

f

(

x

₁

,

y

₁

) ,

f

₂

=

f

(

x

₂

,

y

₂

)

dapat ditentukan.

Untuk mendapatkan beberapa nilai awal yang lain, kita harus

•

Untuk mendapatkan beberapa nilai awal yang lain, kita harus

melakukan prosedur pendahuluan (

starting procedure

) dengan

metode PDB yang bebas (biasanya metode Euler, metode

Runge-Kutta)

•

Jadi, untuk contoh

predictor

di atas,

y

1

dan

y

2

dihitung terlebih

Sistem Persamaan Diferensial

•

Dalam bidang sains dan rekayasa, persamaan diferensial

banyak muncul dalam bentuk simultan, yang dinamakan

sistem persamaan diferensial

, sebagai berikut

dy

y

'

₁

=

dx

dy

₁

=

f

₁

(

x

,

y

₁

,

y

₂

,…,

y

n

)

,

y

1

(

x

0

) =

y

10

y

'

2

=

dx

dy

₂

=

f

2

(

x

,

y

1

,

y

2

,…,

y

n

)

,

y

2

(

x

0

) =

y

20

y

'

n

=

dx

dy

_n

•

Sistem persamaan diferensial tersebut dapat ditulis

dalam notasi vektor sebagai berikut:

y

' =

f

(

x

,

y

) ,

y

(

x

₀

) =

y

₀

y

₁

y

'

1

f

1

y

₁₀

y

₂

y

'

2

f

2

y

2₀

y

=

. ,

y

' = . ,

f

= . ,

y

00

= .

.

.

.

.

.

.

.

.

y

n

y

'

n

f

n

y

_n0

•

Contoh

: Diketahui sistem PDB orde satu:

dt

dy

= -0.5

y

,

y

(0) = 4

dt

dz

= 4 - 0.3

z

- 0.1

y

,

z

(0) = 6

(b)

Dengan metode Runge-Kutta orde-3,

k

₁

=

hf

(

t

_r

,

y

_r

),

k

2

=

hf

(

t

r

+

h

/2,

y

r

+

k

1

/2)

k

₂

=

hf

(

t

_r

+

h

,

y

_r

-

k

₁

+ 2

k

₂

)

y

_r+1

=

y

_r

+ (1/6)(

k

₁

+ 4

k

₂

+

k

₃

)

t

₀

= 0

→

y

₀

= 4

t

₁

= 0.5

→

y

₁

= ?

k

₁

=

hf

₁

(

t

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

k

₁

=

hf

₁

(

t

₀

,

y

₀

,

z

₀

)

= 0.5 {(-0.5)(4)} = -1

k

₂

=

hf

₁

(

t

₀

+

h

/2,

y

₀

+

k

₁

/2,

z

₀

+

k

₁

/2)

= (0.5)f

1

(0.25, 3.5, 5.5)

= (0.5){(-0.5)(3.5)}

= -0.875

k

₃

=

hf

₁

(

t

₀

+

h

,

y

₀

-

k

₁

+ 2

k

₂

,

z

₀

-

k

₁

+ 2

k

₂

)

= 0.5 f

1

(0.5, 3.25, 6.815)

sehingga

y

₁

=

y

(0.5) =

y

₀

+

1

/

6

(

k

1

+ 4

k

2

+

k

3

)

= 4 +

1/6

{-1 + 4(-0.875) + (-0.8125)}

= 3.114583

t

₀

= 0

→

z

₀

= 6

t

1

= 0.5

→

z

1

= ?

k

1

=

hf

2

(

t

0

,

y

0

,

z

0

)

= 0.5 {4 - (0.3)(6) - (0.1)(4)} = 0.9

k

2

=

hf

2

(

t

0

+

h

/2,

y

0

+

k

1

/2,

z

0

+

k

1

/2)

= (0.5) f

2

(0.25, 4.45, 6.45)

= (0.5){4 - (0.3)(6.45) - (0.1)(4.45)}

= 0.81

k

3

=

hf

2

(

t

0

+

h

,

y

0

-

k

1

+ 2

k

2

,

z

0

-

k

1

+ 2

k

2

)

= 0.5 f

2

(0.5, 4.72, 6.72)

= 0.5{4 - (0.3)(6.72) - (0.1)(4.72)}

= 0.756

sehingga

Persamaan Diferensial Orde Lanjut

•

Persamaan differensial orde lanjut adalah persaman diferensial dengan

orde yang lebih besar dari satu.

•

Persamaan diferensial ini dapat ditulis kembali sebagai sistem persamaan

diferensial orde-1.

•

Misalkan kepada kita diberikan PDB orde-2

•

Misalkan kepada kita diberikan PDB orde-2

y

" =

f

(

x

,

y

,

y

')

;

y

(

x

₀

) =

y

₀

dan

y

'(

x

₀

) =

z

₀

•

•

Untuk mengubah PDB orde-2 tersebut menjadi sistem PDB orde-1,

misalkan

y

' =

z

maka

•

Contoh

: Nyatakan PDB orde-2 berikut:

y

" - 3

y

' - 2

y

= 0 ;

y

(0) = 1 dan

y

'(0) = 0.5

ke dalam sistem persamaan diferensial biasa orde-1.

Penyelesaian:

Diketahui PDB orde-2:

y

" = 3

y

' - 2

y

=

f

(

x

,

y

,

y

')

Misalkan

Misalkan

y

' =

z

maka

z

' =

y

" =

f

(

x

,

y

,

y

') =

f

(

x

,

y

,

z

) = 3

z

- 2

y

dan

y

(0) = 1,

Contoh

: Nyatakan PDB orde-3 berikut:

y

"' -

x

+

y

2 -

y

' + 3

y

" = 0

;

y

(0) = 0;

y

'(0) = 0.5,

y

"(0) = 1

ke dalam sistem persamaan diferensial biasa orde-1.

Penyelesaian:

y

"' =

x

-

y

2 +

y

' - 3

y

" =

f

(

x

,

y

,

y

',

y

")

Misalkan

y

' =

z

dan

dan

y

" =

z

' =

t

maka

t

' =

y

"' =

f

(

x

,

y

,

y

',

y

") =

f

(

x

,

y

,

z

,

t

) =

x

-

y

2

+

z

- 3

t

dan

y

(0) = 0,

z

(0) = 0.5,