RISET OPERASIONAL 1 RISET OPERASI

(1)

RISET OPERASIONAL 1

RISET OPERASI

TIM DOSEN RISET OPERASI

UNIVERSITAS GUNADARMA

SEPTEMBER 2013

(2)

BAB 10.

TEORI PERMAINAN

(3)

Teori Permainan

Oleh:

(4)

Teori Permainan (GAME THEORY)



_{Suatu pendekatan matematis untuk}

merumuskan situasi persaingan dan

konfik antara berbagai kepentingan



_{Asumsi : Setiap pemain (individu atau}

(5)

Teori permainan (Cont’)

• _{Model dalam teori permainan}

diklasifkasikan berdasarkan jumlah

pemain, besarnya keuntungan dan

kerugian, dan jumlah strategi.

• _{Berdasarkan jumlah pemain :}

(6)

Model Permainan



_{Berdasarkan besarnya}

keuntungan/kerugian :

1.Model permainan jumlah nol (zero-sum

game)

2.Model permainan jumlah konstan

(constant-sum game)

3.Model permainan bukan jumlah nol (Non

zero-sum game)

(7)

Elemen permainan

• Pemain: intelligent opponents (pesaing atau musuh)

• _{Strategi: pilihan apa yang harus dilakukan untuk}

mengalahkan lawan

• _{Hasil keluaran= Payofs: fungsi dari strategi yang}

berbeda untuk setiap pemain

• Payof Matrix: Tabel (hasil perolehan dari pemain baris)

• _{Aturan: bagaimana mengalokasikan hasil kepada}

(8)

The Game: Contoh

• _{Dua Pemain: Pemain A (baris) dan Pemain B}

(kolom)

• _{Melempar koin seimbang}

• _{Hasil yang mungkin: Head (H) dan Tail (T)} • _Aturan:

• Jika hasil pertandingan match(pemain A memilih H dan hasilnya juga H atau pemain A pilih T dan hasil

juga T), maka Pemain A mendapatkan $ 1 dari pemain B;

(9)

The Game: Matrix Payof

Strategi setiap pemain: H atau T

Sebuah Solusi Optimal dikatakan tercapai apabila

(10)

Solusi optimal

• _{optimal dapat dicapai jika pemain memilih untuk}

menerapkan:

• _{Strategi Murni (misal: pilih H atau T)}

(11)

Two-Person Zero-Sum Game

• _{Sebuah game atau permainan dengan dua}

pemain

• _{Sebuah keuntungan dari satu pemain sama}

dengan kerugian yang lain

• _{Pemain yang difokuskan = pemain baris (Pemain}

A)

• _{Seorang pemain memaksimalkan keuntungan}

minimum nya (mengapa?)

• _{Pemain B meminimalkan kerugian maksimum nya}

(mengapa?)

• _{Solusi optimal diperoleh dengan kriteria}

Minimax-Maximin

• _{Solusi optimal mencerminkan bahwa permainan}

(12)

(13)

Two-Person Zero-Sum Game with

Saddle Point

• _{Seorang pemain (baris): Nilai Maximin = nilai}

terendah dari permainan

• _{Pemain B (kolom): Nilai Minimax = Nilai tertinggi}

dari permainan

(14)

Two-Person Zero-Sum Game

dengan Saddle Point

• _{Saddle point menyebabkan Solusi Optimal}

(15)

umumnya

• _{Untuk menjaga "optimalitas" dari permainan:}

• _{nilai maksimin}__{nilai permainan} _ _{nilai minimax}

OR

(16)

Strategi campuran

• _{Digunakan untuk memecahkan}

permainan yang tidak memiliki

Saddle Point

• _{Solusi optimal diperoleh dengan}

menggunakan:

• _{Solusi grafs untuk matrik payof (2 X N)}

dan (M X 2)

(17)

(18)

2 _

N game

• ₂__{N game:}

– _{Pemain A memiliki 2 strategi}

– _{Pemain B memiliki N (}__{2) strategi}

B

y

₁

y

₂

… y

_n

A

x

1

a

11

a

12

… a

1n

(19)

2 _

N game

Strategi murni B

Ekspektasi Payoff A

1 (a

₁₁

– a

₂₁

)x

₁

+ a

₂₁

2 (a

₁₂

– a

₂₂

)x

₁

+ a

₂₂

…

(20)

2 _

N game: contoh

B

y

₁

y

₂

y

₃

(22)

(23)

1

+ 6 = –

7

/

2

+ 6 =

5

/

2

(24)

Solusi optimal untuk pemain B

• _{Kombinasi (2), (3) dan (4):}

• (2,3)  y1 dan y4 = 0, y3 = y2 –1 (y2* = y3*)

• (2,4)  y1 dan y3 = 0, y4 = y2 –1 (y2* = y4*)

(25)

Solusi optimal untuk pemain B

Strategi murni B

Ekspektasi Payoff A

(26)

Solusi optimal untuk pemain B

Strategi murni B

Ekspektasi Payoff A

(27)

Solusi optimal untuk Pemain B

Strategy Murni A

Ekspektasi Payoff B

(28)

M

_

2 game

• _M__{2 game:}

– _{Pemain A mempunyai M (}__{2) strategi} – _{Pemain B mempunyai 2 strategi}

(29)

M

_

2 game

Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B

1 (a

₁₁

– a

₁₂

)y

₁

+ a

₁₂

2 (a

₂₁

– a

₂₂

)y

₁

+ a

₂₂

…

(30)

M

_

2 game: contoh

B

y

₁

y

₂

A

x

₁

2

4 x

₂

3

2

(31)

M

_

2 game

Strategy Murni A

Ekspektasi Payoff B

1 – 2 y

₁

+ 4

2 y

₁

+ 2

3 – 8 y

₁

+ 6

(32)

(33)

Solusi Optimum untuk Pemain B

• _{Intersep di antara baris (1) dan (3)}

(y1* = 1/3, y3*= 1/3)

(1) – 2y1 + 4 = – 2/3 + 4 = 10/3

(3) – 8y1 + 6 = – 8/3 + 6 = 10/3

• _{Pemain B dapat mengkombinasikan 2 macam}

strategi

• _{Pemain B rugi =}10/3

(34)

Solusi Optimum untuk pemain A

• _{kombinasi (1) dan (3):}

(35)

Solusi Optimum untuk pemain A

Strategi murni A Expektasi Payoff A

(36)

M

• _{K> negatif dari nilai maksimin}

(39)

M

_

N Games: Simplex

• _{Jika K adalah digunakan dlm tabel ,}

v* = 1/w – K

• _{z = w}

(40)

(41)

(42)

A

Sesuai dengan

:

2Y

₁

+ 8Y

₂

+ 4Y

₃

_

1 1Y

₁

+ 2Y

₂

+ 8Y

₃

_

= 1

₁

, Y

₂

,Y

₃

_

0

(44)

Basic Y

₁

Y

₂

Y

₃

S

₁

S

₂

S

₃

Solution

w

-1

0

0 S

₁

8

4

2

1

0

1 S

₂

2

8

4

0

1

0

1

(45)

Basic Y

₁

Y

₂

Y

₃

S

₁

11/96

Y

₃

0

1 -1/98

-3/98

1/7

5/49

(46)

Solusi optimal untuk B

• _{w = 45/196}

• _{v* = 1/w – K = 196/45 – 225/45 = –29/45}

• y1* = Y1/w = (1/14)/(45/196) = 14/45

• y

2

* = Y

2

/w = (11/196)/(45/196) = 11/45

(47)

Solusi untuk A



_{z = w = 45/196}



_X

₁

_{= 5/49}



_X

₂

_{= 11/196}



_X

₃

_{= 1/14}



_x

₁

_{* = X}

₁

_{/z = (5/49)/(45/196) = 20/45}

(48)

Hamdy A Taha, Operation Research an

Introduction, edisi 8, Macmillan, New york

(49)