Mengevaluasi Pernyataan dengan Tabel Kebenaran

Mengevaluasi

Pernyataan dengan

Tabel Kebenaran

Membuat Tabel

Kebenaran

dan

Membuat Tabel

Kebenaran

Empat langkah sederhana dalam membuat tabel kebenaran :

1.

Mengatur baris atas tabel dengan masing-masing konstant

dikiri dan pernyataan disebelah kanan,

2.

Menentukan baris tambahan sesuai dengan kebutuhan

pengisian tabel,

3.

Mengatur kolom konstan dengan setiap kemungkinan nilai

kebenaran,

Mengenal Operator

Perangkai/ Operator Simbol

Dan (and)

Atau (or)

•

DAN

Bernilai benar (T) jika kedua pernyataannya bersifat benar

(T).

•

ATAU

Bernilai salah (F) jika kedua pernyataannya bersifat salah

(F).

•

TIDAK/ BUKAN

Berkebalikan. Contoh :

P

~ P

T

F

•

JIKA ... MAKA

Bernilai salah (F) jika pernyataan pertama bersifat benar (T)

dan pernyataan kedua bersifat salah (F).

•

JIKA DAN HANYA JIKA

P Q P ↔ Q

T T T

T F F

F T F

Mengenal Tautologi,

Kontradiksi dan

Tautologi

•

Suatu tautologi adalah pernyataan yang

selalu benar, terlepas dari nilai-nilai

kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh,

Buktikan

: apakah (A v ~A) adalah

tautologi?

Bukti

: buatlah tabel kebenarannya

Jadi (A ~A) adalah tautologi.

A ~A A ~A

F T T

Kontradiksi

•

Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang

selalu salah, terlepas dari nilai-nilai

kebenaran dari konstanta. Sebagai contoh,

Buktikan

: apakah (A & ~A ) adalah

kontradiksi?

Bukti

: buatlah tabel kebenarannya

Jadi (A & ~A) adalah kontradiksi.

A ~ A A & ~A

F T F

Kontingen

•

Sebuah pernyataan kontingen adalah

suatu ekspresi logika yang

mempunyai nilai benar dan salah di

dalam tabel kebenarannya. Sebagai

contoh,

Buktikan : ((A & B) → C)→ A adalah kontingen

Bukti : buat tabel kebenarannya

A B C A & B ((A & B) → C) ((A & B) → C)→ A F F F F T F

Mengenal Simantik

Semantik Kesetaraan

Dikatakan setara, jika kedua pernyataan

bernilai sama pada nilai kebenaran suatu

baris.

Sebagai contoh:

~P v Q

P → Q

Pertanyaan:

P

Q (P → Q) (~ P ν Q)

T T T F F T F F

untuk mengevaluasi kebenaran

langkah pertama

untuk mengisi

tabel adalah dengan menyalin nilai

dari setiap konstan ke kolom yang

tepat :

P Q

(P → Q) (~ P ν Q)

T T T T T T

T F T F T F

F T F T F T

kedua

, menangani berbagai

~operator yang berlaku langsung

pada yang konstan.

P Q

(P → Q) (~ P ν Q)

T T T T F T T

T

F T F F T F

F

T F T T F T

F

ketiga

, menyelesaikan

evaluasi pada kedua

pernyataan secara terpisah.

P Q (P → Q) (~ P ν Q)

T T T T T F T T T

T F T F F F T F F

F T F T T T F T T

Konsistensi

Keadaan konsisten terjadi ketika satu

set pernyataan menghasilkan nilai

kebenaran yang sama. Sebagai contoh

kalimat pernyataan di bawah ini:

P v ~Q

P → Q

untuk

mengevaluasi

pernyataan di atas kita lihat

tabel kebenaran berikut

P

Q (P ν ~ Q) (P → Q) (P

↔ _~ Q

)

T T T T F T

T F T T T F

F T F F F T — — — — — — —

dan kita lihat pada tabel berikut ini,

dengan pengulangan prosesnya dari

dua pernyataan memberikan hasil

sebagai berikut:

Jika setiap baris tebel kebenaran setidaknya memiliki satu pernyataan

yang kita lihat sabagai pernyataanya tidak benar (palsu), maka

pernyataanya tidak konsisten. Maka terbukti, pernyataan ini tidak

konisten.

P Q ( P ν ~ Q ) ( P → Q ) ( P

↔ _~ Q

)

T T T T F T T T T T F F T

T F T T T F T F F — — — —

F T F F F T — — — — — — —

Validitas

Disetiap baris dimana semua pernyataan

bernilai benar dan kesimpulannyapun

bernilai benar. Kita lihat contoh di bawah

ini:

P & Q

R → ~ P

berikut ini tabel kebenaran

yang perlu disiapkan untuk

mengevaluasi pernyataan di

atas :

_{P Q}

R P( Λ Q) (R → ~ P) (~ Q ↔ R)

T T T T T

F T F

T T F

F F T

T F T

F F F

T F F

pada bagian “tetap konsisten” kita dapat melihat

pernyataan sebelumnya dan bisa melihat

pernyataan selanjutnya, dan berikut tabel

pernyataan pertama yang telah di tentukan:

P Q

R P( Λ Q) R( → ~ P) (~ Q ↔ R)

T T

T T T T

T T

F T T T

T F

T T F F — — — — — — — —

T F F T F F — — — — — — — —

F T

T F F T — — — — — — — —

F T F F F T — — — — — — — —

F F T F F F — — — — — — — —

berikut adalah hasil akhir dari

contoh di atas

P Q R (

P Λ Q) (R → ~ P) (~ Q ↔ R)

T T T T T T T F F T — — — —

T T F T T T F T F T F T T F

T F T T F F — — — — — — — —

T F F T F F — — — — — — — —

F T T F F T — — — — — — — —

F T F F F T — — — — — — — —

F F T F F F — — — — — — — —

Jika tidak ada baris kebenaran yang

pasti dan mengandung semua

premis dalam kesimpulan yang tidak

jelas kebenaranya (palsu), maka itu

argumen berlaku, dan jika tidak

sama dengan argumen maka

pernyataan tadi tidak sah.

Seperti

yang anda lihat, hasil konklusinya

adalah benar, dan premis-premis

sebelumnya bersifat benar.

Menghubungkan

Tautologi dan

Kontradiksi

Suatu pernyataan tautologi dapat di ubah

menjadi keadaan kontradiksi atau sebaliknya

(kontradiksi menjadi tautologi), yaitu dengan

menggunakan operator ~ (negasi). Oleh

karenanya tautologi dan kontradiksi memiliki

hubungan yang erat.

Sebagai contoh lihat pernyataan di bawah ini:

P → (~Q → (P & ~Q)), merupakan tautologi.

Kemudian kita rubah kedalam bentuk

kontradiksi

untuk mengevaluasi

pernyataan tersebut kita

gunakan tabel dibawah ini:

P Q

~ (P → (~

Q →

(P Λ ~Q)) )

T T

F T T T T T T T

T F F T T T T T F T

F T F F T F F F F F

Menghubungkan

Simantik Kesetaraan

dengan Tautologi

Dua simantik setara dapatdirubah menjadi

tautologi dengan menghubungkannya

menggunakan operator ↔ .

Misal terdepat dua pernyataan dalam simantik

setara

P → Q

~P → v Q

Kemudian dihubungkan dengan mengunakan

operator ↔, maka menjadi

(P → Q) ↔ (~P vQ)

untuk mengevaluasinya kita

lihat tabel berikut :

P Q (P → Q) ↔ (~ P ν Q)

T T T T T T F T T T

T F T F F T F T F F

F T F T T T T F T T

Menghubungkan

Inkonsisitensi dengan

Kontradiksi

Ketika menghubungkan pernyataan yang tidak

konsisten dalm suatu keadaan dengan menggunakan

operator &, maka pernyataan yang di hasilkan adalah

kontradiksi.

Contoh: Terdapat 3 pernyataan yang tidak konsisten

P v ~ Q

P → Q

P ↔ ~ Q

Kemudian di hubungkan dengan operator &, maka

menjadi :

untuk

mengevaluasi

pernyataan di atas kita lihat

tabel di bawah ini :

P

Q ((P ν ~ Q) Λ (P → Q)) Λ (P ↔ ~ Q)

T T T T F T T T T T F T F F T

T F T T T F F T F F F T T T F

F T F F F T F F T T F F T F T

Mengubungkan Validitas

dan Kontradiksi

Misal terdapat sebuah permasalahan

P → Q

Q → R

Dengan kesimpulan :

P → R

Karena pernyataan ini valid, maka

tidak mungkin keduanya adalah

untuk mengevaluasi pernytaan

di atas, lihatlah tabel di bawah

ini :

P→ Q Q→R P→ R

jika kesimpulan tersebut

dinegasi, maka tidak

satupun dari tabel

kebenaran terlihat seperti

ini :

P→ Q Q→R ~(P→R)

Maka

pernyataan

diatas

tak

satupun yang konsisten. Anda

dapat

juga

mengubah

set

pernyataan

tersebut

menjadi

kontradiksi

yang

dihubungkan

dengan menggunakan operator &.

Amatilah tabel dibawah ini :

(( P

→ Q) _Λ (Q → R)) _{Λ ~} (P → R)