Vol. No. Hal. 72 – 79 ISSN : 2303–2910
c
Jurusan Matematika FMIPA UNAND
BILANGAN
STRONG RAINBOW CONNECTION
UNTUK GRAF RODA DAN GRAF KUBIK
WITRI YULIANI
Program Studi Magister Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Limau Manis Padang, Sumatera Barat, Indonesia,
email : [email protected]
Abstrak.Misalkan G= (V(G), E(G)) adalah suatu graf terhubung taktrivial. Defin-isikan suatu pewarnaanc:E(G)→ {1,2,· · ·, k}, k∈N, dimana dua sisi yang berte-tangga boleh berwarna sama. Suatu lintasanu−vpath PdiGdinamakanrainbow path jika tidak terdapat dua sisi diPyang berwarna sama. GrafGdisebutrainbow connected jika setiap dua titik yang berbeda di G dihubungkan oleh rainbow path. Pewarnaan sisi yang menyebabkan G bersifatrainbow connected dikatakanrainbow coloring. Bi-langanRainbow connection dari graf terhubungG, ditulisrc(G), didefinisikan sebagai banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk membuat grafGbersifatrainbow con-nected. Misalkanc adalahrainbow coloring dari graf terhubungG. Untuk dua titiku danvdiG,rainbowu−vgeodesicpadaGadalahrainbowu−vpathyang panjangnya d(u, v) dimana d(u, v) adalah jarak antarau danv (panjangu−vpath terpendek di G. GrafGdikatakanstrongly rainbow connected jikaGmemiliki suaturainbow u−v geodesicuntuk setiap dua titikudanvdiG. Minimumkyang terdapat pada pewarnaan c sedemikian sehinggaGadalahstrongly rainbow connected dikatakan bilanganstrong rainbow connection,src(G), diG. Pada paper ini akan dikaji tentang bilanganstrong rainbow connectionuntuk graf Roda dan graf Kubik.
Kata Kunci: Bilangan Strong Rainbow Connection, graf Roda, graf Kubik
1. Pendahuluan
Konseprainbow connection suatu graf pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand, Johns, McKeon dan Zhang [3] pada tahun 2006. Misalkan G = (V(G), E(G)) adalah suatu graf terhubung taktrivial. Definisikan suatu pewarnaan c:E(G)→ {1,2,· · ·, k}, k∈N, dimana dua sisi yang bertetangga boleh berwarna sama. Suatu lintasanu−vpathP diGdinamakanrainbow pathjika tidak terdapat dua sisi diP
yang berwarna sama. Graf Gdisebut rainbow connected jika setiap dua titik yang berbeda diGdihubungkan olehrainbow path.
Pewarnaaan sisi yang menyebabkan G bersifat rainbow connected dikatakan rainbow coloring. Jelas jika G adalah rainbow connected, maka G terhubung. Se-baliknya, setiap graf terhubung memiliki pewarnaan sisi trivial sehingga G bersi-fat rainbow connected, yaitu setiap sisi diwarnai dengan warna berbeda. Bilangan Rainbow connection dari graf terhubung G, ditulis rc(G), didefinisikan sebagai banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk membuat graf G bersifat rain-bow connected. Suatu rainbow coloring yang menggunakan sebanyakrc(G) warna dikatakanminimum rainbow coloring.
Misalkancadalahrainbow coloringdari graf terhubungG. Untuk dua titikudan
v diG,rainbow u−v geodesicpadaGadalahrainbow u−v path yang panjangnya
d(u, v) dimanad(u, v) adalah jarak antaraudan v (panjangu−vpath terpendek di (G). GrafGdikatakanstrongly rainbow connected jikaGmemiliki suaturainbow
u−v geodesic untuk setiap dua titikudanv di G. Dalam kasus ini, pewarnaanc
dikatakanstrong rainbow coloring diG. Minimumkyang terdapat pada pewarnaan
c:E(G)→ {1,2,· · ·, k} sedemikian sehinggaGadalahstrongly rainbow connected dikatakan bilanganstrong rainbow connectionataustrong rainbow connection num-ber, src(G), di G. Suatu strong rainbow coloring di G yang menggunakan src(G) warna dikatakan minimum strong rainbow coloring diG. Jadi,rc(G)≤src(G) un-tuk setiap graf terhubung diG [3]. Selanjutnya, jikaGadalah graf terhubung tak trivial dengan ukuranmdandiam(G) = max{d(u, v)|u, v∈V(G)}, maka
diam(G)≤rc(G)≤src(G)≤m. (1.1)
Pada paper ini akan dikaji tentang bilanganstrong rainbow connection untuk graf Roda dan graf Kubik.
2. Beberapa Konsep dalam Rainbow Connection
Berikut disajikan kembali proposisi yang membahas tentang grafGdengan ukuran m yang mempunyai nilairc(G) dansrc(G) 1,2 danm.
Proposisi 2.1. [3]MisalkanGsuatu graf terhubung tak trivial berukuranm. Maka berlaku
(1) rc(G) =src(G) = 1jika dan hanya jikaGsuatu graf lengkap, (2) rc(G) = 2jika dan hanya jikasrc(G) = 2,
(3) rc(G) =src(G) =m jika dan hanya jikaGsuatu graf pohon.
Bukti.
(1) Jika pada graf lengkapGdiberikan 1 warna untuk tiap sisi-sisinya, maka untuk setiap dua titikudanvdiGterdapatrainbow 1-coloring yang juga merupakan
u−v geodesic. Jadi G merupakan rainbow 1-coloring dan strong rainbow 1-coloring sehinggarc(G) =src(G) = 1. Jikarc(G) =scr(G) = 1 tidak ada dua titik yang tidak bertetangga maka haruslahGmerupakan graf lengkap. (2) Jikarc(G) = 2, ini berartiGmemiliki suaturainbow 2-coloring yang
mengaki-batkan setiap dua titik yang tidak bertetangga dihubungkan oleh suaturainbow path dengan panjang 2, maka haruslah scr(G) ≥2. Karena lintasan tersebut merupakan geodesic, jadi tidak mungkin scr(G)> 2 maka src(G) = 2. Seba-liknya, asumsikansrc(G) = 2. berdasarkan (1) haruslahcr(G)≤2. karena G
bukan merupakan graf lengkap, sehinggarc(G) = 2.
(3) Andaikan G bukan graf pohon. Maka G memiliki suatu lingkaran C :
v1, v2,· · ·, vk, v1 dimana k ≥ 3. Maka (m−1)−coloring terhadap sisi-sisi
adalah graf pohon dengan ukuranm. Asumsikan bahwa rc(G)≤m−1. Mis-alkan c adalah suatu minimum rainbow coloring di G. Maka terdapat sisi e
danf sehinggac(e) =c(f). Asumsikan tanpa mengurangi perumuman, bahwa
e=uvdanf =xy, danGmemiliki suatuu−ypath u, v,· · ·, x, y. Maka tidak terdapatrainbow u−y path di G, kontradiksi denganG mempunyai rainbow coloring. Jadi, haruslahGadalah graf pohon berukuranm.
Proposisi 2.2. [3] Misalkan Cn adalah graf lingkaran dengan banyak titik n,
di-manan≥4 maka rc(Cn) =src(Cn) =⌈ n
2⌉.
Bukti. Misalkan terdapat graf lingkaranCn, dimana
V(Cn) ={v1, v2,· · ·, vn, v1},
E(Cn) ={vivi+1|1≤i≤n} ∪ {v1vn}.
Pandang dua kasus berikut. Kasus 1. ngenap.
Misalkann= 2kuntuk bilangan bulatk≥2 maka jelas bahwa
src(Cn)≥rc(Cn)≥diam(Cn) =k.
Selanjutnya, konstruksikan pewarnaan sisic dariCn sebagai berikut.
c(ei) =
i, untuk 1≤i≤k;
i−k,untukk+ 1≤i≤n.
Berdasarkan pertidaksamaan 1.1, berlaku rc(Cn) ≤ src(Cn) ≤ k, sehingga
rc(Cn) =src(Cn) =k.
Kasus 2. nganjil.
Misalkan n= 2k+ 1 untuk bilangan bulatk≥2. Konstruksikan pewarnaan sisi f
dariCn dengan
f(ei) =
i, untuk 1≤i≤k+ 1;
i−k−1,untukk+ 2≤i≤n.
Karenaf adalahstrong rainbow (k+ 1)-coloring dariCnmakarc(Cn)≤src(Cn)≤
k+ 1. Karena rc(Cn) ≥ diam(Cn) = k maka rc(Cn) = k atau rc(Cn) = k+ 1.
Selanjutnya, klaim bahwa rc(Cn) = k+ 1. Andaikan rc(Cn) = k. Misalkan f′
adalah suatu rainbow k-coloring dariCn. Selanjutnya, misalkan P adalah lintasan
dariukevpadaCn. MakaP adalah lintasanu-v geodesicdiCn, sehinggaP adalah
rainbow path, sementarau-v pathlainnya diCnbukanrainbow path karena memiliki
panjangk+ 1.
Tanpa mengurangi perumuman, misalkanf′(vk
+1vk+2) =k. Pandang titik-titik
v1, vk+2 dan vk+2. Karena lintasan v1−vk+1 geodesic P : v1, v2,· · ·, vk+1 adalah rainbow pathdan lintasanv1−vk+2geodesic,Q:v1, vn,· · ·vn−1, vk+2adalahrainbow path, maka beberapa sisi di P dan Q dapat diwarnai dengan warna k. Karena
v2−vk+2geodesic,v2, v3,· · ·, vk+2adalahrainbow pathmakaf′(v1v2) =k. Dengan cara yang sama, vn−vk+1 geodesic, vn, vn−1, vn−2· · ·vk+1 sehingga f′(vnv1) =k diperolehf′(v
G. Ini kontradiksi denganf′adalah suaturainbow k-coloringdariCn. Jadi, haruslah
rc(Cn) =src(Cn) =k+ 1.
Proposisi 2.3. [3] Untuk n≥3, bilangan rainbow connection dari graf roda (Wn)
adalah
rc(Wn) =
1, untuk n= 3; 2, untuk 4≤n≤6; 3, untuk n≥7.
Bukti. Misalkan Wn terdiri dari n-cycle, Cn : {v1, v2,· · ·, vn, v(n+1) = v1} dan
v adalah titik lain yang terhubung pada setiap titik di Cn. Karena W3 ≃ K4, maka berdasarkan Proposisi 2.1, diperoleh bahwarc(W3) = 1. Misalkanc(e) adalah pewarnaan pada suatu grafG. Untuk 4≤n≤6,Wnbukan merupakan graf lengkap,
sehinggarc(Wn)≥2. Definisikan pewarnaanc:E(Wn)→ {1,2} sebagai berikut.
c(viv) =
1, iganjil 2, igenap
c(vivi+1) =
1, iganjil 2, igenap
Diperoleh bahwarc(Wn) = 2 untuk 4≤n≤6.
Untukn≥7 terdapat 3-pewarnaanc:E(Wn)→ {1,2,3}, yang didefinisikan oleh:
c(viv) =
1, iganjil 2, igenap
c(e) = 3, untuk setiape∈E(Cn).
Diperoleh bahwarc(Wn)≤3.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwarc(Wn)≥3. KarenaWnbukan merupakan
suatu graf lengkap, makarc(Wn)≥2. Asumsikan sebaliknyarc(Wn) = 2. Misalkan
c adalah 2-pewarnaan padaWn, dan asumsikanc(v1v) = 1. Untuk setiapidengan 4≤i≤n−2, terdapat lintasanv1−vi dengan panjang 2 pada graf Wn, sehingga
c(viv) = 2 untuk setiap 4 ≤ i ≤ n−2. Karena c(v4v) = 2, maka c(vnv) = 1,
demikian pula untukc(v3v) = 2 saling berhadapan dengan c(v(n−1)v) = 1. Karena
c(v(n−1)v) = 1 maka c(v2v) = 2, sehingga ditemukan dua sisi yang berdekatan dengan warna yang samac(v2v) = 2 danc(v5v) = 2, yang mengakibatkan lintasan
v2−v5bukan merupakanrainbow connection pada grafWn. Karena itu,rc(Wn) = 3
untukn≥7.
Teorema berikut menyajikan bilanganstrong rainbow connectionuntuk graf roda dan graf kubik.
Proposisi 2.4. [3] Bilangan strong rainbow connection dari graf roda adalah
src(Wn) =⌈n/3⌉dengann≥3.
Bukti. MisalkanWn terdiri darinlingkaran,Cn :{v1, v2,· · ·, vn, vn+1=v1} dan
maka berdasarkan Proposisi 2.1,src(W3) = 1. Untuk 4≤n≤6, diperoleh bahwa
rc(Wn) = 2, sehingga berdasarkan Proposisi 2.1, jelas bahwa src(Wn) = 2. Maka
src(Wn) =⌈n/3⌉untuk 4≤n≤6.
Selanjutnya untukn≥7, terdapatk bilangan bulat sedemikian sehingga 3k−
2 ≤ n ≤ 3k. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa src(Wn) ≥ k. Asumsikan
kontradiksi yaitu src(Wn)≤ k−1. Misalkan c adalah pewarnaan strong rainbow
(k−1) coloring dariWn. Karenad(v) =n >3(k−1), maka terdapatS ⊆V(Cn)
dimana |S|= 4 dan semua sisi di himpunanuv|u∈S berwarna sama. Akibatnya, terdapat dua sisiu′−u”∈S dimanad
Cn(u ′
, u”)≥3 dand
Wn(u ′
, u”) = 2. Karena
u′
, v, u” hanyau′
, u” geodesic di W
n, maka terdapatrainbow u
′
−u” yang bukan geodesic diWn. Jadisrc(Wn)≥k.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwasrc(Wn)≤k. Definisikan pemetaan strong
rainbowkcoloringc:E(Wn)→ {1,2,· · ·, k}dariWn yaitu sebagai berikut.
c(e) =
1, jikae=vivi+1, ibilangan ganjil 2, jikae=vivi+1, ibilangan genap
j+ 1, jikae=viv, i∈ {3j+ 1,3j+ 2,3j+ 3;}
untuk 0≤j≤k−1.
Dapat dilihat bahwa terdapat lintasan u−v geodesic. Oleh karena itu, diperoleh
src(Wn) =k=⌈n/3⌉untukn≥7.
Pada Gambar 1 diberikan ilustrasi bilanganstrong rainbow connection graf roda dengan n= 7.
Gambar 1. Strong rainbow connection untuk graf roda
Pada kajian ini akan ditentukan bilanganrainbow connectiondan bilanganstrong rainbow connectiondari graf kubikCn yang dapat direpresentasikan menjadi tepat
dua lingkaran yang saling lepas (two disjoint cycle). Karena graf kubik tersebut memuat tepat dua lingkaran yang saling lepas maka banyak titik dari graf kubikCn
lingkaran dalamCd
mdan graf lingkaran luarC l
mdengan masing-masingm≥3 titik.
Misalkan himpunan titik lingkaran dalam adalahV(Cd
m) :={v1, v2,· · · , vmum+1=
v1} dan himpunan titik lingkaran luar adalah V(Cml ) := {u1, u2,· · ·, umum+1 =
u1}. Jadi, jumlah titik setiap graf kubik adalah genap yaitu |V(Cn)|= 2m untuk suatu bilangan asli m ≥ 3. Teorema berikut memperlihatkan bilangan rainbow connection dan bilanganstrong rainbow connection dari graf kubikCn dengann=
2mtitik.
Teorema 2.5. ♦ Untuk n≥ 4, bilangan rainbow connection dan bilangan strong rainbow connection dari graf kubikCn yang direpresentasikan dengan dua buah graf
lingkaran sehingga n= 2m titik adalah
rc(Cn) =src(Cn) =
1, untukn= 4;
m/2 + 1, untukm≥3, mgenap, ⌈m/2⌉, untukm≥3, mganjil.
Bukti. Akan dicaribilangan rainbow connection danbilangan strong rainbow con-nection dari graf kubik. Perhatikan Gambar 2.
Gambar 2. Graf kubik dengann= 12 danm= 6
Dari Gambar 2, misalkan terdapat dua lingkaran denganmtitik, lingkaran luar
Cm dengan V(Cm) = {v1, v2,· · · , v6} dari graf kubik, dan lingkaran dalam C
′
m
dengan V(Cm′ ) = {u1, u2,· · ·, u6} dan E(Cm) = {vivi+1, uiui+1} untuk setiap
i di G dengan 1 ≤ i ≤ m. Karena C4 = K
4, berdasarkan Proposisi 2.1 maka
rc(Cn
) = src(Cn
) = 1. Untuk n ≥ 6, bilangan rainbow connection dan bilangan strong rainbow connection dari graf kubik adalahrc(Cn) =src(Cn) =m/2 + 1
un-tuk mgenap danrc(Cn
) =src(Cn
) =⌈m/2⌉untukm ganjil. Pandang dua kasus berikut:
Kasus 1. madalah genap.
Misalkan m = 2k untuk bilangan bulat k ≥ 2 maka src(Cn
) ≥ rc(Cn
diam(Cn
) =k+ 1. Definisikan pewarnaan sisic(e) dariCn
sebagai berikut.
c(vivi+1) =
i, untuk 1≤i≤k
i−k, untukk+ 1≤i≤m.
c(uiui+1) =
i, untuk 1≤i≤k i−k, untukk+ 1≤i≤m. c(viui) =k+ 1, untuk 1≤i≤m.
Kasus 1. madalah ganjil.
Misalkan m= 2k+ 1 untuk bilangan bulatk≥2. Definisikan pewarnaan sisi c(e) dariCn dengan
c(vivi+1) =
i, untuk 1≤i≤k+ 1
i−k−1, untuk k+ 2≤i≤m.
c(uiui+1) =
i, untuk 1≤i≤k+ 1
i−k−1, untuk k+ 2≤i≤m.
c(viui) =
k+ 1, jikae=viui, i∈ {2j,2j+ 1}, untuk setiapj = 0;
j, jikae=viui, i∈ {2j,2j+ 1}, untuk 1≤j ≤k.
Berdasarkan Kasus 1 dan Kasus 2 pada Proposisi 2.3, untuk n genap dan n
ganjil sama halnya dengan m genap dan m ganjil yang terdiri dari dua buah lingkaran dalam dan lingkaran luarm1 danm2. Setiap titik pada lingkaran dalam dan lingkaran luar dihubungkan oleh satu sisi (viui), dan terdapat lintasan uv
yang bukan geodesic jika rc(Cn) = src(Cn) = k untuk m genap. Jadi, haruslah
rc(Cn
) =src(Cn
) =k+ 1 untukm genap danmganjil.
Pada Gambar 3 diberikan ilustrasi bilangan rainbow connection dan bilangan strong rainbow connection pada graf kubikn= 16 danm= 8.
Gambar 3. Graf kubik dengann= 16 danm= 8
3. Kesimpulan
4. Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Dr. Muhafzan, Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan, dan Ibu Dr. Lyra Yulianti yang telah memberikan masukan dan saran sehingga tulisan ini dapat diselesaikan dengan baik.
Daftar Pustaka
[1] Chartrand, G. dan P. Zhang, 2006.Introduction to Graph Theory, McGraw-Hill International Editions, Singapore.
[2] Syafrizal Sy, Gema Histamedika dan Lyra Yulianti, 2013. Rainbow Connection Numbers of fan and sun,Applied Mathematical Sciences 7: 3155 – 3159. [3] Chartrand, G. dkk, 2008. Rainbow Connection in Graphs,Math. Bohem.133:
85 – 98.
[4] Xveliang Li and Yuefang Sun, 2011. Rainbow Connection Number of Line Graphs,Ars Combin.100: 449 – 463.
