SEMINAR TUGAS AKHIR RAINBOW CONNECTION PADA GRAF 1-CONNECTED VOENID DASTI ( )

(1)

SEMINAR TUGAS AKHIR

RAINBOW CONNECTION PADA GRAF 1-CONNECTED

VOENID DASTI 0810432041 Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Andalas

(2)

Figure:

(3)

List of Contents

1 Pendahuluan

Latar Belakang

2 Landasan Teori

Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi

Pewarnaan Graf

3 Rainbow Connection pada Graf 1-Connected

(4)

List of Contents

1 Pendahuluan

2 Landasan Teori

4 Kesimpulan dan Saran

(5)

Latar Belakang

• 1736. Leonhard Euler (Swiss). Jembatan K¨onigsberg, di Rusia timur.

(6)

Latar Belakang

Figure: Masalah Jembatan K¨onigsberg

(7)

Latar Belakang

(8)

Latar Belakang

• 2006. Chatrand dkk. Konsep rainbow connection . Dapat digunakan untuk pengamanan pengiriman informasi rahasia antar lembaga. Selain itu, rainbow connection dimotivasi oleh interpretasi menarik di bidang jaringan.

• Misalkan G diinterpretasikan sebagai suatu jaringan (misalnya, jaringan selular). Akan disampaikan rute pesan antara dua titik penerima, acceptor , dengan syarat bahwa rute antara kedua titik (atau dapat dilihat sebagai sisi pada path ), diberikan suatu saluran yang berbeda (misalnya, frekuensi yang berbeda). Jelas bahwa yang ingin diminimalkan adalah banyaknya saluran berbeda yang digunakan dalam jaringan. Bilangan ini adalah rainbow connection number rc(G) [3]. Dalam skripsi ini dikaji kembali tentang rainbow connection pada graf 1-connected.

(9)

Perumusan Masalah

Penentuan rainbow connection number pada graf dapat lebih mudah dilakukan setelah mengelompokkan graf berdasarkan diameter, derajat, keterhubungan (connectivity) graf atau berdasarkan parameter lain. Dalam skripsi ini akan dikaji kembali rainbow connection number graf berdasarkan keterhubungan (connectivity) dan derajat minimumnya.

(10)

Batasan Masalah

• Pengkajian kembali rainbow connection number pada skripsi ini dibatasi pada graf terhubung G tak trivial 1-connected dengan derajat minimum δ(G) ≥ 3.

(11)

Tujuan

Pada penelitian yang dilakukan oleh Caro dkk [3] pada tahun 2008, Caro membuat konjektur, yaitu jika G suatu graf dengan n titik dan δ(G) ≥ 3 maka rainbow connection number rc(G) ≤ (3n)₄ . Konjektur tersebut terbukti benar untuk graf 2-connected [3]. Tujuan penulisan ini adalah untuk mengaji kembali kebenaran konjektur tersebut untuk graf 1-connected. .

(12)

List of Contents

1 Pendahuluan

2 Landasan Teori

(13)

Defenisi Graf

Definisi 2.1

Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan

(V (G), E(G)) dengan V (G) adalah himpunan titik (vertex ) tak kosong dan E(G) adalah himpunan sisi (edge) yang menghubungkan titik-titik pada G.

(14)

Terminologi

(cut vertex ) adalah suatu titik yang jika diambil dari suatu graf terhubung akan menyebabkan graf menjadi tak terhubung. Blok (block ) adalah suatu graf terhubung yang tidak

mempunyai cut vertex.

Jembatan (bridge) adalah suatu sisi pada graf yang jika diambil dari suatu graf terhubung, akan menyebabkan graf tersebut menjadi tak terhubung.

(15)

Latar Belakang

• cut vertex

(16)

Latar Belakang

• cut edge

Figure: s sebagai jembatan (bridge)

(17)

Pewarnaan

• Pewarnaan titik (vertex coloring), yaitu pemberian warna berbeda pada setiap titik-titik yang saling bertetangga.

• Pewarnaan sisi (edge coloring), yaitu pemberian warna berbeda pada sisi yang bertetangga.

• Pewarnaan bidang, yaitu pemberian warna pada bidang sehingga tidak ada bidang yang bertetangga mempunyai warna yang sama.

(18)

(19)

Rainbow Connection Pada Graf

Didefenisikan pewarnaan c : E(G) 7→ {1, 2, ..., k}, kN dimana dua sisi bertetangga tidak perlu berwarna berbeda.

(20)

Rainbow Connection Pada Graf

Jalan (walk ) dari titik v0 ke titik vn di G adalah barisan

hingga

v0, e1, v1, e2, v2, ..., vn−1, en, vn

sedemikian sehingga vi−1vi ∈ E(G), untuk i = 1, 2, ..., n.

Lintasan (path ) adalah jalan yang semua titik dan sisinya berbeda.

Suatu lintasan u-v path P dikatakan lintasan rainbow path jika tidak terdapat dua sisi di P yang memiliki warna sama.

Figure: Rainbow Path

(21)

Rainbow Connection Pada Graf

G dikatakan bersifat rainbow connected jika terdapat satu rainbow path yang menghubungkan setiap dua titik berbeda di G

(22)

Rainbow Connection Pada Graf

Jarak u ke v, d(u,v) adalah panjang lintasan terpendek dari u ke v. Untuk dua titik u dan v di G, rainbow u-v geodesic pada G adalah rainbow u-v path yang panjangnya d(u, v) adalah jarak antara u dan v (panjang u-v path terpendek di G)

Figure: rainbow u-v geodesic

(23)

Rainbow Connection Pada Graf

Pewarnaan sisi yang menyebabkan G bersifat rainbow connected disebut rainbow coloring .

Rainbow connection number dari graf terhubung G, ditulis rc(G), adalah banyak warna minimal yang diperlukan untuk membuat G bersifat rainbow connected. Suatu rainbow coloring yang menggunakan warna sebanyak rc(G) dikatakan minimum rainbow coloring

(24)

Rainbow Connection Pada Graf

Graf G dikatakan strongly rainbow connected jika G memiliki suatu rainbow u-v geodesic untuk setiap dua titik u dan v di G. Dalam kasus ini, pewarnaan c dikatakan strong rainbow coloring di G.

Figure: rc(G) dan src(G)

(25)

Keterhubungan

Suatu graf G disebut terhubung jika untuk setiap dua titik dari graf terdapat lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut.

(26)

Graf G2 adalah graf 1-connected

(27)

Rainbow Connection

Proposisi 2.4.1 [2]

Misalkan G suatu graf terhubung (connected) berukuran m. Maka

(a) src(G) = 1 jika dan hanya jika G suatu graf lengkap, (b) rc(G) = 2 jika dan hanya jika src(G) = 2,

(c) rc(G) = m jika dan hanya jika G merupakan suatu graf pohon.

(28)

Rainbow Connection

Proposisi 2.4.2 [2]

Untuk setiap bilangan n ≥ 4, rc(Cn) = src(Cn) = dn/2e

Graf lingkaran dengan banyak titik n, dinotasikan dengan Cn,

adalah graf sederhana (tidak memuat loop atau sisi ganda) yang memiliki derajat 2 pada setiap titiknya. X

(29)

List of Contents

1 Pendahuluan

2 Landasan Teori

(30)

Graf dengan konektivitas 1

Pada graf G dengan konektivitas κ(G) = 1, konsep rainbow connection diperluas dengan menambahkan syarat, yaitu ...

..

. untuk sebarang dua sisi di G, sisi-sisi tersebut memiliki warna berbeda bilamana berada pada blok yang berbeda di G. ...

.

Rainbow connection number yang bersesuaian dengan penamba-han syarat ini dinotasikan dengan rc∗(G).

Dari defenisinya, jelas bahwa rc(G) ≤ rc∗(G) untuk setiap graf G dan rc(G) = rc∗(G) untuk setiap graf 2-connected G.

(31)

Rainbow Connection Number rc

∗

(G)

Pada graf dengan κ(G) = 1, akan dibuktikan teorema berikut:

Teorema 3.3.1

Jika G suatu graf terhubung dengan n banyaknya titik, κ(G) = 1 dan δ(G) ≥ 3 maka rc∗(G) ≤ 3n−10₄ .

Batas 3n−10₄ tidak dapat dikurangkan karena terdapat graf terhubung 3 − regular dengan

(32)

Graf terhubung 3-regular G dengan rc

∗

(G) =

3n−10₄ Suatu graf terhubung 3 − regular dapat dikonstruksi dengan langkah-langkah berikut :

1 Ambil dua vertex disjoint pada graf hasil penggandaan graf

K5− (P3∪ P2) dan beri label dua titik berderajat 2 dengan

w1 dan w2k+2 dengan k ≥ 1, k bilangan bulat.

2 Hubungkan w1 dan w2k+2 melalui suatu lintasan dengan

panjang 2k + 1 dan beri label titik-titik pada lintasan tersebut dengan w1, w2, ..., w2k+2.

3 Untuk 1 ≤ i ≤ k, setiap sisi w2iw2i+1 diganti dengan suatu

graf K4− e dan tandai dua titik yang berderajat 2 di

K4− e dengan w2i dan w2i+1.

4 Graf yang diperoleh dari proses di atas adalah graf G4k+10

yang merupakan graf terhubung 3 − regular dengan n = 4k + 10 dan

rc∗(G4k+10) = rc(G4k+10) = diam(G4k+10) = 3k+5 = 3n−10₄

(33)

Graf terhubung 3-regular

contoh : untuk k = 1, diperolah G14 yang merupakan graf

terhubung 3 − regular :

(34)

Teorema 3.3.1

Sebelum membuktikan teorema 3.3.1 diatas, terlebih dulu dibuktikan proposisi 3.3.1 dan akibat 3.3.1 berikut :

Proposisi 3.3.1

Misalkan G suatu graf 2-connected dengan n banyak titik dan barisan derajatnya 2 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn. Jika d3 ≥ 3 maka

rc(G) ≤ 2n−2₃ untuk 4 ≤ n ≤ 7 dan rc(G) ≤ 2n−1₃ untuk n ≥ 8.

Akibat 3.3.1

Misalkan G suatu graf 2-connected dengan n banyaknya titik dan barisan derajat 2 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn. Jika d3 ≥ 3, maka

rc(G) ≤ 3n−4₄ .

(35)

Proposisi 3.3.1

Bukti Proposisi 3.3.1

Misalkan H suatu subgraf terhubung maksimal dari G dan rc(H) ≤ 2h₃ − 1 dengan h adalah banyak titik di H. Klaim H tersebut ada.

Karena G suatu graf 2-connected dan d3 ≥ 3, maka n ≥ 4.

Berdasarkan teorema Dirac [6], circumference c(G) pada G memenuhi c(G) ≥ min{n, 2δ(G)} ≥ 4. Selanjutnya, pandang beberapa kasus:

z Circumference G, dinotasikan dengan c(G), merupakan panjang dari lingkaran terpanjang di G.

(36)

Bukti Proposisi 3.3.1 (2)

Kasus 1. Jika n=4, maka rc(G) ≤ 2 ≤ 2.4−2₃ .

Jika c(G) = 4 maka G ∼= K2,n−2, yang kontradiksi dengan

d3 ≥ 3 untuk n ≥ 5.

Jadi dapat diasumsikan bahwa c(G) ≥ 5

Kasus 2. Jika n = 5 = c(G) maka G memuat C5+ e sebagai

subgraf dan rc(G) ≤ 2 ≤ 2.5−2₃ .

(37)

Bukti Proposisi 3.3.1 (2)

Kasus 3. Jika n = 6.

Subkasus 1 Jika c(G) = 5, maka dengan menjadikan H sebagai

C5 dengan satu sisi yang ditambahkan, diperoleh

rc(G) = 3 = 2.6₃ − 1.

Subkasus 2 Jika c(G) = 6, maka dengan menjadikan C6

sebagai H, didapat rc(C6) = 3 [2]. look, it is

(38)

Bukti Proposisi 3.3.1 (2)

Kasus 4. Jika n > 5

Subkasus 1 Jika c(G) ∈ {6, 8} maka rc(Ck) = k₂ ≤ 2k₃ − 1

untuk k = 6, 8.

Subkasus 2 Jika c(G) = 7 = n maka rc(C7) = 4 = 2.7−2₃ .

Subkasus 3 Jika c(G) = 7 < n maka dengan menjadikan H sebagai suatu C7 dengan suatu sisi yang

ditambahkan, didapat rc(H) = 4 < 2.8₃ − 1.

Subkasus 4 Jika c(G) = k ≥ 9 maka

rc(Ck) = dk₂e ≤ k+1₂ ≤ 2k₃ − 1.

(39)

Bukti Proposisi 3.3.1 (4)

Kemudian, klaim h ≥ n − 2. Bukti Klaim

• Asumsikan bahwa h < n − 2, ini berarti terdapat tiga titik berbeda yang terletak diluar H,yaitu w1, w2, w3 yang

masing-masing memiliki dua tetangga yang berada di dalam H (tetangga-tetangga dari titik wi tidak perlu

berbeda dengan tetangga-tetangga dari titik wj).

• Titik-titik w1, w2, w3 dapat ditambahkan ke graf H

sehinggaa terbentuk suatu subgraf yang lebih besar, H0, dengan h + 3 titik.

(40)

Bukti Proposisi 3.3.1 (4)

Kemudian, klaim h ≥ n − 2. Bukti Klaim

• Anggap ei, fi adalah dua sisi yang menghubungkan wi

dengan H. Dua warna dapat digunakan untuk mewarnai keenam sisi, yaitu e1, e2, e3 diwarnai dengan warna yang

sama dan f1, f2, f3 memiliki warna lain yang sama pula.

(41)

Bukti Proposisi 3.3.1 (5)

Sehingga diperoleh:

rc(H0) ≤ rc(H) + 2 ≤ 2h₃ − 1 + 2 = 2(h+3)₃ − 1 kontradiksi dengan pernyataan bahwa H merupakan subgraf maksimal

(42)

Bukti Proposisi 3.3.1 (6)

• Ini berarti bahwa, jika terdapat tiga titik diluar H maka sekurang-kurangnya salah satu dari titik-titik tersebut, katakanlah w, memiliki sifat bahwa untuk suatu lintasan terpendek dari H ke H yang melewati w, memiliki panjang tidak kurang dari 3 ( perhatikan bahwa pasti terdapat suatu path karena G adalah graf 2-connected ).

• Misalkan uw1w2...wtv suatu lintasan dengan u, vV (H),

w1, ..., wt∈ V (H) dan t ≥ 2. Titik-titik w/ 1, ..., wt

ditambahkan ke H sehingga membentuk suatu subgraf H0 yang lebih besar dengan h + t banyaknya titik.

(43)

Bukti Proposisi 3.3.1 (6)

• Misalkan uw1w2...wtv suatu lintasan dengan u, vV (H),

w1, ..., wt∈ V (H) dan t ≥ 2. Titik-titik w/ 1, ..., wt

ditambahkan ke H sehingga membentuk suatu subgraf H0 yang lebih besar dengan h + t banyaknya titik.

(44)

Bukti Proposisi 3.3.1 (7)

• Jika t ganjil maka t + 1 sisi lintasan diberi t+1₂ warna baru. Paruh pertama beri warna berbeda pada sisi-sisi nya, dan urutan warna yang sama diwarnakan pada paruh kedua. Hal ini menunjukkan bahwa H0 bersifat rainbow connected

(45)

Bukti Proposisi 3.3.1 (7)

• t genap, maka t + 1 sisi lintasan diwarnai dengan ₂t warna. Sisi tengah, wt/2wt/2+1, diberi warna yang sudah muncul di

H. ₂t sisi pertama pada lint diberi warna menggunakan warna baru yang berbeda dan pada ₂t sisi terakhir, warna-warna tersebut diulang dengan urutan sama.

(46)

Bukti Proposisi 3.3.1 (8)

Proses ini menunjukkan bahwa H0 bersifat rainbow connected dan diperoleh : rc(H0) ≤ rc(H) + d₂te ≤ 2h 3 − 1 + d t 2e ≤ 2(h+t) 3 − 1

kontradiksi dengan pernyataan bahwa H subgraf maksimal. Jadi, haruslah h ≥ n − 2

(47)

• Setelah membuktikan bahwa h ≥ n − 2,

• jelaslah bahwa rc(G) ≤ 2(n−2)₃ − 1 + 2 = 2n−1

3

• Bukti Proposisi 3.3.1 selesai | {z }

(48)

Proposisi 3.3.1 dan Akibat 3.3.1

Proposisi 3.3.1 X

Misalkan G suatu graf 2-connected dengan n banyak titik dan barisan derajatnya 2 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn. Jika d3 ≥ 3 maka

rc(G) ≤ 2n−2₃ untuk 4 ≤ n ≤ 7 dan rc(G) ≤ 2n−1₃ untuk n ≥ 8.

Akibat 3.3.1 X

Misalkan G suatu graf 2-connected dengan n banyaknya titik dan barisan derajat 2 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn. Jika d3 ≥ 3, maka

rc(G) ≤ 3n−4₄ .

(49)

Endblock

Berikut akan ditentukan struktur endblocks.

Endblock adalah block yang mempunyai tepat satu cut vertex. Misalkan B={K4, K5, K5− e, K5− P3, K5− 2P2, K5− (P3∪ P2)}. Diperoleh: rc(K4) = rc(K5) = 1 dan rc(K5−e) = rc(K5−P3) = rc(K5−2P2) = rc(K5−(P2∪P3)) = 2.

(50)

Endblock

Figure: rc(G)=1

(51)

Endblock

(52)

Endblock

Untuk BB, misalkan B ∪ K2 suatu endblock dengan

penambahan K2.

• Jika B{K4, K5, K5− e, K5− 2P2} maka K2 dapat

ditambahkan ke sebarang titik di B.

Figure:

(53)

Endblock

Untuk BB, misalkan B ∪ K2 suatu endblock dengan

penambahan K2.

• Jika B{K4, K5, K5− e, K5− 2P2} maka K2 dapat

ditambahkan ke sebarang titik di B.

(54)

Endblock

• Jika B{K5− P3, K5− (P3∪ P2)} maka K2 dapat

ditambahkan pada titik berderajat 2 dalam K5− P3 atau

K5− (P3∪ P2).

Figure:

(55)

Endblock

Sekarang, klaim berikut dapat dibuktikan.

Klaim 1. Misalkan G suatu graf terhubung dengan δ(G) ≥ 3. Jika G = G1∪ G2 dengan V (G1) ∩ V (G2) = w untuk w suatu cut vertex dan |V (G1)| ≤ 6 maka G1 ∼= B atau G1 ∼= B ∪ K2 untuk beberapa BB

Klaim 2. Jika BB suatu endblock maka rc(B) ≤ 3n−7₄ dan rc(B ∪ K2) ≤ 3n−6₄ .

(56)

Teorema 3.3.1

Klaim 3. Misalkan G suatu graf terhubung den-gan suatu cut vertex w. Jika G = G1 ∪ G2 dan V (G1) ∩ (V (G2)) = w, dG1(w) ≥ 2, dG2(w) ≥ 1, V |(G1)| ≥ 6 dan

V |(G2)| ≥ 7. Maka dengan induksi didapat rc∗(G) ≤ 3n−10₄ . Bukti Klaim 3. Konstruksi dua graf, yaitu H1 dan H2 : H1 = (K5− P3) ∪ G2. Identifikasi titik berderajat 2 dalam K5 − P3 dengan w dari G2.

H2 = G1∪ K2∪ (K5− P3), identifikasi satu titik di K2 dengan w di G1 dan titik lain dari K2 dengan titik berderajat 2 dalam K5− P3.

(57)

Teorema 3.3.1

Diperoleh : ...(bukti klaim)

|V (H1)| = |V (K5− P3)| + |V (G2)| − 1 < |V (G1)| + |V (G2)| − 1 =

|V (G)| dan

|V (H2)| = |V (K5−P3)∪K2)|+|V (G1)|−1 < |V (G2)|+|V (G1)|−

(58)

Figure:

(59)

(60)

Teorema 3.3.1

...(bukti klaim) dengan induksi didapat rc∗(H1) ≤ 3n(H₄1)−10 dan rc∗(H2) ≤ 3n(H₄2)−10

yang mengakibatkan

rc∗(G2) ≤ 3(n(G2)+4)−10₄ − 2 = 3n(G₄2)−6 dan

rc∗(G1) ≤ 3(n(G1)+5)−10₄ − 3 = 3n(G₄1)−7.

Hasil ini memberi persamaan

rc∗(G) = rc∗(G1) + rc∗(G2) ≤ 3n(G₄1)−7 +3n(G₄2)−6

= 3(n(G1)+n(G2)−1)−10

4 =

3n−10

4 .

(61)

block graf pohon T dari G.

Misalkan V (T ) = {w1, w2, ..., b1, b2, ...}, dimana wi adalah suatu

cut vertex pada G dan bi merupakan blok Bi dari G. wibjE(T )

jika dan hanya jika wi insiden dengan Bj di dalam G. Amati

pengamatan berikut :

• 1 Jika Bi suatu endblock dari G (bi merupakan daun dari

(T )) maka |V (Bi| ≥ 4, karena δ ≥ 3.

• 2 Jika dT(w) ≥ 4 untuk suatu cut vertex w dari G maka

G = G1∪ G2 dengan G1∩ G2 = w serta kedua graf G1 dan

G2 memuat paling sedikit dua block nontrivial. Kemudian

|V (G_i)| ≥ 2.4 − 1 = 7 untuk i = 1, 2 Jadi dapat diasumsikan bahwa 2 ≤ dT(w) ≤ 3 untuk setiap cut vertex w.

(62)

block graf pohon T dari G.

• 3 Jika suatu cut vertex w berderajat 3, maka

G = G1∪ G2∪ G3 . Dari argumen pada observasi kedua di

atas, masing-masing Gi memuat tepat satu block nontrivial

yang merupakan endblock. |V (Gi)| ≤ 6 untuk 1 ≤ i ≤ 3,

untuk nilai i yang lain dapatkan dengan induksi. Dari |V (G)| = |V (G₁)| + |V (G2)| + |V (G3)| − 2 didapatkan rc∗(G) ≤ 3n(G1)−6 4 + 3n(G2)−6 4 + 3n(G3)−6 4 = 3n−12 4 ≤ 3n−10 4 .

• 4 Jika suatu titik b berderajat p ≥ 3 maka B berinsiden dengan p cut vertices w1, w2, ..., wp . Sehingga

G = B ∪ G1∪ G2∪ ... ∪ Gp. Maka rc∗(G) ≤ 2n(B)₃ + Σp i=13n(G₄i)−6 ≤ 3n(B)−1 4 + 3(n+p−n(B))−6p 4 = 3n−1−3p 4 ≤ 3n−10 4 .

(63)

graf pohon blok T dari G.

Jadi dapat diasumsikan bahwa M (T ) = 2 dan dengan demikian T adalah suatu path. G memuat paling banyak satu inner block nontrivial B. Jadi untuk path T , struktur-struktur block

berikut dapat terbentuk :

1 B1, B2. Sehingga rc∗(G) ≤ 3n(B1)−7 4 + 3n(B2−7) 4 = 3n−11 4 < 3n−10 4 . 2 B1, K2, B2. Sehingga rc∗ ≤ 3n(B1∪K2)−6 4 + 3n(B2)−7 4 = 3n−10 4 . 3 B1, B, B2. Sehingga rc∗(G) ≤ 3n(B1)−7 4 + 3n(B)−4 4 + 3n(B2)−7 4 = 3n−12 4 < 3n−10 4 . 4 B₁, K₂, B, B₂. Sehingga rc∗ ≤ 3n(B1∪K2)−4 4 + 3n(B)−6 4 + 3n(B2)−7 4 = 3n−11 4 < 3n−10 4 . 5 B₁, K₂, B, K₂, B₂. Sehingga rc∗(G) ≤ 3n(B1∪K2)−6 4 + 3n(B)−4 4 + 3n(B2∪K2)−6 4 = 3n−10 4 .

(64)

List of Contents

1 Pendahuluan

2 Landasan Teori

(65)

Kesimpulan

Jika graf terhubung G dengan κ(G) = 1 dan δ(G) ≥ 3, maka pada pembahasan skripsi ini telah diperoleh bahwa

rc∗(G) ≤ 3n−10₄ < 3n₄ , dengan n adalah banyak titik di G. Dengan rc(G) adalah rainbow connection number pada graf terhubung tak trivial G dan rc∗(G) adalah rainbow connection number pada graf 1-connected tak trivial..

(66)

Terima Kasih

Figure: