https://drive.google.com/file/d/0B z5oZTdyBW1cHlzMFJzWTBuc2M/view

59 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

DERET

FOURIER

(2)

PENDAHULUAN

 Dalam bab ini akan dibahas fungsi-fungsi periodik yang dinyatakan dalam bentuk deret tak hingga

 Fungsi periodik sering muncul dalam permasalahan getaran mekanik, arus listrik bolak balik, gelombang bunyi, gelombang elektromagnet, hantaran panas, dsb.

(3)

 Uraian deret fungsi periodik seperti itu disebut DERET FOURIER

 Ditemukan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Perancis bernama JOSEPH FOURIER

(4)
(5)

FAKTA TENTANG DERET FOURIER

Fakta tentang deret Fourier dalam kehidupan sehari-hari :

 Gelombang suara yang masuk ke dalam telinga manusia merupakan gelombang sinus.

(6)

FAKTA TENTANG DERET FOURIER

 Alat ECG (Electronic Cardio Graphic)

(7)

FUNGSI PERIODIK

Definisi 1:

Sebuah fungsi dikatakan periodik dengan periode

� jika untuk setiap berlaku + � = , dimana

� konstanta positif.

 Nilai � positif terkecil dinamakan periode . Jika

(8)

 Konstanta pada selang dasar dapat diplih

sembarang, bisa 0 atau negatif. Namun = − �

sering dipilih untuk memberikan selang dasar yang

(9)

Contoh 1:

 Fungsi f = sin mempunyai periode �, �,

�, … karena sin + � , sin + � , sin +

� sama dengan sin .

� merupakan periode terkecil sehingga disebut juga periode sin .

 Periode fungsi sin atau cos dimana adalah bilangan bulat positif, adalah �/ .

(10)

DERET FOURIER

Definisi 2:

Misalkan adalah sebuah fungsi periodik yang didefinisikan pada selang dasar −�, � dan di luar selang dasar didefinisikan + � = , dengan periode fungsi � = � . Maka fungsi dapat diuraikan dalam deret Fourier yang bersesuaian sebagai berikut :

(11)
(12)

 Definisi 2 digunakan jika fungsi dengan periode � = � memiliki selang dasar simetris terhadap = −�, � .

(13)

Definisi 3:

Jika adalah sebuah fungsi periodik dengan periode � yang terdefinisi pada selang dasar

c ≤ ≤ + � atau c ≤ ≤ + �, yaitu + � = . Maka dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut :

(14)

Untuk koefisieen Fourier, karena untuk

= → � ���

� = sehingga

menjadi

Atau dapat juga dihitung dengan

Ini akan memberikan hasil yang sama karena adalah fungsi periodik.

Sedangkan

(15)

CATATAN PENTING !!!!!!!!!!

 Pada dasarnya Definisi 2 dan Defenisi 3 bermakna sama.

 Definisi 2 hanya berlaku khusus untuk selang dasar simetris −� ≤ ≤ � .

 Namun Definisi 3 berlaku umum, baik untuk selang dasar simetris −� ≤ ≤ � maupun yang tidak simetris c ≤ ≤ + � atau c ≤ ≤ + � .

(16)

Contoh 2

:

Diketahui sebuah fungsi = , − < <

, < <

a. Gambarkan grafik diatas

b. Tentukan koefisien Fourier dan c. Uraikan deret Fourier

(17)

Jawab :

 Dari fungsi yang diberikan dapat diketahui

bahwa periodenya adalah � = , sehingga � = .

 Selang dasar − < < .

 Maka dapat disimpulkan bahwa selang dasar yang diberikan simetris.

 Sehingga dapat dikerjakan dengan Definisi 2 maupun dengan Definisi 3.

(18)

Dengan memperluas ke kiri dan ke kanan

sumbu maka dapat digambarkan sebagai berikut :

a. Grafik fungsi

� �

-5 5 10

-10

3 6

(19)

b. Koefisien Fourier

 Dengan Defenisi 3

Selang dasar − < < . Menggunakan Defenisi 3, maka selang dasar c ≤ ≤ + �. Dengan demikian

= − dan � = � = . = . Sehingga batas pengintegralan dimulai dari:

(20)
(21)

Sedangkan untuk = , yaitu dapat

dihitung langsung dari (*) sehingga didapat :

(22)
(23)
(24)

c. Uraian deret Fourier

d. Rumus deret Fourier

(25)

Dengan menggunakan Defenisi 2, karena

� = maka koefisien Fourier dapat dihitung dengan:

(26)
(27)

Kesimpulan

(28)

Contoh 3

:

Diketahui sebuah fungsi = , −� < <

, < < �

a. Gambarkan grafik diatas

b. Tentukan koefisien Fourier dan c. Uraikan deret Fourier

(29)

a. Grafik fungsi

(30)
(31)

c. Uraian deret Fourier

(32)

d. Rumus deret Fouriernya

= − � − sin − �

(33)

Contoh 4

:

Diketahui sebuah fungsi = , < <

, < <

a. Gambarkan grafik diatas

b. Tentukan koefisien Fourier dan c. Uraikan deret Fourier

(34)

Jawab:

a. Grafik fungsi

Dengan memperluas ke kiri dan ke kanan

(35)
(36)

Sedangkan

(37)

d. Rumus deret Fourier

= + � − sin − �

(38)

Contoh 5

:

Gambar grafik fungsi periodik berikut

= cos ,, � < < � < < �

(39)

MARI BERLATIH MANDIRI

A. Gambarkan grafik fungsi-fungsi dibawah ini:

1. = sin , < < �

, � < < �

2. = , < < �

(40)

B. Diketahui sebuah fungsi-fungsi dibawah ini:

a. Gambarkan grafik diatas

b. Tentukan koefisien Fourier dan c. Uraikan deret Fourier

d. Tuliskan rumus deret Fourier untuk diatas

(41)

1. = , < < � Jawab ©:

= = �2 + ∞�= 2 cos − � sin

2. = , − < <

, < <

(42)

SYARAT DIRICHLET

Tidak semua fungsi dapat dinyatakan dalam deret Fourier. Syarat sebuah fungsi dapat dinyatakan dalam deret Fourier ditentukan oleh Syarat DIRICHLET berikut :

 periodik dengan periode �

 terdefinisi dan bernilai tunggal

(43)

FUNGSI GANJIL DAN GENAP

 Pada deret Fourier untuk fungsi periodik

tertentu mempunyai koefisien Fourier yang sederhana, yaitu 0. Hal ini tentu

mempermudah penguraian menjadi deret Fourier.

 Hal ini terjadi pada fungsi-fungsi yang

(44)

Definisi 4:

Sebuah fungsi dikatakan

fungsi ganjil jika berlaku − = −

fungsi genap jika berlaku − =

Untuk setiap dalam daerah definisi .

Contoh 6 : Fungsi genap

, , , …

− + , cos , + −�

(45)

Contoh 7 : Fungsi ganjil

,

,

,

, …

− +

sin , tan

(46)

Sifat-sifat :

 Grafik fungsi genap, simetris terhadap sumbu

 Grafik fungsi ganjil, simetris terhadap titik pusat

 Hasil kali dua fungsi genap adalah fungsi genap

 Hasil kali dua fungsi ganjil adalah fungsi genap

(47)

Contoh 8 :

a. Gambar (a) adalah contoh fungsi ganjil karena

grafiknya simetris terhadap titik pusatnya

b. Gambar (b) adalah contoh fungsi genap karena

grafiknya simetris terhadap sumbu

(48)

 Dalam deret Fourier yang berkaitan dengan suatu fungsi ganjil, hanya memuat

suku-suku sinus saja. Sehingga

= dan =

Maka untuk fungsi ganjil, deret Fourier dapat langsung disajikan kedalam:

(49)

 Dalam deret Fourier yang berkaitan dengan suatu fungsi genap, hanya memuat

suku-suku cosinus saja. Sehingga = .

Maka untuk fungsi genap, deret Fourier dapat langsung disajikan kedalam:

(50)

Contoh 8 :

Tentukan apakah fungsi berikut tergolong

fungsi ganjil, fungsi genap, atau bukan fungsi ganjil dan fungsi genap :

1. = , − ≤ ≤

2. = cos , < < �

, � < < �

3. = − , − < <

, < <

4. = , < <

, < <

5. = , ≤ ≤ �

(51)

Jawab:

1. = adalah fungsi ganjil.

Karena − = − . Dari grafik terlihat bahwa simetri terhadap titik pusat.

Untuk lebih jelas lihat gambar berikut :

(52)

2. tidak fungsi genap dan tidak fungsi ganjil. Karena tidak memenuhi − = − atau

− = .

(53)

3. adalah fungsi ganjil.

Karena memenuhi − = .

(54)

4. tidak fungsi genap dan tidak fungsi ganjil. Karena tidak memenuhi − = − atau

− = .

(55)

5. tidak fungsi genap dan fungsi ganjil

Karena tidak memenuhi − = − atau

− = .

(56)

6. adalah fungsi genap

Karena untuk setiap di daerah defenisinya, berlaku − = .

Dari gambar terlihat bahwa grafik simetris terhadap sumbu .

(57)

UJI LATIH MANDIRI

Perderetkan fungsi-fungsi berikut dalam deret

Fourier yang bersesuain dengan menggunakan sifat-sifat fungsi genap atau ganjil jika memungkinkan :

1. = , −� ≤ ≤ �

jawab:

= = � + − � cos

(58)

2. = , −� ≤ ≤ �

3. = , − < <

, < <

4. = 8, < <

−8, < <

5. = − , − < <

(59)

Deret Fourier Sinus atau Cosinus

Separuh Jangkauan

Adalah suatu deret dimana yang disajikan hanya suku-suku sinus atau suku-suku-suku-suku cosinus.

 Untuk separuh jangkauan deret sinus

 Untuk separuh jangkauan deret cosinus

Figur

Grafik fungsi
Grafik fungsi . View in document p.34
Gambar grafik fungsi periodik berikut
Gambar grafik fungsi periodik berikut . View in document p.38
Gambar (a) adalah contoh fungsi ganjil karena
Gambar a adalah contoh fungsi ganjil karena . View in document p.47

Referensi

Memperbarui...