• Tidak ada hasil yang ditemukan

https://drive.google.com/file/d/0B z5oZTdyBW1cHlzMFJzWTBuc2M/view

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "https://drive.google.com/file/d/0B z5oZTdyBW1cHlzMFJzWTBuc2M/view"

Copied!
59
0
0

Teks penuh

(1)

DERET

FOURIER

(2)

PENDAHULUAN

 Dalam bab ini akan dibahas fungsi-fungsi periodik yang dinyatakan dalam bentuk deret tak hingga

 Fungsi periodik sering muncul dalam permasalahan getaran mekanik, arus listrik bolak balik, gelombang bunyi, gelombang elektromagnet, hantaran panas, dsb.

(3)

 Uraian deret fungsi periodik seperti itu disebut DERET FOURIER

 Ditemukan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Perancis bernama JOSEPH FOURIER

(4)
(5)

FAKTA TENTANG DERET FOURIER

Fakta tentang deret Fourier dalam kehidupan sehari-hari :

 Gelombang suara yang masuk ke dalam telinga manusia merupakan gelombang sinus.

(6)

FAKTA TENTANG DERET FOURIER

 Alat ECG (Electronic Cardio Graphic)

(7)

FUNGSI PERIODIK

Definisi 1:

Sebuah fungsi dikatakan periodik dengan periode

� jika untuk setiap berlaku + � = , dimana

� konstanta positif.

 Nilai � positif terkecil dinamakan periode . Jika

(8)

 Konstanta pada selang dasar dapat diplih

sembarang, bisa 0 atau negatif. Namun = − �

sering dipilih untuk memberikan selang dasar yang

(9)

Contoh 1:

 Fungsi f = sin mempunyai periode �, �,

�, … karena sin + � , sin + � , sin +

� sama dengan sin .

� merupakan periode terkecil sehingga disebut juga periode sin .

 Periode fungsi sin atau cos dimana adalah bilangan bulat positif, adalah �/ .

(10)

DERET FOURIER

Definisi 2:

Misalkan adalah sebuah fungsi periodik yang didefinisikan pada selang dasar −�, � dan di luar selang dasar didefinisikan + � = , dengan periode fungsi � = � . Maka fungsi dapat diuraikan dalam deret Fourier yang bersesuaian sebagai berikut :

(1)

   1 0 ) sin cos ( 2 ) ( n n n L x n b L x n a a x
(11)

 , , dan disebut koefisien-koefisien Fourier dengan:

dengan = , , , , …

 L

L

n dx

L x n x

f L

a 1 ( )cos 

 L L

n dx

L x n x

f L

(12)

 Definisi 2 digunakan jika fungsi dengan periode � = � memiliki selang dasar simetris terhadap = −�, � .

(13)

Definisi 3:

Jika adalah sebuah fungsi periodik dengan periode � yang terdefinisi pada selang dasar

c ≤ ≤ + � atau c ≤ ≤ + �, yaitu + � = . Maka dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut :

   1 0 ) sin cos ( 2 ) ( n n n L x n b L x n a a x
(14)

Untuk koefisieen Fourier, karena untuk

= → � ���

� = sehingga

menjadi

Atau dapat juga dihitung dengan

Ini akan memberikan hasil yang sama karena adalah fungsi periodik.

Sedangkan

� = periode, � = periode = �

 c L

c n dx L x n x f L a 2 cos ) ( 1 

  L c c n dx L x n x f L b 2 sin ) ( 1 

  L L dx x f L

a0 1 ( )

 c L

c dx x f L a 2

0 ( )

(15)

CATATAN PENTING !!!!!!!!!!

 Pada dasarnya Definisi 2 dan Defenisi 3 bermakna sama.

 Definisi 2 hanya berlaku khusus untuk selang dasar simetris −� ≤ ≤ � .

 Namun Definisi 3 berlaku umum, baik untuk selang dasar simetris −� ≤ ≤ � maupun yang tidak simetris c ≤ ≤ + � atau c ≤ ≤ + � .

(16)

Contoh 2

:

Diketahui sebuah fungsi = , − < <

, < <

a. Gambarkan grafik diatas

b. Tentukan koefisien Fourier dan c. Uraikan deret Fourier

(17)

Jawab :

 Dari fungsi yang diberikan dapat diketahui

bahwa periodenya adalah � = , sehingga � = .

 Selang dasar − < < .

 Maka dapat disimpulkan bahwa selang dasar yang diberikan simetris.

 Sehingga dapat dikerjakan dengan Definisi 2 maupun dengan Definisi 3.

(18)

Dengan memperluas ke kiri dan ke kanan

sumbu maka dapat digambarkan sebagai berikut :

a. Grafik fungsi

� �

-5 5 10

-10

3 6

(19)

b. Koefisien Fourier

 Dengan Defenisi 3

Selang dasar − < < . Menggunakan Defenisi 3, maka selang dasar c ≤ ≤ + �. Dengan demikian

= − dan � = � = . = . Sehingga batas pengintegralan dimulai dari:

(20)
(21)

Sedangkan untuk = , yaitu dapat

dihitung langsung dari (*) sehingga didapat :

0              

0 nπ sin nπ 5 5 3 5 x π n sin nπ 5 5 3 (*) dx 5 x π n cos 5 3 a 5 0 5 0 n 3 dx 5 3 dx 0 cos 5 3 a 5 0 5 0
(22)
(23)

1 cos nπ

(24)

c. Uraian deret Fourier

d. Rumus deret Fourier

= + � sin� + sin � + sin � + ⋯

 

1

0 ( cos sin )

2 )

(

n

n n

L x n b

L x n a

a x

f  

= + � sin� + sin � + sin � + ⋯

= + � − sin − �

(25)

Dengan menggunakan Defenisi 2, karena

(26)

Sedangkan

1 cos nπ

(27)

Kesimpulan

(28)

Contoh 3

:

Diketahui sebuah fungsi = , −� < <

, < < �

a. Gambarkan grafik diatas

b. Tentukan koefisien Fourier dan c. Uraikan deret Fourier

(29)

a. Grafik fungsi

(30)
(31)

c. Uraian deret Fourier

(32)

d. Rumus deret Fouriernya

= − � − sin − �

(33)

Contoh 4

:

Diketahui sebuah fungsi = , < <

, < <

a. Gambarkan grafik diatas

b. Tentukan koefisien Fourier dan c. Uraikan deret Fourier

(34)

Jawab:

a. Grafik fungsi

Dengan memperluas ke kiri dan ke kanan

[image:34.720.7.720.27.517.2]
(35)
(36)

Sedangkan

(37)

d. Rumus deret Fourier

= + � − sin − �

(38)
[image:38.720.12.657.23.523.2]

Contoh 5

:

Gambar grafik fungsi periodik berikut

= cos ,, � < < � < < �

(39)

MARI BERLATIH MANDIRI

A. Gambarkan grafik fungsi-fungsi dibawah ini:

1. = sin , < < �

, � < < �

2. = , < < �

(40)

B. Diketahui sebuah fungsi-fungsi dibawah ini:

a. Gambarkan grafik diatas

b. Tentukan koefisien Fourier dan c. Uraikan deret Fourier

d. Tuliskan rumus deret Fourier untuk diatas

(41)

1. = , < < � Jawab ©:

= = �2 + ∞�= 2 cos − � sin

2. = , − < <

, < <

(42)

SYARAT DIRICHLET

Tidak semua fungsi dapat dinyatakan dalam deret Fourier. Syarat sebuah fungsi dapat dinyatakan dalam deret Fourier ditentukan oleh Syarat DIRICHLET berikut :

 periodik dengan periode �

 terdefinisi dan bernilai tunggal

(43)

FUNGSI GANJIL DAN GENAP

 Pada deret Fourier untuk fungsi periodik

tertentu mempunyai koefisien Fourier yang sederhana, yaitu 0. Hal ini tentu

mempermudah penguraian menjadi deret Fourier.

 Hal ini terjadi pada fungsi-fungsi yang

(44)

Definisi 4:

Sebuah fungsi dikatakan

fungsi ganjil jika berlaku − = −

fungsi genap jika berlaku − =

Untuk setiap dalam daerah definisi .

Contoh 6 : Fungsi genap

, , , …

− + , cos , + −�

(45)

Contoh 7 : Fungsi ganjil

,

,

,

, …

− +

sin , tan

(46)

Sifat-sifat :

 Grafik fungsi genap, simetris terhadap sumbu

 Grafik fungsi ganjil, simetris terhadap titik pusat

 Hasil kali dua fungsi genap adalah fungsi genap

 Hasil kali dua fungsi ganjil adalah fungsi genap

(47)

Contoh 8 :

a. Gambar (a) adalah contoh fungsi ganjil karena

grafiknya simetris terhadap titik pusatnya

b. Gambar (b) adalah contoh fungsi genap karena

grafiknya simetris terhadap sumbu

[image:47.720.5.709.32.503.2]
(48)

 Dalam deret Fourier yang berkaitan dengan suatu fungsi ganjil, hanya memuat

suku-suku sinus saja. Sehingga

= dan =

Maka untuk fungsi ganjil, deret Fourier dapat langsung disajikan kedalam:

(49)

 Dalam deret Fourier yang berkaitan dengan suatu fungsi genap, hanya memuat

suku-suku cosinus saja. Sehingga = .

Maka untuk fungsi genap, deret Fourier dapat langsung disajikan kedalam:

   L L L dx x f L dx x f L a 0

0 ( )

2 ) ( 1

   L L L n dx L x n x f L dx L x n x f L a 0 cos ) ( 2 cos ) (

1  

0

 n

(50)

Contoh 8 :

Tentukan apakah fungsi berikut tergolong

fungsi ganjil, fungsi genap, atau bukan fungsi ganjil dan fungsi genap :

1. = , − ≤ ≤

2. = cos , < < �

, � < < �

3. = − , − < <

, < <

4. = , < <

, < <

5. = , ≤ ≤ �

(51)

Jawab:

1. = adalah fungsi ganjil.

Karena − = − . Dari grafik terlihat bahwa simetri terhadap titik pusat.

Untuk lebih jelas lihat gambar berikut :

(52)

2. tidak fungsi genap dan tidak fungsi ganjil. Karena tidak memenuhi − = − atau

− = .

(53)

3. adalah fungsi ganjil.

Karena memenuhi − = .

(54)

4. tidak fungsi genap dan tidak fungsi ganjil. Karena tidak memenuhi − = − atau

− = .

(55)

5. tidak fungsi genap dan fungsi ganjil

Karena tidak memenuhi − = − atau

− = .

(56)

6. adalah fungsi genap

Karena untuk setiap di daerah defenisinya, berlaku − = .

Dari gambar terlihat bahwa grafik simetris terhadap sumbu .

(57)

UJI LATIH MANDIRI

Perderetkan fungsi-fungsi berikut dalam deret

Fourier yang bersesuain dengan menggunakan sifat-sifat fungsi genap atau ganjil jika memungkinkan :

1. = , −� ≤ ≤ �

jawab:

= = � + − � cos

(58)

2. = , −� ≤ ≤ �

3. = , − < <

, < <

4. = 8, < <

−8, < <

5. = − , − < <

(59)

Deret Fourier Sinus atau Cosinus

Separuh Jangkauan

Adalah suatu deret dimana yang disajikan hanya suku-suku sinus atau suku-suku-suku-suku cosinus.

 Untuk separuh jangkauan deret sinus

 Untuk separuh jangkauan deret cosinus

 n L

n dx L x n x f L b a 0 sin ). ( 2 ; 0 

 n L

Gambar

Grafik fungsi
Gambar grafik fungsi periodik berikut
Gambar (a) adalah contoh fungsi ganjil karena

Referensi

Dokumen terkait

[r]

Cara menguasai kelas agar semua siswa dapat berkonsentrasi dan memperhatikan apa yang disampaikan oleh guru adalah dengan menggunakan komunikasi dua arah, yaitu guru tidak

Sehingga apabila masing-masing karyawan memiliki komitmen yang tinggi terhadap organisasi, mereka akan termotivasi dengan sendirinya untuk dapat melakukan setiap tugas

Pasien sirkumsisi dengan teknik anestesi menggunakan lidokain 1 mg/KgBB di tambah Tramadol dengan lidokain 1 mg/KgBB setelah sirkumsisi akan lebih efektif menekan

[r]

berbeda dengan tindikan pengasuhan, pendidikan pada anak usia remaja apalagi dengan

Pada tingkat pendidikan tinggi seorang dosen juga merupakan tenaga profesional yang bertugas merencanakan dan melaksanakan proses pembelajaran, menilai hasil pembelajaran,

[r]