https://drive.google.com/file/d/0B z5oZTdyBW1cHlzMFJzWTBuc2M/view

BAB IV

LIMIT DISTRIBUSI

5.1 Konvergensi dalam Distribusi

Dalam beberapa bab terdahulu konvergen dalam distribusi telah didemonstrasikan melalui contoh peubah acak (barangkali statistik) sering bergantung pada bilangan bulat positif n . Misalnya , jika peubah acak X adalah b(n,p) distribusi dari X bergantung pada n. Jika _X´ rata-rata sampel acak ukuran n dari distribusi N

(

μ , σ2

)

, maka _X´ _{adalah N}

(

_{μ , σ}2

/n

)

dan distrubusi _X´ _{bergantung pada n. Jika S}2 _{variansi sampel acak dari distribusi normal} peubah acak n S2/σ2 adalah χ2(n−1) , maka distribusi dari peubah acak ini bergantung pada n.

Kita mengetahui dari pengalaman bahwa penentuan densitas peluang dari peubah acak pada kesempatan sekarang , mendapat kesukaran perhitungan berat.Misalnya , jika _X´ _rata-rata

sampel acak dari distribusi yang mempunyai fp berkut

f(x)=1;0<x<1

= 0 ; lainnya

maka fpm dari _X´ _{diberikan oleh}

[

_M(t/n)

]

n

denagn

M(t)=

∫

0 1

etxdx=e

t

−1

t ;t ≠0

= 1 ; t = 0

Karenanya E

(

etX´

)

=

(

e

t

−1

t

)

n

;t ≠0

= 1 ; t = 0

Karena fpm dari _X´ _{bergantung atas n, distribusi dari X}´ _{bergantung atas n. Hal itu benar} bahwa berbagai teknik matematika dapat digunakan untuk menentukan fdp dari _X´ _untuk

suatu bilangan bulat n tertentu sambarang. Tetapi untuk sembarang fdp, begitu kesukaran sedikit untuk kita, akan menjadi perhatian dalam menggunakan itu untuk menghitung pelang teatang

´ X

Salah satu matsud dari bab ini adalah untuk menetapkan cara pendekatan , untuk nilai n besar, beberapa kesukaran fungsi densitas peluang ini. Perhatikan distribusi yang bergantung atas bilangan bulat positif n , jelasnya fungsi distribusi F dari distribusi itu juga akan bergantung atas

padanannya sebagai f_n . Selanjutnya untuk menekankan kenyataan bahwa kita sedang bekerja dengan barisan fungsi distribusi dan peubah acak , kita menempatkan indeks n pada peubah acak . Misalnya kita akan menulis

F_n( ´x)=

∫

0 ´

x

1

√

1/n

√

2π e

−w2

/2

dw

untuk fungsi distribusi dari rata-rata X´n untuk sampel acak ukuran n dari distribusi normal

dengan rata-rata nol dan variansi satu. Sekarang kita definisikan konvergensi dalam peluang dari barisan peubah acak.

Definisi 1

Misalkan fungsi distribusi Fn(y) dari peubah acak Yn berganung atas n , n =1,2,3,… Jika

F(y) fungsi distribusi dan jika lim_{n →∞}Fn(y)=F(y) untuk setiap y pada mana F(y)

kontinu, maka barisan peubah acak Y₁,Y₂, … ,Y_n konvergen dalam distribusi ke peubah acak dengan fungsi distribusi F(y)

Contoh 1

Misalkan Y_n menyatakan stastistik order ke n dari sampel acak X₁, X₂,… , X_n dari distribusi yang mempunyai fdp

f(x)=1

θ;0<x<θ ;0<θ<∞

= 0 ; lainnya

Fdp dari Y_n adalah

gn(y)=n y n−1

θn ;0<y<θ

= 0 ; lainnya.

dan fungsi distribusi dari Y_n adalah

F_n(y)=0; y<0

=

∫

0

y

n zn−1

θn dz=

(

y θ

)

n

;0≤ y<θ

= 1, lainnya

adalah fungsi distribusi.

Selanjutnya lim_{n →∞}Fn(y)=F(y) pada setiap titik kontinuitas dari F(y) . Ingat kembali bahwa

distribusi jenis diskrit yang mempunyai peluang 1 pada titik telah disebut distribusi dejeneret(degenerate).Jadi dalam contoh ini , barisan statistik orde ke n Yn, n=1,2,3,… k

konvergen dalam distribusi ke peubah acak yang mempunyai distribusi dejeneret pada titik

y=θ

Contoh 2

Misalkan X´n mempunyai fungsi distribusi

F_n( ´x)=

∫

−∞

´

x

1

√

1/n

√

2πe

−n w2

/2_dw

Jika perubahan peubah v=

√

n w dibuat , kita mempunyai

F_n( ´x)=

∫

−∞

√n w

1

√

2πe

−v2_/2

dv

Jelas bahwa lim_{n →∞}Fn( ´x)=0;´x<0

= 1₂;´x ≠0

¿1;x´>0

Sekarang F(´x)=0;´x<0

¿1;x ≥´ 0

adalah fungsi distribusi dan Fn( ´x_lim)=¿F( ´x)

n → ∞¿

pada setiap titik kontinuitas dari F( ´x)

Untuk meyakinkan lim_{n →∞}Fn(0)≠ F(0) , tetapi F( ´x) tidak kontinu pada ´x=0

Contoh 3

Meskipun jika barisan konvergen dalam distribusi ke peubah acak X, umunya kita tidak dapat menentukan distribusi dari X dengan mengambil limit fdp dari X_n . Ini digambarkan dengan mengambil X_n mempunyai fdp

f_n(x)=1; x=2+1 n

Jelasnya lim_{n →∞}fn(x)=0 untuk semua nilai x. Ini dapat mengajukan bahwa X_n , n = 1,2,3,

… tidak konvergen dalam distribusi . Bagaimanapun fungsi distribusi dari X_n adalah

F_n(x)=0; x<2+1 n

= 1 ; x ≥2+1 n

dan lim_{n →∞}Fn(x)=0; x<2

= 1 ; x ≥2

Karena F(x)=0; x<2

= 1 ; x ≥2

adalah distribusi , dan karena Fn(x_lim)=¿F(x)

n → ∞¿

pada semua titik kontnuitas. Barisan

X₁, X₂, X₃… konvergen dalam distribusi ke peubah acak dengan fungsi distribusi (x) . Hal itu

menarik untuk dicatat bahwa meskipun kita mengarah ke barisan peubah acak X₁, X₂, X₃… konvergen ke suatu peubah acak X yang mempunyai fungsi distribusi F(x) , kekonvergenan adalah nyata fungsi distribusi F₁, F₂, F₃, … yang konvergen yaitu

F_n(x)=¿F(x)

lim

n → ∞¿

pada sehingga semua titik x sehingga F(x) . Akibatnya kita sering menemukan kekonvergenan baik sekali untuk mengarah ke F(x) sebagai perlimitan distribusi. Selanjutnya kekonvergenan sedikit lebih mudah mengatakan bahwa X_n menggambarkan barisan X₁, X₂, X₃… mempunyai perlimitan distribusi dengan fungsi distribusi F(x) .Untuk selanjutnya kita menggunakan terminologi ini.

Contoh 4

Misalkan Yn menytakan statistik order ke n sampel acak dari distribusi seragam dari Contoh

1. Ambil Z_n=n

(

θ−Y_n

)

. Fdp dari Z_n adalah

h_n(z)=(θ−z/n)

n−1

θn ;0<z<nθ

= 0 ; lainnya

G_n(z)=0; z<0

=

∫

0

z

(θ−w/n)n−1

θn dw=1−

(

1− z nθ

)

n

;0≤ z<nθ

= 1 ; nθ ≤ z Karenanya

lim

n →∞Gn

(z)=0; z<₀

= 1−e−z/θ

;0≤ z<∞ Sekarang G(z)=0; z<0

= 1−e−z/θ_{;0≤ z}

<∞

adalah fungsi distribusi yang kontinu dimana-mana dan lim_{n →∞}Gn(z)=G(z) pada semua titik.

Jadi Z_n mempunyai limit distribusi dengn fungsi distribusi G(x) . Ini memberika kita satu contoh limit distribusi yang tidak dejeneret.

Contoh 5

Misalkan T_n mempunyai distribusi t dengan n derajat kebebasan , n =1,2,3,….Fungsi distribusi nya adalah

F_z(t)=

∫

−∞ t

Γ

[(

n+1)/2

]

√

πn Γ(n/2)

1

(

1+y2/n

)

(n+1)/2dy di mana integrasi adalah fdp f_n(y) dari Tn

Sesuai dengan itu lim

n →∞Fn(t)=n →∞lim₋

∫

_∞ t

fn(y)dy=

∫

−∞ t

lim

n → ∞fn(y)dy

Perubahan urutan dari limit dan integrasi dibenarkan karena

|

f_n(y)

|

_{dikuasai fungsi, sepertti}

10f₁(y) , dengan integral berhingga yaitu

|

f_n(y)

|

≤10f₁(y)

dan

∫

−∞ ∞

10f₁(y)dy=10

n arctant<∞

untuk emua t real. Karenanya di sini kita dapat mencari limit disribusi melalui pencarian hasil fdp dari T_n . Itu adalah

lim n →∞fn

(y)=lim n → ∞

[

Γ

[

(n+1)/2

]

√

πn Γ(n/2)

]

n→∞lim 1

(

1+y2/n

)

n → ∞lim

{

−1

√

2π

[

1+ y2

n

]

−n/2

Gunakan kenyataan dar kalkulus elementer bahwa

lim

n →∞

(

1+y

2

/n

)

n=eyy

Limit ini dihubungkan dengan factor ketiga , jelas adalah fdp distribusi normal baku. Limit kedua jelas sama dengan 1. Jika kita lebih mengetahui tentang fungsi gamma , fungsi itu mudah untuk menunjukkan bahwa limit pertama juga sama dengan 1. Jadi kita mempunyai

lim

n →∞fn

(y)=

∫

−∞ ∞

1

√

2π e

−y2_/2

dy

dan karenanya T_n mempunyai limit distribusi normal baku. Soal-soal Latihan 4.1

1. Misalkan X´n menyatakan rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi N

(

μ , σ2

)

.

Carilah limit distribusi dari X´n

2. Misalkan Y₁ menyatakan statistik order pertama dari sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai fdp (x)=e−(x−θ) _{, θ<x<∞ , nol lainnya. Ambil}

Z_n=n

(

Y₁−θ

)

. Selidiki limit distribusi dari Z_n

3. Misalkan Y_n menyatakan statistik order ke n sampel acak dari distribusi jenis kontinu yang mempunyai fungsi distribusi F(x) dan fdp f(x)=F'_{(x) . Carilah limit distribusi dari}

Z_n=

[

1−F

(

Y_n

)

]

4. Misalkan Y₂ menyatakan statistik order ke 2 sampel acak dari distribusi jenis kontinu yang mempunyai fungsi distribusi F(x) dan fdp f(x)=F'(x) . Carilah limit distribusi dari

W_n=

[

nF

(

Y_n

)

]

5. Misalkan fdp dari Y_n adalah f_n(y)=1, y=0;nol lainnya. Tunjukkan bahwa Y_n

tidak mempunyai limit distribusi ( dalam kasus ini , peluang mempunyai “pelarian ke takhingga)

6. Misalkan X₁, X₂,… , X_n menyatakan sampel acak berukuran n dari distribusi N

(

μ , σ2

)

di mana σ2>0 . Tunjukkan bahwa jaumlah Z_n=

∑

i=1

n

X_i tdak mempunyai limit distribusi.

4.2 Konvergensi dalam Peluang

Dalam pembicaraan mengenai konvergen dalam distribusi , dicatat bahwa konvergen itu adalah barisan fungsi distribusi yang konvergrn terhadap apa yang kita sebut limit fungsi distribusi. Konvergen dalam peluang adalah berbeda, meskipun kita mempertunjukkan bahwa dalam kasus khusus ada hubungan antara kedua konsep.

Satu barisan peubah acak X₁, X₂, X₃… konvergen dalam peluang ke pubah acak X , jika untuk setiap ε>0

lim

n →∞P

(

|

Xn−X

|

<ε

)

=1

atau lim_{n →∞}P

(

|

Xn−X

|

≥ ε

)

=0

Biasanya ahli statistik berminat dalam konvergen ini , apabila peubah acak X adalah konstan, yaitu peubah acak X mempunyai distribusi dejeret pada kontanta itu. Karenanya kita memusatkan pada situasi itu.

Contoh 1

Misalkan X´n menyatakan rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai

rataan μ dan variansi σ2 _{positif .Maka rataan dan variansi X}´

n adalah μ dan σ2/n .

Perhatikan untuk setiap ε>0 tertentu peluang

P

(|

_X´_n−μ

|

_{≥ ε}

)

_=P

(

|

_X´_n−μ

|

_≥kσ

√

n

)

dimana k=ε

√n

σ . Sesuai dengan pertaksamaan Chebyshev peluang ini lebih kecil atau

sama dengan 1

k2= σ2

n ε2 . Sehingga untuk setiap ¿0 , kita mempunyai

lim

n →∞P

(

|

´

X_n−μ

|

≥ ε

)

≤

lim

n → ∞σ

2

n ε2 =0

Karenanya X´n, n=1,2,3… konvergen dalam peluang ke μ jika σ2 berhingga.Hasil ini

disebut hukum bilangan besar lemah.

Ulasan

Suatu jenis konvergensi yang lebih kuat diberikan oleh

(

_{n → ∞}limYn=c

)

=1 , dalam kasus ini kita

katakana bahwa Y_n, n=1,2,3… kovergen dengan peluang 1. Meskipun kita tidak memper timbangkan jenis konvergensi ini , itu diketahui bahwa rata-rata X´n, n=1,2,3… dari sampel

acak konvergen dengan peluang 1 ke rataan μ dari distribusi, asalkan yang terakhir ada. Ini salah satu bentuk dari hukum bilangan besar kuat.

Misalkan F_n(y) menyatakan funsi distribusi dari peubah acak Y_n yang mempunyai distribusi bergantung atas bilangan bulat n positif. Misalkan c menyatakan suatu konstanta yang tidak bergantung atas n . Barisan Yn, n=1,2,3… konvergen dalam peluang ke konstanta c jika

dan hanya jika limit distribusi dari Yn adalah dejeret pada y = c

Bukti

Pertama, andaikan bahwa lim_{n →∞}P

(

|

Yn−c

|

<ε

)

=1 untuk setiap ¿0 . Kita akan

membuktikanbahwa peubah acak Y_n sedemikian rupa sehingga

lim

n →∞Fn(y)=0; y<c

= 1 ; y ≥ c

Perhatikan bahwa kita tidak memerlukan untuk mengetahui sesuatu tentang lim_{n →∞}Fn(y).

Karena jika limit F_n(y) adalah seperti ditunjukkan , maka Y_n mempunyai limit distribusi dengan fungsi distribusi

F(y)=0; y<c = 1 ; y ≥ c

Sekarang

(c+ε)−¿ ¿

P

(

|

Yn−c

|

<ε

)

=Fn¿

di mana (c+ε_F)−¿

n¿ adalah limit kiri dari

F_n(y)pad a y=c+ε . Jadi kita mempunyai

1=

(c+ε)−¿ ¿

F_n¿

P

(

|

Yn−c

|

<ε

)

=¿lim n → ∞

¿

lim

n →∞¿

Karena 0≤ F_n(y)≤1 untuk semua nilai y dan untuk setiap bilangan bulat n positif haruslah

bahwa

(c+ε)−¿ ¿

F_n¿

lim

n →∞Fn(c−ε

)=0,lim

n → ∞¿

Karena ini benar untuk setiap ε>0 kita punyai lim

= 1 ; y > c

Kita akan membuktikan bahwa P

(

|

Yn−_limc

|

<ε

)

=¿1

n →∞¿

untuk setiap ε>0 . Karena

(c+ε)−¿ ¿

P

(

|

Y_n−c

|

<ε

)

=F_n¿

dan karena itu diberikan bahwa

(c+ε)−¿ ¿

¿1

Fn¿

lim

n → ∞

¿

lim

n →∞Fn(c−ε)=0

untuk setiap ε>0, kita mempunyai hasil yang dinginkan. Ini melengkapi bukti teorema.

Soal-soal Latihan 4.2

1. Misalkan peubah acak Y_n mempunyai distribusi b(n,p)

a. Buktikan bahwa Y_n/n konvergen dalam peluang ke p

Hasil ini adalah salah satu bentuk dari hukum bilangan besar lemah.

b. Buktikan bahwa (1 - Y_n/n¿ konvergen dalam peluang ke (1- p)

2. Misalkan Sn

2

menyatakan variansi sampel acak berukuran n dari distribusi N

(

μ , σ2

)

_. Buktikan bahwa n Sn

2

/(n−1) konvergen dalam peluang ke σ2

3. Misalkan W_n menyatakan peubah acak dengan rataan μ dan variansi b/np _{di mana p >}

0 , μ dan b adalahkonstanta ( bukan fungsi dari n). Buktikan bahwa W_n konvergen dalam peluang ke μ

Petunjuk: Gunakan ketaksamaan Chebyshev

4. Misalkan Y_n menyatakan statistik order ke n dari sampel acak berukuran n dari distribusi seragam pada interval (0,θ) seperti dalam Contoh 1 pasal 4.1. Buktukan bahwa

Zn=

√

Yn konvergen dalam peluang ke

√

θ

Jika F_n(y) ada , fungsi pembangkit momen yang berpadanan dengan fungsi distribusi

F_n(y) sering menetapkan metode penenfuan yang baik.limit fungsi distribusi untuk menekankan bahwa distribusi dari peubah acak Y_n bergantung atas bilngan bulat n positif . Dalam bab ini kita akan menukiskan fungsi pembangkit momen dari Y_n dalam bentuk M(t,n)

Teorema berikut , yang pada dasarnya modfikasi Curtiss dari teorema Levy dan Cramer , mererangka bagaimana fungsi pembangkit momen dapat digunakan dalam masalah limit distribusi . Suatu bukti teorema menginginkan pengetahauan yang sama segi analisis yang mengjinkan kita untuk menyatakan fungsi pembangkit momen, apbila itu ada, secara tungggal menetapkan distribusi. Sesuai dengan ini , tidak bukti dari teorema diberikan.

Teorema 1

Misalkan peubah acak Y_n mempunyai fungsi distribusi F_n(y) dan fungsi pembangkit momen M(t,n) yang ada untuk −h<t<h untuk semua n. Jika ada fungsi distribusi F(y)

dengan padanannya fungsi pembangkit momen M(t) didefinisikan untuk

|

t

|

≤ h₁≤ h , sehingga lim

n →∞ M(t ,n)=M(t) , maka Yn mempunyai limit distribusi dengan fungsi distribusi F(y)

Dalam beberapa contoh teorema ini adalah tepat untuk menggunakan suatu limit tertentu yang dibentuk dari beberapa mata pelajaran dari kalkulus lanjut. Kita mengacu terhadap limit dari bentuk

lim

n →∞

[

1

+b n+

ψ(n)

n

]

cn

di mana b dan c tidak bergantung atas n dan di mana lim_{n →∞}ψ(n)=0 . Maka

lim

n →∞

[

1+

b n+

ψ(n)

n

]

cn

=lim

n→ ∞

[

1+

b n

]

cn

=ebc

Misalnya

lim

n →∞

[

1−

t2 n+

t3 n3/2

]

−n/2

=lim

n → ∞

[

1−

t2 n+

t3/

√

n

n

]

−n/2

Di sini ¿−t2, c=−1

2 danψ(n)=t 3

/

√

n .

Sesai dengan ini, untuk setiap nilai t tertentu, limit adalah et2/2

Contoh

Misalkan Y_n mempunyai distribusi b(n,p). Andaikan bahwa rataan μ=npadalah sama

M(t)=E

(

et Yn

)

₌

[

(1₋p)+p et

]

n₌

[

1₊μ

(

e

t

−1

)

n

]

n❑

untuk semua nilai t real.Karenanya kita mempunyai lim

n →∞ M(t)=e

μ(et

−1)

untuk semua nilai t real. Karena ada satu distribusi namakan distribusi Poisson dengan rataan μ yang mempunyai fpm ini eμ(et

−1) _{,maka sesuai dengan teorema dan dibawah persyatan}

yang ditetapkan , terlihat bahwa Y_n mempunyai limit distribusi Poisson dengan rataan μ . Kapan saja peubah acak dapat mempunyai limit distribusi sebagai pendekatan terhadap fungsi distribusi eksak.Hasil contoh ini membolehkan kita untuk menggunakan distribusi Poisson.sebagai pendekatan terhadap distribusi binomial apabila n besar dan p kecil.

Ini secara jelas satu keuntungan , untk itu mudah untuk menetapkan tabel untuk untuk distribusi Poisson satu parameter.Dipihak lain , distribusi binomial mempunyai dua parameter dan tabel untuk ini amat kaku. Untuk menggambarkan pendekatan ini , ambil Y mempunyai distribusi binomial dengan n = 50 dan p = 1/25. Maka

P(Y ≤1)=

(

24

25

)

50

+50

(

1 5

)(

24 25

)

49

=0,400

secara pendekatan.Karena μ=np=2 , pendekatan Poisson terhadap peluang ini adalah

e−2 +2e−2

=0,406

Contoh 2

Misalkan Z_n adalah χ2(n) .Maka fpm dari Z_n adalah (1−2t)−n/2;t<1

2 . Rataan dan

variansi dari Z_n berturut-turut n dan 2n . Limit distribusi peubah acak Y_n=

(

Zn−n

)

√

2n akan

diselidiki.

Sekarang fpm dari Y_n akan adalah

M(t ;n)=E

{

exp

[

t

(

Zn−n

√

2n

)

]

}

=e

−tn/√2n_E

[

_et Zn/√2n

]

= exp

[

−

(

t

√

2 n

)

(

n

2

)

]

[

1−2 1

√

2n

]

−n/2

, t<

√

2n

2

M(t ;n)=

(

et√2/n_−t

√

_2/n

)

−n/2_;t<

√

2n

2

Sesuai dengan rumus Taylor , ada bilangan ξ(n),antara 0 dant

√

2/n sehingga

et√2/n_=1+t

√

2

n +

1 2

(

t

√

2

n

)

2

+e

ξ(n)

6

(

t

√

2

n

)

3

Jika jumlah ini disubstitusikan untuk et√2/n _{dalam pernyataan terakhir untuk M(t , n) ,}

terlihat bahwa M(t ;n)=

(

1−t n+

ψ(n)

n

)

−n/2

di mana ψ(n)=¿

√

2t

3

eξ(n)

3

√

n −

√

2t3

√

n −

2t4eξ(n)

3n

Karena ξ(n)→ ∞=0 jika n→ ∞ maka lim_{n →∞}ψ(n)=0 untuk setiap nilai t tertenru. Sesuai limit proporsi , kita mempunyai

lim

n →∞ M(t ; n)=e t2

/2

untuk semua nilai t real.Yaitu peubah acak Y_n=

(

Zn−n

)

√

2n mempunyai limit distribusi normal

baku.

Soal-soal Latihan 4.3

1. Misalkan X_n mempunyai ditribusi gamma dengan parameter α=ndanβ ,di manaβ

bukan fungsi dari n .Misalkan Yn=

X_n

n . Carilah limit distribusi dari Yn

2. Misalkan Znadalah χ

2₍

n) dan ambil W_n=Zn

n2 . Carilah limit distribusi dari Wn

3. Misalkan adalah χ2_{(20) . Hampiri P(40<X<60)}

4. Misalkan p = 0,05 adalah peluang seorang laki-laki dalam grup umur tertentu hidup paling sedikit 5 tahun.

a. Jika kita mengobservasi 60 laki-laki yang demikian dan jika kita mengandaikan independen , carilah pluang bahwa paling sedikit 56 dari mereka hidup 5 tahun atau lebih.

b. Carilah hampiran (pendekatan) terhadap bagian (a) melalui penggunaan distribusi Poisson.

5. Misalkan peubah acak Z_n mempunyai distribusi Poisson dengan parameter μ=n . Tunjukkan bahwa limit distribusi dari peubah acak Yn=

(

Zn−n

)

/

√

n adalah normal

6. Misalkan Sn

2

menyatakan variansi sampel acak berukuran n dari distribusi N

(

μ , σ2

)

_. Telah dibuktikan bahwa n Sn2/(n−1) konvergen dalam peluang ke σ2 . Buktikan bahwa

Sn

2

konvergen dalam peluang ke σ2 _.

7. Misalkan X_n dan Y_n mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter μ1, μ2, σ12, σ22 (tidak bergantung pada n) tetapi ¿1−1/n . Perhatikan distribusi bersyarat dari Yn diberikan Xn=x .Selidiki distribusi bersyarat ini jika n → ∞ .Apakah ada

limit distribusi jika ρ=−1+1/n2

8. Misalkan X´n merupakan rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi Poisson dengan

parameter μ=1

a. Tunjukkan bahwa fpm dari

√

n

(

Xn−μ

)

/σ=

√

n

(

Xn−1

)

diberikan oleh

exp

[

−t

√n

+n

(

et√n₋₁

)

]

b. Selidiki limit distribusi dari Y_n jika n→ ∞

Petunjuk: Gantikan pernyataan et√n _{oleh deret Maclaurin yang ada dalam eksponen}

fungsi pembangkit momen dari Yn

9. Misalkan X´n merupakan rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi yang

mempunyai fdp f(x)=e−x_;0

<x<∞

= 0 ; lainnya.

a. Tunjukkan bahwa fpm M(t , n)dariYn=

√

n

(

X´n−1

)

adalah sama dengan

[

et√n

−(t/√n)et√n

]

−n _{,t <}

√

_{n .}

c. Carilah limit distribusi dari Y_n jika n→ ∞

4.4 Teorema Limit Pusat

Telah dilihat dalam pasal 3.7, bahwa jika X₁, X₂,… , X_n adalah sampel acak dari distribusi normal dengan rataan μdan variansiσ2 , peubah acak

∑

1

n

X_i−nμ

σ

√n

=

√n

(

_X´

n−μ

)

σ

μ berhingga). maka peubah acak

√

n

(

X´n−μ

)

σ mempunyai satu hampiran distribusi normal

dengan rataan nol dan variansi satu. Maka peubah acak itu akan dimungkinkan menggunakan hampiran distribusi normal ini untuk menghitung hampiran peluang mengnai _X´

Teorema 3

Misalkan X₁, X₂,… , X_n menyatakan observasi sampel acak berukuran n dari suatu distribusi yang mempunyai rataan μ dan variansi σ2 _{positif. Maka peubah acak}

Y_n=

∑

1

n

X_i−nμ

σ

√

n =

√

n

(

_X´_n−μ

)

σ

mempunyai limit distribusi normal dengan rataan nol dan variansi satu. Contoh 1

Misalkan _X´ _{menyatakan rata-rata sampel berukuran 75 dari distribusi yang mempunyai fdp}

f(x)=1;0<x<1

= 0 ; lainnya

Dalam hal ini μ=1/2 dan σ2

= 1

12 , sehingga kita mempunyai secara hampiran

P(0,45< ´X<0,55)=P

(

√

n(0,45−μ)

σ <

√

n( ´X−μ)

σ <

√

n(0,55−μ)

σ

)

= P

(

−1,5<

√

n( ´X−μ)

σ <1,5

)

=0,860

Contoh 2

Misalkan X₁, X₂,… , X_n menyatakan sampel acak dari distribusi b(1,p) . Di sini

μ=p , σ2=p(1−p) dan M(t) ada untuk semua nilai t real Jika Y_n=X₁+X₂+…+X_n , maka

Y_n adalah b(n,p) . Kenyataan bahwa

(

Yn−np

)

/

√

np(1−p)=

√

n

(

X´n−p

)

/

√

p(1−p)=

√

n

(

X´n−μ

)

/σ mempunyai limit distribusi

normal dengan rataan nol dan variansi satu. Sering ali statistik menyatakan bahwa Y_n atau lebih sederhana Y , mempunyai hampiran distribusi normal dengan rataan np dan variansi np

(1-p). Meskipun n sekecil 10 , dengan p = 1/2. Sehingga distribusi binomial simetrik terhadap np = 5 , kita perhatikan Gambar 4.1, bagaimanapun baiknya distribusi N(5,5/2), menggambarkan distribusi binomial b(10,/2). Perhatikan bahwa luas segi empat mempunyai alas

Gambar 4.1

Contoh 3

Dengan latar belakang contoh 2 , ambil n = 100 dan p = 1/2 dan andaikan kita ingin menghi-tung P(Y=48,49,50,51,52) .Karena Y adalah peubah acak jenis diskrit , kejadian Y=48,49,50,51,52 dan 47,5<Y<52,5 adalah ekuivalen. Yaitu P(Y=48,49,50,51,52)=¿ P(47,5<Y<52,5) .Karena np = 50 dan np(1 – p) = 25 peluang terakhir dapat dituliskan

P(47,5<Y<52,5)=P

(

47,5−50

5 <

Y−50 5 <

52,5−50

5

)

¿P(−0,5<Z<0,5)

Karena Z = Y−₅50 mempunyai hampiran distribusi normal dengan rataan nol dan variansi

satu. Dari tabel normal menunujukkan peluang ini secara hampiran 0,382.

Soal-soal Latihan 4.4

1. Misalkan _X´ _{menyatakan rata-rata sampel acak berukuran 100, dari distribusi χ}2_{(50) .} Hitung hampiran nilai P(49< ´X<51) .

2. Misalkan _X´ _{menyatakan rata-rata sampel acak berukuran 128, dari distribusi gamma} dengan α=2 danβ=4. Hampiri P(7< ´X<9)

4. Hitung hampiran peluang bahwa rata-rata sampel acak berukuran 15 dari distribusi yang mempunyai fdp f(x)=3x2_;0

<x<1 , nola lainnya antara 3/5 dan 4/5

5. Misalkan Y menyatakan jumlah observasi sampel acak berukuran 12 daaari distribusi yang mempunyai fdp f(x)=1

6;x=1,2,3,4,5,6 , nol lainnya. Hitunglah hampiran nilai P(36≤ Y ≤48)

Petunjuk: Karena kejadian yang diminati adalah Y = 36,37,…,48 tulis kembali peluang ini sebagai P(35.5<Y<48,5)