APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZY.

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR PERNYATAAN ... i

ABSTRAK ... ii

KATA PENGANTAR ... iv

UCAPAN TERIMA KASIH ... v

DAFTAR ISI ... vi

DAFTAR TABEL ... ix

DAFTAR GAMBAR ... xi

DAFTAR LAMPIRAN ... xii

BAB IPENDAHULUAN ... 1

1.1Latar Belakang ... 1

1.2Rumusan Masalah ... 4

1.3Tujuan Penelitian ... 4

1.4BatasanMasalah ... 4

1.5Manfaat Penelitian ... 4

BAB II LANDASAN TEORI ... 6

2.1 Pemrograman Linier ... 6

2.1.1 Istilah dalam Pemrograman Linier... 8

2.2 Permasalahan Transportasi... 10

2.3 Keseimbangan Model Transportasi ... 12

2.4 Solusi Model Transportasi ... 13

2.4.1 Penentuan Solusi Dasar Fisibel ... 14

2.4.1.1 Metode Sudut Barat Laut (Northwest Corner) . 14 2.4.1.2 Metode Ongkos Terkecil (Least Cost) ... 17

2.4.1.3 VAM (Vogel Approximation Method) ... 19

2.4.2 Pengecekan Optimalitas ... 23

2.4.2.1 Metode Batu Loncatan (Stepping Stone) ... 23

2.4.3 Perbaikan Tabel Transportasi ... 29

2.5Bilangan Fuzzy ... 30

2.5.1 Logika Fuzzy ... 30

2.5.2 Himpunan Fuzzy ... 31

2.5.3 FungsiKeanggotaan (Membership Function) ... 32

2.5.4 Operasi Aritmatika Pada Bilangan Fuzzy ... 35

2.6 Bilangan Fuzzy Thorani ... 35

2.7Model Transportasi Fuzzy ... 36

2.7.1 Model Transportasi Fuzzy Seimbang ... 37

2.7.2 Model Transportasi Fuzzy Tidak Seimbang ... 38

2.8Algoritma dan Pemrograman ... 39

2.8.1 Algoritma ... 39

2.8.2 Program dan Pemrograman ... 39

2.8.3 Tipe, Operator dan Ekspresi ... 40

2.8.4 Struktur Dasar Algoritma ... 41

2.8.5 Prosedur dan Fungsi ... 42

2.8.6 Larik ... 42

2.8.7 Matriks ... 43

BAB III PERMASALAHAN TRANSPORTASI FUZZY MENGGUNAKAN METODE THORANI ... 44

3.1 Metode Perangkingan Thorani ... 44

3.2 Prosedur Penyelesaian Masalah Transportasi Fuzzy ... 58

BAB IV PENERAPANMETODE THORANI DALAM PENYELESAIAN PERMASALAHAN TRANSPORTASI FUZZY ... 63

4.1 Pendahuluan ... 63

4.2 Penyelesaian MasalahTransportasi Fuzzy... 65

4.3.1 Diagram Alur Program ... 73

4.3.2 Perangkat Pendukung ... 73

4.3.2.1 Perangkat Lunak Pendukung ... 73

4.3.2.2 Perangkat Keras Pendukung ... 73

4.3.3Tampilan Program Transportasi Fuzzy ... 75

4.3.3.1 Tampilan Jendela Present ... 76

4.3.3.2 Tampilan Jendela Transportasi Fuzzy ... 76

4.3.3.3 Tampilan Jendela Solusi Layak dan Optimal ... 77

4.3.4Tampilan Program Perangkingan Thorani ... 78

4.4 Pengujian Program ... 79

4.4.1 Pengujian Jendela Perangkingan Thorani ... 79

4.4.2 Pengujian Jendela Transportasi Fuzzy ... 80

4.4.3Pengujian Jendela Solusi Layak dan Optimal ... 83

BAB VKESIMPULAN DAN SARAN ... 86

5.1 Kesimpulan ... 86

5.2 Saran ... 86

DAFTAR PUSTAKA ... 88

LAMPIRAN-LAMPIRAN ... 89

BAB III

PERMASALAHAN TRANSPORTASI FUZZYMENGGUNAKAN METODE THORANI

3.1 MetodePerangkinganThorani

Padatahun 2012, Thorani, et al.dalamjurnalnya yang berjudul “Ordering Generalized Trapezoidal Numbers“ memperkenalkansuatu metodeperangkinganuntukmengurutkanbilanganfuzzytrapesium. Padaprinsipnya, Thoranimembagitrapesiumtersebutmenjaditigabuahbidang.Bidangpertamaberupas egitiga,

bidangkeduaberupapersegipanjangdanbidangketigaberupasegitiga.Selanjutnyadila kukanpenghitunganterhadaptitikberat(centroid)untuksetiapbidang.

Titikberat(centroid) sebuah segitiga merupakan titik perpotongan antara ketiga garis berat. Sedangkan garis berat sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu titik sudut sehingga membagi sisi di depannya menjadi dua bagian yang sama panjang. Setelah titik berat setiap bidang diperoleh, langkah selanjutnya

adalah menentukan incenter yang

merepresentasikantitikberatsecarakeseluruhandaribidangtrapesium.

Denganmenggunakannilaiincenter,yaitu dengan mengalikan koordinat incenter

tersebut, selanjutnya dapatmenentukan

nilaihimpunanbilanganfuzzytrapesiumdalambentukhimpunantegasnya,

sehinggadapatdilakukanperangkinganterhadapbeberapabilanganfuzzytrapesium. Diantarabeberapametodeperangkinganuntukmengurutkanbilanganfuzzytrapesi um,

metodeperangkinganThoranimemilikibeberapakeunggulandiantaranyabentuknya yang sederhana, dan dapatmerangkingbeberapa bilanganfuzzytrapesiumdalam bentukbilangantegas(Thorani, et al.2012, hlm. 555). Thorani memberikan contoh

empat buah bilangan fuzzy yaitu

45

menggunakan beberapa metode perangkingan seperti metode perangkingan Yager, metode perangkingan Fortemps dan Roubens, metode perangkingan Liou dan Wang,metode perangkingan Chen dan metode perangkingan Thorani. Hasil pengurutan keempat bilangan fuzzy menggunakan beberapa metode perangkingan dapat dilihat pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Hasil Perbandingan Beberapa Metode Perangkingan

Metode � � � � Urutan

Rangking

Yager 0,20 0,50 0,50 0,70 4 > 2 = 3

> 1 Fortemps

dan Roubens

0,20 0,50 0,50 0,70 4

> 2 = 3

> ₁

Liou dan Wang

= 1 0,25 0,65 0,65 0,75 _{4 > 2 = 3}

> 1

= 0,5 0,20 0,50 0,50 0,70 _{4 > 2 = 3}

> 1

= 0 0,15 0,35 0,35 0,65 ₄ > ₂ = ₃

> ₁

Chen

= 1 -0,20 0,00 0,00 -0,20 _{2 = 3 > 1}

= 4

= 0,5 -0,20 0,00 0,00 -0,20 _{2 = 3 > 1}

= 4

= 0 -0,20 0,00 0,00 -0,20 _{2 = 3 > 1}

= ₄

Thorani 0,0720 0,1948 0,1683 0,2552 4 > 2 > 3

> 1

Berdasarkan Tabel 3.1 dapat dilihat bahwa metode perangkingan Yager, metode perangkingan Fortemps dan Roubens, dan metode perangkingan Liou dan Wang tidak dapat mengurutkan bilangan fuzzy ₂ dan ₃. Begitupun dengan metode perangkingan Chen, akan tetapi metode perangkingan Thorani berhasil mengurutkan bilangan fuzzy ₁, ₂, ₃, ₄.

Thorani, et al.(2012, hlm. 561-562) memberikan prosedur untuk memperolehrumusperangkingan Thorani, yaitu sebagai berikut :

46

Perhatikan Gambar 3.1, pada langkah pertama ini yang dilakukan yaitu membagitrapesiummenjaditigabuah bidangyang terdiri dari sebuahbidangpersegipanjang (BPQC) danduabuahbidangsegitiga (APB dan CQD).

Gambar 3.1 KurvaBilanganFuzzyTrapesium

Langkah 2

Pada langkah kedua ini akan menentukantitikberatsetiapbidang.Misalkan � merupakan titik berat untuk bidang ke i = 1, 2, 3 , dinotasikan sebagai berikut:

� = ( , ) (3.1)

dimana dan diperoleh dengan menggunakan konsep integral sebagai berikut:

= −

− (3.2)

= 1

2 2

− ( ) 2

− ( ) (3.3)

Selanjutnya akan menentukan titik berat dari setiap bidang dengan menggunakan persamaan (3.2) dan persamaan (3.3).

a) Titikberatbidang APB.

Misalkan titikberatbidang APB adalah�₁. Selanjutnya akan menentukan nilai �1= ( 1, 1).

Misalkan ₁ adalah garis yang menghubungkan titik , 0 dan ,

dan misalkan pula ( 1, 1) = , 0 dan 2, 2 = ( , ), maka:

− 1

2− 1

= − 1

2− 1

w

A(a,0) B(b,0) C(c,0) D(d,0) Q(c,w)

P(b,w)

47

Diketahui ₁ = 0merupakan garis yang menghubungkan titik , 0 dan

, 0 . Selanjutnya dengan mensubstitusikan ₁ dan ₁ pada persamaan (3.2) dan persamaan (3.3), akan diperoleh:

48 b) Titikberatbidang BPQC.

Misalkan titikberatbidang BPQCadalah�₂. Selanjutnya akan menentukan �2 = ( 2, 2).

Misalkan diketahui ₂ = dan ₂ = 0, selanjutnya dengan mensubstitusikan ₂ dan ₂ pada persamaan (3.2) dan persamaan (3.3), akan diperoleh:

49

Berdasarkan penurunan rumus tersebut di atas, diketahui bahwa titik berat bidang BPQC adalah pada titik �₂ = +

2 ,2 .

█

c) Titikberatbidang CQD.

50

Diketahui ₃ = 0merupakan garis yang menghubungkan titik ( , 0)

dan ( , 0). Selanjutnya dengan mensubstitusikan ₃ dan ₃ pada persamaan (3.2) dan persamaan (3.3), maka akan diperoleh:

51

Berdasarkan penurunan rumus tersebut di atas, diketahui bahwa titik berat bidang BPQC adalah pada titik �₃ = 2 +

3 ,3 .

█

52

Gambar 3.2 KurvaBilanganFuzzyTrapesium (Centroid � ,� ,� )

Langkah 3

Berdasarkan langkah 2, telah diketahui titik berat dari masing-masing bidang yaitu �₁,�2, dan�3. Pada langkah ini yang dilakukan yaitu menarik garis yang menghubungkanketigatitikberattersebutsehinggaterbentuksebuahsegitiga�₁�₂�₃. Dengan kata lain, �₁,�2,�3non-collinear danmembentuksuatu segitiga.

Gambar 3.3 KurvaBilanganFuzzyTrapesium

Langkah 4

Pada langkah 4 ini yang dilakukan yaitu akan menentukan titikberatdarisegitiga�₁�₂�₃. Misalkan G adalah titikberatdarisegitiga�₁�₂�₃. G disebutjuga sebagai incenteratautitikpusatlingkarandalamsegitiga�₁�₂�₃.

Dengan mengunakan rumus untuk memperoleh koordinat-koordinat ( ₀, ₀)dari pusat massa yaitu

0 = �

= =1

=1

(3.4)

0 = �

= =1

=1

(3.5)

akan dicari titik berat dari segitiga �₁�₂�₃.

Sebelumnya telah diketahui �₁ = +2

3 ,3 ,�2 = +

2 ,2 dan�3=

2 +

3 ,3 .Sehingga, 1 = +2

3 , 2 = +

2 , 3= 2 +

3 , 1 = 3, 2 = 2dan 3 =

3.

�3

w

�3

A(a,0) B(b,0) C(c,0) D(d,0) Q(c,w)

P(b,w)

�1

�2

54

Berdasarkan langkah-langkah diatas diperoleh definisi 3.1 yang merupakan definisi perangkingan Thorani.

Definisi 3.1

Fungsirangkingdaribilanganfuzzy trapesium umum = , , , ; yang memetakan semua bilangan fuzzy ke himpunan bilangan real adalah:

= 0. 0 = Arti geometris dari perangkingan Thorani pada persamaan (3.10) dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 3.5Rangking Thorani Secara Geometris

55

seperti terlihat pada Gambar 3.5, dengan ( 0 , 0) merupakan koordinat dari

incenter segitiga �₁�₂�₃.

PadaperangkinganbilanganfuzzydenganmenggunakanmetodeThorani,langkah

yang dilakukanadalahmenentukan

centroidatautitikberatdaritigabagianbidangtrapesium.Selanjutnya menentukan

incenter (titikpusatlingkarandalamsegitiga) segitiga yang terbentukdengancaramenghubungkantitik-titikcentroid.

Denganmenggunakanincentersebagaititikberatuntukbilanganfuzzytrapesium, perangkingandenganmetodeThoranimampumerangkingberbagaibilanganfuzzy, danmampu mengurutkanbilanganfuzzy (Thorani, et al.2012, hlm. 570).

Thoranitidakmemberikanperumusansecarakhususterkaitbilanganfuzzysegitiga, tetapiThoranimemperolehbilanganfuzzysegitigadenganmereduksibilanganfuzzytrap esiumketikanilai = pada bilangan fuzzy = , , , ; . Bilangan fuzzy segitiga = , , ; dinyatakan dalambentukkurvasebagaiberikut :

Gambar 3.6KurvaBilanganFuzzySegitiga

Incenteruntukbilanganfuzzysegitigadirumuskansebagai:

� ( ₀, ₀) =

+2

3 + + 2 +

3

+ + ,

3 + 2 + 3

+ + (3.11) dengan

=

(2 −2 ) 2₊ 2

6

=

( − )2

3

=

(2 −2 )2₊ 2

6

Definisi 3.2

w

56

Fungsi ranking dari bilangan fuzzysegitiga = , , ; yang memetakan semua bilangan fuzzysegitigake himpunan bilangan real adalah

( ) = ₀. 0 =

+2

3 + +

2 + 3

+ +

.

3 + 2 + 3

+ + (3.12)

Metode perangkingan Thorani pada persamaan (3.10) dan (3.12) memenuhi sifat linieritas. Konsep sifat linieritas pada bilangan fuzzy pada dasarnya sama dengan konsep linieritas pada fungsi, seperti halnya kelinieran sebuah fungsi terhadap perkalian dengan skalar juga berlaku pada bilangan fuzzy. Untuk lebih lengkapnya dapat dilihat pada Proposisi 3.1.

Proposisi 3.1

Fungsi rangking merupakan fungsi linear dari bilangan fuzzy trapesium

= , , , ; . Misalkan, ₁= ₁, ₁, ₁, ₁; ₁ dan ₂ =

2, 2, 2, 2; 2 yang merupakan bilangan fuzzy trapesium, dan 1, 2 berupa skalar maka berlaku :

(i). _{1 1}⨁ _{2 2} = _{1 1} + ₂ ( ₂), jika ₁ = ₂ = 1

1 1⨁ 2 2 1 1 + 2 ( 2), jika 1 ≠ 2 (ii). − =− ( )

(iii). ⨁ − = 0

Pembuktian Preposisi 3.1 dapat dilihat pada Lampiran 1 halaman 89-101.

Selain definisi 3.1, terdapat beberapadefinisilainnya yang dapatdigunakanuntukmelakukanperangkinganterhadapduabuahbilanganfuzzy (Thorani,et al.2012, hlm.563):

Definisi 3.3

Mode ( ) dari bilangan fuzzy trapesium umum = , , , ;

didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:

= 1

2 ₀ + = 2 + (3.13)

57

Spread ( ) atau sebaran dari bilangan fuzzy trapesium umum =

, , , ; didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:

= − = ( − )

0

(3.14)

Definisi 3.5

Left spread ( ) atau sebaran kiri dari bilangan fuzzy trapesium umum =

, , , ; didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:

= − = −

0

(3.15)

Definisi 3.6

Right spread ( ) atau sebaran kanan dari bilangan fuzzy trapesium umum = , , , ; didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:

= − = −

0

(3.16)

Dengan menggunakan definisi-definisi yang telah disebutkan diatas, apabila diberikanduabuahbilanganfuzzytrapesiumumum,

misalkan = 1, 1, 1, 1; 1 dan = 2, 2, 2, 2; 2 , dan dapat diurutkandengan terlebih dahulu mengkonversi dan menjadi bentuk crisp melalui serangkaian langkah-langkah yang dikenal sebagai algoritma urutan sebagai berikut(Thorani,et al.2012, hlm.564):

 Langkah 1 :

Menentukan nilai ( ) dan ( )

Kasus (i) : Apabila ( ) > ( ),maka >

Kasus (ii) : Apabila ( ) < ( ),maka <

Kasus (iii) : Apabila = ( )maka perbandingan tidak mungkin, maka harus berlanjut pada langkah 2.

 Langkah 2 :

Menentukan nilai m ( ) dan m ( )

58

Kasus (ii) : Apabila ( ) < ( ),maka <

Kasus (iii) : Apabila = ( ),maka perbandingan tidak mungkin, maka berlanjut pada langkah 3.

 Langkah 3 :

Menentukan nilai ( ) dan ( )

Kasus (i) : Apabila ( ) > ( ), maka >

Kasus (ii) : Apabila ( ) < ( ), maka <

Kasus (iii) : Apabila ( ) = ( ),maka perbandingan tidak mungkin, maka berlanjut pada langkah 4.

 Langkah 4 :

Menentukan nilai ( ) dan ( )

Kasus (i) : Apabila ( ) > ( ), maka >

Kasus (ii) : Apabila ( ) < ( ),maka <

Kasus (iii) : Apabila ( ) = ( ),maka perbandingan tidak mungkin, berlanjut pada langkah 5.

 Langkah 5 :

Melakukan uji nilai ₁dan ₂

Kasus (i) : Apabila ₁ > 2, maka > Kasus (ii) : Apabila ₁ < ₂, maka <

Kasus (iii) : Apabila ₁ = 2, maka ≈

3.2 Prosedur Penyelesaian Masalah Transportasi Fuzzy

Padatahun 2013, Thoranidan Shankar dalamjurnalnya yang berjudul “Fuzzy Transportation Linear Programming Models based on L–R Fuzzy Numbers“

memperkenalkanmetodeuntukmencarisolusi optimal

daripermasalahantransportasifuzzy. Metode tersebut kemudian dikenal sebagai Metode Thorani.Metode Thorani dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program linier. Permasalahantransportasi merupakan bagian dari

permasalahan program linier,

59

resentasikanbiayapendistribusian,

nilaipenawarandannilaipermintaansebagaibilanganfuzzytrapesium.Thoranimempu nyaifungsi perangkingan tersendiri yang dapat digunakan untuk mengubah bilangan fuzzytrapesium menjadi bentuk crisp, yaitu menggunakan metode perangkingan Thorani. Selanjutnya, untuk mencari solusi optimal dari permasalahantransportasifuzzy, Thorani menggunakanmetode yang biasadigunakanuntukmenyelesaikan permasalahantransportasiklasik.

MisalkanpermasalahantransportasifuzzysepertidisajikandalamTabel

2.13,berikutadalahprosedurdarimetodeThoranidenganmenggunakanmetodeperang kinganThoraniuntukmenyelesaikanpermasalahantransportasifuzzy (Thorani, et al.,2012; Thoranidan Shankar, 2013) :

1. Periksakeseimbangan model transportasi fuzzy.

Keseimbangan model dapat diketahui dengancara menghitung total penawaranfuzzy ₌₁ dan total permintaanfuzzy ₌₁ . Misalkan = ( , , , ) dan = ( ′, ′, ′, ′), banyaknyasumberdan mewakili banyaknya tujuan.

Kasus (i)

Jika ₌₁ = ₌₁ , maka permasalahan transportasi fuzzysudahseimbang, lanjutkankelangkahkedua.

Kasus (ii)

Jika ₌₁ , ₌₁ , maka permasalahan

transportasifuzzybelumseimbang.Konversi model tersebutsehinggamenjadi model transportasifuzzyseimbang.Langkah yang perludilakukanuntuk menjadikan model transportasifuzzyyang seimbangsebagaiberikut:

i. Jika ′, − ′ − ′, − ′ − ′, dan − ′ − ′, maka tambahkan sebuah sumber dummy ₊₁ dengan penawaran fuzzy ′ −

, ′ − , ′ − , ′ − .Asumsikanbahwabiayadistribusi per unit komoditidarisumberdummy ₊₁ke

60

ii. Jika ′, − ′ − ′, − ′ − ′, dan − ′ − ′, maka tambahkan sebuah tujuan dummy ₊₁ dengan permintaanfuzzy −

′, − ′, − ′, − ′ . Asumsikanbahwabiayadistribusi per unit komoditidarisetiap

sumberketujuandummy ₊₁sebagaibilanganfuzzytrapesium nol.

iii.Jikatidakmemenuhi (i) atau (ii)

makatambahkansumberdummy ₊₁dantujuandummy ₊₁.

Penawaranfuzzysebesar ( � 0, ′− , � 0, −

′ _{+ � {0, (} ′₋ ′_{)− − },}

� {0, − ′} + � 0, ′− ′ − − +

� 0, ′− ′ − − , � {0, − ′} +

� 0, ′− ′ − − + � 0, ′− ′ −

− + � 0, ′− ′ − − )padasumberdummy ₊₁

dan tidak ada permintaan pada tujuandummy ₊₁.

Permintaanfuzzysebesar( � 0, − ′ , � 0, −

′ _{+ � 0, − −} ′ ₋ ′ _{, � 0, −} ′ ₊

� 0, − − ′ − ′ + � 0, − −

′ ₋ ′ _{, � 0, −} ′ _{+ � 0, − −}

′ ₋ ′ _{+ � 0, − −} ′ ₋ ′ _{+ �}

0, − − ′ − ′ )ditujuandummy ₊₁ dan tidak ada penawaran di

sumberdummy ₊₁.

Asumsikan biayadistribusi per unit komoditidarisumberdummyke setiaptujuan (termasuk tujuan dummy), dandari setiapsumber (termasuk sumber dummy)ketujuandummysebagaibilanganfuzzytrapesium nol.

2. Gunakan algoritma urutanpada metode perangkingan Thorani untuk mengkonversi permasalahan transportasi fuzzy pada langkah pertama.

Permasalahan transportasi fuzzy pada langkah pertama dapat ditulis sebagai:

Minimumkan = _{=1 =1} ( )

61

=1

= ( )

= ( )

=1

0, ∀ = 1,2,…, dan = 1,2,…,

Gunakanrumus perangkingan Thorani pada persamaan 3.8 untukmenghitung ( ), ( ) dan . Sehingga permasalahan transportasicrisppadalangkahpertamamenjadi:

Minimumkan ( ₁₁) ₁₁ + ( ₁₂) ₁₂+ + ( ₁ ) ₁₁+ ( ₂₁) ₂₁ + ( 22) 22+ + ( 2 ) 2 + + ( 1) 1

+ ( 2) 2+ + ( )

Denganpembatas :

11 + 12+ …+ 1 = ( 1)

21+ 22+ …+ 2 = ( 2)

1+ 2+ …+ = ( )

11+ 21 + …+ 1 = ( 1)

12+ 22+ …+ 2= ( 2)

1 + 2 + …+ = ( )

0, ∀ = 1,2,…, dan = 1,2,…,

Apabila terdapat bilangan fuzzy yang memiliki rangking atau nilai crisp yang sama, maka berdasarkan algoritma urutan, bilangan fuzzy tersebut tidak dapat dibandingkan sehingga harus dilakukan tahap selanjutnya pada algoritma urutan yaitu menghitung modedari bilangan fuzzy yang memiliki nilai crisp yang sama. Pada langkah kedua inilah algoritma urutan digunakan.

3. Selesaikanpermasalahantransportasicrisp yang

62

4. Hitung total biayafuzzy minimum denganmensubstitusikansolusi optimal yang diperolehdarilangkahketigakefungsitujuan = _{=1 =1} .