PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL DAN PENERAPANNYA Skripsi

PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL

DAN PENERAPANNYA

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

Patrisia Esti Widyaningrum

NIM. 031414016

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA 2008

HALAMAN PERSEMBAHAN

“ Segala Perkara dapat kutanggung di dalam Dia yang memberi kekuatan kepadaku. “

(Filipi 4 : 13)

” Sukacita yang terbesar di dalam hidup ini bukan ketika kita dapat menyelesaikan masalah. Namun justru ketika kita menyadari bahwa di balik masalah ada maksud Tuhan yang indah. Tuhan tidak akan menguji kita melebihi kekuatan kita. ”

(Anonim)

Dengan penuh kasih aku persembahkan karyaku ini untuk : Tuhan Yesus dan Bunda Maria

Orang tuaku tercinta A. Parwoto & A. Endah Martiniati yang selalu mengasihiku

Adikku K. Bayu Prianggono & T. Tirto Tri W

Keluarga, sahabat, dan rekan-rekanku yang selalu mendukungku Almamaterku,Universitas Sanata Dharma

ABSTRAK

Tujuan dari penulisan skripsi ini dengan judul Persamaan Diferensial Bessel dan Penerapannya adalah mengetahui penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan metode deret kuasa dan mengetahui terapan Persamaan Diferensial Bessel dalam bidang fisika.

Metode yang dipakai dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka yaitu mempelajari buku teks yang berkaitan dengan penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan metode deret kuasa.

Persamaan Diferensial Bessel merupakan bentuk khusus dari persamaan diferensial linear homogen orde kedua dengan koefisien variabel, dimana bentuk umum Persamaan Diferensial Bessel adalah x2y''+xy'+

(

x2−p2

)

y=0, dengan p adalah suatu konstanta sembarang, sehingga persamaan diferensial tersebut disebut dengan Persamaan Diferensial Bessel orde p.

Langkah-langkah menyelesaikan Persamaan Diferensial Bessel : 1. Menentukan akar persamaaan indicial

Dengan metode Frobenius, jika adalah titik singular regular diperoleh

penyelesaian deret kuasa berbentuk

0

x

( )

∑

∞

(

)

=

− −

=

0

n

n o n r

o a x x

x x x

y , dengan r

adalah akar dari persamaan indicial dari titik singular regular tersebut dan diperoleh r = p dan r = -p.

2. Menentukan relasi perulangan untuk r = p dan menentukan fungsi Bessel jenis pertama dengan orde p.

Jika r = p, diperoleh

(

)

p n n

a

an n

2

2 + −

= −

, dengan n 2 sehingga diperoleh

untuk n adalah bilangan bulat positif dan

≥

0

=

n

a

( )

(

)

! !

2 1

2 2

p n n

a _n

n n

+ − −

= .

Karena p adalah bilangan bulat positif, maka diperoleh fungsi

( )

( )

(

)

n p n

n p x

J = x

p n n

+ ∞

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −

∑

2

0 ! ! 2

1

yang sering disebut dengan fungsi Bessel jenis

pertama dengan orde p.

3. Menentukan relasi perulangan untuk r = -p dan menentukan fungsinya.

Jika r = -p diperoleh

(

)

p n n

a

an n

2

2 − −

= −

, dengan n≥2 dan n 2p, sehingga

diperoleh untuk n adalah bilangan bulat ganjil

dan

≠

0

=

n a

( )

(

)

! !

1

2

n n n

n

− −

2

2

p n =−

a . Jika kedua akarnya bukan bilangan bulat positif

maka penyelesaiannya menjadi J−p

( )

x , yaitu

( )

( )

(

)

∑

∞

=

−

− ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

1n

p

−

0

2

2 ! !

n

p n p

x n

n x

J = .

4. Menentukan penyelesaian kedua dari Persamaan Diferensial Bessel dengan kombinasi linear antara J_p dan y_p.

Karena akar-akar persamaan indicialnya berbeda, maka penyelesaian kedua Persamaan Diferensial dapat dinyatakan menjadi

, dengan c adalah kostanta dan c

( )

x a x cJ

( )

x x

y p

p n n

n

p ln

0

+

= ∞ −

=

∑

≠0.

Penyelesaian kedua Persamaan Diferensial Bessel orde p merupakan kombinasi linear dari dan , maka kombinasi linear Persamaan

Diferensial Bessel orde p dilambangkan dengan

p

J yp

( )

x

Y_p dan dinyatakan menjadi

( )

{ ( )

( ) ( )

(

) }

! ! 1 2

1 ! 2 1 2

ln

2 1 2

0

1 1

2

0 n

n x

k k n p x x

x J x

Y

p n p

n p

n

k

n

k p

n

n n

p

− − ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ +

⎟ ⎠ ⎞ −

⎢⎣ ⎡ ₊ =

− −

= +

= =

+

∞

=

∑ ∑

∑

∑

π

1 !

n

n ⎜

⎝ ⎛

p

+ ⎥⎦ ⎤

γ

dengan n = p dan γ adalah kostanta Euler dan penyelesaian ini disebut Fungsi Bessel jenis kedua orde p.

5. Menentukan penyelesaian umum dari Persamaan Diferensial Bessel.

Penyelesaian umum Persamaan Diferensial Bessel orde p adalah

( )

x c J x J

c

y= 1 p + 2 −p

( )

, dimana c1 dan c2 adalah konstanta sebarang.

Penerapan dari Persamaan Diferensial Bessel dapat ditemukan pada getaran yaitu pada getaran rantai yang digantung dan getaran membran lingkaran.

Abstract

The purpose of this graduating paper with title Bessel’s Differential Equation and Application is to show how the power series method can be modified to obtain solution of Bessel’s Differential Equation and to acknowledge the application in physics.

The method applied in this graduating paper is the library research which is focused on studying and researching text books relevant to the subject matter solution of Bessel’s Differential Equation with power series method.

Bessel’s Differential Equation is a special form of second order linear homogen differential equation with variable coefficient, where the general form Bessel’s Differential Equation is x2y''+xy'+

(

x2 −p2

)

y=0, with p is arbitrary constant and is called Bessel’s Differential Equation order – p.

The steps of the problem solving of Bessel’s Differential Equation: 1. Determine the roots of the indicial equation

By using Frobenius method, we observe that x₀ =0 is a regular singular

point, obtain solution of power series is

( )

∑

(

)

∞

=

− =

0

0

n n x x a x

y − ₀

n r x

x , with r

is the roots of the indicial equation and has r = p and r =−p.

2. Determine recurrence relation to r = p and Bessel function of the first kind of order p.

If r = p, we obtain

(

)

p n n

a

a n

n

2

2 + −

= −

, with and the known value

with n is positive integer, thus

2 ≥

n

0

=

n

a

( )

(

)

! !

22nn

−1

2

p n

n n

+ −

=

a . Because p is a

positive integer obtain function

( )

∑

( )

(

)

∞

=

+

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ !

1n

p

− =

0

2

2 !

n

p n

p

x n

n x

J is called Bessel

Function of the first kind of order p.

3. Determine recurrence relation to r =−p and function it.

If r =−p, we obtain

(

)

p n n

a

a n

n

2

2 + −

= −

, with and and we

obtain

2 ≥

n n≠2p

0

=

n

a where n is an odd integer and

( )

(

p

)

!

n

+

! 1

2

n n n

−

22n

− =

a . If the roots

is unequal an odd integer, has a solution

( )

∑

(

( )

)

∞

=0 !

n n

−

− ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − =

2

2 !

1n n p

p

x p n x

J .

4. Determine the second solution of Bessel’s Differential Equation with linear combination of J_p dan y_p.

Because the roots of indicial equation unequal the second solution of Bessel’s

Differential Equation has form , where c is

constant and . The second solution of Bessel’s Differential Equation order p is linear combination of , we obtain

( )

x a x c J

( )

x x

y _p

n

p n n

p ln

0

∑

∞

=

− ₊

=

p p dan y

0 ≠

c

J Y_p

( )

x and is assumed

( )

( )

( ) ( )

(

)

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

− − ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ ₊ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ ₊

=

∑

∑ ∑

∑

−

=

− +

= =

+ ∞

=

1

0

1 2

1 1

2

0

1 2

1 1 ! !

2 1 2

ln

2 p

n

n p

n

k

n

k p

n n

n n

p

n n p x

k k p n n

x x

x J x

Y γ

π

where n = p and γ is a number called Euler’s constant and the solution is called Bessel Function of the second kind of order p.

5. Determine the general solution of Bessel’s Differential Equation

The general solution of of Bessel’s Differential Equation of order p is given by y=c₁J_p

( )

x +c₂J_−p

( )

x , where c₁ andc₂ is arbitrary constants.

Application of Bessel’s Differential Equation arises in the oscilation of a hanging chain and the circular membrane.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur ke hadirat Allah Bapa di Surga karena penulis dapat

menyelesaikan skripsi dengan judul “Persamaan Diferensial Bessel dan

Penerapannya”. Skripsi ini penulis susun untuk memenuhi salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan

Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan di Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

Selama penyusunan skripsi ini banyak kesulitan dan hambatan yang penulis

alami. Namun dengan bantuan berbagai pihak semua kesulitan dan hambatan

tersebut dapat teratasi. Untuk itu, dalam kesempatan ini penulis dengan tulus hati

ingin mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada :

1. Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang selalu menjaga, melindungi, dan

menuntun langkahku. Puji syukur atas segala berkat dan anugerah yang telah

kuterima.

2. Bapak Drs. A. Tutoyo, M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah

membimbing, mengarahkan dengan sabar, menyediakan waktu, dan

memberikan masukan serta kritikan yang berharga kepada penulis selama

proses penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Dr. St. Suwarsono selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika

dan Bapak Drs. Al. Haryono selaku dosen pembimbing akademik 2003 dan

Drs. A. Mardjono dan Dr. Susento M.Si selaku dosen penguji yang telah

xi

banyak memberikan bantuan selama penulis menempuh kuliah serta atas

masukan dan kritikan yang bermanfaat untuk penyempurnaan skripsi ini.

4. Segenap dosen dan karyawan JPMIPA yang telah membantu penulis selama

kuliah hingga penyelesaian skripsi ini.

5. Kedua orang tuaku dan kedua adikku atas doa yang tak pernah kunjung henti,

cinta, kasih sayang, perhatian, kesempatan, nasehat, dan dorongan yang

diberikan baik secara materiil maupun spiritual.

6. Sahabat-sahabatku yang telah membantuku mengetik. Terima kasih untuk

semuanya dan kebersamaannya.

7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah rela

membantu penulis hingga selesainya proses penyusunan skripsi ini.

Semoga segala bantuan, perhatian, serta dukungan yang telah diberikan akan

mendapat imbalan dari Tuhan Yang Maha Esa. Penulis menyadari masih banyak

kekurangan dan kesalahan dalam skripsi ini. Karena itu penulis sangat

mengharapkan masukan dan saran dari pembaca demi perbaikan skripsi ini.

Akhir kata, penulis berharap semoga skripsi yang tidak sempurna ini bermanfaat

bagi setiap pembaca.

Yogyakarta, 26 Mei 2008

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………. ii

HALAMAN PENGESAHAN………... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN……….iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA……….v

ABSTRAK……….…………vi

ABSTRACT……….………..viii

KATA PENGANTAR………....x

DAFTAR ISI………...xii

BAB 1. PENDAHULUAN ………..…..1

1.1. Latar Belakang ……….…....1

1.2. Rumusan Masalah ………...4

1.3. Tujuan Penulisan ………...4

1.4. Metode Penulisan ………....4

1.5. Sistematika Penulisan ……….5

BAB 2. LANDASAN TEORI………...………6

2.1. Deret Tak Hingga……… ………....6

2.2. Deret Kuasa……… ………..………..…..11

2.3. Persamaan Diferensial Linear Homogen orde dua dengan koefisien berubah………...22

xiii

2.3.1. Titik biasa dan titik singular……..……….22

2.3.2. Deret kuasa sebagai penyelesaian di sekitar titik biasa ……….25

2.3.3. Deret kuasa sebagai penyelesaian di sekitar titik singular……..……...29

BAB 3. PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL..………..54

3.1. Penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan orde nol………..…..…55

3.2. Penyelesaian deret Persamaan Diferensial Bessel dengan orde p.…...….63

3.3. Penerapan Penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel…...………..77

3.3.1 Getaran rantai yang digantung…..…..………..77

3.3.2 Getaran membran lingkaran……….………81

BAB 4. .PENUTUP………..89

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. LATAR BELAKANG MASALAH

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan atau

derivatif dan diferensial dari satu fungsi atau lebih yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial dibedakan menjadi dua, yaitu persamaan diferensial

biasa dan persamaan diferensial parsial. Jika fungsi yang belum diketahui

dalam persamaaan diferensial bergantung hanya pada satu variabel bebas,

maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa, sedangkan jika

fungsi yang belum diketahui bergantung pada lebih dari satu variabel bebas

maka persamaan itu disebut persamaan diferensial parsial.

Contoh :

x dx + 2y dy = 0 (1)

0 6 4

3

2 2

= + +

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

y dx dy dx

y d

(2)

0

= ∂ ∂ + ∂ ∂

y u x u

(3)

x x

u y

u

+ = ∂ ∂ + ∂ ∂

1

2 2

2 2

(4)

Dari contoh di atas, dapat dilihat bahwa (1) dan (2) merupakan contoh

persamaan diferensial biasa, dimana y menyatakan fungsi yang belum

diketahui ( atau variabel tak bebas ) dan x menyatakan variabel bebas.

Sedangkan (3) dan (4) merupakan contoh persamaan diferensial parsial,

karena memiliki lebih dari satu variabel bebas yaitu x dan y. Dari contoh di

atas, dapat diketahui bahwa bentuk umum persamaan diferensial biasa adalah

(

x,y,y',y'',...,y(n)

)

=0

f

dengan x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat, sedangkan

bentuk umum dari persamaan diferensial parsial adalah

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

n n

y z y

z y x

z x

z y z x z z y x

f , , , , , , , ,...,

2 2 2

2 2

= 0

Persamaan diferensial diklasifikasikan menurut tingkat atau orde dan

derajat. Tingkat atau orde persamaan diferensial adalah tingkat turunan atau

derivative tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial tersebut.

Derajat persamaan diferensial adalah pangkat dari turunaan atau derivatif

tingkat tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial tersebut.

Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa contoh (1) merupakan tingkat 1

dan derajat 1, contoh (2) mempunyai tingkat 2 dan derajat 3, contoh (3)

merupakan persamaan diferensial parsial dengan tingkat 1 dan derajat 1,

sedangkan contoh (4) dengan tingkat 2 dan derajat 1.

Dalam penulisan ini hanya akan dibahas mengenai persamaan diferensial

linear. Persamaan diferensial linear tingkat-n disebut linear dalam y jika

mempunyai bentuk umum

( )

_{x y}( ) _a

( )

_{x y}( ) _a

( )

_{x y a}

( )

_{x y f}

( )

_x

a_n n + _n−1 n−1 + ₁ ' + ₀ = (5) dimana a_n

( )

x ≠0 dan dan f(x) adalah fungsi – fungsi kontinu

dalam suatu interval. Fungsi

n a a a

a₀, ₁, ₂,...,

( )

x

koefisien, sedangkan f(x) disebut fungsi masukan (input) atau penggerak

(driving).

Jika f(x) = 0, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial linear

homogen dan jika f(x) ≠ 0 untuk semua x dalam [a, b], persamaan disebut

persamaan diferensial linear tak homogen.

Bila semua koefisien a0

( ) ( ) ( )

x ,a1 x,a2 x ,...,an

( )

x adalah konstanta real, maka

persamaan diferensial linear itu disebut persamaan diferensial linear dengan

koefisien konstan, sedangkan apabila koefisien – koefisiennya berubah, maka

disebut persamaan diferensial linear dengan koefisien peubah ( variabel).

Dalam penulisan ini akan dibahas mengenai persamaan diferensial linear

homogen orde dua dengan koefisien variabel. Persamaan diferensial linear

homogen orde dua dengan koefisien variabel mempunyai bentuk umum :

( )

'' ₁

( )

1 ₀

( )

0

2 x y +a x y +a x y =

a , dimana a₂

( )

x ≠0

Persamaan diferensial linear homogen orde dua mempunyai beberapa terapan,

antara lain dalam getaran (vibrasi). Dari beberapa persamaan diferensial linear

homogen orde dua dengan koefisien variabel yang dikenal adalah persamaan

diferensial yang disebut Persamaan Diferensial Bessel. Untuk memperluas

pengetahuan mengenai persamaan diferensial biasa yang telah dipelajari maka

dipelajari Persamaan Diferensial Bessel yang memiliki bentuk umum :

(

2 2

)

0

' ''

2 + + − =

y p x xy y x

dimana p adalah suatu konstanta sembarang, sehingga Persamaan Diferensial

Metode penyelesaian persamaan diferensial linear homogen orde dua

dengan koefisien variabel yang digunakan adalah metode deret kuasa.

Mengingat pentingnya persamaan diferensial linear homogen orde dua

dalam terapan, maka penulis ingin membahas tentang Persamaan Diferensial

Bessel yang penerapannya terdapat dalam bidang fisika yaitu dalam getaran

rantai yang digantung dan getaran membran lingkaran.

1.2. RUMUSAN MASALAH

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan ini dapat dirumuskan

sebagai berikut:

1. Bagaimana cara menyelesaikan Persamaan Diferensial Bessel?

2. Apa saja terapan dari Persamaan Diferensial Bessel?

1.3. TUJUAN PENULISAN

1. Mengetahui penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan metode

deret kuasa.

2. Mengetahui terapan Persamaan Diferensial Bessel dalam bidang fisika

1.4. METODE PENULISAN

Metode yang akan digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu mempelajari

buku – buku teks yang berkaitan dengan penyelesaian Persamaan Diferensial

1.5. SISTEMATIKA PENULISAN

1. Pendahuluan

1.1. Latar Belakang Masalah

1.2. Rumusan Masalah

1.3. Tujuan Penulisan

1.4. Metode Penulisan

1.5. Sistematika Penulisan

2. Landasan Teori

2.1. Deret Tak Hingga

2.2. Deret Pangkat

2.3. Persamaan diferensial linear homogen orde dua dengan koefisien

berubah

2.3.1. Titik biasa dan titik singular

2.3.2. Deret kuasa sebagai penyelesaian di sekitar titik biasa

2.3.3. Deret kuasa sebagai penyelesaian di sekitar titik

singular yang regular

3. Persamaan Diferensial Bessel

3.1. Penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan orde nol

3.2. Penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel dengan orde p

3.3. Penerapan dari Persamaan Diferensial Bessel

3.3.1. Getaran rantai yang digantung

3.3.2. Getaran membran lingkaran

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Deret Tak Hingga

Suatu barisan tak hingga didefinisikan dan ditulis

(1)

{ }

a_n =a₁,a₂,a₃,...,a_n,....

Deret tak hingga adalah bentuk dari a₁+a₂ +a₃ +...+a_n +.... yang

dilambangkan dengan notasi sigma

(2)

∑

∞

=0

n n a

,.... , , _{2 3}

1 a a

a

3 2 1

disebut suku – suku deret tak hingga dan

.... ...+ +

+ +

+a a

a

{ }

sn

n a

n a a

s

dapat dipandang sebagai barisan jumlah parsial

dimana = ₁+ ₂ +a₃ +...+a_n.

Definisi 2.1.1

Andaikan adalah suatu deret tak

hingga dan andaikan

.... ...

3 2 1 1

+ + + + + =

∑

∞

=

k n

n a a a a

a

{ }

sn

n a

adalah barisan jumlah parsial deret.

Deret disebut konvergen bila barisan jumlah parsial

{ }

konvergen. Menurut definisi barisan

∑

∞

=1

n

n s

{ }

sn konvergen bila

S S Lim n

n→+∞ = ada. Jika nLim→+∞Sn =S

∑

∞

=1

n n a

maka deret . Jika

tidak ada, maka divergen.

S a n

n =

∑

∞

=1

n nLim→+∞S

Contoh 2.1.1

Tentukan apakah deret 1-1+1-1+1-1+…. konvergen atau divergen

dan jika konvergen, tentukan jumlahnya!

Penyelesaian:

Bentuk barisan jumlah parsial

{ }

n

n n→+∞S s

0 1 1 1

1 1

0 1

= − +

= +

=

1 1 1 1 1

3 2 1

− =

− =

− = =

n s s s s

dan seterusnya.

= 1, 0, 1, 0,....

{ }

sn

1, bila n ganjil 1

= dan Lim = , maka limitnya tidak

n S

0, bila n genap 0

ada. Karena limitnya tidak ada, maka deretnya divergen dan deret tidak

Deret selang – seling adalah deret yang berbentuk

( )

1 _{1 2 3 4} ...

( )

1 1 ....

1

1 _{= − + − + + − +}

− +

∞ =

+

∑

n

n n

n n

a a

a a a

a (3)

dengan an>0 untuk semua n

atau

( )

1 _{1 2 3 4} ..

( )

1 ....

1

+ −

+ + + − + − = −

∑

∞

= n

n n

n n

a a

a a a a

dengan a_n>0 untuk semua n.

Definisi 2.1.2

a. Deret

∑

∞

disebut konvergen mutlak jika =1

n n

a

∑

∞ =1

n n

a konvergen

b. Deret .... disebut konvergen

bersyarat jika

∑

∞

konvergen, tetapi ...

3 2 1 1

+ + + + + =

∑

∞

=

n n

n a a a a

a

=1

n n

a

∑

∞ =1

n n

a divergen.

Teorema 2.1.1

Deret selang – seling konvergen bila memenuhi 2

syarat, yaitu

( )

∑

∞

=

+

− 1

1

1

n

n n

a

1. an >an₊₁, untuk semua n

2. =0 +∞ → n

Bukti

Pandang barisan jumlah parsial

{ }

s_2n , untuk suku – suku genap

2 2 2

4 6 5 4 6

2 4 3 2 4

2 1

2 0

−

>

> − + =

> − + =

> − =

n n s s

s a a s s

s a a s s

a a s

M

Jadi, s₂ <s₄ <s₆ <...<s_2n−2 <s_2n.<...

Barisan

{ }

s_2n naik atau tidak turun, maka barisan

{ }

s_n konvergen ke limit S,

yaitu

S s Lim _n n→+∞ 2 =

Pandang barisan jumlah parsial

{ }

s_n , untuk suku – suku ganjil,

yaitus₁,s₃,s₅,...,s₂n₋₁,....

n n

n a a a a a a

s₂ = ₁ − ₂ + ₃ − ₄ +...+ _{2 −1}− ₂

1 2 4

3 2 1 1

2n− =a −a +a −a +...+a n−

s _

n n

n s a

s₂ − _{2 −1} =− ₂

Karena suku ke-2n dalam deret selang – seling adalah −a_2nmaka berlaku

dapat ditulis

1 2 2 1

2n+ −s n =a n+ s

1 2 2 1

2n+ =s n +a n+ s

(

)

S S

a Lim s

Lim

a s Lim s

Lim

n n n n

n n n n n

= + =

+ =

+ =

+ +∞ → +∞

→

+ +∞

→ + +∞ →

0

1 2 2

1 2 2 1

Barisan s₁,s₂,s₃,...,sn,....konvergen ke S, maka deret konvergen.

Contoh 2.1.2

Selidiki apakah deret .... 5 1 4

1 3 1 2 1

1− + − + − konvergen mutlak

atau konvergen bersyarat?

Penyelesaian

( )

....

5 1 4

1 3 1 2 1 1 1

1 1 = − + − + −

−

∑

+

n n

Menurut Teorema 2.1.2 diperoleh

n a_n = 1dan

1 1

1 = ₊

+

n a_n

n < n+1 untuk semua n

1 1 1

+ <

n

n untuk semua n

( syarat 1 dipenuhi)

1

+

> n n a a

dan 1 =0 +∞ → _n

Lim n

Jadi, deret

( )

.... 5 1 4

1 3 1 2 1 1 1

1 1 = − + − + −

−

∑

+

n n

konvergen.

tetapi

( )

....

5 1 4

1 3 1 2 1 1 1

1 1 = + + + + +

− =

∑

∑

+

n

deret nilai mutlaknya divergen. Maka deret

.... 5 1 4

1 3 1 2 1

1− + − + − konvergen bersyarat.

2.2

Deret Kuasa

Suatu deret dengan bentuk :

K

K+ +

+ +

+ =

∑

∞

=

k k n

n

nx a a x a x a x

a _{0 1 2} 2

0

(4)

disebut deret kuasa atau deret pangkat dalam x, dimana x adalah variabel

dan a_nadalah konstanta sebarang.

atau

(

−

)

= +

(

−

)

+

(

−

)

+K+

(

−

)

+K

∑

∞

=

k k

n

n

n x x a a x x a x x a x x

a 0

2 0 2 0 1 0 0

0 (5)

disebut deret kuasa dalam (x−x₀).

K

K, ,

, , ₁

0 a an

a adalah koefisien – koefisien konstan dari deret kuasa itu, x

adalah variabel dari deret kuasa, dan pada (5) adalah titik tertentu yang

disebut pusatdari deret kuasa itu.

0

x

Jika x dalam (4) diganti dengan bilangan, maka diperoleh deret dengan suku

– suku konstan yang dapat konvergen atau divergen. Hal ini menunjuk pada

masalah dasar yaitu mencari nilai x agar deret kuasa (4) konvergen. Teorema

Teorema 2.2.1

Untuk setiap deret kuasa

∑

tepat satu yang berikut benar ∞

=0

n n nx a

a. Deret konvergen hanya untuk x = 0

b. Deret konvergen mutlak untuk semua x

c. Deret konvergen mutlak untuk semua x dalam suatu

interval terbuka tertentu ( -R , R ) dan divergen bila x < - R

atau x > R. Pada titik x = R dan x = -R deret konvergen

mutlak , konvergen bersyarat, atau divergen, bergantung

pada deret khusus

Bukti:

Bentuk deret nilai mutlak

∑

∞ =0

n

n nx

a . Untuk memeriksa kekonvergenan

deret nilai mutlak dikerjakan dengan menggunakan uji rasio. Deret kuasa

akan konvergen mutlak apabila dipenuhi syarat:

∑

∞

=0

n n nx a

n n n n

n n n n

n n n n n

n _a

a Lim x x a a Lim x

a x a Lim u

u

Lim 1 1

1 1

1 +

+∞ → +

+∞ → + + +∞ → + +∞

→ = = =

=

ρ

Deret kuasa konvergen mutlak jika ρ<1

1

1 <

+ +∞ →

n n

n _a

a Lim x

R a

a Lim x

n n

n =

<

+ +∞ →

1

dan deret kuasa akan divergen apabila x > R. Apabila

R

x = , untuk dapat mengetahui apakah deret konvergen atau divergen dapat

dilakukan dengan cara mensubstitusikan setiap x = R atau x = -R ke dalam

deret yang diketahui.

a. Jika 0

1

= =

+ +∞

→ _a R

a Lim

n n

n , maka didapat x=0, sehingga deret kuasa akan

konvergen mutlak hanya bila x = 0 dan divergen bila x≠0 , jika

0

1

≠ =

+ +∞

→ _a R

a Lim

n n

n . Jadi (a) terpenuhi.

b. Jika = =∞ +

+∞

→ _a R

a Lim

n n n

1

, maka didapat x <∞, sehingga setiap nilai x

pada deret kuasa konvergen mutlak. Jadi (b) terpenuhi.

c. Jika R a

a Lim

n n

n =

+ +∞ →

1

, maka didapat x <R atau −R<x<R sehingga

untuk semua nilai x yang terdapat dalam interval < x< Rderet

konvergen mutlak. Jadi (c) terpenuhi.

R

−

Himpunan semua nilai x yang menyebabkan suatu deret kuasa konvergen

disebut interval konvergensi deret. Bilangan R dari syarat (c) dalam teorema

2.2.1 di atas disebut jari – jari konvergensi dari deret. Jika deret (a) berlaku,

Contoh 2.2.1

Tentukan interval konvergensi dan jari – jari konvergensi dari deret

∑

∞

=0

n n x

Penyelesaian

∑

∞

=0

n n

x = 1 + + +K+ n +K

x x

x 2

n

U = xn dan Un+1= +1 atau bentuk deret nilai mutlak

n

x

∑

∞ =0

n n x

ρ =

n n

n _U

U Lim +1

+∞

→ = n

n

n _x

x Lim

1

+ +∞

→ = nLim→+∞x = x nLim→+∞1 = x

Deret kuasa

∑

konvergen mutlak, ∞

=0

n n x

bila ρ <1

x < 1 ⇔-1 < x < 1

dan divergen bila ρ >1

x > 1 ⇔x > 1 atau x < -1

dengan R = 1.

Untuk menentukan sifat konvergensi pada titik – titik ujung x = 1 dan x = -1,

disubstitusikan nilai – nilai itu dalam deret yang diberikan

Jika x = 1, deret menjadi

∑

∞

=0

1

n n

Untuk x = -1, deret menjadi

( )

∑

∞

=

− 0

1

n

n

= 1 - 1 + 1 – 1 +….

Karena deret konvergen mutlak, maka interval konvergensi untuk deret yang

diberikan adalah [-1 , 1]. Jari – jari konvergensi R = 1.

Contoh 2.2.2

Tentukan interval konvergensi dan jari – jari konvergensi dari

( )

( )

∑

∞

=

−

0

2

! 2 1

n

n n

n x

Penyelesaian:

Bentuk deret nilai mutlak

( )

( )

∑

∞

=

−

0

2

! 2 1

n

n n

n x

, dimana

n

U =

∑

( )

( )

∞

=

−

0

2

! 2 1

n

n n

n x

dan Un+1=

( )

( )

(

)

(

)

∑

∞

=

+ +

+ −

0

1 2 1

! 1 2 1

n

n n

n x

Karena

( )

−1n =

( )

−1n+1 = 1, maka diperoleh

ρ =

n n

n _U

U Lim +1

+∞

→ =

( )

(

)

(

)

( )

n n

n _x

n n

x Lim

2 1

2

! 2 ! 1 2 + ⋅

+ +∞

→ =

(

)

( )

n n

n _x

n n

x

Lim ₂

2

2 _{2 !}

! 2

2 + ⋅

+ ∞

→=

=

(

2 2

)(

2 1

)

2

+ +

+∞

→ _{n n}

x Lim

n

=

(

2 2

)(

2 1

)

1

2

+ +

+∞

→ _{n n}

Lim x

n

= 2⋅0=0

x

untuk semua x.

Karena ρ <1 untuk semua x maka deret

∑

( )

( )

∞

=

−

0

2

! 2 1

n

n n

n x

konvergen mutlak

Contoh 2.2.3

Tentukan interval konvergensi dan jari – jari konvergensi deret

(

)

∑

∞

=

−

1 2

5

n

n

n x

Penyelesaian

(

)

∑

∞

=

−

1 2

5

n

n

n x

=

(

−

) (

+ −

)

+

(

−

)

+K+

(

−₂

)

+K

3 2

5 9

5 4

5 5

n x x

x x

n

n

U =

(

₂5

)

n x− n

dan Un+1=

(

)

(

)

2 1

1 5

+

− +

n

x n

atau bentuk deret nilai mutlak

∑

∞

=

−

1 2

5

n

n

n x

Akan digunakan uji rasio untuk konvergen mutlak

ρ =

n n

n _U

U Lim +1

+∞

→ =

(

)

n

n

n

x n n

x Lim

5 . 1

5 2

2 1

− +

− +

+∞

→ =

2

1 5 ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ −

+∞

→ _n

n x

Lim

n

=

2

1 1

1 5

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ −

+∞ →

n Lim x

n = x−5

Deret kuasa

∑

(

)

∞

=

−

1 2

5

n

n

n x

konvergen mutlak,

bila ρ< 1

x−5 < 1 atau -1 < x – 5 < 1

-1 + 5 < x < 1 + 5

dan deret kuasa

∑

(

)

∞

=

−

1 2

5

n

n

n x

divergen

bila ρ> 1

x−5 > 1 atau x-5 > 1 atau x-5 < -1

x > 1 + 5 x < -1 +5

x > 6 x < 4

Untuk menentukan sifat konvergensi pada titik – titik ujung x = 4 dan x= 6,

disubstitusikan nilai – nilai ini dalam deret yang diberikan.

Jika x = 6, deret menjadi

∑

∞

=1 2

1

n n

n =

∑

∞

=1 2

1

n n

= + ₂ + ₂ + ₂ +K

4 1 3

1 2

1 1

merupakan deret p yang konvergen ( p= 2).

Untuk x = 4, deret menjadi

( )

∑

∞

=

−

1 2

1

n

n

n = − + 2 − 2 + 42 −K 1 3

1 2

1 1

adalah deret yang konvergen mutlak.

Karena deret konvergen mutlakuntuk x = 4 dan x = 6, maka interval

konvergensi untuk deret yang diberikan adalah [4 , 6]. Jari – jari konvergensi

R = 1.

Operasi pada deret kuasa adalah :

Jika dan adalah dua deret kuasa yang konvergen

dalam

(

∑

∞

=

− 0

0

n

n n x x

b

)

∑

(

)

∞ =

− 0

0

n

n n x x c

R x

deret kuasa

∑

(

, maka untuk setiap x dalam selang kekonvergenan ∞ = − 0 0 n n n x x

b

)

R x

x− ₀ < , barisan jumlah parsial

{ }

s_n konvergen dan menentukan sebuah

fungsi f(x) =

∑

(

untuk ∞ = − 0 0 n n n x x

b

)

x−x₀ <R, maka

a. Penjumlahan suku demi suku suatu deret kuasa

(

)

n n x x b

∑

∞ = + − 0 0

(

)

(

)

n n n n x x c

∑

∞ = − 0 0 =

(

)

(

)

(

)

(

)

} } 3 0 3 2 0 2 3 0 3 2 0 2 K K + − + − + + + − + − + x x c x x c x x b x x b

(

)

{ { 0 1 0 0 1 0 − + − + x x c c x x b b =

(

)

(

)

(

)

} ) ( ) 3 2 0 2 2 0 1 K + + − + + −

+c x x b c x x

) ( ( ) {( 3 3 1 0 0 − + + + x x c b b c b

(

)

n n n c b

∑

∞ = + 0

(

)

n n x x b

∑

∞ = − − 0 0

(

)

0 =

(

n x x− ₀

)

b. Pengurangan suku demi suku suatu deret kuasa

(

)

n n n n x x c

∑

∞ = − 0 0 =

(

)

(

)

(

)

(

)

} } 3 0 3 2 0 2 3 0 3 2 0 2 K K + − + − + − + − + − + x x c x x c x x b x x b

(

)

{ { 0 1 0 0 1 0 − + − + x x c c x x b b =

(

)

(

)

(

)

} ) ( ) 3 0 2 0 2 2 0 1 K + + − − + −

−c x x b c x x

c. Perkalian suku demi suku suatu deret kuasa

(

∑

∞

(

)

= − 0 0 n n n x x

b

) (

∑

(

)

∞ = − 0 0 n n n x x

c

)

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

....

)

.... 2 0 2 0 1 0 2 0 2 0 1 0 + − + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ − + − +} x x c x x c c x x b x x b b

= b₀c₀ +

(

b₀c₁+b₁c₀

)(

x−x₀

) (

+ b₀c₂ +b₁c₁+b₂c₀

)(

x−x₀

)

2 +....

=

∑

{

∑

}(

= − ∞ = − n k n k n k n x x c b 0 0 0

)

d. Pendiferensialan suku demi suku suatu deret kuasa

( )

(

)

_{0 1}

(

₀

)

₂

(

₀

)

2 ...

(

₀

)

....

0

0 = + − + − + + − +

− =

∑

∞ = n n n n

n x x b b x x b x x b x x

b x

f

( )

₁ 2 ₂

(

₀

)

3 ₃

(

₀

)

2 ...

(

₀

)

1 ....

' _{= + − + − + + −} n− ₊

n x x nb x x b x x b b x f =

∑

(

−

)

= ∞ = − 1 1 0 n n n x x

nb

∑

(

) (

)

∞ = − + 0 0 1 n n n x x b n

e. Pengintegralan suku demi suku suatu deret

kuasa

( )

x dx

{

b b

(

x x

)

b

(

x x

)

b

(

x x

)

f ... n 0 n ....

2 0 2 0 1

0 + − + − + + − +

=

∫

∫

(

)

}

dx

=

(

)

(

)

(

x x

)

C

n b x x b x x b x x

b n − n + +

+ + − + − + − − ... 1 ... 3 2 1 0 3 0 2 2 0 1 0 0

=

(

x x

)

C n

b

n

n

n − +

+

∑

∞ = + 1 1 0 1

Andaikan kita bermaksud mendekati nilai fungsi f di x₀dengan polinomial

( )

(

)

(

)

(

)

n

n x x a x x a x x a a x

pada suatu interval yang berpusat di x=x₀, maka nilai P(x) dan n turunan

pertamanya bersesuaian dengan nilai – nilai f(x) dan n turunan pertamanya

pada x= x₀.

Karena

( )

(

)

(

)

(

)

n

n x x a x

x a x x a a x

P = ₀ + ₁ − ₀ + ₂ − ₀ 2 +...+ − ₀

( )

(

)

(

)

(

)

1

0 2

0 3 0 2 1 '

... 3

2 − + − + + − −

+

= n

n x x na x

x a x x a a x P

( )

(

)

(

) (

)

2

0 0

3 2 ''

1 ...

6

2 + − + + − − −

= n

n x x a n n x

x a a x P

( )

(

)(

) (

)

3

0 3

'' '

2 1 ...

6 + + − − − −

= n

n x x a n n n a

x P

M

( )

( ) (

)(

)

n n

a n

n n x

P = −1 −2....

pada x= x₀ diperoleh

( )

x0 a0

P =

( )

_{0 1}

'

a x

P =

( )

_{0 2 2}

''

! 2 2a a x

P = =

( )

0 3 3 ''

'

! 3 6a a x

P = =

M

( )

( )

n n

a n x P ₀ = !

Karena nilai dari P(x) dan n derivatif pertama yang bersesuaian dengan

nilai – nilai f(x) dan derivatif pertama pada x=x₀diperoleh

( )

x0 a0

( )

0 1 '

a x

f =

( )

x₀ 2!a₂ f ′′ =

( )

x0 3!a3

f ′′′ =

M

(7)

( )

( )

n n

a n x f ₀ = !

Substitusikan ini ke dalam (6) diperoleh polinomial yang disebut

polinomial Taylor ke – n di sekitar x= x₀untuk f.

Definisi 2.2.1

Jika f(x) berturunan n kali pada , maka didefinisikan polinomial

Taylor ke- n di sekitar

0

x

0

x

x= adalah

( )

( )

( )(

)

( ) (

)

( )

( )(

)

n

n

n x x

n x f x

x x f x x x f x f x

P _{0 0 0} 0 ₀ 2 0 ₀

! ...

!

2 − + + −

′′ + − ′

+ =

(8)

Definisi 2.2.2

Jika f(x) berturunan pada semua tingkat di sekitar , maka

deret Taylor untuk fungsi f(x) di sekitar

0

x x=

0

x

x= didefinisikan

( )

=

∑

∞ ( )

( )(

−

)

=

=

n n

n

x x n

x f x

f 0 ₀

0 !

( )

x₀ + f′

( )(

x₀ x−x₀

)

+

f

( ) (

)

( )

( )(

)

.... !

... !

2 0

0 2

0

0 − + + − +

′′ n

n

x x n

x f x

x x

2.3 Persamaan Diferensial Linear Homogen

orde

dua

dengan koefisien berubah

2.3.1 Titik Biasa dan Titik Singular

Suatu persamaan diferensial homogen orde dua dengan koefisien berubah

mempunyai bentuk umum

( )

" ₁

( )

' ₀

( )

0

2 x y +a x y +a x y=

a (10)

dengan a₂

( )

x ≠0

atau dalam bentuk normal

( )

'

( )

0

" + + =

y x Q y x P

y (11)

dengan

( )

( )

( )

x a

x a x P

2 1

= dan

( )

( )

( )

x a

x a x Q

2 0

=

Pada bagian ini akan ditentukan penyelesaian persamaan diferensial

dengan menggunakan metode deret kuasa dari ( x – ), dimana suatu

bilangan riil. Sebuah titik dapat merupakan titik biasa atau titik

singular, menurut definisi berikut:

0

x x₀

0

x

Definisi 2. 3. 1

Sebuah titik disebut titik biasa dari persamaan diferensial (10)

jika kedua fungsi

0

x

( )

( )

x a

x a

2

1 _dan

( )

( )

x a

x a

2 0

analitik pada titik . Jika paling sedikit satu fungsi dari (12) tidak

analitik pada titik , maka disebut sebuah titik singular dari

persamaan diferensial (10)

0

x

0

x x₀

Definisi 2. 3. 2

Sebuah titik disebut titik singular yang regular dari persamaan

diferensial (10) jika titik ini adalah sebuah titik singular dari kedua

fungsi

0

x

(

) ( )

( )

(

)

( )

( )

x a

x a x x dan x a

x a x x

2 0 2 0 2

1

0 −

− (13)

analitik pada titik . Jika paling sedikit satu fungsi dalam (13)

tidak analitik pada titik , maka disebut titik singular tak

regular dari persamaan diferensial (10)

0

x

0

x x₀

Contoh 2. 3. 1

Carilah titik – titik biasa, titik – titik singular yang regular, titik –

titik singular tak regular dari persamaan diferensial

(

x4 −x2

)

y'' +

(

2x+1

)

y' +x2

(

x+1

)

y=0 (14)

Penyelesaian

( )

4 2

2 x x x

Dengan demikian

( )

( )

(

1

)(

1

)

1 2 1 2 2 2 4 2 1 + − + = − + = x x x x x x x x a x a (15)

( )

( )

(

)

(

(

)(

)

)

1

1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 2 0 − = − + + = − + = x x x x x x x x x x x a x a

Dari (15) semua bilangan riil merupakan titik biasa, kecuali titik 0, 1, -1.

Jadi, titik 0, 1, -1 adalah titik singular dari persamaan diferensial (14).

Berdasarkan definisi 2.3.2

Untuk x₀ = 0, kedua fungsi dalam (13) menjadi

(

)

(

)(

)

(

1

)(

1

)

1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 4 + − + = + − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + x x x x x x x x x x x x x dan

(

)

(

)

(

)(

)

1 1 1 1 1 2 2 4 2 4 2 2 − = + − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + x x x x x x x x x x x x

Fungsi di atas tidak analitik pada x = 0, jadi dapat disimpulkan bahwa titik

= 0 adalah sebuah titik singular tak regular untuk persamaan diferensial

(14).

0

x

Untuk x₀ = 1, kedua fungsi dalam (13) menjadi

(

)

(

(

)(

)(

)

)

(

1

)

1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 4 + + = + − + − = − + − x x x x x x x x x x x x

dan

(

)

(

)

(

) (

(

)(

)

)

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 2 − = + − + − = − + − x x x x x x x x x x x x

Karena kedua fungsi ini analitik pada x = 1, maka titik = 1 adalah

sebuah titik singular yang regular untuk persamaan diferensial (14)

0

x

(

)

(

(

)(

)(

)

)

(

1

)

1 2

1 1

1 2 1 1

2 1

2 2 2 4

− + =

+ −

+ +

= −

+ +

x x

x

x x x

x x

x x

x x

dan

(

)

(

)

(

(

) (

)(

)

)

(

)

1 1

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 4 2 2

− + =

+ −

+ +

= −

+ +

x x

x x x

x x

x x x

x x x

Karena kedua fungsi analitik pada x = -1 ( penyebut tidak nol pada x = -1),

maka titik = -1 adalah sebuah titik singular yang regular dari

persamaan diferensial itu.

0

x

2.4 Deret kuasa sebagai penyelesaian di sekitar titik biasa

Dalam bagian ini ditunjukkan penyelesaian sebarang persamaan diferensial

linear homogen orde dua dengan koefisien berubah yang berbentuk :

( )

'' ₁

( )

' ₀

( )

0

2 x y +a x y +a x y =

a (10)

dengan a₂

( )

x ≠0

dalam suatu selang yang memuat titik biasa . Titik digunakan untuk

mencari penyelesaian persamaan diferensial (10) yang memenuhi syarat awal

berbentuk

0

x x₀

( )

x₀ y₀

y = (16)

dan

( )

0 1

' x y

y = (17)

Dapat diingat kembali bahwa jika koefisien – koefisien

( )

x a

( )

x dana x

a₂ , ₁ , ₀

0

x

( )

berbentuk polinom – polinom dalam x, maka sebuah

Karena adalah titik biasa dari persamaan diferensial (10) maka fungsi –

fungsi

0

x

( )

( )

x a a

2

1 x _dan

( )

( )

x a

x a

2

0 _{dapat dinyatakan menjadi deret kuasa dalam bentuk}

( )

( )

x x a a

2

1 ₌

∑

(

)

_untuk

∞ =

− 0

0

n

n n x x

A x−x₀ <R₁ (18)

dan

( )

( )

x x a a

2

0 ₌

∑

(

)

_untuk

∞ =

− 0

0

n

n n x x

B x−x₀ <R₂ (19)

dengan jari – jari kekonvergenan R₁ dan R₂ yang positif.

Contoh 2.4.1

Selesaikan persamaan berikut dengan menggunakan deret persamaan

diferensial

(

1−x

)

y''− y'+xy =0

Penyelesaian

Diketahui persamaan

(

1−x

)

y ''− y'+ xy=0. (20)

Maka bentuk normalnya

(

)

(

)

0 1

' 1

1

'' =

− + −

− y

x x y x

y , sehingga

( )

(

)

x x

P

− dan

( ) ( )

x x x

Q

− =

1

−

1

= 1

Fungsi

( )

(

x

)

x

− − =

1 1

)

P analitik untuk semua x kecuali pada titik x=1

Fungsi

( ) (

x x x

Q analitik untuk semua x kecuali pada titik x=1

− =

Kedua fungsi P

( )

x dan Q

( )

x analitik untuk semua x kecuali di titik x=1.

Jadi, semua titik selain x=1 adalah titik biasa dan titik adalah titik

singular dari persamaan diferensial yang diketahui.

1

=

x

Karena dari soal tersebut diketahui syarat awal diberikan pada titik ,

maka akan ditentukan penyelesaian deret di sekitar titik biasa dengan

penyelesaian 0 = x 0 = x

( )

∑

∞

(

)

∑

(

)

∑

= ∞ = ∞ = = − = − = 0 0 0 0

n n n

n n n

n n

n x x a x a x

a x

y

0

Dengan mendiferensialkan suku demi suku diperoleh

( )

∑

∞ = − = 1 1 ' n n nx na x

y =

∑

(

)

dan

∞ = + + 0 1 1 n n n x a n =

( )

∑

∞

(

)

= − − = 2 2 1 '' n n nx a n n x

y

∑

(

)(

)

∞ = + + + 0 2 2 1 n n n x a n n

Jika disubstitusikan ke dalam persamaan (20), maka diperoleh

(

) (

∑

)(

)

∑

(

)

∑

∞ = + ∞ = ∞ = + = + + − + + − 0 1 0 0

2 1 0

2 1 1 n n n n n n n n

n x n a x x a x

a n n x

(

)(

)

∑

(

)

(

)

∑

(

)

∑

+ ∞ = + + ∞ = ∞ = + + − + + − + + ₁ 0 1 2 0 0

2 2 1 1

2 1 _n n n n n n n

n x n n a x n a

a n n

∑

∞ = + ₌ + 0 1 0 n n n n x a x

(

)(

)

(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∞ = − + ∞ = + ∞ = ∞ = + = + + − − + − + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n n x a x a n a x a n n x a n n a

(

1

)(

2

)

[

(

1

) (

1

)

]

} 0 {

2 _{1 1}

1

2 1

2 − + + + + − + − + + + − =

∞ = +

∑

n n n n

n n n n a a x

a n n a

(

1

)(

2

)

(

1

)(

1

)

} 0 {

2 _{1 1}

1

2 1

2 − + + + + − − + + + − =

∞

= +

∑

n

n n n

n n n a a x

a n n a

a

Maka relasi berulangnya adalah

(

n+1

)(

n+2

)

an₊₂ +

(

−n−1

)(

n+1

)

an₊₁ +an₋₁ =0

(

n+1

)(

n+2

)

a_n+2 =−

(

−n−1

)(

n+1

)

a_n+1 −a_n−1

(

(

)

)(

)

2 1

12 _{1 1}

2

+ +

− +

−

= + − +

n n

a a n

a n n

n

dengan n =0, 1, 2, ...

Dari syarat awal diperoleh a₀ =1dan a1 =1, diperoleh

! 2 1 1 . 2

1

2 = =

a a

! 3 1 ! 3

1 2 2

. 3

4 _{2 0}

3 =

− = − = a a

a

M

! 1

n a_n =

Diperoleh penyelesaian deretnya adalah

( )

∑

∞

∑

=

∞ =

= =

0 0 !

1

n n

n n

n x

n x

a x

y

Selanjutnya akan dibahas metode penyelesaian di sekitar titik singular. Untuk

dapat mendapatkan penyelesaian di sekitar titik singular dari persamaan (10),

2.5 Deret kuasa sebagai penyelesaian di sekitar titik singular

regular

Dari definisi 2.3.2, dapat diuraikan deret kuasa berbentuk

(

) ( )

( )

∑

∞

(

=

− =

−

0

0 2

1 0

n

n n x x A x

a x a x

x

)

untuk x−x₀ 〈R₁ (21)

(

)

( )

( )

∑

∞

(

=

− =

−

0

0 2

0 2 0

n

n n x x B x

a x a x

x

)

untuk x−x₀ 〈 R₂ (22)

dengan jari – jari kekonvergenan dan . Karena titik merupakan

titik singular dari persamaan diferensial (10), maka penyelesaian

persamaan diferensial tersebut tak terdefinisi pada , tetapi pesamaan

diferensial (10) mempunyai dua penyelesaian bebas linear dalam selang

tanpa titik pusat 0 <

1

R R₂ x₀

0

x

R x

x− ₀ < , dimana R adalah nilai terkecil dari

dan .

1

R

2

R

Contoh 2. 5.1

Tentukan titik singular regular dari persamaan diferensial

(

)

' 0

''

2x2y + x−x2 y − y=

Penyelesaian:

Diketahui persamaan 2x2y ''+

(

x−x2

)

y'− y=0

Maka bentuk normalnya 0 2

1 ' 2

''

2 2

2

= −

�