TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22

TERAPAN INTEGRAL

Departemen Matematika FMIPA IPB

1 Luas Daerah Bidang Rata

Perbedaan Perhitungan Integral Tentu dan Luas Daerah

Ilustrasi Integral: Rc a f(x)dx= Rb a f(x)dx+ Rc bf(x)dx=5 8= 3. X Luas: Rc a jf(x)jdx= Rb a f(x)dx+ Rc b f(x)dx=5 ( 8) =13. X SALAH: luas = R_acf(x)dx = R_abf(x)dx+R_bcf(x)dx =_j5 8j=3.

,

Metode 3S: (Skets,Sekat, Sum(Integral)

Luas antara Kurva

Sekatan Tegak

Metode 3S: Skets _!Sekat _!Sum (Integral)

Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x)dan

y=g(x)serta garisx=a danx=b, lakukan:

1 Buat sketsa gra…k, tandai daerah yang akan dicari luasnya. 2 Buat sekatan/irisan tegak persegi panjang kecil pada daerah tsb.

Formulasikan hampiran luas sekatan tsb. dengan lebar₄x, panjang/tinggi = selisih ordinat kurva atas dan kurva bawah.

3 Integralkan dalam dx(jumlahkan luas takhingga banyaknya sekatan)

De…nisi (Luas antara Kurva Sekatan Tegak)

Luas daerah di antara kurvay=f(x) dany=g(x)serta garisx=a dan

x=badalah

y=g(x) y=f(x) a x₁ x₂ b x y 0 S1 S2 S3 Karena _jf(x) g(x)_j= 8 < : f(x) g(x) ; f(x) g(x) g(x) f(x) ; f(x)<g(x) , formula

(1) bermakna memecah seluruh daerah Smenjadi daerah S1,S2, . . .

dengan luasA1,A2, . . .sehinggaA=A1+A2+

Apabila sketsa daerah dapat digambar, lambang mutlak dapat

diabaikan dengan memperhatikan posisi kurva-kurva yang ada (atas -bawah).

Soal (Sekatan Tegak)

Buat sketsa daerah bidang rata berikut, lalu tentukan luas daerahnya.

1 f(x) =2 x2 dang(x) = x.

2 f(x) =lnx,sb-x,x=1,x=e, jawab: 1.

3 f(x) =cosx,g(x) =sinx,x=0,x=π/2, jawab: 2 p2 1 4 f(x) =ex,g(x) =e x,x= 1,x=2 ln 2, jawab: 1/4+1/e+e

Luas antara Kurva

De…nisi (Luas antara Kurva Sekatan Datar)

Luas daerah di antara kurvax=f(y) danx=g(y)serta garisy=cdan

y=d adalah

A= R_cd_jf(y) g(y)_jdy (2)

Catatan:

Apabila sketsa daerah dapat digambar, lambang mutlak dapat

diabaikan dengan memperhatikan posisi kurva-kurva yang ada (kanan - kiri).

Soal (Sekatan Datar/Tegak)

1 Tentukan luas daerah yang dibatasi kurvax=y2, x=y+2,y 0. 2 Tentukan luas daerah antar kurva y=lnx,sumbu-y,sumbu-x, garis

y=1. Jawab: e 1

3 Tinjaulah kurva y=1/x2, 1 x 5,

a Hitunglah luas di bawah kurva tersebut. Jawab: 4/5

b Tentukancsedemikian rupa sehingga garisx=cmembagi-dua luas pada (a) sama besar. Jawab: 5/3

c Tentukandsedemikian rupa sehingga garisy=d membagi-dua luas pada (a) dengan perbandingan luas di bawah garis : luas di atas garis = 4 : 1. Jawab: 9/25.

4 Andaikan f kontinu dan naik pada [1, 2],f(1) =1,f(2) =2. Jika

R2

1 f(x)dx=1, tentukanlah R2

1 f 1(y)dy. Petunjuk: buat gra…knya. Jawab: 2.

Tentukan luas daerahA,Bdan Cdengan menggunakan sekatan tegak dan datar. Perlukah menghitung masing-masing luas dengan integral? Jawab: luas A,B,C=1/3. A B C 2 y=x 2 x=y

Soal Luas Plus I

Soal

Terdapat suatu garis yang melalui titik asal yang membagi daerah yang dibatasi parabola y=x x2 dan sumbuxtepat menjadi dua daerah dengan luas sama. Berapakah kemiringan garis itu? Jawab: 1 p31

2. 2

y

= −

x

x

y

=

m x

Soal

Kurva f pada gambar berikut bersifat, untuk setiap titikPpada kurva bagian tengah y=2x2,luas AdanBsama. Tentukan persamaan kurvaf. Jawab: f(x) = 32₉x2_. • A B 2 y=x 2 2 y= x f P y

Nilai Rataan Fungsi

Rataann nilaiy1,y2, . . . ,yn adalah y= y1+y2+_n +yn

Berapa nilai rataan fungsi y=f(x), padaa x b?

Bagi interval[a,b] menjadin bagian dengan lebar ∆x, dan pilihx_i

pada anak interval ke-i,

f = f(x1)+f(x2)+ +f(xn) n = f(x1)+f(x2)+ +f(xn) (b a)/∆x = [f(x1)+f(x2)+ +f(xn)]∆x (b a) = b a1 ∑ n i=1f(xi)∆x

Bilan_!∞, maka nilai rataan fungsi f pada[a,b]adalah

f =limn!∞ b a1 ∑ni=1f(xi)∆x= b a1

Rb

Jika f kontinu pada [a,b], maka ada bilangan c2[a,b]sedemikian sehingga f(c) =f = 1 b a Z b a f(x)dx atau Z _b a

f(x)dx=f(c) (b a). Bilanganf(c) disebut nilai rataan f pada [a,b].

( ) ( )( ),

b

f x dx= f c b a−

Soal

1 Tentukan nilai rataan fungsi berikut pada interval yang diberikan dan

tentukan nilai cyang dimaksud pada TNR Integral.

a f(x) =x2+1,[ 1, 2], jawab: 2,c= 1

b f(x) =ln(x),[1,e], jawab: 1/(e 1),c= e1/(e 1)

c f(x) =1/x,[1, 2], jawab: ln 2,c=1/ ln 2

2 Tunjukkan bahwa integral nilai rataan fungsi sama dengan integral

fungsi pada interval; R_ab f dx=R_ab f(x)dx.

3 Jikaf_[a,b] menyatakan nilai rataan f pada interval [a,b]dana<c<b,

tunjukkan bahwa

f_[a,b] = c a b af[a,c]+

b c

Titik-titik pada gra…k berikut menyatakan hasil pengukuran suhu kota Jakarta (T dalamoC) setiap 2 jam pada suatu hari tertentu. Kurva yang merepresentasikan gugus data pengamatan tersebut adalah

T(t) =28+5 sin π

12(t 1) , dengant menyatakan lama waktu (dalam jam) setelah pukul 6 pagi. Tentukan rataan suhu kota Jakarta selama satu hari. Petunjuk: cos(2π θ) =cosθ, jawab: 28oC.

( ) 28 5sin ( )1 12

T t = + _π t− _

Soal Terapan Integral I

Pengendalian Populasi Serangga Secara Alami

Salah satu metode untuk memperlambat pertumbuhan populasi serangga tanpa pestisida adalah dengan menambahkan sejumlah serangga jantan mandul ke dalam populasi. Serangga jantan mandul akan kawin dengan betina subur tetapi tidak memproduksi benih. Jika P=P(t)menyatakan banyaknya serangga betina dalam populasi pada waktu t,Sadalah jumlah serangga jantan mandul yang ditambahkan tiap generasi, dan r laju pertumbuhan alami populasi tersebut, maka populasi serangga betina P

dikaitkan dengan waktu t dapat dimodelkan dengan

t =

Z _P+S

Andaikan di awal pengamatan (t=0),pada10000 populasi betina yang

tumbuh dengan laju r=0.1 ditambahkan900jantan, tunjukkan bahwa

t =ln10000 P + 1 9ln 11000 P+1000

Di sini Ptidak dapat dinyatakan secara eksplisit dalamt. Namun dengan bantuan sistem aljabar komputer, dinamika berkurangnya populasi serangga betina dapat diamati dari waktu ke waktu, sbb.

Soal Terapan Integral III

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika, FMIPA -IPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)