OPTIMISASI KOMBINATORIAL
Optimisasi kombinatorial merupakan suatu cara yang digunakan untuk mencari semua kemungkinan nilai real dari suatu fungsi objektif. Proses pencarian dapat dilakukan dengan mendaftarkan satu per satu nilai yang mungkin atau juga de-ngan mengembangkan suatu algoritma pencarian. Nantinya setelah ditemukannya semua kemungkinan tersebut, dipilihlah mana yang terbaik. Dengan kata lain, optimisasi kombinatorial mencari nilai maksimum atau minimum tergantung dari masalah yang dibicarakan. Algoritma dari optimalisasi kombinatorial digunakan untuk menyelesaikan masalah yang cukup rumit dan memiliki ruang lingkup yang cukup besar.
Masalah kombinatorial adalah masalah yang mempunyai himpunan solusi layak (f easible) yang terhingga. Meskipun secara prinsip solusi dari masalah ini bisa didapatkan dengan enumerasi lengkap, pada masalah kompleks dibutuhkan waktu yang tidak bisa diterima secara praktis (Lee, 2004). Salah satu bentuk dari masalah optimisasi adalah TSP (Travelling Salesman Problem). TSP sebagai masalah yang mudah dipahami tapi sulit untuk dipecahkan (mendapat solusi optimal). Dengan semakin banyaknya jumlah kota yang dilibatkan, pencarian solusi untuk pemilihan rute terbaik untuk mengunjungi n kota akan semakin sukar. Oleh karena itu dibutuhkan suatu program yang dapat menyelesaikan tugas tersebut. Metode enumerasi lengkap harus mengujin! kemungkinan solusi. Untuk masalah sederhana dengan n = 20 ada lebih dari 2,4×1018
kemungkinan solusi. Jika dengan menggunakan perhitungan komputer mungkin memerlukan waktu lebih dari 5 jam untuk melakukan enumerasi lengkap, sebuah hal yang tidak bisa diterima secara praktis. Algoritma pendekatan dalam berbagai literatur telah sukses diterapkan pada berbagai masalah kombinatorial seperti perencanaan dan penjadwalan produksi pada industri manufaktur. Meskipun solusi optimum tidak diperoleh, tetapi solusi yang mendekati optimum bisa didapatkan dalam waktu yang relatif singkat dan dapat diterima secara praktis.
kombina-torial meneliti dengan pertanyaan-pertanyaan dari keberadaan atau pencacahan. Artinya, “apakah suatu jenis pengaturan ada?” Atau, “berapa banyak pengaturan yang ada?”. Penelitian kombinatorial pada saat ini telah mengalami kemajuan yang lebih signifikan. Pertanyaan yang diajukan tidak “Apakah pengaturan ada” atau “Berapa banyak pengaturan yang ada”, melainkan, “Bagaimana susunan yang baik”. Keberadaan jenis pengaturan tertentu biasanya tidak menjadi per-tanyaan, dan jumlah pengaturan tersebut mungkin tidak relevan. Tujuannya adalah menemukan pola optimum, bagaimana menyelesaikan masalah yang besar dalam jumlah yang tidak terbatas menjadi kemungkinan yang efektif. Banyak masalah optimasi kombinatorial telah dihasilkan oleh penelitian dalam desain komputer, teori komputasi, dan oleh aplikasi komputer pada masalah numerik yang membutuhkan metode baru, pendekatan baru, dan wawasan matematika baru.
Lee (2004) mengemukakan masalah optimisasi diskrit adalah sebuah masa-lah memaksimumkan sebuah nilai real fungsi tujuancdi himpunan terbatas (finite set) pada solusi layakS. Biasanya himpunanS muncul sebagai himpunan bagian dari 2E
(himpunan dari semua himpunan bagian E), untuk beberapa himpunan terbatas E, masalah yang demikian merupakan masalah optimisasi kombinatori-al. Solusi bisa saja didapat dengan menghitung semua kemungkinan, tentu saja dengan waktu yang cukup lama. Dengan menggunakan algoritma lebih praktis dibandingkan dengan menghitung semua solusi layak. Optimisasi diskrit memi-liki aspek yang menghubungkannya dengan bidang lain dari matematika, seper-ti aljabar, geometri, logika, topologi, dan tentu saja bagian disiplin ilmu dari matematika diskrit seperti teori graf, dan teori matroid. Karena itu banyak pe-nelitian dalam optimisasi diskrit dijadikan sebagai aplikasi. Sebuah algoritma
secara teori lebih efisien untuk masalah dengan ukuran yang besar, jika jum-lah langkah perhitungan diperlukan untuk menyelesaikan misalnya pada masajum-lah yang dibatasi oleh polinomial dalam jumlah bit yang diperlukan untuk masa-lah pengodean (encoding). Pada masalah optimisasi kombinatorial, komputasi efektif untuk menyelesaikan masalah dalam RE (bilangan real |E|-ruang dimen-si dengan koordinat diindeks oleh E). Dengan mempertimbangkan bagian kon-veks PS pada karakteristik vektor dalam S, bahwa himpunan bilangan konveks
terkecil memuat karakteristik vektor tersebut. Selanjutnya, dibutuhkan fungsi ˜c : [0,1]E
layak S, lalu ˜c(x(S)) =c(S). Keberhasilan pendekatan semacam itu tergantung pada fungsi tujuan. Fungsi cekung (concave) relatif lebih mudah untuk memak-simumkan (deskripsi PS sebagai himpunan solusi dari pertidaksamaan linear), seperti dalam kasus sebuah maksimum lokal adalah maksimum global.
2.1 Kriteria Polinomial Terbatas (The Criterion of Polynomial Bound-edness)
Ketika algoritma diimplementasikan pada komersial, seharusnya hanya memer-lukan pengeluaran waktu komputer dan penyimpanan data untuk setiap con-toh dari masalah kombinatorial untuk diselesaikan. Hal ini membuktikan bahwa metode pemrograman linier telah terbukti efektif untuk menyelesaikan berbagai masalah optimisasi. Aturan kelayakan merupakan prinsip yang telah disepakati. Namun hal yang lebih objektif adalah harus diterapkannya standar yang tepat, salah satu standar yang berlaku umum di bidang optimisasi kombinatorial adalah polinomial terbatas (boundedness polynomial). Sebuah algoritma dianggap “baik” jika jumlah dasar langkah komputasi dibatasi oleh sebuah polinomial dalam uku-ran masalah. Alasan pertama pentingnya batas polinomial adalah: fungsi polino-mial berkembang lebih cepat dari pada fungsi eksponensial, dan fungsi eksponen berkembang lebih cepat dari pada fungsi faktorial. Batas polinomial digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi dalam lingkup yang besar.
Selain itu, terdapat algoritma yang eksponensial secara teoritis, namun berprilaku seperti algoritma polinomial untuk tujuan yang praktis. Sebagai con-toh adalah algoritma simpleks yang telah diteliti secara empiris untuk menye-lesaikan perhitungan aljabar dengan jumlah variabel dan kendala dari masalah pemrograman linier. Meskipun algoritma polinomial memiliki batas, kriteria poli-nomial terbatas telah terbukti secara signifikan lebih praktis. Dalam kasus ma-salah yang melibatkan spesifikasi berbagai parameter numerik, misalnya panjang busur, besaran parameter ini harus jelas dan harus diperhitungkan.
2.2 Metode Penyelesaian
Program linier yang berhubungan dengan perbedaan (extremization) dari subjek fungsi tujuan linier untuk kendala ketimpangan. Dari aspek geometrik, kendala ketimpangan linier menggambarkan politipe cembung. Pemrograman perhitungan linear merupakan hasil dari satu simpul (vertex) politipe ini ke yang lain, dengan nilai fungsi tujuan yang menyertainya. Untuk memecahkan masa-lah optimasi kombinatorial dapat dilakukan dengan pemrograman linier untuk merumuskan sistem kendala ketimpangan linear yang akan menyebabkan simpul dari politipe cembung untuk sesuai dengan solusi layak masalah kombinatorial. Biasanya hal ini menghasilkan sejumlah kendala yang dapat terdaftar secara ek-splisit. Masalah optimasi kombinatorial juga dapat diselesaikan dengan metode pemrograman linier, bahkan dalam kasus dimana tidak ada karakteristik yang baik kendala ketimpangan diperlukan.
Pendekatan pencarian lokal juga merupakan suatu teknik yang digunakan dalam optimisasi kombinatorial. Pencarian lokal adalah suatu algoritma iteratif yang bergerak dari satu solusi S ke S′ lain berdasarkan struktur ketetanggaan (neighborhood). Studi mengenai pencarian lokal telah menjadi pusat perhatian. Banyak penelitian yang membahas tentang permasalahan pencarian lokal untuk menemukan solusi optimum lokal. Didalam fungsi ketetanggaan klasik, ketetang-gaan k-opt pada TSP (Lin,1965), ketetanggaan MAX CUT dan MAX 2SAT (Schaffer dan Yannakakis, 1991). Meskipun dalam masalah tersebut termasuk masalah ketetatanggan, berbentuk piramid perjalanan ketetanggaan, seperti pa-da TSP. Ausiello pa-dan Protasi (1995) memperkenalkan klasifikasi GLO (untuk mengawetkan optimum lokal) pada masalah optimisasi yang menjadi nilai fungsi tujuan pada setiap optimum lokal di tanggung menjadi faktor konstan dari op-timum lokal. Khana et al., (1998) melanjutkan ide ini menjadi masalah yang
awet GLO, yang diikuti untuk dengan sebuah modifikasi dari fungsi tujuan yang digunakan untuk menghitung optimum lokal.
meningkat menjadi subroutine. Di sisi lain, saat sebuah optimum ε-lokal memili-ki sifat yang dekat dengan optimum lokal, nilai fungsi tujuannya tidak menjamin bernilai dekat dengan optimum global. Namun, secara umum hal ini berlaku untuk juga pada optimum lokal. Misalnya, penelitian yang dilakukan oleh Pa-padamitriou dan Steiglitz (1977) menunjukkan bahwa optimum lokal tidak efisien pada pencarian ketetanggaan untuk TSP dapat berada dalam faktor konstan dari nilai optimal kecuali P = NP. Namun, setiap kali masalah optimasi kombinatorial memiliki lingkungan yang efisien dicari sehingga nilai setiap optimum lokal berada dalam faktor konstan α≥ 1 yang berasal dari minimum global, kemudian dapat dihitung pada waktu polinomial sebuahε-lokal dengan biaya lebih baik dariα+ε pada global optimum.
Klauck (1996) mempelajari kompleksitas dalam menemukan solusi terbaik nilai fungsi tujuan adalah dengan pendekatan optimum lokal terburuk dengan menggunakan batas dari bentuk reduksi PLS. Kelengkapan dibawah reduksi ini memiliki implikasi bahwa pendekatan optimum lokal tidak dapat mencapai kondisi efisien kecuali P = PLS (polynomial-time local search). Sebagai contoh, program 0/1 dengan ketetanggaan k − f lip dan TSP dengan ketetanggan k-opt berni-lai konstan adalah lengkap dibawah reduksi ini. Sebuah fungsi ketetanggaan N dari masalah optimisasi kombinatorial Q tepat jika setiap solusi optimal lokal dengan N juga optimal lokal. Pada kasus ini, waktu polinomial penuh (fully polynomial-time) pola optimisasi ε− lokal kenyataannya adalah pola pendekatan waktu polinomial penuh. Sculz dan Weismantel (1995) menunjukkan bahwa ji-ka masalah optimisasi kombinatorial mempunyai ketetanggaan yang pasti dapat dicari keefisienanya dan ketepatanya, yang benar-benar dapat menemukan solusi tepat optimal yang efisien. Kemudian melanjutkan pembahasan tentang masalah
program linier bilangan bulat 0/1 (contohnya masalah optimisasi kombinatorial) pada bilangan bulat untuk sebuah optimum lokal dengan polynomial time kecuali lingkungan yang tepat, dan diperoleh P = PLS (Sculz dan Weismantel 1999, 2002).
yang dimunculkan adalah apakah terdapat optimum lokal dengan ketetanggan
