Suplemen Fisika Dasar II - Mikrajuddin Abdullah

SUPLEMEN MATERI KULIAH FI-1102

FISIKA DASAR II

RINGKASAN MATERI KULIAH

PEMBAHASAN SOAL UJIAN TPB SEM. II

oleh

MIKRAJUDDIN ABDULLAH

PROGRAM STUDI FISIKA

Kata Pengantar

Diktat ini berisi ringkasan materi Fisika dasar II dan pembahasan ujian Fisika Dasar II beberapa tahun sebelumnya. Banyak mahasiswa mengalami kesulitan menjawab soal ujian Fisika Dasar walaupun sebenarnya soal-soal tersebut tidak terlalu sulit. Hal tersebut mungkin disebabkan perubahan cara menjawab soal antara ujian di sekolah menegah atas dan di ITB. Ujian-ujuan di sekolah menengah atas lebih didominasi oleh soal-soal pilihan ganda. Dengan tipe soal seperti itu siswa hanya dituntut medapatkan hasil akhir, tanpa terlalu risau dengan proses mendapatkan hasil tersebut. Hal sebaliknya terjadi di TPB. Tiap langkah dalam mencapai jawaban akhir akan mendapat penilaian. Sekalipun hasil akhir benar, namun jika langkah yang ditempuh mencapai hasil tersebut salah maka jawabab dianggap salah.

Cara menjawab soal yang disampaikan dalam diktat ini mungkin tampak panjang. Hal ini sengaja dilakukan agar mahasiswa mengetahui alasan mengapa langkah-langkah yang dilakukan seperti itu. Dalam menjawab soal ujian sebenarnya, para mahasiswa dapat meringkasnya lagi tetapi tetap mempertahankan aliran logika/alasan yang benar.

Penulis sangat menyarankan agar para mahasiswa tidak hanya mengandalkan diktat ini dalam mengikuti kuliah Fisika Dasar. Isi diktat ini tidak terlalu banyak dan hanya sebagai pelengkap referensi-referensi standar lainnya. Bacalah buku sebanyak-banyaknya karena ilmu yang kalian miliki sebanding dengan jumlah halaman buku yang kalian baca. Selamat belajar dan semoga sukses.

Bandung, Oktober 2007

Daftar Isi

Bab 1 Hukum Coulomb dan Hukum Gauss 1

Bab 2 Potensial Listrik dan Kapasitor 17

Bab 3 Listrik Arus Searah 30

Bab 4 Kemagnetan 36

Bab 5 Hukum Biot Savart 42

Bab 6 Hukum Ampere 51

Bab 7 GGL Induksi dan Induktansi 57

Bab 8 Arus Bolak-Balik 66

Bab 9 Besaran Gelombang 83

Bab 10 Gejala Gelombang dan Gelombang Bunyi 92 Bab 11 Interferensi Gelombang Elektromagnetik 98

Bab 12 Model Atom dan Molekul 107

Bab 13 Pembahasan Ujian I Semester II 1998/1999 113 Bab 14 Pembahasan Ujian I Semester II 2000/2001 126 Bab 15 Pembahasan Ujian I Semester II 2003/2004 138 Bab 16 Pembahasan Ujian I Semester II 2006/2007 150 Bab 17 Pembahasan Ujian II Semester II 1998/1999 162 Bab 18 Pembahasan Ujian II Semester II 1999/2000 174 Bab 19 Pembahasan Ujian II Semester II 2000/2001 183 Bab 20 Pembahasan Ujian II Semester II 2001/2002 195 Bab 21 Pembahasan Ujian II Semester II 2002/2003 203 Bab 22 Pembahasan Ujian II Semester II 2003/2004 212 Bab 23 Pembahasan Ujian II Semester Pendek 2003/2004 220 Bab 24 Pembahasan Ujian II Semester II 2006/2007 230 Bab 25 Pembahasan Ujian III Semester II 2002/2003 239 Bab 26 Pembahasan Ujian III Semester II 2003/2004 248 Bab 27 Pembahasan Ujian III Semester II 2003/2004 257

Bab 1

Hukum Coulomb dan Hukum Gauss

1.1 Gaya antara dua muatan listrik

i) Dua muatan sejenis melakukan gaya tolak-menolak. ii) Dua muatan tidak sejenis melakukan gaya tarik-menarik.

1.2 Gaya Coulomb antara dua muatan titik

Misalkan ada dua muatan q1 dan q2 yang masing-masing berada pada posisi r1

r _dan . Vektor posisi muatan q

2

rr 2 relatif terhadap q1 adalah

ambar 1.1 Posisi muatan q1 dan q2 dalam system koordinat

(1.1)

arak antara dua muatan = besar posisi relatif dua muatan

1 rr 2 rr 21 rr q_{1 q} 2 1 rr 2 rr 21 rr q_{1 q} 2 G 1 2 21 r r rr = r −r J r₂₁ = rr₂₁ = rr −₂ rr₁ . Vektor satuan

yang searah dengan vektor rr₂₁ adalah

1 2 1 2 21 21 21 ˆ r r r r r r r _{r r} r r r − − = = (1.2)

Besar gaya Coulomb pada muatan q2 oleh muatan q1

2 1 2 2 1 2 21 2 1 21 4 1 1 q q qq 4 r _{r r} F o o r −r = = πε πε (1.3)

rah gaya F₂₁ searah dengan vektor satuan ˆr₂₁ sehingga dalam notasi vektor A

21 2 1 2 2 1 21 ˆ 4 1 r r r q q F o r r r − = πε (1.4)

Dengan mensubstitusi ˆr₂₁ ke dalam persamaan (1.4) dapat juga ditulis

) ( 4 1 ) ( 4 1 1 2 3 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 21 r r r r q q r r r r r r q q F o o r r r r r r r r r r r ₋ − = − − − = πε πε (1.5)

Dengan hukum aksi-reaksi Newton, gaya coulomb pada muatan q1 oleh muatan q2 adalah

21

12 F

Fr =−r

1.3 Gaya Coulomb oleh sejumlah muatan

Misalkan terdapat muatan q1, q2, q3, dan q4. Berapa gaya pada muatan q4?

anbar 1.2 Posisi koordinat sejumlah muatan dan gaya total yang bekerja pada satu muatan

q₁ q₂ q₃ q₄ 1 rr 2 rr 3 rr 4 rr 41 rr 42 rr 43 rr 41 Fr 42 Fr 43 Fr x y 41 Fr 42 Fr 43 Fr 42 41 F Fr + r 43 42 41 F F Fr + r + r q₁ q₂ q₃ q₄ 1 rr 2 rr 3 rr 4 rr 41 rr 42 rr 43 rr 41 Fr 42 Fr 43 Fr x y q₁ q₂ q₃ q₄ 1 rr 2 rr 3 rr 4 rr 41 rr 42 rr 43 rr 41 Fr 42 Fr 43 Fr x y 41 Fr 42 Fr 43 Fr 42 41 F Fr + r 43 42 41 F F Fr + r + r 41 Fr 42 Fr 43 Fr 42 41 F Fr + r 43 42 41 F F Fr + r + r G

Gaya oleh q1 pada q4: 3 41 41 4 1 41 4 1 r r q q F o r r r πε =

Gaya oleh q2 pada q4: 3 42 42 4 2 42 4 1 r r q q F o r r r πε =

Gaya oleh q3 pada q4: 3 43 43 4 3 43 4 1 r r q q F o r r r πε =

Gaya total pada muatan q4: F4 F41 F42 F43

r r r r + + =

Secara umum, gaya pada qo oleh sejumlah muatan q1, q2, q3, …, qN:

∑

∑

= = = = N i i i i o N i i a r r q q F F o 1 0 3 0 0 1 0 4 1 _r r r r πε (1.6) 1.4 Medan listrik

Medan listrik yang dihasilkan muatan q1 pada posisi muatan q2, E21

r , didefinisikan sebagai berikut 21 2 21 q E Fr = r (1.7)

Dengan membandingkan (1.7) dan (1.5) maka

21 3 21 1 21 4 1 r r q E o r r r πε = (1.8)

Dinyatakan dalam skalar, besar medan listrik yang dihasilkan muatan sembarang pada jarak r dari muatan tersebut:

2 4 1 r q E o πε = (1.9)

Arah medan listrik didefinisikan sebagai berikut: i) Keluar dari muatan positif.

E E

E E

Gambar 1.3 Arah medan listrik: (a) keluar dari muatan positif dan (b) masuk ke muatan negatif.

1.5 Medan listrik yang dihasilkan distribusi muatan a) Medan listrik oleh muatan cincin

Cincin berjari-jari a dan bermutan q yang tersebar secara merata.

ambar 1.4 Medan listrik di sumbu cincin r _θ h a ∆E ∆E_h ∆E_v r _θ h a ∆E ∆E_h ∆E_v G

(

_{2 2}

)

3/2 4 1 a h qh E o + = πε (1.10)

) Medan listrik oleh muatan batang

Kita akan bahas medan listrik yang dihasilkan oleh batang dengan panjang L di

posisi yang sejajar dengan sumbu batang. Batang memiliki kerapatan muatan homogen dengan muatan total Q. Titik pengamatan adalah pada jarak a dari ujung batang terdekat.

Gambar 1.5 Medan listrik yang dihasilkan oleh batang

) ( 4 1 Q E= L a a o + πε (1.11)

c) Medan listrik oleh dipol

Dipol adalah muatan yang sama besar tetapi berbeda tanda yang dipisahkan oleh hat dari jauh, dipol tampak netral karena kedua muatan sangat berdekat

jarak yang cukup kecil. Dili

an. Tetapi dilihat dari dekat, yaitu pada orde yang sama dengan jarak pisah dua muatan, dipol tampak sebagai dua muatan terpisah. Besar medan listrik sepanjang garis yang memotong tegak lurus sumbu dipol di tengah-tengah pada jarak h dari pusat dipol adalah

[

_{2 2}

]

3/2 ) 2 / ( 4 1 qd E= (1. d h o + πε 12)

Kita mendefinisikan momen dipol

(1.13) Dengan demikia qd p= n, diperoleh

[

_{2 2}

]

3/2 ) 2 / ( 4 1 p E= d h o + πε (1.14) x a a+L dL x a a+L x a a+L dL

ambar 1.6 Menentukan medan listrik oleh dipol

Jika jarak titik pengamatan sangat besar dibandingkan dengan jarak antara dua muatan, E₂ -q +q β β d/2 d/2 h r r E₁ E θ E₂ -q +q β β d/2 d/2 h r r E₁ E θ -q +q β β d/2 d/2 h r r E₁ E θ G

atau d <<h, maka kita dapat mengaproksimasi h2 +(d/2)2 ≈h2sehingga

[ ]

₂ 3/2 3 4 1 4 1 h p h p E o o πε πε = ≈ (1.15)

.6 Perhitungan medan dengan metode integral

eperti pada Gambar 1.7.

ambar 1.7 Kuat medan listrik yang dihasilkan benda kontinu sembarang

1

Misalkan kita memiliki benda sembarang s

rr P rr r rr −_P r P rr P rr r rr −_P r P G

Kuat medan listrik pada titik sembarang P dengan vektor posisi rr

∫

− − = ( ) 4 1 dq _{r r} 2 3 r r r r E P o P r r r πε (1.16)

Persamaan (1.16) merupakan bentuk umum dari persamaan untuk mencri kuat medan listrik ang dihasilkan oleh muatan yang terdistribusi kontinu. Berdasarkan jenis distribusi muatan, y

kita menemui tiga macam yaitu distribusi muatan, yaitu satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi.

i) Untuk distribusi muatan satu dimensi, misalnya muatan pada kawat, maka dq=λdx dengan λ adalah rapat muatan per satuan panjang dan dx adalah elemen panjang kawat. ii) Untuk distribusi muatan dua dimensi, misalnya muatan pada pelat, maka dq=σdS dengan σ adalah rapat muatan per satuan luas permukaan dan dS adalah elemen luas permukaan.

iii) Untuk distribusi muatan tiga dimensi maka dq=ρdV dengan ρ adalah rapat muatan per satuan volum dan dV adalah elemen volum benda.

Garis gaya listrik adalah garis khayal yang keluar dari muatan positif dan masuk ke menggambarkan garis gaya listrik maka kita dapat mendefinisikan medan l

titik sama sejajar dengan garis singgung garis gaya pada titik

1.6 Fluks listrik

Fluks listrik didefinisikan sebagai perkalian skalar antara vektor kuat medan listrik

1.5 Garis gaya listrik

muatan negatif. Setelah istrik sebagai berikut

i) Besarnya medan listrik sebanding dengan kerapatan garis gaya per satuan luas permukaan ii Arah medan listrik di suatu

tersebut. A B C A B C

dengan vektor luar permukaan yang ditembus oleh medan tersebut.

Gambar 1.9 Definisi fluks listrik

Pada Gambar 1.9 me Er Ar θ Er Ar

dan listrik Er menembus permukaan dengan vektor luas permukaan Ar. Fluks listrik yang melewati permukaan memenuhi

θ

φ =Er•Ar = EAcos (1.17)

m m

. Contohnya, untuk Gbr 1.10, fluks total apat ditulis sebegai

Jika permukaan yang ditembus edan terdiri dari sejumlah segmen, maka fluks total sa a dengan jumlah fluks pasa masing-masing segmen

θ 1 E 2 3 E 1 Ar Ar₃ 4 Ar 1 θ 3 θ 4 θ d r r 4 Er 2 Ar 2 θ Er 1 E 2 3 E 1 Ar Ar₃ 4 Ar 1 θ 3 θ 4 θ r r 4 Er 2 Ar 2 θ Er

Gambar 1.10 Medan listrik menembus sejumlah segmen permukaan

4 3 2 1 φ φ φ φ φ = + + + 4 4 3 3 2 2 1 1 A E A E A E A Er • r + r • r + r • r + r • r =

4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1

1A cosθ E A cosθ E A cosθ E A cosθ

E + + + = (1.18) ecara umum S

∑

= • = n i i i A E 1 r r φ

∑

= = n i i i iA E 1 cosθ (

Untuk kasus umum di mana permukaan yang dikenai medan listrik adalah permukaan sembarang dan kuat serta arah medan listrik juga sembarang maka fluks yang melewati permukaan ditentukan dengan integral sebagai berikut

(1.20)

untuk mencari kuat medan strik di sekitar muatan kantinu pada benda yang memiliki simetri. Hukum tersebut dirumuskan sebagai beri

1.19)

∫

= E θdA

φ cos

1.7 Hukum Gauss

Hukum Gauss merupakan metode yang sangat efektif li kut o tertutup permukaan i _ε − atau tertutup permukaan q A

∑

− = r i E

∑

r • o tertutup permukaan tertutup permukaan i i i q A E ε θ

∑

∑

− − = cos (1.21)

Untuk permukaan yang sembarang, hukum Gauss dapat diungkapkan dalam bentuk integral, yaitu o q dA E ε θ

∑

∫

cos = atau

o q A d E ε

∑

∫

r• r = (1.22) ol

∫

Simb menyatakan bahwa integral dilakukan pada permukaan tertutup.

1.8 Memilih permukaa

Langkah pertama yang harus ditempuh ketika akan menggunakan hukum Gauss

em kaan Gauss yang

digunakan dalam menentukan kuat medan listrik

n Gauss

adalah m iliih permukaan Gauss yang tepat. Berikut adalah bentuk permu

a) Kawat lurus panjang

Permukaan Gauss yang kita gunakan berupa silinder dengan jari-jari r dengan kawat adalah sumbu. Panjang silinder bisa bebas, misalkan L.

r

L r

L

Gambar 1.11 sekitar kawat lurus

panjang

Penjumlahan dapat dinyatakan sebagai penjumlahan tiga bagian, yaitu Permukaan Gauss untuk menentukan kuat medan listrik di

∑

EiAicosθi

{

E A

}

{

E A

}

{

E A

}

A

E cosθ = cosθ + cosθ + cosθ

∑

_{i i i 1 1 1 alas 2 2 2 tutup 3 3 3 selubung} (1.23)

o cos _{1 1 1 1 1} 1 1A = E θ Tutup: θ = 90o Selubung θ = 0o. Dengan demikian Alas: θ = 90 . 0E A cos90o =E A ×0= . 0E₂A₂cosθ₂ =E₂A₂cos90o =E₂A₂×0=

3 3 3 3 3 3 3 = E A θ 3 3 cos0 E A 1 E A o _{= × =}

engan A3 = luas selubung

cos A E L r× =2π D L,

E

₁

θ

₁

A

₂

E

₂

θ

₂

E

₃

A

₃

alas tutup selubung

Gambar 1.12 Arah medan listrik di alas, tutup, dan selubung silinder

Muatan yang dilingkupi permukaan gauss hanya ada berada pada bagian kawat sepanjang

yaitu

∑

q=λL. Dengan menggunakan hukum Gauss, maka

o ε L rLE λ π = + +0 2 0 3 r o πε E λ 2 3 Muatan titik = (1.24)

Misalkan kita memiliki muatan titik Q dan kita ingin menentukan kuat medan listrik pada jarak r dari muatan tersebut. Pilih permukaan Gauss berupa permukaan bola dengan jari-jari r dan berpus

=

∑

= E (luas permukaan bola) = . at di muatan. Karena hanya ada satu permukaan maka

θ

θ cos

cos EA A

E_{i i i}

Arah medan di permukaan bola adalah radial. Arah vektor permukaan juga radial sehingga θ = 0 atau cos θ = 1. Dengan demikian

EA A E_{i i i} =

∑

cosθ × E×(4πr2)

A

₁

A

₁

E

₁

θ

₁

A

₁

E

₁

θ

₁

A

₂

E

₂

θ

₂

A

₂

E

₂

θ

₂

E

₃

A

₃

E

₃

A

₃

Jumlah total muatan yang dilingkupi permukaan Gaus adalah muatan titik itu sendiri Q q=

∑

. Diperoleh o Q r E ε π = ×(4 2) atau 2 4 1 r Q E o πε =

Hasil ini persis sama dengan apa yang diperoleh dengan menggunakan hukum Coulomb.

tak berhingga

Misal muatan er satuan luas yang dimiliki pelat kita anggap σ. Kita buat permukaan Gauss yang berbentuk silinder seperti pada Gbr. 1.13. Misalkan luas alas atau tutup silinder

dalah A. Pelat p a A A₁ A₂ A₃ E E A A₁ A₂ A₃ E E

Gambar 1.13 Permukaan Gauss di sekitar pelat tak berhingga

{

}

alas

{

}

tutup

{

}

_{se ung}

i i

iA E A E A E A

E cosθ = _{1 1}cosθ₁ + _{2 2}cosθ₂ + _{3 3}cosθ_{3 lub}

∑

las silinder: A E E₁ = A A₁ = = 0 1 θ EA EA A E1 1cosθ1 = cos0o =

Tutup silinder: E E₂ = A₂ = A 2 θ = 0 Selubung silinder: 3 = = o A E E Diperoleh 2 0= + + = θ

Muatan yang dikandung permukaan Gauss hanya berlokasi pada bagian pelat yang beririsan

engan silinder, A. Jumlah muatan adalah EA EA A E2 2cosθ2 = cos0o = E E₃ = o 90 = θ3 0 3 A cosθ_{3 3 3}cos90 EA EA EA A Ei icos i

∑

A q=σ

∑

.

d yaitu bagian pelat seluas

o i i i q A E ε θ

∑

∑

cos = atau o ε E σ 2 = (1.25)

Medan listrik oleh dua pelat sejajar

Prinsip yang kita gunakan adalah prinsip superposisi medan listrik. Medan total di suatu titik merupakan penjum edan yang dihasilkan oleh masing-masing pelat. Misalkan kita memiliki pelat yang memiliki kerapatan muatan σ1 dan σ2. Masing-masing

menghasilkan medan listrik yang konstan ke segala arah yang besarnya lahan kuat m pelat o E ε σ 2 1 1 = o ε 2 2

Kuat medan listrik di mana-mana memenuhi

2

1 E

E

E= + (1.26)

Pada penjumlahan tersebut kita harus memperhatikan arah.

Bola isolator homogen

Misalkan muatan total bola adalah Q dan jari-jari bola R. Volume bola V =4πR3/3. Kerapatan muatan bola adalah

3 3 4 _R Q V Q π ρ = = (1.27)

Permukaan Gauss untuk mencari medan listrik di dalam bola adalah permukaan bola deengan ari bola isolator.

(1.28)

Dengan θ = 0 dan jari-jari kurang dari jari-j

r

Gambar 1.14 Permukaan Gauss untuk mencari medan lsitrik di dalam bola

θ θ cos cos EA A Ei i i =

∑

1 cosθ = dan .

uatan yang dilingkupi permukaan Gauss hanya berada dalam bola berjari-jari r. Volume ola Gauss adalah .

2 4 r A= π M b V'=4πr3/3 3 3 3 3 3 4 ₃ 4 ' R r Q r R Q V q= = × =

∑

π π ρ (1.29)

engan hukum Gauss D R Permukaan bola Permukaan Gauss r Permukaan bola Permukaan Gauss R

3 3 1 R r Q o × ε 2 ) 4 ( r E π = r R Q E o 3 4 1 πε =

di luar bola kita buat permukaan Gauss dengan jari-jari r > R. Dengan alas an serupa kita dapatkan

(1.30)

Untuk mencari medan

( )

r r E E EAcos0o = 4π 2 ×1=4π 2 A Ei icosθi =

∑

Gambar 1.15 Permukaan Gauss di luar bola

Jumlah muat atan bola, karena seluruh

bagian bola ada di dalam per

an yang dilingkupi permukaan Gauss adalah seluruh mu

mukaan Gauss. Dengan demikian,

∑

q=Q. Dengan hukum auss G o ε Q E r π 2 = 4 2 4πεo r Bola konduktor Kon 1 Q E= (1.31)

duktor adalah bahan yang sangat mudah mengantarkan arus listrik. Dalam keadaan

stasioner:

(a) medan listrik dalam konduktor selalu nol,

(b) muatan yang dimiliki konduktor selalu menempati permukaan, r R Permukaan bola Permukaan Gauss r R Permukaan bola Permukaan Gauss

(c) medan listrik di pe

engan sifat-sifat ini maka kita dapat dengan mudah menghitung medan listrik yang la konduktor yang diberi muatan Q. Misalkan jari-jari bola adalah R. Di dal

perlu menerapkan hukum Gauss saat menghitung medan di luar bola. Dan g medan listrik yang dihasilkan bola isolator. rmukaan konduktor selalu tegak lurus permukaan

D

dihasilkan oleh bo

am bola, yaitu pada r < R, medan listrik nol karena daerah tersebut merupakan konduktor. Kita hanya

perhitungannya sama dengan saat menghitun Kita akan dapatkan, medan listrik di luar bola adalah

2

4πε_o r

1 Q

Bab 2

Potensial Listrik dan Kapasitor

2.1 Energi potensial listrik

Jika muatan q berada dalam ruang yang mengandung medan listrik Er, maka energi potensial yang dimiliki muatan tersebut adalah

∫

• − = r r o o r d E q r U r U r r r r r r_{) ( )} ( (2.1)

dengan U(rr_o) adalah energi potensial pada posisi acuan rr_o . Posisi bisa bermacam-macam, misalnya tak berhingga, pusat koordinat, di permukaan benda, dan sebagainya, bergantung pada di mana nilai energi potensial sudah diketahui.

o

rr

2.2 Potensial listrik

Potensial listrik didefinisikan sebagai energi potensial per satuan muatan listrik. Dengan menggunakan persamaan (2.1) maka definisi potensial listrik adalah

q r U r V( ) ( ) r r = q r d E q q r U r r o o

∫

• − = r r r r r₎ (

∫

• − = r r o o r d E r V r r r r r₎ ( (2.2)

2.3 Potensial listrik oleh sebuah partikel

Untuk kasus ini kita dapat mengambil arah medan listrik Er dan sejajar, sehingga r dr dr E dr E r d

Er• r = cos0o = . Dengan demikian,

∫

∫

• = − − = r r o r r o o o dr E r V r d E r V r V( ) ( ) r r ( )

∫

= −

∫

− = r r r r o o o o o o r dr Q r V dr r Q r V _{2 2} 4 ) ( 4 1 ) ( πε πε r r o o o r Q r V ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− − = 1 4 ) ( πε

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = r r Q r V o o o 1 1 4 ) ( πε

Dengan menetapkan bahwa pada jarak tak berhingga besar potensial sama dengan nol maka,

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ − ∞ = r Q r Q V r V o o 1 0 4 0 1 1 4 ) ( ) ( πε πε r Q o πε 4 1 = (2.3)

2.4 Potensial listrik yang dihasilkan banyak partikel

Cara menentukan potensial listrik yang dihasilkan banyak partikel cukup mudah, yaitu hanya dengan melakukan penjumlahan aljabar (penjumlahan biasa) potensial listrik yang dihasilkan masing-masing partikel.

Lihat skema pada Gambar 2.3.

ambar 2.1 Menentukan potensial listrik yang dihasilkan oleh sejumlah titik muatan.

Potensial yang dihasilkan muatan q1:

1 rr 2 rr 3 rr rr

q

₁

q

2

q

₃

P

x

y

1 rr 2 rr 3 rr rr

q

₁

q

2

q

₃

P

x

y

G 1 1 1 4 1 r r q V o r r − = πε i) 2 2 2 4 1 r r q V o r r − = πε

ii) Potensial yang dihasilkan muatan q2:

3 3 3 4 1 r r q V o r r − = πε

iii) Potensial yang dihasilkan muatan q3:

otensial total di titik pengamatan adalah P

3 2 1 V V V V = + + 3 3 2 2 1 1 4 1 4 1 4 1 r r q r r q r r q o o o r r r r r r₋ + ₋ + ₋ = πε πε πε

.5 Potensial Momen Dipol

tensial pada jarak r dari pusat dipol (titik tengah antara dua muatan)

ambar 2.2 Hubungan antara r1, r2, dan r pada sebuah dipol

, ,

2

Kita akan hitung po

yang membentuk sudut θ dengan sumbu dipol (sumbu vertikal). Tampak: i) Jarak titik pengamatan ke muatan –q adalah r1

ii) Jarak titik pengamatan ke muatan +q adalah r2

P

P

-q

d/2

d/2

+q

r

₂

r

₁

r

θ

θ

2

θ

₁

∆r

₁

∆r

₂

-q

d/2

d/2

+q

r

₂

r

₁

r

θ

θ

2

θ

₁

∆r

₁

∆r

₂ G 1 1 r r r = +∆ r₂ =r−∆r₂ ∆r₁ =dcosθ₁/2, ∆r₂ =dcosθ₂/2

ika jarak titik pengamatan sangat besar dibandigkan dengan d maka dapat didekati J

θ θ

θ₁ ≈ ₂ ≈ sehingga ∆r₁ =dcosθ/2 dan ∆r₂ =dcosθ/2 . Potensial di titik P yang leh muatan – dihasilkan o q: 1 1 4 1 r q V o πε − =

otensial di titik P yang dihasilkan oleh muatan +q: P 2 2 4 1 r q V o πε =

2 1 4 1 4 1 r q r q o o πε πε + 2 1 V V V = + =− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 2 2 1 1 1 2 4 1 1 4 rr r r r r q r r q o o πε πε

[

] [

]

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛∆ +∆ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +∆ − −∆ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 4 4 rr r r q r r r r r r q r r r r q o o o πε πε πε ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = 2 1 2 1 cos 4 cos 2 cos 2 4 rr d q r r d d q o o θ πε θ θ πε

Untuk jarak r yang sangat besar dibandingkan dengan , d r1×r2 ≈r×r=r2 sehingga

2 2 cos ) ( 1 cos qd d q V ≅ ⎜⎛ θ ⎟⎞= θ 4 4πεo ⎝ r ⎠ πεo r θ µ πε cos 4 1 2 r o = (2.4)

2.6 Potensial listrik pelat sejajar

Kapasitor pelat sejajar memiliki pelat yang terpisah sejauh d. Rapat muatan pada pelat adalah σ.

x=0

x=d

x

y

x=0

x=d

x

y

Gambar 2.3 Posisi pelat sejajar dalam koordinat

d d

[ ]

o d o d x o x o x o d x dx dx dx E V V V ε σ ε σ ε σ ε σ _{=− =− =−} − = − = − = ∆

_∫

_∫

_∫

= = = 0 0 0 0 (2.5)

2.7 Potensial listrik akibat kehadiran bahan dielektrik

Kehadiran bahan dielektrik menyebabkan kuat medan yang dihasilkan muatan n juga berubah. Untuk menentukan potensia

berubah. Akibatnya, potensial listrik di sekitar suatu muata

l listrik akibat kehadiran bahan dielektrik, kita dapat menggunakan rumus potensial tanpa bahan dielektrik dengan mengganti ε_o dengan κε_o, dengan κ adalah konstanta dielektrik bahan. Sebagai contoh, jika antara dua pelat sejajar dipasang bahan dielektrik, maka beda potensial antara dua pelat menjadi

o d V κε σ − = ∆ (2.6)

Potensial listrik di sekitar muatan titik yang ditempatkan dalam medium dengan kosntanta ielektrik d κ adalah r Q V 1 o πκε 4 = (2.7) 2.8 Bidang equipotensial

Jika kita tempatkan sebuah muatan listrik dalam ruang, maka titik-titik di sekitar listrik tertentu. Besarnya potensial listrik bergantung pada jarak titik pen

muatan memiliki potensial

gamatan ke muatan. Jika muatan yang kita tempatkan berbentuk titik maka potensial pada jarak r dari muatan memenuhi

r q V = 1 o πε 4

Titik-titik yang berjarak sama dari muatan memiliki potensial yang sama. Permukaan atau idang yang memiliki potensial listrik yang sama dinamakan bidang ekipotensial.

i) Untuk

muatan bola yang tersebar homogen, bidang ekipotensial juga berupa kulit bola tau silinder, bidang ekipotensial b

Beberapa bentuk bidang ekipotensial dari benda yang bentuknya khusus sebagai berikut:

muatan titik, bidang ekipotensial berupa kulit bola ii) Untuk

iii) Untuk muatan yang tersebar homogen pada kawat a berupa kulit silinder

pelat

Ada satu yang menarik dari bidang ekipotensial yaitu selalu tegak lurus garis gaya listrik.

muatan bola, dan ) pelat sejajar

r adalah piranti elektronik yang dapat menyimpan muatan listrik. emampuan kapasitor menyimpan muatan listrik diungkapkan oleh besaran yang namanya

sebuah kapasitor dapat menyimpan muatan Q ketika dihubungkan dengan beda pot

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

Gambar 2.4 Bidang ekipotensial yang dihasilkan oleh (a) muatan titik, (b) (c

2.10. Kapasitor

Kapasito K

kapasitansi. Jika

ensial V, maka kapasitansi kapasitor tersebut didefinisikan sebagaian

V Q

C= (2.8)

Satuan kapasitans

disingkat F. Jadi 1 F = 1 C/V

ari dua pelat konduktor yang sejajar dan dipisahkan oleh sebuah i kapasitor adalah C/V. Satuan ini memiliki nama khusus, yaitu Farad yang

2.11 Kapasitor pelat sejajar

lapisan isolator.

Luas masing-masing pelat adalah A. Jarak antar pelat adalah d. Kerapatan muatan g pelat adalah +σ dan -σ. Besar muatan yang ikandung masing-masing pelat adalah Q = σ A. Kapasitansi kapasitor pelat sejajar adalah Gambar 2.5 Skema kapasitor pelat sejajar

listrik yang diberikan pada masing-masin d d A V Q C= =εo (2.9)

2.12 Kapasitor satu bola konduktor

Bola kobduktor yang berjari-jari V relatif terhadap tanah. Potensial di ermukaan bola konduktor adalah

d Luas A Luas A d Luas A Luas A

R

+Q

V

Gambar 2.6 Bola konduktor yang diberi potensial

R memiliki potensial p

R o πε 4 Q V = 1

apasitansi bola konduktor menjadi K

R V

Q

C= =4πε_o (2.10)

.13 Kapasitansi dua bola konduktor konsentris

Ke dua bola dih

bola adalah +Q dan –Q. Kuat m ola R1, yaitu

2

ubungkan dengan beda potensial V. Misalkan muatan masing-masing edan listrik antara dua bola hanya ditentukan oleh muatan b 2 4 1 r Q E o πε =

Gambar 2.7 Dua bola konsentris dipasang pada suatu beda potensial

Beda potensial antara dua bola memenuhi

⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎦ ⎣ ₁ 1 2 1 1 o R o R o R ⎞ ⎜⎜ ⎛ − = ⎥ ⎤ ⎢ ⎡− = = =

∫

∫

₂ 1 1 4 1 4 4 2 2 2 R R Q r Q r dr Q dr E V R R R πε πε πε (2.11) Kapasitansi adalah

(

1/ 1 1/ 2

)

4 R R V Q C o − = = πε (2.12) R₁ R₂ V -Q +Q R₁ R₂ V -Q +Q

2.14 Kapasitor dua silinder konsentris

Silinder dalam emiliki jari-jari R2. Kuat medan listrik atan silinder dalam, yaitu

R₂ R₁ V R₂ R₁ V

Gambar 2.8 Dua silinder konsentris dipasang pada suatu beda potensial

memiliki jari-jari R1 dan silinder luar m antar dua silinder hanya ditentukan oleh mu

r E o λ πε 2 1 = (2.12)

engan λ adalah rapat muatan per satuan panjang silinder. Beda potensial antara dua silnder d adalah

[ ]

_⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ = =

∫

1 ln 2 ln 2 2 1 1 R r r o R o R o πε πε πε (2.13) ⎞ ⎛ 2 2 R dr R R _{λ λ λ} = =

∫

2 2 1 dr E V R R

Rapat muatan silinder memenuhi λ =Q/L. Kita dapat menulis

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 ln 2 / R R L Q V o πε (2.14) Kapasitansi adalah

(

2 / 1

)

ln 2 L Q C o R R V πε = = (2.15) 2.15 Rangkaian kapasitor

rangkaian kapasitor dapat dikelompokkan atas dua bagian besar, yaitu ngkaian seri dan parallel. Rangkaian-rangkaian kapasitor yang lain dapat dipandang sebagai

Secara umum ra

kombinasi rangkaian seri dan

) Rangkaian seri

n C2 dirangkaian secara seri seperti pada gambar di bawah. Besar kapasita

parallel.

a

Dua kapasitor C1 da

nsi pengganti dua kapasitor di atas adalah C yang memenuhi

2 1 1 1 1 _{= +} C C C (2.16)

Jika terdapat N kapasitor yang disusun secara seri seri maka kapasitansi total, C, memenuhi

N C C₃ C C C 1 ... 1 1 1 1 2 1 + + + + = atau

∑

= = N 1 1 (2.17)

Gambar 2.9 (a) Rangkaian seri kapasitor C1 dan C2 dan (b) adalah kapasitor pengganti (ekivalen) b) Susunan paralel i Ci C 1

C

₁

C

₂

C = …?

(b)

C

₁

C

₂

C = …?

(b)

(a)

(a)

Susunan lain yang dapat diterapkan pada kapasitor adalah susunan parallel. Gambar berikut adalah susunan parallel dua kapasitor C1 dan C2

Gambar 2.10 Susunan parallel dua kapasitor

(2.18)

Jika ter

Kapasitansi pengganti memenuhi

2

1 C

C C= +

dapat N buah kapasitor yang disusun secara parallel maka kapsitansi pengganti memenuhi N C C C C C= 1+ 2 + 3 +...+ (

∑

= = N i i C C 1 (

2.16 Energi yang tersimpan dalam kapasitor

Kapasitor yang bermuatan menyimpan sejumlah energi yang besarnya

2.19) atau 2.20) C Q U 2 2 1 = (2.21)

arena Q = CV maka dapat pula ditulis K 2 2 1 ) ( 1 CV CV U = = 2 2 C (2.22)

ntuk kapasitor pelat sejajar, berlaku hubungan V =Ed dan C =κεoA/dsehingga

C₁ C₂ C = …? C₁ C₂ C = …? U

( )

Ed E Ad E Vol A U = 1⎛⎜κε ⎞⎟ 2 = 1κε 2( )= 1κε 2 d o o o 2 2 2⎝ ⎠

dengan Vol adalah volum ruang ant

Kita definisikan rapat energi yang tersimpan dalam kapasitor (= energi per satuan volum), yaitu

ar dua pelat (volum kapasitor).

2 2 1 E Vol U u= = κε_o (2.23) 2.17 Pen

isalkan sebuah kapasitor yang berisi muatan dihubungkan secara seri dengan sebuah hambatan R

lama-kelamaan mu

engosongan kapasitor (discharge). Perubahan muatan kapasitor terhadap waktu pada proses

gosongan kapasitor

M

maka muatan kapasitor akan mengalir melalui hambatan R sehingga atan kapasitor makin kecil dan akhirnya habis. Peristiwa ini disebut p pengosongan memenuhi ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− = RC t Q Q oexp (2.24)

dengan Qo muatan saat t = 0. Dengan menggunakan hubungan Q = VC, kita dapat menentukan kebergantungan tegangan antara dua ujung kapasitor terhadap waktu

⎥⎦ ⎢⎣ RC o atau ⎤ ⎡− =V C t VC exp ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− = RC t V V oexp (2.25)

C

R

C

R

1 Sebuah kapasitor dihubung seri dengan sebuah tahanan Gambar 2.1

2.18 Pengisian kapasitor

Sebaliknya kita akan mengkaji proses pengisian kapasitor. Mula-mula kapasitor kosong dan saklar dalam keadaan tegangan. Tegangan antara dua kaki kapasitor nol. Pada saat t = 0 saklar ditutup sehingga arus listrik mengalir dan kapasitor mulai terisi. Dengan demikian

gan antara dua ujung kapasitor makin meningkat.

Gambar 2.12 Skema rangkaian pengisian kapasitor

esar arus yang mengalir sebagai fungsi waktu memenuhi

e I I = − / (2.26) Teganga tegan B RC t o

n antara dua ujung kapasitor memenuhi

(

t RC

)

o kap V e V = 1− −/ (2.27)

R

C

S

+

-

_R

C

S

+

-Bab 3

Listrik Arus Searah

3.1 Arus listrik

Arus listrik adalah aliran muatan listrik. Jika dalam selang waktu jumlah muatan listrik yang mengalir adalah , maka besarnya arus listrik didefinisikan sebagai

t ∆ Q ∆ t Q I ∆ ∆ = (3.1)

Muatan listrik dapat mengalir dari satu tempat ke tempat lain karena adanya beda potensial. Hubungan antara arus listrik dan beda potensial, V, adalah

V R

I = 1 (3.2)

dengan R hambatan listrik. Simbol untuk hambatan listrik adalah

atau atau

Gambar 3.1 Simbol hambatan listrik

3.2 Arus pada percabangan

Jumlah arus masuk percabangan = jumlah arus keluar percabangan

Ungkapan ini dikenal dengan hukum kekekalan muatan listrik, dan dikenal pula dengan hukum Kirchoff I.

ambar 3.2 Arus yang masuk dan keluar dari percabangan

I₁ I2 I₃ I₄ I₅ I₁ I2 I₃ I₄ I₅ G

(3.3)

.3 Hambatan listrik

l memiliki hambatan listrik. Hambatan listrik mengukur sulitnya benda dilewati

iliki sifat-sifat: i) Makin

han makin besar.

ubungan antara hambatan listrik yang dimiliki bahan dengan ukuran bahan memenuhi

5 3 4 2 1 I I I I I + + = + 3 Semua materia

arus listrik. Benda yang tidak dapat dialiri arus listrik dinamakan isolator. Material yang mudah dialiri arus listrik dinamakan konduktor.

Hambatan listrik yang dimiliki bahan mem besar jika bahan makin panjang

ii) Makin kecil jika ukuran penampang ba

H

A L

R=ρ (3.4)

engan R hambatan yang dimiliki bahan, L panjang bahan, A luas penampang bahan, dan ρ

.4 Kebergantungan hambatan pada suhu

gan terjadinya perubahan suhu. Umumnya, makin tinggi su

d

disebut hambatan jenis bahan.

3

Hambatan suatu material berubah den

hu maka makin besar hambatan benda. Secara matematik, kebergantungan hambatan pada suhu diberikan oleh

[

1 ( _o)

]

o T T

R

R= +α − (3.5)

engan T suhu, To suhu acuan, R hambatan pada suhu T, Ro hambatan pada suhu acuan To, dan α

.5 Potensiometer

ter adalah hambatan listrik yang nilai hambatannya dapat diubah-ubah. Penguba

ambar 3.3 Simbol potensiometer d

koefisien suhu dari hambatan.

3

Potensiome

han hambatan dilakukan dengan memutar atau menggeser knob.

atau atau

.6 Konduktivitas listrik

Gambar 3.4 adalah ilsutrasi sebuah kabel konduktor. Dalam kabel tedapat t bergerak. Jika tidak ada beda potensial antara dua ujung kabel maka peluang

Dari hasil pengukuran didapatkan bahwa kecepatan terminal elektron dalam konduktor emenuhi

3

elektron-elektron yang dapa

elektron bergerak ke kiri dan ke kanan sama sehingga arus total yang mengalir dalam kabel nol. Jika diberikan beda potensial antara dua ujung kabel maka muncul medan listrik dalam kabel. Medan listrik menarik elektron-elektron bergerak dalam arah yang berlawanan dengan arah medan. Akibatnya elektron memiliki percepatan dalam arah yang berlawanan dengan arah medan

Gambar 3.4 Ilustrasi kabel konduktor yang dialiri arus listrik

m

E

v=µ (3.6)

dengan µ ada

Kerapatan arus dalam kawat (arus per satuan luas penampang) adalah lah sebuah konstanta yang dikenal dengan mobilitas elektron.

E J =σ (3.7) engan d σ =ne (3.8) µ dikenal dengan

engantarkan listrik. Hubungan antara konduktivitas dan resistivitas adalah

konduktivitas listrik. Konduktivitas listrik mengukur kemampuan bahan m ρ σ = 1 (3.9)

A

L

A

L

.7 Rangkaian hambatan listrik

ambar 3.5 Hambatan disusun secara seri.

secara seri. Susunan ke tiga hambatan tersebut enghasilkan hambatan total R yang memenuhi

(3.10)

b) Hambatan paralel

parallel. Susunan ke tiga hambatan tersebut enghasilkan hambatan total R yang memenuhi

3 a) Hambatan seri

R

₁

R

₂

R

₃

a

b

c

d

II

d

R

₁

R

₂

R

₃

a

b

c

G

Tiga hambatan R1, R2, dan R3 disusun m 3 2 1 R R R R= + +

R

₁

R

₂

R

₃

a

b

I

₁

I

₂

I

₃

I

R

₁

R

₂

R

₃

a

b

I

₁

I

₂

I

₃

I

Gambar 3.6 Hambatan disusun secara parallel.

Tiga hambatan R1, R2, dan R3 disusun secara m 3 2 1 1 1 1 1 _{= + +} R R R R (3.11)

3.8 Rangkaian yang mengandung hambatan dan sumber

Dalam rangkaian listrik, kadang kita jumpai sejumlah hambatan dan sejumlah sumber

tegangan. Bagaimana menentukan arus yang mengalir rta tegangan dalah

R

₁

R

₂

a

b

I

ε

R

₁

R

₂

a

b

I

ε

Gambar 3.7 Contoh rangkaian yang mengandung hambatan dan sumber tegangan

Rumus yang menghubungan besar arus yang mengalir dan besarnya hambatan se a

∑

∑

−

= IR ε

V_ab (3.12)

di mana V _ab adalah beda potensial antara titik a dan titik b,

∑

IR adalah jumlah perkalian arus dan hambatan sepanjang jalur antara titik a dan b, dan

∑

ε adalah jumlah tegangan yang dipasang sepanjang rangkaian antara titik a dan b.

Persamaan (3.12) diterapkan dengan perjanjian: i) I diberi harga positif jika mengalir dari a ke b

ii) ε dib an menghadap titik a dan kutub positif

Jika titik a dan b dihubungkan kita mendapatkan Vab = 0 dan rangkaian menjadi tertutup. yang tertutup tersebut disebut loop. Karena Vab = 0 maka persamaan (3.12) menjadi

Jumlah loop dalam

ahas rangkaian yang terdiri dari dua loop. Prinsip yang digunakan sama dengan saat memeca

eri harga positif jika kutub negatif sumber tegang menghadap titik b. 3.9 Loop Rangkaian 0 = −

∑

∑

IR ε (3.13)

rangkaian tidak hanya satu, tetapi bisa banyak sekali. Sekarang kita b

hkan persoalan satu loop. Hanya di sini akan muncul dua persamaan, karena ada dua arus yang harus dicari, yaitu arus yang mengalir pada masing-masing loop.

.10 Daya listrik

istrik mengalir pada sebuah hambatan maka hambatan tersebut akan menjadi panas. I

3

Jika arus l

ni menunjukkan bahwa pada hambatan tersebut terjadi proses perubahan energi dari energi listrik menjadi energi panas. Daya yang dibuang pada hambatan adalah

t Q P ∆ ∆ = IV = 3.14)

i mana ∆Q adalah kalor yang dihasilkan selama ∆t. Dengan menggunakan hukum Ohm V = IR (

d

maka kita juga dapat menulis

R I

Bab 4

Kemagnetan

4.1 Garis gaya magnetik

i) Garis gaya magnet dilukiskan keluar dari kutub utara dan masuk di kutub selatan.

ii) Kerapatan garis gaya per satuan luas di suatu titik menggambarkan kekuatan medan magnet di titik tersebut.

iii) Kerapatan garis gaya terbesar diamati di kutub magnet. Ini berarti medan magnet paling kuat di daerah kutub.

iv) Makin jauh dari kutub maka makin kecil kerapatan garis gaya. Ini berarti makin jauh dari kutub maka makin lemah medan magnet.

Gambar 4.1 Lukisan garis gaya magnet

4.2 Medan magnet

Di sekitar suatu magnet dihasilkan medan magnet dengan sifat sebagai berikut: i) Arah medan magnet sama dengan arah garis gaya magnet

ii) Besar medan magnet sebanding dengan kerapatan garis gaya magnet

Kita simbolkan medan magnet dengan Br, yang merupakan sebuah besaran vektor. Satuan medan magnet adalah Tesla yang disingkat T.

ambar 4.2 Lukisan medan maget.

B

B

4.3 Gaya Lorentz

Jika kawat yang dialiri arus listrik ditempatkan dalam medan magnet, maka kawat aya dari magnet. Besar dan arah gaya yang dialami kawat yang dialiri arus listrik da

tersebut mendapat g

lam medan magnet diberikan oleh hukum Lorentz

B L I

Fr = r× r (4.1)

Fr

dengan gaya yang dilami kawat berarus listrik, I besar arus listrik, dan Lr vektor panjang edan magnet. Besar vektor L

kawat yang dikenai m r sama dengan bagian panjang kawat yang dikenai dan magnet saja sedangkan arahnya sama dengan arah arus dalam kawat. Besarnya gaya Lorentz yang dialami kawat berarus listrik dapat ditulis

me

θ

sin ILB

F = (4.2)

dengan θ adalah sudut antara vektor Lr dan vektor Br.

Untuk menentukan arah gaya Lorentz, kita gunakan a ratu n sekrup putar kanan:

Tempatkan vektor panjang kawat dan vektor medan magnet sehingga titik pangkalnya

aju sekrup sama dengan arah gaya Lorentz pada kawat.

rak

Muatan yang bergerak menghasilkan arus listrik bukan? Dengan demikian, muatan yang ya Lorentz. Kita dapat menurunkan persamaan gaya Lo

i)

berimpit.

ii) Putar sekrup putar kanan dari arah vektor panjang kawat ke arah vektor medan magnet. iii) Arah m

B

I

Br Lr Fr

B

I

B

I

Br Lr Fr Br Lr Fr

Gambar 4.3 Menentukan arah gaya Lorentz

4.4 Gaya Lorentz pada muatan yang berge

bergerak dalam medan magnet juga mengalami ga

mlah muatan yang mengalir selama ∆t. Selanjutnya kita dapat menulis gaya Lorentz pada kawat be

Arus sama dengan muatan yang mengalir per satuan waktu, atau I = /q ∆t dengan q ju

rarus listrik sebagai berikut

B t L q B L t q F r r r r r _{⎛ ⎞} ⎛ ⎞ × ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ∆ = × ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ∆ = (4.3)

adalah panjang per satuan wa

diperoleh gaya Lorentz pada muatan yang bergerak memenuhi

t

Lr/∆ ktu yang tidak lain daripada kecepatan muatan vr.Akhirnya

B v q

Fr = r× r (4.4)

Besarnya gaya Lorentz menjadi F =qvBsinθ.

4.3 Pembelokkan lintasan muatan dalam me an magnet d

Seperti yang dibahas di atas, arah gaya Lorentz selalu tegak lurus Br dan tegak lurus kel bermuatan yang bergerak dalam

medan m el

D

vr. Arah gaya yang selalu tegak lurus arah gerak pada parti

agnet persis sama dengan gaya pada benda yang sedang bergerak m ingkar beraturan. engan demikian, kita bisa mamastikan bahwa lintasan muatan yang masuk dalam medan magnet dalam arah tegak lurus membentuk lingkaran. Karena lintasan berbentuk lingkaran maka pada muatan ada gaya sentripetal sebesar

r v m F 2 = ( s 4.5)

Sumber gaya sentrip

besarnya . Dengan menyamakan nilai ke dua gaya tersebut kita peroleh

etal adalah gala Lorentz yang dihasilkan oleh medan magnet yang

qvB F_L = r v m qvB 2 = atau v qBr m= (4.6) 4.4 Spektrometer massa

Spektrometer massa adalah alat yang dapat menentukan massa atom dengan teliti. Alat gaya Lorentz. Atom yang akan diukur massanya mula-mula diionisasi sehingga

ini memanfaatkan prinsip

an

Agar massa atom dapat dihitung maka laju ion harus diketahui terlebih dahulu. Cara entukan laju ion adalah menggunakan selektor kecepatan. Selektor kecepata

partikel.

g dilakukan medan magnet = q v B

iatur sedemikian rupa sehingga ke dua gaya tersebut lam keadaan demikian, partikel tidak mengalami

trik dan medan magnet menarik partikel dalam rah berlawanan. Hanya partikel yang ditarik dalam arah berlawanan dengan gaya yang sama esar yang bergerak dalam garis lurus.

besarnya. Jika laju ion dapat ditentukan maka masa atom dapat dihitung berdasarkan pengukuran jari-jari lintasannya.

a) Selektron kecepat

yang mudah untuk men

n memanfaatkan gaya listrik dan gaya magnet. Medan magnet dan medan listrik dibangkitkan dalam suatu ruang dalam arah yang saling tegak lurus.

Partikel bermuatan ditembakkan masuk ke dalam ruangan yang mengandung dua medan tersebut. Baik medan listrik maupun medan magnet masing-masing melakukan gaya pada

Gaya yang dilakukan medan listrik = q E Gaya yan

Besar medan listrik dan medan magnet d persis sama besar dan berlawanan arah. Da pembelokkan

+

+

Gambar 4.4 Dalam selektor kecepatan, medan lis a

b

Jadi, agar lintasan partikel lurus maka harus terpenuhi

qvB qE = atau B E v= (4.7)

Hanya partikel dengan laju

lebih besar atau lebih kecil dari

B E

v= / yang memiliki lintasan yang lurus. Partikel dengan laju

B E

v= / mengalami pembelokkan. Jika di depan dan di belakang selektron kecepatan dipasan dua lubang dalam posisi lurus, dan partikel masuk di celah pertama maka hanya partikel dengan laju v= E/B yang dapat losos pada celah kedua. Partikel dengan laju lebih besar atau lebih kecil tertahan oleh dinding dan tidak didapatkan di sebelah luar celah kedua. Dengan demikian, kita mendapatkan ion dengan kecepatan yang sudah tertentu yang keluar dari celah kedua.

b) Spektrometer massa lengkap

Spektrometer massa yang lengkap mengandung selektron kecepatan (yang mengandung edan listrik dan medan magnet yang berarah tegak lurus) dan ruang pembelokan yang

elektron kecepatan memilih partikel dengan laju tertentu saja yang m

dan daerah pembelokan.

m

mengandung medan magnet saja. S

emasuki ruang pembelokan. Di ruang pembelokan, jari-jari lintasan partikel diukur sehingga berdasarkan informsi laju yang dihasilkan oleh selektron kecepatan dan dengan mengukur jari-jari lintasan, maka massa atom dapat ditentukan dengan mudah.

+

r

+

r

Gambar 4.5 Skema spektrometer massa lengkap yang terdiri dari slektor kecepatan

Berdasarkan Gambar 4.14, laju partikel yang lolos selektor kecepatan memenuhi

1

B E

Atom membelok dalam ruang pembelokan sehingga massanya memenuhi 1 2 2 / B E r qB v r qB m= = r E B qB_{1 2} = (4.9)

Bab 5

Hukum Biot Savart

5.1 Hukum Biot Savart

ambar 5.1 Menentukan kuat medan magnet yang dihasilkan oleh elemen kawat

Kuat medan magnet di titik P yang dihasilkan oleh elemen saja diberikan oleh hukum B L dr rr P I L dr rr P I G L dr iot-Savart 3 4 r r L d I B d o r r ₌ µ ×r π (5.1)

engan µo disebut permeabilitas magnetik vakum = 4π × 10-7 T m/A. Medan total di titik P yang d

dihasilkan oleh seluruh bagian kawat

∫

× = ₃ 4 r r L d I B o r r r µ π (5.2)

.2 Medan magnet oleh kawat lurus tak berhingga

at lurus tak berhingga dimudahkan oleh arah vek

ambar 5.2 Menentukan kuat medan magnet yang dihasilkan oleh elemen kawat lurus panjang

ebelum melakukan integral, kita harus menyederhanakan dulu ruas kanan persamaan (5.2).

5

Mencari medan magnet yang dihasilkan kaw

tor dLr yang selalu tetap, yaitu mengikuti arah kawat.

L dr rr

I

P

L dr rr

I

P

G S

θ sin r dL r L dr× r = (5.3)

engan θ adalah sudut antara vektor

d dLr dan rr. Besar medan magnet yang dihasilkan vektor

L dr saja adalah 2 3 3 sin 4 sin 4 4 r dL I r r dL I r r L d I dB o o o θ π µ θ π µ π µ = = × = r r (5.4)

ada ruas kanan persamaan (5.4), baik dL, r, maupun sin θ merupakan variabel. Agar integral

ambar 5.3 Variabel-variebal integral pada persamaan (5.4) P

dapat dikerjakan maka ruas kanan hanya boleh mengandung satu variabel. Kita harus mengungkapkan dua variabel lain ke dalam salah satu variabel saja.

P

I

a

L

dL

r

θ

d

θ

P

I

a

L

dL

r

θ

d

θ

G θ sin = a _⇒ r θ 2 sin 1 1 2 2 a r = (5.5) θ tan = L a ⇒ θ θ θ sin c tan a a L= = os (5.6) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ = θ θ θ θ θ sin (cos 2 sin ) (sin cos ) d d a dL θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d a d a d d a ₂ 2 2 2 2 2 sin cos sin sin cos 1 sin cos cos sin sin + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− ₋ = = θ θ 2 sin d a − (5.7) θ θ µ θ θ θ d I d a dB o sin sin sin2 _⎟⎞ ₌₋ ⎜ ⎛ π θ π µ a a I o 4 sin 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠⎜_⎝ 2 ⎟_⎠ ⎛ =

Selanjutnya kita menentukan batas-batas integral. K

maka batas bawah adalah L → -∞ dan batas atas adalah L → +∞. Karena ⎞

− (5.8)

arena kawat panjang tak berhingga,

L a /

tanθ = , maka untuk L → -∞ diperoleh tanθ →−0 atau θ = 180o dan untuk L → +∞ diperoleh tanθ →+0

atau θ = 0o.

[

]

[

1

(

1

)

]

4

cos

4

sin

4

0 180 0

−

=

I

I

I

B

o o

µ

µ

µ

180

−

+

−

−

=

−

−

=

∫

d

_a

_a

a

o o o o o

π

θ

π

θ

θ

π

a I o π µ 2 = (5.9) Arah me

mpat jari tangan kanan dan ibu jari dibiarkan lurus maka i) Arah i

medan magnet di sekitar arus tersebut suk sekrup putar kanan. Arah masuk sekrup sesuai

Medan magnetik di titik yang sejajar ujung batang dapat ditentukan sebagai berikut.

Gambar 5.4 V an kuat medan magnet di posisi yang sejajar jung kawat

dan magnet dapat ditentukan dengan aturan tangan kanan. Jika kalian genggam e

bu jari bersesuaian dengan arah arus

ii) Arah jari-jari yang digenggam bersesuaian dengan arah Cara lain adalah berdasarkan arah ma

dengan arah arus sedangkan arah putar sekrup sesuai dengan arah medan magnet.

5.3 Medan magnet oleh kawat lurus berhingga

a L dL θ P r L_o-L = a/tanθ a L dL θ P r L_o-L = a/tanθ

ariabel-variabel untuk menentuk u θ θ π µ d a I dB= o sin 4 (5.10)

Ketika elemen dL berada di ujung kiri kawat, m

emenuhi

maka sudut yang dibentuk adalah θ yang m o m L a = θ tan (5.11)

Dan ketika elemen dL

atas integral adalah 90o sampai θm. Maka kita dapatkan medan magnet di titik P adalah

berada di ujung kanan kawat maka sudut yang dibentuk adalah 90o. Jadi, b

∫

= o d a I B o 90 sin 4π θ θ µ m θ

[

]

[

m

]

o o o a I a I o m π θ µ θ π µ θ cos90 cos 4 cos 4 90 _{= − +} − = m o a I _θ π µ cos 4 = (5.12)

enggunakan persamaan (5.11) kita mendapatkan

Dengan m cosθm =Lo / a2 +L2o . Dengan

demikian, kuat medan magnet di titik P adalah

2 2 4 o o L a a B + = π o L I µ (5.13)

Selanjutnya kita bahas kasus yang lebih umum lagi di mana titik pengamatan berada di ntara dua ujung kawat. Misalkan titik tersebut berjarak a dari kawat dan berjarak b dari salah satu uju

ng a

ng kawat. Kita dapat memandang bahwa medan tersebut dihasilkan oleh dua potong kawat yang panjangnya b dan panjangnya Lo – b, seperti pada Gbr. 5.5, di mana titik pengamatan berada di ujung masing-masing potongan kawat tersebut.

Gambar 5.5 Menentukan kuat medan magnet pada posisi sembarang di sekitar kawat

Kuat medan yang dihasilkan oleh potongan kawat kiri dan kanan masing-masi

2 2 1 4π a _{a +b} b I B = µo (5.14) 2 ) b o − 2 2 ( 4 _{a L} b L a I B o o + − = π µ (5.15) Lo a I P L -b b _o Lo a I P L -b b _o

Kuat medan total di titik pengamatan adalah 2 1 B B B= + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ₊ − = 2 2 2 2 4 b L b a I o o π µ ⎝ ⎛ − + +b a (L b) a _o (5.16)

Selanjutnya kita mencari kuat medan listrik pada titik yang berada di luar areal kawat, misalnya pada jarak b di sebelah kiri kawat sepe

asalah ini dapat dipandang sebagai dua potong kawat berimpit. Satu potong kawat panjangnya

o + dan dialiri arus ke kanan dan potong kawat lain panjangnya dan dialiri arus ke kiri,

jung kiri dua otongan kawat diimpitkan.

rti pada gambar 5.6

Lo a I P b Lo a I P b

Gambar 5.6 Menentukan kuat medan magnet pada jarak sembarang di luar kawat.

M b

L b

seperti diilustrasi pada Gbr 5.7. Besar arus yang mengalir pada dua kawat sama. U p

Kuat medan magnet yang dihasilkan potongan kawat panjang adalah

2 2 1 ( 4 _{a L} b L a I B o o + + = π µ ) b + (5.17)

Gambar 5.7 Kawat pengganti skema pada Gbr 5.6

o Lo a I P b I Lo a I P b I

Kuat medan magnet yang dihasilkan potongan kawat pendek adalah 2 2 2 4 _{a b} b a I B o + − = π µ (5.18)

Medan total di titik P adalah

2 1 B B B= + ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ + − + + = 2 2 2 2 ) ( 4 a _{a L b a b} o o o π ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ _{L +b b} I µ (5.19)

5.4 Medan magnet oleh cincin

Kita ingin menentukan kuat medan magnet sepanjang sumbu cincin pada jarak b dari br 5.8, besarnya medan magnet di titik P yang dihasilkan oleh lemen cincing sepanjang dL adalah

pusat cincin. Berdasarkan G e 2 sin 4 r dL I dB o θ π µ =

Gambar 5.8 Medan magnet di sumbu cincin yang dihasilkan oleh elemen pada cincin

dL selalu tegak lurus r sehingga θ = 90o atau sin θ = 1.

θ

a

r

b

I

⊥ dB // dB dB

α

α

P

θ

a

r

b

I

// dB dB

α

α

⊥ dB

P

2 4 r dL I dB o π µ = (5.20)

dB dapat diuraikan atas dua komponen yang saling tegak lurus

α

cos

dB

dB_⊥ = dan dB_// =dBsinα (5.21)

Tiap elemen kawat memiliki pasangan di seberangnya (lokasi diametrik) di mana komponen tegak lurus sumbu memiliki besar sama tetapi arah tepat berlawanan. Dengan demikian ke dua komponen tersebut saling meniadakan. Untuk menentukan kuat medan total kita cukup melakukan integral pada komponen yang sejajar sumbu saja.

∫

∫

= = dB// dBsinα B

∫

= α π µ sin 4 2 r dL I o (5.22)

Semua parameter dalam integral konstan kecuali dL. Dengan demikian kita peroleh

) 2 ( sin 4 sin 4 2 2 a r I dL r I o o B α π π µ α π µ = =

_∫

α µ si 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = r a a I o arena n (5.23) α sin /r = a K maka α µ 3 sin I B= o ( 2 a 5.24)

ntuk kasus khusus titik di pusat lingkaran, kita dapatkan α = 90o sehingga U a I B o 2 µ = (5.28) 5.5 Solenoid

Solenoid adalah lilitan kawat yang berbentuk pegas. Panjang solenoid dianggap tak berhingga. Pertama kita akan mencari kuat medan magnet di pusat solenoid tersebut.

Solenoid dapat di Tiap cincin membawa arus

ihasilkan oleh cincin-cincin tersebut. Misalkan jumlah lilitan per satuan panjang adalah n. Kita

(5.29)

Elemen tersebut dapat dipandang sebagai sebuah cincin dengan besar arus

pandang sebagai susunan cincin sejenis yang jumlahnya sangat banyak. I. Medan di dalam solenoid merupakan jumlah dari medan yang d

lihat elemen solenoid sepanjang dx. Jumlah lilitan dalam elemen ini adalah

ndx dN =

Gambar Indx IdN dI = = (5.30)

× × × × × × × × × × × × × × × ×

5.9 Penampang solenoid jika dibelah dua.

Karena elemen tersebut dapat dipandang sebagai sebuah cincin, maka medan magnet yang dihasilkan di titip P memenuhi persamaan (5.24), dengan mengganti I dengan dI pada persamaan (5.30). α µ 3 sin a 2 dI dB= o α µ 3 sin 2 a o = Indx (5.31) Tampak dari Gbr 5.9, α tan = x a ⇒ α tan a x= ⇒ α α 2 sin d a dx=− (5.32) α α µ α α α µ d In d a a In dB o o sin 2 sin sin 2 3 2 ⎟ =− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = (5.33)

Batas bawah adalah x → -∞ dan batas atas adalah x → +∞. Karena tanα =a/x, maka untuk x → -∞ diperoleh tan α → -0 atau α = 180o_{, dan maka untuk x → +∞ diperoleh tan} α _{→ +0 atau} α = 0o. Medan magnet total yang dihasilkan di pusat solenoid adalah

∫

∫

=− − = o o o ₁₈₀ 180 2 2 o d In d In B o o 0 0 sin sinα α µ α α µ

[

]

[

1 ( 1)

]

2 cos 2 0 1800 =− − + − − − = µo In α o µo In nI o µ = (5.34)

• • • • • • • • • • • • • • • •

x

dx

P

r

α

a

× × × × × × × × × × × × × × × ×

• • • • • • • • • • • • • • • •

x

dx

P

r

α

a