Transformasi Z Materi :

Transformasi Z

4

Materi :

• Definisi Transformasi z

• Daerah Konvergensi (Region of Convergence)

• Diagram Pole Zero

• Sifat Transformasi z

• Transformasi z dalam Bentuk Polinomial Rasional

• Fungsi Sistem atau Fungsi Transfer H(z) dari Sistem Linier

Tidak Berubah terhadap Waktu

• Fungsi Sistem untuk Sistem yang Dinyatakan dalam

Persamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier

• Invers Transformasi z

Transformasi Z

4

4.1 Definisi Transformasi z

kompleks

variabel

adalah

dimana

kan

didefinisi

diskrit

sinyal

dari

z

si

Transforma

,

jω -n -n

re

z

x(n)z

X(z)

x(n)







  

Re{z}

Im{z}

ROC

a

4.2 Daerah Konvergensi (ROC)

Nilai z yang menyebabkan X(z) konvergen didefinisikan pada daerah

di bidang z yang disebut daerah konvergensi, region of convergence

(ROC).

ROC didefinisikan dalam 𝑧 berupa daerah pada bidang z yang dibatasi

 

 

 

Transformasi z dapat dianggap sebagai Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD) dari , .

( )

Bila ROC mencakup lingkaran satuan (| | 1), ( ) mempunyai TFWD (finite

n x n r n n j n X z x n z x n r e n n z x n            





energy sequence)

bidang z

Re{z}

Im{z}

ROC mencakup lingk. satuan



TFWD

Sifat-sifat ROC

– ROC dari X(z) adalah daerah yang dibatasi lingkaran pada bidang z yang

berpusat pada titik nol.

– Transformasi Fourier dari x(n) adalah konvergen jika dan hanya jika ROC dari

x(n)

mencakup lingkaran satuan.

– Pada ROC tidak boleh terdapat pole .

– Bila x(n) adalah deret dengan panjang terbatas maka ROC adalah seluruh

bidang z ,dengan kemungkinan pengecualian pada z=0 atau z=



.

– Bila x(n) adalah deret sisi kanan yaitu deretan yang bernilai nol untuk n <N

₁

<



,

ROC adalah daerah dibagian luar dari pole terluar X(z) hingga

(kemungkinan) mencakup z=



.

– Bila x(n) adalah deret sisi kiri yaitu deretan yang bernilai nol untuk n>N

₂

>-



,

ROC adalah daerah dibagian dalam dari pole terdalam X(z) hingga

(kemungkinan) mencakup z=0.

– Bila x(n) adalah deretan dua sisi maka ROC akan berbentuk cincin yang

dibatasi oleh pole terluar dan terdalam dan tidak mengandung satu pun pole

pada daerah konvergensinya.

Contoh deretan sisi kanan

•

•



akan konvergen untuk |az

-1

_{| < 1}

sehingga ROC adalah |z| > |a|

•

|a| < 1 finite energy sequence

•

|a| > 1 (divergent sequence, infinite energy, TFWD tidak ada tetapi TZ ada yaitu

|z| > a (ROC)

 

 

1 0

1

( )

1

n n n n

x n

a u n

X z

a z

az

 _  











n

-1 1 2 3 4 -2

• Contoh deretan sisi kiri (anti causal)

n

-1 1 2 3 4 -2 -3 -4 -5

 





 









 





1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

n n n n n n n n n n n n n n n

x n

a u

n

X z

a u

n

z

a z

a z

a z

a z

az

az

az

az

az

a z

az

  _  _    _   _        

 

 





 

 

 

 

 





 







 



 



















akan konvergen untuk |a

-1

_{z| < 1}

•

Contoh deretan :

1

1

( )

1

X z

az







bidang z

Re

Im

|

a|

ROC |z| > |a|



x(n) = a

n

_u(n)

n

ROC |z| < |a|



x(n) = -a

n

_u(-n-1)

n

deretan sisi kiri

deretan sisi kanan

1 1 ( ) , ₁ 1 dan ₂ 1 1 1 1 ₁ 1 ₂ X z a a a z a z  _  _    

•

Misal

•

ROC tidak dispesifikasikan maka kemungkinan deretan-deretan x(n) adalah ...

a

₁

n

_u(n)

n

-

a

₁

n

u(-n-1)

n

_atau

n

-a

₂

n

u(-n-1)

n

a

₂

n

_u(n)

atau

ROC: |z| > |a

₁

| and |z| > |a

₂

|

Im

Re

|

a

₁

|< |a

₂

|

Im

1

1

( )

1

1

1

₁

1

₂

X z

a z

a z













n

x(n) = a

₁

n

u(n) + a

₂

n

u(n)

Im

Re

|a

₁

|<

|

a

₂

|

Im

n

x(n) = -a

₁

n

u(-n-1) - a

₂

n

u(-n-1)

ROC: |z| < |a

₁

| and |z| < |a

₂

|

1

2

1

1

1

1

1

1

)

(

_

_









z

a

z

a

z

X

ROC: |z| > |a

₁

| and |z| < |a

₂

|

Im

Re

|

a

₁

|

<

|

a

₂

|

Im

1

1

( )

1

1

1

₁

1

₂

X z

a z

a z













n

x(n) = a

₁

n

u(n) - a

₂

n

u(-n-1)

ROC: |z| < |a

₁

| and |z| > |a

₂

|

Re

|

a

₁

|<

|

a

₂

|

Im

1

1

( )

1

1

1

₁

1

₂

X z

a z

a z













n

x(n) = -a

₁

n

u(-n-1) + a

₂

n

u(n)

•

Deretan eksponensial dua sisi

•

Tidak ada overlap pada ROC, TZ tidak ada

(tidak konvergen untuk nilai z berapapun)

 

 





,

-1

n

x n

a

n

n

n

a u n

a u

n



   





 

ROC

|z| > |a|

ROC

|z| < |a|

Re

|

a|

Im

n

Pole dinotasikan dengan x dan zero dengan o pada bidang kompleks z :

bidang z

Re{z}

Im{z}

1



o o o o





pole - pole p_k (merupakan pasangan konjugat kompleks bila g(n) riil)

Zero-zero z

_k

• G

(

z

): fungsi kompleks dari variabel kompleks

•

Bidang perpotongan antara permukaan G(z) dan silinder (|z| = 1



z = e

jw

_{) adalah G(e}

jw

₎

yaitu TFWD

Bidang Z dan TFWD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bila ( ) , ( ) , -maka : ( ) ( ) ( ) n x n X z x n z R_x z R_x n n y n Y z y n z R_y z R_y n n n ax n by n X z ax n z by n z n n ax n by n aX z bY z       _        _              









 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

max _-, _- min , 1 1 1 Contoh: 2 ₁ 1 1 2 2 1 1 1 3 ₁ 1 1 3 3 1 1 ₁ maka 2 1 1 1 1 1 1 2 3 R_x R_y z R_x R_y n x n u n z z n y n u n z z x n y n z z z  _{ }  _{ }                      

4.4 Sifat Transformasi z

4.4.1 Linier

 





 

 

 

 

 

 

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Contoh: cos ₀ . . . 2 2 1 . 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2₁ 2₁ j n j n x n n u n e u n e u n j n e u n z j e z j n e u n z j e z X z z j j e z e z                   _{ }           





 

 





 

 

 

 

0 0 0 0 1 1 _{cos 0} cos ₀ . 1 1 2 1 2 _{cos 0} 1 1 sin ₀ . . . 2 2 1 1 1 1 1 1 2 _{1 1} sin 0 z n u n z z z j n j n x n n u n e u n e u n j j X z z j j j _{e z e z}                         _  _ _       





_.

 

1 sin 0 ₁ 1 2 1 2 _{cos 0} z n u n z z z         

 

 













 

0 0 0 Bila ( ) , _- maka : ₀ ( ) _- Bukti : _{0 0} = ( ) n x n X z x n z R_x z R_x n n x n n z X z R_x z R_x k n n n x n n x n n z x k z z X z n k       _      _           







 





   











 



-Daerah konvergensi dan ₀ sama dengan kemungkinan pengecualian di z=0 atau z=

1 2 3 4 Contoh: 2 1 3 2 2 3 4 1 2. 3. 2. 0 R_x z R_x x n x n n x n



n



n



n



n



n z z z z z   _                     



 







 



 





 













 





 













  

2 1 2 2 2 2 1 3 2 1 2 2. 3 2. 0< 2 3 4 5 6 2 2 2 3 3 4 2 5 6 2. 3. 2. 0 4 3 2 4 4 2 3 3 2 2 1 2. 3. x n n n n n n z z z z z x n n n n n n z z z z z z x n n n n n n z z z































                                                      2.z1 z  

4.4.2 Pergeseran Deretan

 

 

 

 

 

 

 





 

Bila

( )

_-

1

maka :

.

.

=

.

1

_-

Contoh:

cos

₀

.

x n

X z

R

_x

z

R

_x

n

n

n

n

a x n

a x n z

x n

a

z

n

n

n

a x n

X a

z

a R

_x

z

a R

_x

n u n





 

_





_















 

_









 





 

1

1

_{cos 0}

1

1

2

1 2

_{cos 0}

1

1

_{cos 0}

cos

₀

.

1

2

2

1 2

_{cos 0}

1 sin

₀

sin

₀

.

1

1

2

1 2

_{cos 0}

z

z

z

z

az

n

a

n u n

z

a

az

a z

z

n u n

z

z

z







































_

_





















 

 

 

   

 

 

 

 

 

Bila ( ) _- 1 maka : . = . = . 1 1 1 1 Contoh: 1 1 x x x n X z R_x z R_x k k n n x n a x n z x k z x k z n k k x n X z z R R u n z      _    _               _ 







 

1 1 maka 1 1 z u n z z     

 

 

 

 



 



 

Bila ( ) _- ( ) _{1 -1 -1} maka : = . = - . . . - . . ( ) sehingga : C x n X z R_x z R_x dX z d _{n n n} x n z x n nz z n x n z z TZ n x n dz dz n n n dX z nx n z R_x z R_x dz    _                _   _







 

 





 

 

 

1 1 ontoh: maka 1 2 1 ₁ 1 1 1

Bila 1 maka 1 maka 1

az n n a u n z a na u n z a az az z a u n z nu n z        _     _   

4.4.4 Pembalikan waktu

 

  



 

_{ }

  



 





 

 

( )

_-

Bila

dan

( )

_-

( )

=

.

=

x n

X z

R

_x

z

R

_x

y n

x k h n k

h n

H z

R

_h

z

R

_h

k

n

n

Y z

x k h n k

z

x k

h n k

z

n

k

k

n

x k

k





 

_







 

_

















 





_



_







 















 

 

   

 

 

   

.

.

.

( ). ( )

maka :

( ). ( )

Daerah konvergensinya adalah interseksi antara

_-

dan

_-

Contoh :

l k

_k

_l

h l z

x k z

h l z

X z H z

l

k

l

x n

h n

X z H z

R

_x

z

R

_x

R

_h

z

R

_h







 

_

_

_

_











 

_

 

_

 





4.4.6 Penjumlahan Konvolusi

     

_{ }

 

   

 

 

 

 

 

( ) _- Bila . dan ( ) _- 1 _{1 -} ( ) . = . . . 2 - 1 = . 2 x n X z R_x z R_x y n x n w n w n W z R_w z R_w n n n Y z x n w n z X v v dv w n z j n n _C n z X v w n v j n      _     _          _{ }    _{  } 



_{ }

 

 

     

 

 

1 1 1 . _- -2 1 ₁ Jadi : . ( ) _- -2

C adalah lintasan tertutup yang melingkari titik 0 dan lintasan terletak dalam da z v dv X v W v dv R_x R_w z R_x R_w v j C C z y n x n w n Y z X v W v dv R_x R_w z R_x R_w v j C         _  _{ }      _          _{ }









 

 

     

 

 

erah konvergen 1

untuk kedua dan

1 ₁

Atau : . ( ) _-

-2

C adalah lintasan tertutup yang melingkari titik 0 dan lintasan terletak dalam daerah konvergen untuk ked X v W v z y n w n x n Y z W v X v dv R_x R_w z R_x R_w v j C     



  _{ }

 

 

1 ua W v dan X

 





 

 

     

 

1

Bila dan maka ( ) . . adalah konvolusi periodik 2

Bila dan w deretan kompleks, maka integral konvolusi kompleks :

1 ₁ . ( ) 2 j j j j j v e z e Y e X e W e d x n n z y n x n w n Y z X v W v dv j _v C        _            _{ }            _{ }  





 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

   

_- -1 Contoh : 1 1 1 1 1 1 ₁ . ( ) _- -2 R_x R_w z R_x R_w n x n a u n X z z a az n w n b u n W z z b bz z y n w n x n Y z X W v v dv R_x R_w z R_x R_w v j C n y n ab    _{ }          _         _{ } 



 

 

 

 

/ 1 1 1 ₁ 1 1 ( ) 1 1 2 _{1 . 1 .} 2 / .

C adalah lintasan tertutup yang melingkari titik 0 dan lintasan terletak dalam daerah konvergen 1

untuk kedua dan . Pole terletak di z a u n Y z v dv dv j _{a z v b v} j v z a v b C C W v X v v             





 

 

 

z dan , daerah konvergensi adalah z , maka daerah konvergensi adalah ,

v sehingga pole diluar lintasan integrasi C. Dengan teorema residu Cauchy untuk menghitung

z z b v X z a X a a v z _{v Y z}     

 

 

_{ }

 

   

 

1 1 2 2 ( ) 1 1

-Bila ₁ dan ₂ deretan kompleks dan

( ) 2 2 -1 * 1 1 maka _{1 2 1 2} 2

n=-Lintasan integrasi harus berada di d

x n X z R_x z R_x x n x n x n W z R_x z R_x x n x n X v X v dv j _v C      _    _       _{ }   



_

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

alam daerah konvergensi ₁ dan ₂ . Bila ₁ dan ₂ konvergen di lingkaran satuan, dipilih , maka

1 * _{( ). ( )} 1 2 1 2 2 n=- -1 2 _{1 1} Bila ₁ = ₂ = maka = _{1 2} 2 -X z X z j X z X z v e j j x n x n X e X e d x n x n x n x n X v X v dv v j n _C    _{ }            



_



_

 

 

_- C adalah lintasan tertutup di dalam daerah konvergensi .

2 1 2 Bila maka = ( ) 2 - -R_x z R_x X z j j v e x n X e d n    _     _    



_

4.4.8 Teorema Parseval

 

 

 

   

 

 

1

2

Bila

deretan kausal:

( )

0

1

2

....

0

maka: 0

lim

( )

n

x n

x n

X z

x n z

x

x

z

x

z

n

x

X z

z





























 

 

 

Bila

( ) dan semua pole ( )berada di dalam lingkaran satuan

1

1

maka: lim

lim

1

x n

X z

X z

z

x n

X z







_





























_{ }

4.4.9 Teorema Nilai Awal

 

 





 









1

All z

1

| | 1

1

1

1

1

| | 1

1

1

1

| | |

|

1

1

1

1

| | |

|

1

1

untuk seluruh harga z kecuali 0 untuk m

0

atau untuk m

0

n

u n

z

z

u

n

z

z

n u n

z

z

n u n

z

z

m

n m

z



























   















 



   





 













4.4.11 Pasangan Transformasi z

 

_

_













 

_

 

_





 

_

 

_





 

_

 

_



n



u

 

n

r

sin

_

 

_

z

|

z

|

r

sin

r

r

|

z

|

z

r

z

n

cos

r

2

1

z

cos

r

1

n

u

n

cos

r

1

|

z

|

z

z

n

cos

2

1

z

sin

n

u

n

n

sin

1

|

z

|

z

z

n

cos

2

1

z

cos

1

n

u

n

cos

|

|

|

z

|

z

1

z

1

n

u

n

|

|

|

z

|

z

1

z

n

u

n

1 0 n 2 2 1 0 1 0 0 n 2 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 1 1 n 2 1 1 n

























































































































             









































4.4.11 Pasangan Transformasi z

Polinomial rasional dari H(z) :

 

 

_{ }

0

1

1

1

(

1)

1

(

1)

0

1

1

M

M

M

M

N

N

N

N

Y z

_b

_{b z}

_b

_z

_{b z}

H z

X z

a

a z

a

z

a z























 









 



 

0

_

1



1

_



₀

_

₁



_



1 1 1

1

1

M _{M M} k k _k N N N k k k

b

z z

_{b z}

_{z z}

H z

z

z

p

p z

  _   





_

_













z

_k

adalah akar-akar pembilang dari H(z)

H(z)= 0



z

_k

adalah zero dari H(z)

p

_k

adalah akar-akar penyebut dari H(z)

 

4.5 Transformasi Z dalam bentuk polinomial rasional

Sistem LTI

h[n]

x(n)

_{y(n)=x(n)*h(n)}

X(z) Y(z) = X(z) H(z)

 

2

1

( )

( )

( )

( )

N

n

n N

Y z

H z

X z

H z

h n z











4.6 Fungsi Sistem atau Fungsi Transfer H(z) dari Sistem Linier

Tidak Berubah terhadap waktu









0 0 0 1 2 1 1 2 0 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2

a

1

( )

( )

( ) ...

( )

( )

( ) ...

( )

...

( )

( )

( )

1

...

N M k k k k N M N M M M N N

a y n k

b x n k

Y z

a z Y z

a z Y z

a z Y z

b X z

b z X z

b z

X z

b

b z

b z

b z

Y z

H z

X z

a z

a z

a z

            

 















 





 















4.7 Fungsi Sistem untuk Sistem yang Dinyatakan dalam

Persamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier

 





 

 

    

 







 

0 1 2

Contoh:

Filter FIR yang direalisasikan secara non rekursif

,

Respon impuls

sistem ini

1 0

atau h n

1

2

...

( ) 1

...

M k M

y n

x n k

h n

h n

n

M

n

n

n

n M

h n

H z

z

z

z









   







 





 

  





 



 



  

   



    



-1 1 1 -1

Filter FIR yang direalisasikan secara rekursif

1

1

Y(z)

Y(z)z

( )

( )

( )

1

( )

( )

1-z

1

M M

y n

y n

x n

x n M

X z

X z z

Y z

z

H z

X z

h n

u n

u n M

   



 



























Edisi Semester I 17 / 18 EYH 34

 

Sistem LTI Kausal

Sistem LTI adalah kausal jika:

0

0

ROC transformasi Z dari sistem LTI kausal adalah bagian luar

dari lingkaran berjari-jari

Sistem LTI Stabil

ROC transformasi z dari

h n

n

r





 

 

 

 

deretan

adalah harga-harga

yang menyebabkan

(absolutely summable).

Sehingga bila ROC mencakup lingkaran satuan yaitu

1 , maka

, artinya sistem LTI tersebut akan s

n n n

h n

z

r

h n r

z

h n

   



 



 





tabil .

Sistem LTI Kausal akan stabil jika dan hanya jika

seluruh pole ( ) terletak didalam lingkaran satuan.

Daerah konvergensi sistem LTI yang kausal dan stabil

H z

4.8 Kausalitas dan Stabilitas Sistem Linier Tidak Berubah

Terhadap

 

Sistem LTI Kausal

Sistem LTI adalah kausal jika:

0

0

ROC transformasi Z dari sistem LTI kausal adalah bagian luar

dari lingkaran berjari-jari

Sistem LTI Stabil

ROC transformasi z dari

h n

n

r





 

 

 

 

deretan

adalah harga-harga

yang menyebabkan

(absolutely summable).

Sehingga bila ROC mencakup lingkaran satuan yaitu

1 , maka

, artinya sistem LTI tersebut akan s

n n n

h n

z

r

h n r

z

h n

   



 



 





tabil .

Sistem LTI Kausal akan stabil jika dan hanya jika

seluruh pole ( ) terletak didalam lingkaran satuan.

Daerah konvergensi sistem LTI yang kausal dan stabil

H z





4.8 Kausalitas dan Stabilitas Sistem Linier Tidak Berubah

Terhadap

Ada 3 pendekatan untuk menghitung transformasi z invers :

– Transformasi z invers

– Power series in z (long division)

– Fraksi pecahan parsial

 

 

 

 

   

Transformasi dari ( ) 1

Kedua sisi persamaan diatas dikalikan dengan faktor dan diintegrasikan pada lintasan tertutup dalam ROC ,sehingga diperoleh

1 1 . .= . z x k k X z x k z k n z X z n k n X z z dz x k z d k C  _        







 

 

 

dimana C adalah lintasan tertutup yang berputar berlawanan arah jarum jam dalam ROC .

1 1

. .= . .

Dengan menggunakan teorema integral Cauchy, 1 1 2 z C X z n n k X z z dz x k z dz k C C n k z d j        









 

 

1, = 0,

maka persamaan sebelumnya dapat dituliskan 1 . .= 2 k n z k n C n X z z dz x n j    _  





4.9.1 Transformasi z Invers

 

 





 

Teorema integral Cauchy

Bila adalah lintasan tertutup dan '

ada pada lintasan atau di dalam ,

,

di dalam

0

0

1

=

2

₀

_0,

₀

_{di luar}

Untuk pole yang

C

f

z

C

C

f z

f z

z

C

dz

j

_z

_z

_z

_C

C

k











_

 

 

 









 

0

sama yang terdapat dalam , '

dengan turunan orde

1, dan

yang tidak mempunyai pole dalam , maka

1

1

,

₀

di dalam

1

₁

=

_{1 !}

2

0

_0,

C f

z

k

f z

C

k

d

f z

f z

z

C

k

dz

k

_dz

z z

j

k

z

z

C

























 

 













  

 

_

_

 

_

_

_

i

₀

di luar

Bila terdapat pole dan

tidak mempunyai pole dalam , maka

1

=

lim

2

₁

₂

_...

1

...

1

2

z

C

n

f z

C

n

f z

dz

z

zi

z

j

_z

_z

_z

_z

_z

_z

_n

_z

_z

i

C

f z

z

z

z

z

z

z

_zn

































_















 

 

 

_

_

 

Contoh

Tentukan transformasi z invers untuk ( ) berikut

,

Solusi

Untuk

0

1

1

_.

1

_.

_,

₀

2

2

Untuk

0

1

₁

₁

₁

₁

₁

1

1

1

.

.

0

2

2

₀

1

2

X z

z

X z

z

a

z a

n

n

z

_n

z

_n

x n

z

dz

dz

a

n

j

z a

j

z a

C

C

n

z

x

dz

dz

j

_{z a}

j

_{z z a}

_{z a}

_z

_z

_{z a}

_a

_a

C

C

x



































 







   







_

_

 













 

2

₁

₁

₁

₁

₁

1

.

.

0

2

2

2

2

2

2

0

0,

0

z

d

dz

dz

j

_{z a}

j

_z

_{z a}

_{dz z a}

_z

_a

_a

z

_{z a}

C

C

x n

n







_

_





_

_



 







_

_



_

_

_









X(z) dinyatakan dalam bentuk X(z) = a + bz

-1

_{+ cz}

-2

_...

Umumnya X(z) adalah deretan sisi kanan dan berbentuk

polinomial rasional

Jika X(z) berbentuk ponomial rasional, ekspansi dilakukan dengan

pembagian cara panjang (long division).

 

( )

n

X z

x n z

n



_







 

( )

( )

P z

X z

Q z



 

 

1

Contoh :

1

2

1 1.5

0.5

(a) ROC:

1

(b) ROC:

0.5

Solusi

(a)Karena ROC adalah bagian luar lingkaran,maka

kausal.

1

2

Ekspansi deret dalam bentuk

,

,...dst.

H z

z

z

z

z

x n

z

z



















1 2 3 1 1.5 1.75 1.875 ... 1 2 1 1.5 0.5 1 1 2 1 1.5 0.5 1 2 1.5 0.5 1 2 3 1.5 2.25 0.75 2 3 1.75 0.75 z z z z z z z z z z z z z z                 _   _  _   _ 

  



2 3 1.75 2.625 3 1.875 1,1.5,1.75,1.875,... z z z x n  _    

 

(b) Karena ROC adalah bagian dalam lingkaran,maka anti kausal. 2

Ekspansi deret dalam bentuk , ,...dst. 2 3 2 6 14 2 1 0.5 1.5 1 1 2 1 3 2 2 3 2 2 3 3 9 6 2 3 7 6 x n z z z z z z z z z z z z z z z z    _{ }  _      

  



4 ... x n ...14, 6, 2, 0, 0  

 

_{ }

 





1 ( 1) 0 1 1 1 ( 1) 0 1 1

Polinomial rasional ( )

Fungsi rasional diatas dikatakan proper jika

0 dan

.

Fungsi rasional improper

dapat dituliskan sebagai

M M M M N N N N N

X z

N z

b

b z

b

z

b z

X z

D z

a

a z

a

z

a z

a

M

N

M

N

         



 









 









 

_{ }

 

1 ( ) 1

_{ }

 

0 1

penjumlahan

polinomial dan fungsi rasional proper.

Ekspansi pecahan parsial dilakukan pada fungsi rasional proper.

M N M N

N z

N z

X z

c

c z

c

z

D z

D z

   



 

 



 



  

3 1 2 1 2 3 1 N

Untuk polinomial rasional ( ) dengan pole yang berbeda maka bentuk ekspansinya menjadi

...

Nilai koefisien ,...,

ditentukan sebagai berikut

N N k k z p

X z

N

X z

A

A

A

A

z

z

p

z

p

z

p

z

p

A

A

z

p

X z

A

z

_







 













 

 

 









  

2 2 1 2 1 2 0.2 0.6 0.6

1, 2,...,

Contoh

Tentukan ekspansi pecahan parsial dari

berikut

2

0.4

0.12

2

0.6

0.2

0.6

0.2

2

₂

0.6

1.75,

2.75

0.6

0.2

k z z z

k

N

X z

z

z

X z

z

z

z

X z

z

A

A

z

z

z

z

z

X z

z

_z

A

z

A

z

z

z

_  





























_

 



 

























1k 2k

2

Untuk polinomial rasional ( ) dengan pole yang sama yaitu

, maka

ekspansi pecahan parsial menjadi

...

Nilai koefisien

ditentukan sebagai berikut

1

!

l k lk l k _{k k} jk jk

X z

l

z

p

A

A

A

z

p

_z

_p

_z

_p

A

d

A

l

j





 



_

_









( )

1, 2,...,

j l j l k l j z p

X z

z

p

j

l

dz

z

  



_

_









_

_











-1 ( ) ( ( )), k k x n Z X z z  a

k

X

_k

(z)

...

Tabel Invers Transformasi untuk Metoda Ekspansi Pecahan Parsial                        1 2 2 3 3 4 1 2 1 3 2! 1 2 4 3! n n n n k z _{a u n} z a z _{na u n} z a n n a z _{u n} z a n n n a z _{u n} z a z k z a             



 



    1 1 ... 2 1 ! n k n n n k a u n k      

4.9.3.2 Pole yang sama

 



 



 



 





 











2 1 2 3 1 1 2 4 31 11 21 4 3 ₁ 2 3 ₁ 1 1 1 1 2 4 2 4 2 2 11

Contoh

Tentukan invers transformasi z dari

,

Solusi

1

1

( )

1, 2,...,

!

1

3

j l j l jk l j k z p

z

z

X z

z

z

z

X z

z

A

A

A

A

z

_z

_z

z

_z

_z

z

d

X z

A

z

p

j

N

l

j

dz

z

A

  













































_

_



_

_





_





_













_

_{ }

_













_

_

 



 





 



1 2 1 ₁ 1 2 ₄ 2 2 3 1 2 3 2 1 1 2 4 21 ₁ 31 ₁ 4 3 1 4 4 ₂ 2 3 ₁ 2 3 ₁ 1 1 1 1

1

80

1 !

1

1

1

1

-20 ,

=6,

= - 80

3 2 !

80

20

6

80

z z _z z

d

z

z

dz

_z

_z

d

z

z

z

A

A

A

dz

z

z

_z

z

z

z

z

z

z

X z

z

z

z

z

z

z

  _ 





_







_

_

_

_



_















_

_











_





_

_







_

_



_

_









_

_

_

_



_

_

_

_



_

























Fungsi respon frekuensi memberikan informasi tentang

karakteristik filter dijital LTI dalam domain frekuensi .

Dengan fungsi kompleks variabel frekuensi



, realiasasi dan

manipulasi filter dijital akan sulit.

Akan tetapi dengan menggunakan transformasi z dari

respon impuls sistem LTI, yang disebut fungsi sistem/fungsi

transfer (H(z)), dimana polinomial dinyatakan dalam z

-1

_{, dan}

untuk sistem dengan respon impuls real, koefisien dari

polinomial fungsi sistem nya juga akan real. Hal ini akan

memudahkan dalam sintesa dan realisasi filter dijital.









1 2 _... ( ) _{0 1 2} ( ) 1 2 ( ) _{1 ...} 1 2

Polinomial pembilang dan penyebut difaktorkan : 1 1 1 ( ) ₀ 1 1 1

Karena TFWD adalah evaluasi pada bid-z dimana maka

M b b z b z b z Y z _M H z N X z _{a z a z a z} N M z z_k k H z b N p z_k k j z e H e                         





 









 









1 1 0 1 1 1 j ( ) e ₀ M j z e_k k j _b N j p e_k k M j e _zk k j N M H b e N j                     









 









 









 

j 1 0 1 j ( ) 1 0 1 ( ) ( ) j 1 0 1 0 1 1

1

e

1

e

( )

-

( )

( )

e

( )

( )

(

)

( )

( )

k k M j k k N j k k M j k j N M k N j k k j j k k j j k k M k k N k k M N k k k k

z e

H

b

p e

e

z

H

b e

e

p

e

z

V

e

e

p

U

e

V

H

b

U

H

b

N

M

             













 

 

          





















































Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional

1

z



1

:

Unit

circle

Im (z)

Re(z)

x

p

_k

z

_k



e

j

C

A

L

B





j

k

AL

e

p

CL

AL

CA













CL

BL

CB

Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional (lanj)

)

(

j

k

)

(

j

k

k k

e

)

(

V

e

)

(

U























k

j

k

j

z

e

p

-e

( )

k

 

1

Im (z)

Re(z)

x

p

_k

z

k



e

j ( ) k  

U

_k

(



)

V

_k

(



)