BAB III TEORI PERPINDAHAN MOMENTUM, ENERGI DAN MASSA SECARA SIMULTAN

BAB III

TEORI PERPINDAHAN MOMENTUM,

ENERGI DAN MASSA SECARA

III. TEORI PERPINDAHAN MOMENTUM, ENERGI DAN MASSA SECARA SIMULTAN

3.1. Pendahuluan

Pengeringan adalah suatu cara untuk menguapkan atau menghilangkan sebagian air yang terkandung dalam bahan melalui proses penguapan dengan menggunakan energi panas. Kandungan air tersebut dikurangi sampai batas kadar air keseimbangan dengan udara normal disekitarnya, sehingga mikroorganisme, jamur tidak dapat tumbuh lagi didalamnya (Henderson and Perry, 1976).

Pengeringan bahan pangan umumnya bertujuan untuk mengawetkan bahan yang mudah rusak sehingga mutu dapat dipertahankan selama penyimpanan. Proses pengeringan terjadi melalui penguapan air, cara ini dilakukan dengan menurunkan kelembaban nisbi udara dengan mengalirkan udara panas disekeliling bahan, sehingga tekanan uap air bahan lebih besar dari pada tekanan uap air di udara. Perbedaan tekanan ini menyebabkan terjadinya aliran uap air dari bahan ke udara. Faktor utama yang mempengaruhi kecepatan pengeringan dari suatu bahan pangan adalah sifat fisik dan kimia bahan, pengaturan geometris bahan dalam alat pengering, sifat fisik lingkungan dan karakteristik alat pengering. Sifat fisik dan kimia bahan meliputi bentuk, ukuran, komposisi dan kadar airnya. Pengaturan geometris bahan berhubungan dengan permukaan alat atau media pemindah panas, sedangkan sifat fisik lingkungan dan karakteristik pengering meliputi suhu, kelembaban, kecepatan udara dan efisiensi perpindahan panas.

Masalah utama yang timbul dalam proses pengeringan yang kurang baik adalah penurunan kualitas seperti distribusi kadar air yang besar, kerusakan akibat jamur atau perubahan biokimia yang tidak diinginkan. Bila distribusi aliran udara tidak merata akan menyebabkan laju pengeringan bahan juga tidak merata.

Hal ini dapat mengakibatkan kandungan air yang terdapat dalam produk tidak merata dan berbeda antar bagian produk yang dikeringkan.

Pendistribusian aliran udara merupakan salah satu masalah yang timbul pada proses pengeringan, terutama pada pengeringan tipe rak (Charm, 1978). Untuk mengatasi hal tersebut, perlu dikembangkan dan dikaji proses penguapan air dalam bahan dengan cara mempelajari mekanisme perpindahan momentum, energi dan massa secara simultan berdasarkan teori boundary layer dari udara panas yang dilewatkan secara sejajar pada permukaan bahan yang dikeringkan.

Penentukan parameter model struktural dari lapisan kering pada proses penguapan air yang tepat, sangat membantu mengurangi masalah yang timbul pada

saat sistem beroperasi, termasuk distribusi aliran udara pengering.. Berdasarkan uraian diatas, dalam proses penguapan air bahan (pengeringan) sangat diperlukan kondisi operasi proses dalam hal ini suhu, kecepatan dan RH seragam selama proses berlangsung.

Pada sistem termal yang menyangkut proses penguapan air bahan selalu didekati dengan menyusun persamaan keseimbangan momentum, energi dan massa yang dalam penerapannya berlangsung secara simultan dalam bentuk rumusan model matematika sehingga dapat dilakukan kajian simulasi untuk mendapatkan kondisi operasi yaitu suhu, kecepatan dan RH yang seragam selama proses pengeringan.

3.2. Teori Lapisan Batas

Untuk mendapatkan model atau persamaan tebal lapisan batas (boundary layer) pada sebuah flate plate (plat datar) seperti terlihat pada Gambar 5-1 (Brodkey

and Harry, 1989).

Bila fluida mengalir sepanjang suatu permukaan, baik alirannya laminar maupun turbulen, gerakan partikel-partikel fluida didekat permukaan diperlambat oleh adanya gaya-gaya viskos. Partikel-partikel fluida yang berbatasan dengan permukaan melengket pada permukaan itu dan mempunyai kecepatan nol relatif terhadap batas. Pengaruh gaya-gaya viskos yang berasal dari perbatasan itu meluas ke dalam fluida, tetapi pada jarak dekat dari permukaan tersebut kecepatan partikel-partikel fluida mendekati kecepatan aliran bebas yang tidak terganggu. Fluida yang terdapat dalam daerah yang berperubahan kecepatan yang besar itu disebut lapisan batas (boundary layer) (Kreith, 1973).

Pada dasarnya lapisan batas membagi medan aliran disekitar sebuah benda kedalam dua wilayah, yaitu sebuah lapisan tipis yang menutupi permukaan benda dimana gradien kecepatan besar serta gaya viskos besar, dan sebuah daerah diluar lapisan ini dimana kecepatan hampir sama dengan kecepatan aliran bebasnya dan pengaruh viskos dapat diabaikan.

Bentuk profil kecepatan di dalam lapisan batas tergantung pada jenis alirannya, bila dianggap fluidanya adalah udara yang mengalir melewati sebuah plat datar yang ditempatkan dengan permukaannya sejajar terhadap aliran udara, maka pada tepi depan (leading edge) plat, hanya partikel-partikel fluida yang langsung bersinggungan dengan permukaan tersebut yang menjadi lambat gerakannya, sedangkan fluida lainnya terus bergerak dengan kecepatan aliran bebas (free

stream) yang tidak terganggu di depan plat. Bergeraknya fluida sepanjang plat, menyebabkan semakin banyak terhambatnya gaya-gaya geser fluida sehingga ketebalan lapian batas akan bertambah (Kreith, 1973).

Gambar 3-1. Profil-profil kecepatan untuk lapisan batas laminar dalam aliran melewati plat datar.

Dimana kecepatan udara pada lapisan batas mencapai 99 persen dari nilai kecepatan aliran uadara bebas u_∞, sehingga tebal lapisan batas hidrodinamik

sebagai jarak dari permukaan sampai titik dimana kecepatan lokal ux mencapai 99 persen dari nilai kecepatan aliran bebas u_∞.

Peralihan bentuk aliran fluida dari tepi depan sampai titik dimana lapisan batas menjadi turbulen tergantung pada kontur permukaan, kekasaran permukaan, tingkat gangguan, dan perpindahan panas. Untuk aliran yang tenang dan tidak ada gangguan maka aliran laminar dapat bertahan pada lapisan batas dengan bilangan Reynold sebesar 5 x 106 _{(Brodkey and Harry, 1989), jika permukaan plat kasar atau} aliran sengaja diberi gangguan, maka aliran dapat menjadi turbulen pada bilangan Reynold 8 x 104_{. Dalam kondisi rata-rata aliran yang melewati plat datar menjadi} turbulen, bilangan Reynold lokal besarnya sekitar 5 x 105 _{(Kreith, 1973, Prijono,} 1999)

Daerah aliran bebas vx = v∞ vy = vx το Tw , CA,∞ u∞ T∞ CA∞ ux ux y δ y δ ux =0.99u∞ ux =0.99u∞ ux = u∞ ux = u∞ Boundary Layer x L x Y X

3.3. Pendekatan Teoritis

Kajian yang mendasar mengenai teori pengeringan bersumber dari teori perpindahan momentum, energi dan massa (Bird et al, 1966, Brodkey and Harry 1989, Treybal, 1981) karena pada proses pengeringan (penguapan) yang diakibatkan oleh perpindahan massa, momentum dan energi pada kenyataannya berlangsung secara simultan. Laju perpindahan massa sangat tergantung dari pada suhu dan laju aliran udara yang akan mengangkut uap air dari bahan yang dikeringkan keudara luar.

Pada proses pengeringan gabah yang diteliti, pendekatan teoritis yang digunakan dalam kajian terhadap perpindahan massa, momentum dan energi secara simultan berdasarkan teori lapisan batas, dimana ketiga parameter struktural diatas terjadi secara serentak (Gambar 3-2). Produk yang dikeringkan ditempatkan diatas rak (pengering tipe kabinet) dengan mengalirkan udara panas secara sejajar diatas permukaan gabah yang dikeringkan dan air yang diuapkan diangkut oleh udara keluar dari sistem ke udara lingkungan.

Gambar 3-2. Diagram proses perpindahan massa, momentum dan energi secara simultan pada sistem pengering

60 cm 60 cm

Permukaan Penguapan

Panjang Inlet

Li = 20 cm Panjang Permukaan Penguapan Lp = 50 cm

Panjang Outlet Lo = 20 cm 40 cm Perpindahan Momentum Perpindahan Massa Perpindahan Energi Sistem Pengering Simultan

3.3.1. Pemodelan Transport Momentum, Energi dan Massa Pada Sistem Pengering

Penyelesaian secara simultan perpindahan momentum, energi dan massa

berdasarkan teori lapisan tipis pada proses pengeringan, dapat menggambarkan mekanisme perpidahan secara rinci dan analisa yang lebih teliti. Untuk mengetahui proses perpindahan momentum, energi dan massa dengan teori lapisan tipis dapat dilihat pada sistem aliran seperti yang terlihat pada Gambar 3-3 (Bird et al, 1966) dibawah ini.

.

Gambar 3-3. Aliran tangensial sepanjang ujung yang tajam pada bidang pipih dengan perpindahan massa dalam arus.

Suatu padatan A yang pipih dan mudah menguap bersublimasi pada kondisi mantap ke dalam suatu arus gas A dan B, yang mendekati bidang secara tangensial dalam arah x dengan kecepatan v∞. Untuk menentukan profil kecepatan, suhu dan konsentrasi pada lapisan batas. Diasumsikan tidak terjadi reaksi kimia dan tidak ada gaya-gaya luar selain gaya gravitasi, kehilangan energi karena gesekan diabaikan. Sifat-sifat fisik, ρ,μ, Cp, k, c dan DAB konstan.

Ujung masuk Y Πv = 1 ΠT = 1 ΠAB= 1

Laminer

Turbulen vxo Πv = 0 ΠT = 0 ΠAB= 0 Permukan : X Transisi Aliran Luar Garis konstan Π

Persamaan lapisan batas untuk sistem ini (Bird et al, 1966) : Kontinyuitas : =0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y v x vx y _{…..…………..…...………...(3-1)} Persamaan Gerak : ₂ 2 y v v y v v x v v y x y x x _∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ………...…...……...(3-2) Persamaan Energi : ₂ 2 y T y T v x T v_{x y} ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂

_α

_{………...…...(3-3)}

Persamaan Kontinyuitas Uap Air :

₂ 2 y x D y x v x x v A AB A y A x _∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ………...……....(3-4)

3.3.2. Pendefinisian boundary condition dan initial condition

Guna mendapatkan model persamaan matematik perpindahan massa, momentum dan energi secara simultan dalam proses penguapan air bahan, maka persamaan (3-1) – (3-4) penyelesaiannya dilakukan secara eksak berdasarkan kondisi awal dan kondisi batas yang digunakan dalam system.

3.3.2.1. Kondisi Awal

Pada analisis perpindahan momentum, energi dan massa dalam ruang pengering dinyatakan dengan kondisi awal seperti berikut :

- Kecepatan udara pada semua dinding dan atap pengering pada arah x, y dan z adalah nol.

- Kecepatan udara pada dinding rak pengering arah x, y dan z adalah 0 - Tekanan udara adalah tekanan barometrik = 1 atm = 101325 Pa

- Suhu udara pengering disemua dinding dan atap pengering pada arah x, y, dan z sama dengan suhu lingkungan Ta (30 o_C).

3.3.2.2. Kondisi Batas

Pendefinisian kondisi batas (boundary condition) dan kondisi awal (initial condition) berdasarkan bentuk saluran dalam ruang pengering yang digambarkan

dalam koordinat cartesian dengan sumbu terletak pada kiri dalam bawah, dengan dimensi; panjang arah x = 90 cm, tinggi arah y = 60 cm dan lebar arah z = 60 cm. Dimensi rak bahan produk adalah 50 x 40 cm.

Kondisi batas pada proses perpindahan massa, momentum dan energi secara simultan pada lapisan batas laminar, adalah :

x ≤ 0 atau y = ∞ ; vx = v∞ ; T = T∞ ; xA = xA∞ pada y = 0 vx = 0, T = T0, xA = xAo, NB = 0

Untuk aliran laminar pada flat plate, nilai bilangan Reynold, Re < 8 x 104 (Kreith, 1973, Prijono, 1999)

pada kecepatan dan jarak tak berdimensi, kondisi batas pada v, T dan xA adalah : pada x ≤ 0 atau y = ∞ ; Πv = 1

y = 0 ; Πv = 0 kondisi batas pada Πv, adalah

η = 0 ; Πv = 0 η = ∞ ; Πv = 1

Untuk lapisan batas hidrodinamik kondisi batas dalam menentukan persamaan model matematik adalah :

Kecepatan udara aliran lokal

ux = 0 pada tinggi y = 0 ux = u∞ pada tinggi y = δ =0 ∂ ∂ y u_x pada tinggi y = δ

Untuk lapisan batas termal kondisi batas adalah : T = Tw pada y = 0 =0 ∂ ∂ y T pada y = δt T = T∞ pada y =δt 3.3.2.3. Asumsi

- Bilangan Prandtl udara konstan (panas jenis, konduktivitas dan viskositas udara konstan).

- Aliran udara pada penampang kipas mempunyai kecepatan yang seragam.

- Aliran udara lokal adalah laminar dengan bilangan Re ≤ 8.0 x 104 (Kreith,1973)

- Fluida tak mampu mampat dan keadaan aliran steady state. - Gaya geser pada arah y dapat diabaikan

- Tidak terdapat perubahan tekanan pada arah tegak lurus rak

Persamaan atur yang berkaitan dengan dinamika fluida meliputi persamaan atur kontinuitas, konservasi momentum, energi dan uap air. Model persamaan matematis yang diperoleh dipecahkan dengan cara analisa numerik menggunakan bantuan program bahasa GW-Basic.

Untuk mendapatkan kecepatan v, persamaan kontinyuitas dapat diintegralkan menjadi :

∫

∂ ∂ − = y x yo y x u v v 0 dy ………...…...(3-5) atau

∫

∂ ∂ − = y x A A y x u N M v 0 0

ρ

dy ………...(3-6)

₀ A _{y 0 A0}( _{A0 B0}) AB A x N N y x cD N + + ∂ ∂ − = _{= 0} 0 0 _{1 ∂} = ∂ − − = A _y A AB A y x x D c N ..………...…...(3-7)

untuk struktur padatan yang berongga (berpori), koefisien difusivitas dinyatakan dalam bentuk koefisien difusivitas efektif, yaitu :

D_ABeff D_AB

τ

ε

=

, ……….…...(3-8)

dimana : ε = fraksi void

τ = faktor koreksi terhadap panjang/jarak (umumnya bernilai 1,5 – 5) dengan memasukkan nilai NA0 persamaan (3-7) dan (3-8) ke persamaan (3-6), akan diperoleh persamaan kecepatan dalam bentuk :

Bila; MA = MB, maka bentuk =1

ρ

c M_A

∫

∂ ∂ − ∂ ∂ − − = = y x y A A eff AB y x u y x x D v 0 0 0 , 1 dy ………...…(3-9)

Bila; MA ≠ MB, maka bentuk ≠1

ρ

c M_A

∫

∂ ∂ − ∂ ∂ − − = = y x y A A eff AB B A y x u y x x D M M v 0 0 0 , 1 ……….………….…...(3-10)

Dalam pemodelan persamaan matematis pada perpindahan momentum, energi dan massa secara simultan, dimana MA ≠ MB (yaitu; uap air dan udara). Untuk menyelesaikan persamaan (3-10), digunakan bilangan tak berdimensi sebagai berikut (Bird et al, 1966) :

∞ ∞ = − − = ∏ u u u u u u _x x x x v 0 0 _{……….…...…...(3-11)} 0 0 T T T T T ₋ − = ∏ ∞ ...………….………...(3-12)

0 0 A A A A AB x x x x − − = ∏ ∞ ...……….………...….…..(3-13) persamaan fisis tak berdimensi untuk konsentrasi, suhu dan kecepatan aliran, dengan asumsi kedua gas (udara dan uap air) mempunyai sifat yang sama, adalah : v v v = Λ ; Λ = =

α

υ

T Pr ; AB AB D

υ

= Λ = Sc ……….….(3-14)

Bentuk kondisi batas pada peubah profil Π dan tidak adanya panjang karakteristik di dalam sistem aliran, metoda kombinasi dari peubah-peubah dapat digunakan, adapun bentuk kombinasi yang digunakan :

x v y

υ

η

₌ ∞ 2 ………..…...(3-15)

Dengan menggunakan bilangan-bilangan tak berdimensi seperti diatas, maka diperoleh bentuk umum untuk persamaan gerak, energi dan kontinyuitas uap air pada lapisan batas.

Persamaan (3-10), yaitu persamaan kecepatan uap air pada lapisan batas diubah dalam bentuk variabel tak berdimensi, menjadi :

Suku pertama ruas kanan ;

[

0 0

]

₀ 0 , 0 0 , ( ) 1 1 = ∞ = _∂ + Π − ∂ − = ∂ ∂ − y A AB A A A eff AB B A y A A eff AB B A y x x x x D M M y x x D M M = (0) 1 ) ( _' 0 , 0 AB A eff AB A A B A x D x x M M _Π − − ∞ ………...……..(i) Suku kedua ruas kanan ;

[

]

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∂ Π ∂ = ∂ ∂ ∂ Π ∂ = ∂ ∂ ∂ Π ∂ = ∂ Π ∂ = ∂ ∂ ∞ − ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3/2 2 1 2 2 x u y u x x u y u x u x u x u_{x v v v v}

υ

η

υ

η

η

η

=

η

η

∂ Π ∂ − _∞ v x u 1 2 1 _{………...….(ii)}

υ

d

η

u x dy ∞ = 2 ………...…(iii)

dengan memasukan (ii) dan (iii) pada suku kedua ruas kanan persamaan (3-10), didapat ; = ∂ ∂

∫

dy x u y x 0

η

η

η

υ

υ

η

η

η

υ

η υ η d u x x u u d x u u v v u x ∂ Π ∂ − = ∂ Π ∂ −

∫

∞ ∞

∫

∞ ∞ ∞ ∞ 0 2 0 2 =

υ

η

η d v

∫

Π − 0 2 ………...…..….. (iv)

dari persamaan (i) dan (iv), maka bentuk persamaan kecepatan (3-10) menjadi :

Π +

∫

Π ∂ − − = ∞

_υ

η

_η

0 ' 0 , 0 _{(0) 2} 1 ) ( v AB A eff AB A A B A y x D x x M M v .…………..…...(3-16)

Dengan mensubtitusikan persamaan (3-16) ke dalam persamaan (3-4) menggunakan bilangan tak berdimensi seperti diatas, maka diperoleh bentuk umum untuk persamaan gerak, energi dan kontinyuitas uap air pada lapisan batas.

₂ 2 0 ' 0 , 0 _{(0) 2} 1 ) ( y y d x D x x M M x u _{AB v} A eff AB A A B A x _∂ Π ∂ Λ = ∂ Π ∂ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Π − Π − − − ∂ Π ∂

∫

∞

_υ

η

_η

υ

………...(3-17) dengan kondisi batas pada v, T dan xA menjadi :

pada x ≤ 0 atau y = ∞ ; Π = 1 y = 0 ; Π = 0

Berdasarkan bentuk kombinasi η tersebut, maka persamaan (3-17) dapat dinyatakan sebagai berikut :

' " 0 ' 0 0 _{(0) 2} 1 1 _{∏ =∏} ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∏ − ∏ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − Λ Λ ∞

∫

η

η

d x x x M M v AB A A B A AB .……..……...(3-18)

Dari persamaan (3-18) dapat dilihat bahwa laju pindah massa pada dinding

dinyatakan dalam bentuk gradient konsentrasi '

AB

∏ (0), yang secara langsung

mempengaruhi profil-profil Π_v, Π_T, dan Π_AB.

Persamaan (3-18) dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana :

η

η d K f =− +

∫

∏_v 0 2 ……….……..…...(3-19) dimana; (0) 1 1 ' 0 0 AB A A B A AB x x x M M K _⎟⎟Π ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − Λ = ∞ _{...……….……...(3-20)}

K= fluks massa tak berdimensi pada dinding (K>0 massa uap masuk dalam aliran bebas)

K = 0 (tidak terjadi perpindahan massa dalam aliran bebas)

dan _{− fΛ ∏}' _=∏" _{………...…..….(3-21)} kondisi batas pada Π, adalah

pada η = 0 ; Π = 0 η = ∞ ; Π = 1

Besaran K menunjukkan laju aliran massa tidak berdimensi pada dinding, dan nilainya konstan untuk lapisan batas laminar. Dari persamaan (3-19) – (3-21), dapat dihitung profil kecepatan, suhu dan konsentrasi.

3.3.3. Ketebalan Lapisan Batas Hidrodinamik dan Lapisan Batas Termal 3.3.3.1. Lapisan Batas Hidrodinamik

Untuk menentukan besarnya tebal lapisan batas yang terbentuk dari aliran fluida (udara) yang mengalir sejajar dengan plat (produk), digunakan analisa persamaan eksak sebagai pendekatannya tanpa kehilangan pemahaman fisik tentang proses yang berlangsung.

Dari volume kendali pada Gambar 3-4 yaitu bidang 1,2, A-B dan dinding, dimana kecepatan aliran bebas diluar lapisan batas adalah u∞ dan tebal lapisan batasnya δ. Komponen kecepatan yang tegak lurus dinding diabaikan, dan hanya kecepatan arah x yang dibahas. Volume kendali ini cukup tinggi sehingga mencakup lapisan batas, yaitu H > δ.

Gambar 3-4. Volume kendali untuk analisa momentum integral lapisan batas Neraca momentum :

Massa yang mengalir melalui bidang 1 : udy H

∫

0

ρ

Momentum yang mengalir melalui bidang 1 : u dy

H

∫

0

2

ρ

Momentum yang mengalir melalui bidang 2 : u dy dx

dx d dy u H H ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

∫

∫

0 2 0 2

_ρ

ρ

Massa yang mengalir melalui bidang 2 : udy dx

dx d dy u H H ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

_∫

∫

0 0

ρ

ρ

Aliran massa yang mengalir pada bidang 2 terdapat kelebihan aliran masa bila dibandingkan terhadap aliran massa pada bidang 1.

x y δ H A B x∞ u dy 1 dx 2

Kelebihan aliran massa ini membawa momentum pada pada arah x yang besarnya adalah : udy dx dx d u H ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∫

∞ 0

ρ

Aliran momentum neto yang keluar volume kendali adalah :

u dy dx u udy dy dx d H H ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∫

∫

∞ 0 0 2

_ρ

ρ

………...(3-22)

Dengan menggunakan bentuk persamaan :

η

φ

ηφ

φ

η

η

φ

φ

η

ηφ

d d d d d d − = + = ) ( ) (

dalam persamaan momentum diatas, integral udy

H

∫

0

ρ

adalah fungsi

φ

dan

∞

u adalah fungsi

η

, sehingga diperoleh bentuk persamaan :

dx dy u dx du dx dy u u dx d dx dy u dx du dx dy u u dx d dx dy u dx d u H H H H H ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∫

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 0 0 0

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

...(3-23)

karena u_∞bukan fungsi y, maka u_∞dapat dimasukan dalam integral, dan

merupakan suatu konstanta dalam integral terhadap y.

Dengan memasukan persamaan (3-23) ke dalam persamaan (3-22), sehingga aliran momentum neto yang keluar volume kendali menjadi :

u

dy

dx

dx

du

dx

dy

u

u

dx

d

dx

dy

u

dx

d

H H H

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∫

∫

∫

∞ ∞ 0 0 0 2

_ρ

_ρ

ρ

………….(3-24)

Gaya tekan pada bidang 1 adalah : pH

Gaya tekan pada bidang 2 adalah :

p

+

[(

dp

/

dx

)

dx

]

H

Gaya tekanan neto :

pH

−

{

p

+

[(

dp

/

dx

)

dx

]

H

}

= H dx dx dp

) ( −

Gaya geser pada dinding adalah : ₌₀ ∂ ∂ − = − w y y u dx dx

μ

τ

Pada bidang A-B tidak terdapat gaya geser karena gradien kecepatan sama dengan kenaikan neto daripada momentum.

Dengan menggunakan jumlah gaya geser dan gaya tekanan dengan perpindahan momentum, diperoleh :

udy dx dx d u dx dy u dx d dx H dx dp dx H H w ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − −

∫

∞

∫

0 0 2

_ρ

ρ

τ

dx dy u dx du dx dy u u dx d dx dy u dx d H H H ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∫

∫

∞

∫

∞ 0 0 0 2

_ρ

_ρ

ρ

dengan menghilangkan suku dx pada masing-masing ruas, diperoleh :

∫

∞

∫

∞− + − = − − _w H H udy dx du dy u u u dx d H dx dp 0 0 ) (

ρ

τ

………....…….(3-25)

Persamaan (3-25) adalah persamaan momentum integral untuk lapisan batas. Karena lapisan batas sangat tipis, dapat diasumsikan bahwa tekanan di lapisan batas pada setiap x adalah konstan, yaitu p(x)=p_∞(x) atau =0

dx dp

. Untuk aliran tak mampumampat dapat diperoleh hubungan antara u dan_∞ p_∞ dari persamaan Bernoulli. dx du u dx dp dx dp _∞ ∞ ∞ _{= =−} = 0

ρ

Untuk kondisi tekanan konstan, persamaan lapisan batas integral menjadi :

∫

_{∞ =} ∂ ∂ = = − δ

μ

τ

ρ

0 0 ) ( w y y u dy u u u dx d ………...(3-26) dimana limit atas integral diganti dengan

δ

karena integran adalah nol untuk

δ

>

Guna menyelesaikan persamaan lapisan batas, maka syarat-syarat yang harus dipenuhi oleh fungsi kecepatan itu adalah :

δ

δ

= = ∂ ∂ = = = = ∞ y y u u y u pada 0 y u pada 0 pada 0

Pada kondisi tekanan tetap, persamaan momentum menghasilkan :

₂ 0 pada 0 2 = = y dy u d

Karena kecepatan u dan v adalah nol pada y = 0, maka profil kecepatan pada setiap lokasi x adalah sama., artinya semuanya mempunyai ketergantungan fungsional yang sama pada koordinat y dan ada 4 syarat batas yang harus dipenuhi.

Untuk pendekatan, fungsi kecepatan yang memenuhi ke 4 persyaratan batas digunakan bentuk fungsi polinomial derajad 3, yaitu :

u = C1+ C2 y + C3 y2 _{+ C4 y}3 _{………...(3-27)} dari syarat batas, akan didapat nilai masing-masing konstanta C1, C2, C3 dan C4. Untuk u = 0 pada y = 0, maka C1 = 0, sehingga :

u = C2 y + C3 y2 _{+ C4 y}3 _{….………...(3-28)} untuk u = u∞ pada y = δ

u∞ = C2 δ + C3 δ2 + C4 δ3 ………...(3-29) untuk =0 dy du = u' pada y = δ u' = 0 = C2 + 2C3 δ + 3C4 δ2 sehingga C2 = − 2C3 δ −3C4 δ2 _{…..………....…...(3-30)} untuk ₂ 0 2 = dy u d = u" pada y = 0 u"= 0 = 2C3 + 6C4 y , di dapat C3 = 0 sehingga (3-32) menjadi ; C2 = −3C4 δ2

dan bentuk persamaan fungsi kecepatan (3-28) dan (3-29), menjadi : u = C2 y + C4 y3

u∞ = C2 δ + C4 δ3 Dengan mengambil bentuk fungsi

∞ u u 3 3 4 3 4 2 4 3 4 2 3 4 2 2 1 2 3 2 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − = + + = ∞

δ

δ

δ

δ

δ

δ

y y C y C y C C C y C y C u u

Sehingga bentuk fungsi kecepatan tak berdimensi adalah : Пv = 3 2 1 2 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞

δ

δ

y y u u ………...……....…....(3-31) dengan memasukkan persamaan kecepatan ke dalam persamaan (3-26), maka di dapat :

δ

μ

μ

δ

δ

δ

δ

ρ

δ ∞ = ∞ _∂ = ∂ = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

∫

y y y y dy u_y u u dx d y 2 3 2 1 2 3 1 2 1 2 3 0 0 3 3 2 ………..…(3-32) dengan mengintegralkan persamaan (5-34), diperoleh :

δ

μ

δ

ρ

∞ ∞ ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ u u dx d 2 3 280 39 2 _{………...(3-33)}

Oleh karena

ρ

dan u_∞ konstan, variabel-variabel diatas dapat dipisahkan, sehingga

menjadi : dx u dx u d ∞ ∞ = =

υ

ρ

μ

δ

δ

13 140 13 140 ………..………....….(3-34) hasil integral persamaan diatas :

konstanta 13 140 2 2 + = ∞ u x

υ

δ

∞ = u x

υ

δ

4,64 ……….……....……....……(3-35)

Persamaan (3-35) adalah persamaan tebal lapisan batas hidrodinamik aliran fluida. Bila dinyatakan dengan bilangan Reynold, maka bentuk persamaan (3-35) menjadi :

(

_Re

)

1/2 64 , 4 x x =

δ

_{...……….…..…....(3-36)} dimana;

υ

x u_∞ = x Re

Dengan mengambil bentuk kombinasi peubah-peubah :

x v y

υ

∞ = η

η

υ

υ

δ

0.2155 0.2155 64 . 4 = = = ∞ ∞ x v y v x y y ………...(3-37)

Sehingga dengan memasukkan persamaan (3-37) ke dalam persamaan (3-31), maka bentuk fungsi kecepatan tak berdimensinya menjadi :

3 3 ) 2155 . 0 ( 2 1 ) 2155 . 0 ( 2 3 2 1 2 3

_η

_η

δ

δ

⎟⎠ = − ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞ y y u u =0.32325

η

−0.005

η

3 ∞ u u ………...(3-38) Dengan menentukan kecepatan tak berdimensi dan jarak tak berdimensi dari persamaan (3-38), maka profil kecepatan dalam lapisan batas dapat diketahui.

3.3.3.2. Lapisan Batas Termal

Mengingat kecepatan-kecepatan di dalam persamaan energi, u dan v pada

Dengan demikian, persamaan momentum (3-2) dan persamaan energi (3-3) pada lapisan batas, penyelesaian distribusi kecepatan u(x,y) adalah juga merupakan penyelesaian distribusi perpindahan energi T(x,y).

Dengan menggunakan volume kendali seperti pada Gambar 3-5, dapat ditentukan neraca panas dalam volume kendali itu.

Energi yang dikonversikan ke dalam + perpindahan panas pada dinding = energi yang dikonversikan keluar ………....(3-39) udy dx dx d T Cp y ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

∫

∞ 0

ρ

∫

yuTdy Cp 0

ρ

Cp uTdy dx dx d dy T u Cp y y ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +

∫

∫

0 0

ρ

ρ

_{w w} y T dx k dq ∂ ∂ − =

Gambar 3-5. Volume kendali untuk neraca panas lapisan batas Dengan menggabungkan besaran-besaran energi integral lapisan batas sesuai persamaan (3-39), diperoleh keseimbangan energi panas seperti berikut.

udy dx dx d T Cp y ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

∫

∞ 0

ρ

+

∫

y dy T u Cp 0

ρ

_w y T dx k ∂ ∂ − = Cp uTdy dx dx d dy T u Cp y y ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +

∫

∫

0 0

ρ

ρ

_w y y y T k dy T u dx d dy T u dx d Cp ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

∫

∞

∫

0 0

ρ

x y δ Tw δt

∫

(

)

∂ ∂ = ∂ ∂ = − ∞ y w w y T y T Cp k dy u T T dx d 0

α

ρ

…….………..(3-40)

Syarat batas yang harus dipenuhi distribusi suhu dalam aliran lapisan batas adalah : T = Tw pada y = 0 =0 ∂ ∂ y T pada y = δt T = T∞ pada y = δt

Dengan mengambil bentuk suhu tak berdimensi ПT, dan dengan cara penyelesaian yang sama dengan menentukan tebal lapisan batas hidrodinamik (δ). Sehingga batas limit atas pada persamaan (3-40) adalah y = δt.

ПT = w w T T T T − − ∞ = 3 2 1 2 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ t t y y

δ

δ

...………....(3-41)

Penyelesaikan ruas kiri persamaan (3-41) dan mensubstitusikan kecepatan u dari persamaan (3-31), adalah sebagai berikut :

(

T T

)

udy

[

(

T T

) (

T T

)

]

udy dx d t t w w

∫

∞− =

∫

∞− − − δ δ 0 0 y y dy T T T T T T T T u T T t w w w w w ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − =

_∫

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3 0 2 1 2 3 ) (

δ

δ

δ T T u y y y y dy t t t w

∫

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − = ∞ ∞ δ

δ

δ

δ

δ

0 3 3 2 1 2 3 2 1 2 3 1 ) ( _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − − = _{∞ ∞} 2 2 2 ₃4 ₃4 ₃4 28 1 20 3 8 1 20 3 4 3 4 3 ) (

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

_{t t t t t t} w u T T ...…....…(3-42) Dengan mengambil bentuk ζ = δt/δ (perbandingan tebal lapisan batas termal terhadap tebal lapisan batas hidrodinamik), maka hasil integrasi persamaan (3-42) menjadi ;

(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ − = − ∞ ∞ ∞

∫

2 4 0 280 3 20 3 ) (

δ

ζ

ζ

δ u T T dy u T T dx d w t ….…….…(3-43) karena pada bilangan Prandtl =1, nilai ζ < 1, sehingga suku kedua dalam kurung pada persamaan (3-43) dapat diabaikan (jauh lebih kecil dari suku pertamanya), sehingga persamaan (3-43) menjadi :

δζ

α

α

δ

ζ

∞ ∞ ∞ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − T T y T x T T u w w w 2 3 ) ( 20 3 2 _{………...(3-44)}

ζ

δ

δ

=

α

∂ ∂ ∞ x u 3 10 1 ………...(3-45) dari persamaan (3-36), ∞ = u x

υ

δ

4,64 maka didapatkan : ∞ = ∂ ∂ u x

υ

δ

δ

10.7648 sehingga persamaan (3-45) menjadi :

3 _0.929

( )

_Pr 1 7648 . 10 10 ₌ − =

υ

α

ζ

Pr = Bilangan Prandtl =

α

υ

μ

₌ k Cp sehingga diperoleh :

_ζ

_=0.976(Pr)−1/3 _atau

_δ

_=0.976

_δ

_(Pr)−1/3 t ………....…..…….(3-46)

Dari persamaan (3-46) terlihat bahwa ketebalan lapisan termal lebih kecil dibandingkan ketebalan lapisan batas hidrodinamik.

Untuk menentukan laju aliran panas konveksi lokal per satuan luas adalah :

ζδ

δ

k k T T y T k T T A q h t w w w x 2 3 2 3 ) ( ) / ( ) ( − = = ∂ ∂ − = − = ∞ ∞ …….………...(3-47) dengan memasukkan tebal lapisan batas hidrodinamik persamaan (3-36) dan persamaan (3-46) ke persamaan (3-47), didapatkan :

_{0.332 Pr}1/3_Re1/2 x k h_x= atau _=0.332Pr1/3_Re1/2 k x h_x ...(3-48) bilangan Nuselt, Nu = k x h_x

_Nu=0.332(Pr)1/3_(Re)1/2 _{………...(3-49)} Koefisien perpindahan panas rata-rata untuk seluruh panjang permukaan gabah :

_{L x L} 0 L 0 x h 2 dx dx h h= = ₌

∫

∫

...(3-50)

Jadi aliran panas dalam lapisan batas seluruh panjang permukaan gabah :

q=hA(T_∞−T_w) ...(3-51)

3.3.3.3. Koefisien Perpindahan Massa

Koefisien perpindahan massa (mass transfer coefficient) mempunyai analogi

dengan koefisien perpindahan panas, sehingga dapat didefinisikan seperti halnya perpindahan panas.

m_A h_D A(C_A1 C_A2)

A −

=

& ...(3-52)

Difusivitas yang terjadi pada keadaan steady yang melintasi ketebalan

lapisan batas setebal ∆y, adalah :

= Δ − = y C C D m AB A A A ) ( _{1 2} & hDA A(CA1−CA2) ...(3-53)

Berdasarkan hukum-hukum fenomena dalam persamaan yang mengatur

perpindahan massa, momentum dan energi seperti pada persamaan (3-2), (3-3) dan persamaan (3-4) terlihat mempunyai keserupaan, sehingga profil suhu, kecepatan dan konsentrasi mempunyai bentuk yang sama dalam fenomena lapisan batas.

Karena fenomena yang terjadi dalam lapisan batas mempunyai analogi terhadap hubungan antara profil kecepatan, profil konsentrasi massa dan profil suhu sehingga dalam persoalan perpindahan panas, hubungan fungsional koefisien pindah panas dapat dituliskan dalam bentuk :

f(Re,Pr) k

x h_x

= ...(3-54)

sedangkan dalam hal perpindahan massa, hubungan fungsional koefisien pindah massa dapat dinyatakan dalam bentuk :

f(Re, Sc) D x h AB DA = _...(3-55)

Bilangan Schmidt (Sc=

ν

/D_AB) menyatakan perbandingan antara profil kecepatan dan konsentrasi, sedangkan untuk profil suhu dan konsentrasi

dinyatakan dalam bentuk bilangan Lewis (Le=

α

/D_AB). Keserupaan antara

persamaan-persamaan yang mengatur perpindahan massa, momentum dan energi dalam lapisan batas memberi petunjuk bahwa korelasi empirik untuk koefisien perpindahan massa mempunyai analogi dengan koefisien perpindahan panas. Hubungan empirik untuk koefisien perpindahan massa ini dinyatakan oleh Gilliland (1934) dalam Holman (1981) dalam bentuk persamaan :

44 . 0 83 . 0 023 . 0 _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∞ AB AB D D x u D x h A

ν

μ

ρ

...(3-56) pada keadaan : 2000 < Re < 35000 dan 0.6 < Sc < 2.5

Analogi Reynold untuk perpindahan panas dengan koefisien gesek pada lapisan batas dapat pula digunakan untuk menentukan koefisien perpindahan massa dengan koefisien gesek pada lapisan batas, pada aliran laminar, Holman, J.P, (1981) memberikan bentuk persamaan seperti berikut :

untuk perpindahan panas 8 Pr2/3 f Cp u h_x = ∞

ρ

...(3-57) untuk perpindahan massa

8 3 / 2 f Sc Cp u h A D ₌ ∞

ρ

...(3-58)

Karena perpindahan massa dan panas terjadi secara serempak (simultan), maka koefisien perpindahan panas dapat dihubungkan dengan membagi persamaan (3-59) dengan persamaan (3-60) :

2/3 3 / 2 3 / 2 Pr Cp D CpLe Sc Cp h h AB D x A

ρ

α

ρ

ρ

_⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ...(3-59)

3.3.3.4. Gaya Geser dan Koefisien Gesekan

Guna menentukan distribusi kecepatan, tebal lapisan batas dan gaya

gesek pada dinding, maka persamaan gerak (3-2) harus diselesaikan secara serentak (simultan) dengan persamaan kontinyuitas (3-4).

Persamaan-persamaan ini diselesaikan dengan pertama-tama

mendefinisikan fungsi aliran, ψ (x,y) yang memenuhi persamaan kontinyuitas.

x dan ∂ ∂ = ∂ ∂ =

ψ

y

ψ

x v y v ………..…...(3-60)

dengan menggunakan variable tak berdimensi x v y

υ

η

₌ ∞ _{………...……..(3-61)}

sehingga persamaan dapat ditulis dalam bentuk;

ψ

=

υ

xv_∞ f

( )

η

………...(3-62)

dimana f(η) menandakan suatu fungsi aliran tanpa dimensi.

Bila komponen-komponen kecepatan dinyatakan dalam bentuk f(η), maka diperoleh bentuk persamaan :

[

( )

]

η

η

η

η

ψ

d f d v y v_x = _∞ ∂ ∂ ∂ ∂ = ……….……...(3-63) dan

[

( )

]

( )

2 1 ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ − = ∂ − = ∞

_η

_η

η

η

υ

ψ

f d f d x v dx v_y ………..…..…...(3-64)

dengan menyatakan ₂ 2 dan , y v y v dx v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

sebagai fungsi

η

dan memasukan

persamaan momentum akan diperoleh bentuk persamaan diferensial orde tiga tak linier.

( )

[

( )

]

2

[

( )

₃

]

0 3 2 2 = +

η

η

η

η

η

d f d d f d f ………...(3-65)

dapat diselesaikan dengan syarat batas : pada

η

=

0

, f

( )

η

=0,

[

( )

]

=0

η

η

d f d dan ………...(3-66) pada

η

=

∞

,

[

( )

]

=1

η

η

d f d ………...(3-67) Penyelesaian terhadap persamaan diferensial pada persamaan (3-65) secara numerik telah diperoleh oleh Blasius (1908) dalam Frank (1973). Dimana kecepatan lokal ux mencapai 99 persen dari nilai kecepatan aliran bebas u_∞ pada

nilai ∞ =5,0

μ

ρ

u x x

y

. Sehingga tebal lapisan batas hidrodinamik sebagai jarak dari permukaan sampai titik dimana kecepatan lokal ux mencapai 99 persen dari nilai kecepatan aliran bebas u_∞.

Gaya geser pada dinding dapat diperoleh dengan memasukan gradien kecepatan pada y = 0 dari perhitungan secara numerik oleh Blasius besarnya gradien kecepatan adalah

_x y x u dy dv Re 332 . 0 0 ∞ = = ………...(3-68)

dengan memasukan gradien kecepatan pada tegangan geser permukaan per luas satuan adalah : _x y c x u dy dv g ₀ 0.332 Re ∞ = = =

μ

μ

τ

……...………...(3-69)

gaya geser dinding didekat tepi-depan sangat besar dan menurun dengan meningkatnya jarak dari tepi-depan. Bila kedua ruas persamaan (3-69) dibagi dengan tekanan kecepatan aliran bebas

ρ

v_∞2 /2g_c akan diperoleh :

x c fx Re . g / v C 0664 2 2 = = ∞

ρ

τ

……….………...(3-70) dimana Cfx adalah koefisien gesek.

Untuk aliran laminer melewati sebuah plat datar dengan panjang L, koefisien gesek rata-rata pada permukaan antara tepi-depan x = 0 dan x = L diperoleh dengan cara mengintegralkan persamaan diatas.

=

∫

= ∞ L fx f L v / . dx C L C 0 33 1 1

μ

ρ

………....……...(3-71)

Sehingga koefisien gesek rata-rata C_f sama dengan dua kali nilai koefisien

gesek lokal pada panjang plat L (x = L).

3.4. Penentuan Nilai Difusivitas

Koefisien difusivitas massa dalam model persaman matematik lapisan batas

pada persamaan (3-16) ditentukan berdasarkan perhitungan perubahan massa gabah (kadar air) selama proses pengeringan, dengan cara menentukan nilai kadar air keseimbangan dan konstanta pengeringan.

3.4.1. Teori Pengeringan Lapis Tipis

Dalam sistem pengering, kandungan air dalam produk yang akan dikeringkan sangat menentukan proses pengeringan. Terjadinya perpindahan massa didalam produk saat pengeringan disebabkan oleh adanya perbedaan kadar air.

Hukum Fick II telah banyak digunakan oleh para peneliti dengan asumsi yang digunakan adalah; perpidahan massa didalam bahan produk saat pengeringan disebabkan oleh perbedaan kadar air didalam bahan produk dan udara pengering.

Model persamaan matematik yang digunakan untuk proses perpindahan air dalam bahan produk, adalah :

DM t M _=∇2 ∂ ∂ ...(3-72)

Penyelesaian model persamaan (3-72) diatas, telah ditemukan oleh Crank (1956) dalam Young dan Whitaker (1971) dengan benda berbentuk plat tak terbatas, silinder tak terbatas, bentuk bola dan silinder terbatas. Bentuk persamaan-persamaan yang dihasilkan adalah seperti berikut :

a). Plat datar tak terbatas

exp[ (2 1) ] ) 1 2 ( 1 8 2 0 2 2 n Kt n Me Mo Me M n + − + = − −

∑

∞ =

π

……...…………..(3-73)

b). Silinder tak terbatas

1 exp[ 2 2 / 2] 0 2 2

π

α

α

a Kt a Me Mo Me M n n − = − −

∑

∞ = ……….………...(3-74) c). Bola terbatas 6 1 exp[ 2 ] 1 2 2 n Kt n Me Mo Me M n − = − −

_∑

∞ =

π

…...………....……(3-75) d). Silinder terbatas 8

[

4 exp{ 2 2 / 2}

]

x 0 2 2 2

_α

α

π

π

a a Kt Me Mo Me M n n − = − −

_∑

∞ = ...…...(3-76) Persamaan diatas hanya valid untuk material produk yang homogen. Young dan Whitaker (1971) menyarankan bahwa asumsi tersebut tidak valid untuk material bahan pertanian yang komposit (tidak seragam). Material bahan yang komposit, mungkin akan berbeda kadar air keseimbangan dan difusivitas massanya.

Young dan Whitaker (1971) menyarankan penggunaan persamaan pindah massa air dalam material bahan dalam bentuk perbedaan kadar uap air didalam pori-pori bahan sebagai daya dorong perpindahan massa air.

Young dan Whitaker (1971) menggambarkan bahwa penyelesaian persamaan matematisnya akan melibatkan pindah panas dan massa secara simultan.

Beberapa peneliti telah menggunakan model dengan melibatkan pindah panas dan massa secara simultan dengan metoda pemecahan numerik. Pada permasalahan ini perubahan suhu dan kadar air dipengaruhi oleh difusivitas massa sedangkan perubahan kadar air dipengaruhi oleh konduktivitas panas.

3.4.2. Pemodelan Matematik Menentukan Me, K, Dv dan A

Pada proses penguapan air bahan dari suatu lapisan tipis yang dikeringkan

dengan aliran udara panas , dimana besarnya nilai kadar air keseimbangan dapat ditentukan berdasarkan model persamaan pengeringan lapis tipis dari Henderson dan Perry (1976). Aexp( Kt) Me Mo Me M _{= −} − − _{…...……….…………...(3-77)}

Dimana, konstanta A adalah faktor bentuk tergantung bentuk geometri bahan yang dikeringkan. Untuk bentuk : Lempeng : A = 8 π-2 _{= 0.81057} Bola : A = (8 π-2₎-3 _{= 0.53253} Silinder : A = 6 π-2 _{= 0.60793} A 4 D K 2 V

π

= , dimana DV = difusifitas massa

Sedangkan Me adalah kadar air keseimbangan (% bk) dan K adalah konstanta pengeringan, yang merupakan karakteristik bahan dalam mempertahankan air yang terkandung didalamnya terhadap pengaruh suhu udara panas.

Penyelesaian persamaan pengeringan lapis tipis, bentuk dpersamaan (3-77) diatas diubah menjadi bentuk ; (Abdullah dalam Samsuri, 1992)

Me t K Me Mo A M = ( − )exp(− ) + ………...…..…...…...(3-78) dengan : M =

f

(

Me

,

K

,

A

)

dan

M

=

f

(

Me

+

Δ

Me

,

K

+

Δ

K

,

A

+

Δ

A

)

) 79 3 ...( ... ... 2 2 ) ( 2 1 ) , , ( ) , , ( 2 2 2 − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ Δ + ∂ ∂ Δ + ∂ ∂ Δ + ∂ ∂ Δ + ∂ ∂ Δ + = Δ + Δ + Δ + A f Me f A Me K f Me f K Me Me f Me A f A K f K Me f Me A K Me f A A K K Me Me f

Nilai deret ( ) ...sangat kecildan dapat diabaikan 2 1 2 2 2 ₊ ∂ ∂ Δ Me f Me

Sehingga persamaan (3-79) menjadi :

) 80 3 ....( ... ... ) , , ( ) , , ( − ∂ ∂ Δ + ∂ ∂ Δ + ∂ ∂ Δ + = Δ + Δ + Δ + A f A K f K Me f Me A K Me f A A K K Me Me f

Dengan mendiferensialkan persamaan (3-80) terhadap Me, K dan A, maka didapatkan : 1 Aexp( Kt) Me f _{= − −} ∂ ∂ _{………...…...(3-81)}

t

A

(

Mo

Me

)

exp(

K

t

)

K

f

₌

₋

₋

₋

∂

∂

.………...……..……...(3-82)

(

Mo

Me

)

exp(

K

t

)

A

f

−

−

=

∂

∂

…….………...(3-83) Dengan menggunakan metoda kuadrat terkecil (least square), persamaan (3-80) dapat dinyatakan dalam bentuk :

(

,

,

)

(

(

,

,

)

)

minimum

1 2

∑

=

−

=

Δ

+

Δ

+

Δ

+

n i i i

f

Me

K

A

M

A

A

K

K

Me

Me

f

...(3-84)

dengan syarat minimum adalah :

=

0

Δ

∂

∂

=

Δ

∂

∂

=

Δ

∂

∂

A

f

K

f

Me

f

Dari persamaan (3-84), dapat dibuat 3 persamaan simultan dengan 3 bilangan yang tidak diketahui, yaitu ;

Δ

Me

,

Δ

K

dan

Δ

A

Adapun bentuk persamaan simultannya adalah :

(

)

) 85 3 ( ... ... ... ... 1 1 2 1 ( , , ) 1 − ∑ = ∂ ∂ ∂ ∂ Δ ∑ = ∂ + ∂ ∂ ∂ Δ + ∑ = ∑= ∂ ∂ Δ = ∂ ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n i A i f Me i f A n i K i f Me i f K n i n i Me i f Me Me i f A K Me i f i M

(

)

∑

∑

∑

∑

= = = = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ = ∂ ∂ − n i i i n i i n i n i i i i i i A f K f A K f K K f Me f Me K f A K Me f M 1 1 2 1 1 ) 86 3 ...( ... ... ) , , (

(

)

) 87 3 ...( ... ... ... ) , , ( 2 1 1 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ = ∂ ∂ −

∑

∑

∑

∑

= = = = n i i n i i i n i n i i i i i i A f A A f K f K A f Me f Me A f A K Me f M

Persamaan (3-85) – (3-87) dapat dibuat dalam bentuk yang sederhana, seperti berikut :

P1 ΔMe + Q1 ΔK + R1 ΔA = X1 ………..……...…...(3-88) P2 ΔMe + Q2 ΔK + R2 ΔA = X2 ………..…...(3-89) P3 ΔMe + Q3 ΔK + R3 ΔA = X3 ………...(3-90) Persamaan (3-88) – (3-90), dalam bentuk matrik dapat ditulis seperti berikut ini :

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 3 3 2 2 2 1 1 1 R Q P R Q P R Q P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ Δ A K Me = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 X X X …………..……....…(3-91)

Untuk menyelesaikan matrik persamaan (3-91), untuk menentukan ΔMe, ΔK dan ΔA dengan cara terlebih dahulu menentukan nilai sembarang untuk ΔMe, ΔK dan ΔA. Perhitungan iterasi untuk nilai variable baru dilakukan dengan cara trial dan error. Proses iterasi dilakukan terus sampai diperoleh hasil yang konvergen antara nilai variabel yang lama dengan nilai variabel yang baru.

Untuk mendapatkan hasil yang konvergen, maka harus dipenuhi syarat tertentu, yaitu nilai dari elemen-elemen diagonalnya tidak boleh mengandung nilai nol dan harga mutlak dari nilai elemen dari diagonal utamanya harus lebih besar dari harga mutlak jumlah nilai elemen-elemen yang lainnya. a_ii >

∑

≠ N i j ij a

dimana N = jumlah persamaan, i = 1,2,……N.

Dalam penyelesaian persamaan untuk menentukan nilai kadar air keseimbangan, konstanta pengeringan, difusivitas massa dan faktor bentuk dibuat dalam bentuk program komputer dengan menggunakan bahasa basic.

3.5. Penentukan Dimensi Ring Transduser

Ring transduser digunakan untuk menentukan perubahan massa (kadar air) produk selama proses penguapan air berlangsung. Ring transduser terbuat dari bahan baja yang digunakan untuk meletakan 2 buah sensor strain gage pada sisi luar dan dalam ring, sensor ini berfungsi untuk melihat perubahan massa air produk selama proses pengeringan dengan keluaran berupa gaya lentur (µε) yang dibaca melalui instrumen handy strain meter, yang selanjutnya dikonversikan menjadi dimensi massa.

Dimensi ring transduser yang digunakan adalah dengan ukuran diameter dalam dalam 51 mm dan tebal 1.0 mm, ditempatkan 2 buah sensor strain gage dengan resistensi 120 ohm pada sisi sebelah luar dan dalam ring.

Gage 1 : inside Gage 2 : outside

Gambar 3-6. Model ring transduser dan diagram skematis pengukuran regangan

Untuk menentukan beban maksimum dan dimensi ring tranduser berdasarkan persamaan seperti berikut :

₂ t w E PR 1.09 ε= ………...….(3-92) dimana; ε = Regangan, m P = Beban, N R = Jari-jari dalam, m E = Elastisitas, N/m2 w = lebar ring, m t = tebal ring, m P t w 2 1 Bridge Box R2 R1 R3 R4 Vo Vs Strain meter Kalibrasi