Analisis Pemodelan berdasarkan karakteristik dinamik

(1)

SISTEM PENGUKURAN

Analisis Pemodelan berdasarkan

karakteristik dinamik

DISUSUN OLEH: Dr. Yeffry Handoko Putra, ST., M.T

S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Karakteristik dinamik suatu sistem atau instrumen menyatakan perilaku respons sistem saat transien (untuk input step) dan perilaku sistem jika mendapatkan input yang berubah-ubah.

Karakteristik dinamik sistem instrumentasi pengukuran dapat menyebabkan kesalahan pengukuran, yang terjadi saat transien atau jika yang diukur adalah sinyal yang berubah terhadap waktu (sinyal dinamis).

Karena itu pada umumnya sistem proses dalam keadaan start-up mempunyai sistem monitoring dan pengontrol yang terpisah dari saat sistem dalam keadaan operasi.

(2)

147

Karakteristik dinamik sistem atau instrumen tergantung pada keadaan fisis sistem atau instrumen tersebut

Contoh:

Benda yang dimasukkan pada air mendidih bersuhu

100o_{C, tidak akan langsung mempunyai suhu 100}o_C, tetapi perlu waktu supaya temperatur benda mencapai 100o_{C. Waktu yang diperlukan benda mencapai suhu} 100oC tergantung pada harga konstanta waktu benda (τ). Konstanta waktu benda (τ) tergantung pada ukuran dan macam bahan benda, kalor yang dapat diambil benda dan kapasitas kalor benda. Sistem Termal

Pegas yang ditekan dengan suatu gaya tertentu dan

kemudian tekanan dilepaskan akan bergoyang naik – turun di sekitar titik kesetimbangannya, frekuensi goyangan pegas disebut frekuensi natural (ωn) yang tergantung pada konstanta pegas dan massa pegas. Sistem Mekanik S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Sistem termal adalah sistem orde satu, karena jika sistem termal tersebut dianalisis secara matematis, maka

hubungan antara output-input dinyatakan dalam persamaan diferensial orde satu.

Sistem orde satu lainnya adalah sistem pengisian tangki, jika pada t = 0 kran dibuka, maka tinggi cairan dalam tangki akan beranjak dari level 0, dan setelah beberapa saat barulah level cairan dalam tangki akan maksimum. Sistem mekanis adalah sistem orde dua, yang

dikarakterisir dengan adanya osilasi pada outputnya. Sistem transmisi pipa pneumatik adalah contoh sistem

dengan waktu mati (τdt), karena jika pada t = 0 ada perubahan tekanan pada ujung pipa, ujung pipa satunya belum akan merasakan perubahan tekanan. Perlu waktu

(3)

149

149 Hal yang terkait dengan perilaku sistem dalam

keadaan transien disebut dinamika dari sistem

Dinamika instrumen/sistem dinyatakan sebagai

“orde”, yang diturunkan dari hubungan

matematis antara output-input.

Macam “orde” instrumen:

Instrumen orde nol Instrumen orde satu Instrumen orde dua Instrumen orde tinggi

Orde instrumen berpengaruh pada respons

instrumen tersebut jika diberi input, baik input

step, input fluktuasi deterministik atau input

random.

Karakteristik dinamik

dapat dinyatakan sebagai

respon sistem pada

saat transien pada input konstan

diberikan input yang berubah terhadap waktu.

Karakteristik dari “orde instrumen”

Instrumen orde nol dikarakterisir oleh sensitivitas = K

(perbandingan output-input)

Instrumen orde satu dikarakterisir oleh sensitivitas (K)

dan konstanta waktu (τ)

Instrumen orde dua dikarakterisir oleh sensitivitas dan

dua macam konstanta waktu (τ₁ dan τ₂) atau

frekuensi natural (ω_n) dan perbandingan redaman (ξ)

Instrumen orde tinggi dikarakterisir seperti pada

instrumen orde nol, orde satu atau orde 2 ditambah dengan waktu mati.

(4)

151

151 Respons instrumen pada saat transien (untuk input

konstan)

Instrumen orde nol, respon instrumen persis seperti

inputnya

Instrumen orde satu, respons instrumen perlu waktu

untuk mencapai keadaan steady (harga konstan)

Sistem orde dua, menghasilkan overshoot.

Sistem orde tinggi sistem tidak merespons sebelum

waktu mati terlewati.

Efek dinamik pada keadaan steady state untuk input

konstan

Untuk instrumen dengan semua orde, memberikan

harga respons (output) yang juga konstan, dimana harga respons (e_o) sama dengan perkalian antara sensitivitas (K) dan input (e_i)

e_o= K e_i S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Parameter yang terkait pada sistem dinamis

hA MCv = τ

Waktu settling (settling time): waktu yang diperlukan supaya harga respons sistem mencapai kesalahan 5% dari harga steady state

Waktu mati (dead time): waktu yang diperlukan sistem untuk mulai merespons diukur terhadap saat input yang diberikan

Konstanta waktu (time constant): parameter pada sistem orde I, yang tergantung pada parameter fisik sistem (pada sistem termal

Waktu naik (rise time): waktu yang diperlukan oleh sistem suaya harga responsbya naik dari 5% sampai

(5)

153

Sistem orde Nol

Adalah sistem yang respons dinamik nya dapat

diabaikan, sehingga jika mendapatkan input akan

langsung respons seperti yang diharapkan

Sistem orde nol adalah sistem teoritis, karena

tidak akan terjadi pada situasi rieel.

Persamaan sistem orde nol adalah:

e

_o

= K e

_i

Dikarakterisir oleh parameter sensitivitas saja (K).

Jika respons transien tidak menjadi perhatian,

maka suatu sistem dinyatakan sebagai sistem

orde nol.

Contoh: Sistem Orde I tipe nol, Sistem Termal

Jika suatu benda dengan volume V dan luas

permukaan A, pada temperatur Tbdimasukkan dalam cairan yang temperaturnya T_c(T_c> T_b), maka

temperatur benda T_bakan naik sampai terjadi

kesetimbangan energi termal antara cairan dan benda. Persamaan energi

Energi masuk – Energi keluar = Energi Tersimpan

Energi termal masuk ke benda dari cairan:

Q=h A(Tc-Tb) dt

Energi keluar benda = 0. jika benda tenggelam dalam cairan

Energi tersimpan dalam benda:

(6)

155

155 Persamaan kesetimbangan Energi Termal

Benda:

h A (T

_c

– T

_b

) ∆t = MC

_v

∆T

_b

h = koefisien perpindahan kalor

A = luas kontak antara benda dengan cairan M = massa benda

Cv= kapasitas kalor benda

∆Tb= perubahan temperatur benda

∆t = perubahan waktu

Persamaan diferensial:

MC

_v

dT

_b

/dt + hA T

_b

= hA T

_c

Sistem termal disebut sebagai sistem orde I tipe

nol, karena orde diferensiasi input nol.

Persamaan diferensial Sistem Orde I tipe nol

dalam bentuk umum:

Di mana dan K = 1

Solusi persamaan diferensial dalam domain

waktu menyatakan respons sistem sebagai

fungsi waktu,

Solusi persamaan diferensial dalam domain

frekuensi menyatakan respons frekuensi sistem.

i o o

_e

_Ke

dt

de

=

+

τ

hA MCv =

τ

(7)

157

Respons Sistem Orde I dalam domain waktu.

Solusi Pers differensial orde I tipe nol, untuk input Step

v b b

b c b c

MC dT dT

T T atau T T

hA dt + = τ dt + =

Solusi umum (transien):

Input step

Solusi Khusus Solusi Total

Syarat awal: pada t = 0 e_o= 0, maka

Sehingga Solusi Total

Jika respons transien mati maka output sistem mengikuti bentuk input 0 0 0 ˆ p t untuk t untuk e ei i ≥ =

₍

_t_τ

₎

i o

K

e

=

ˆ

1 −

−

(

tτ

)

o

Ce

e

=

− i o

K

e

=

ˆ

i t o Ce Ke e = − τ + ˆ i e K C =− ˆ i o

K

e

=

ˆ

Respons sistem orde I tipe nol pada input step dan kesalahan respons pada saat transien

(8)

159

159 Respons u/ Input ramp

_{Solusi khusus}

Misal e_o= A t + B de_o/dt = A

Pada t > 0

Sehingga A = K α

τ

_{A + B = 0 B = - K α τ}

Solusi khusus:

e

_o

= K α (t – τ)

Input ramp

Solusi umum

(transien)

(

tτ

)

o

Ce

e

=

− t e t untuk t untuk t e i i ∂ ∂ = ≥ = α α 0 0 0 p ei t α α α α i o o

Ke

e

dt

de

=

+

τ

(

At

B

)

K

t

A

α

τ

+

=

(

τ

A

+

B

)

+

At

=

K

α

t

Input ramp

Solusi (respon) total

Syarat awal:

pada t = 0 e

o

= 0

0 = C (1) – K

α τ

C

= Κ α τ

respons sistem:

(

τ

)

α

ατ

τ

₊

₋

=

−

t

K

e

K

e

_o t

(

τ

)

₊ α

(

₋τ

)

= − t K Ce e_o t

(9)

161

161 Respons Sistem Orde I tipe nol untuk input Ramp

Respons sistem ini untuk input ramp mempunyai

keterlambatan respons selama τ

Artinya pada suatu waktu t = t

1

input yang masuk

pada sistem seharga e

_{i1 =}

α t

₁

, seharusnya output

sistem adalah e

_o

= K α t

₁

, atau e

_o

/K = α t

₁

tetapi

kenyataanya e

_o

/K = α (t

₁

–

τ). Jadi pada t = t

₁

terjadi kesalahan respons sebesar ∆ e

_o

= α τ

Input ramp terjadi pada saat “start-up” dari suatu

sistem proses atau sistem lainnya, karena itu

sistem kontrol pada saat start up dibedakan

dengan saat operasi, yaitu saat telah dicapai

keadaan steady dari sistem.

Respons untuk input sinusoida

0

0 sin

ˆ

p

t

untuk

t

untuk

t

e

_i

=

i

ω

≥

Input sinusoida:

Respons umum:

Respons khusus:

Persamaan diferensial

.

(

tτ

)

o

Ce

e

=

−

(

ω

+

θ

)

=

e

t

e

_o

ˆ

_o

sin

(

)

[

ω ω +θ

]

=e t dt de o o _ˆ _cos

(

)

[

e

_o

ω

t

θ

]

e

_o

(

ω

t

θ

)

K

e

_i

( )

ω

t

τ

ˆ

cos

+

ˆ

sin

+

=

ˆ

sin

( )

ωτ θ ωτ θ θ θ ωτ 1 tan tan 0 sin cos + = → =− → =− −

( )

[

]

( )

[

]

{

cosω ωτcosθ sinθ sinωτ ωτsinθ cosθ

}

ˆ sin

( )

ωτ

ˆ_o t Ke_i e + + − + =

( )

1 cos ; 1 1 sin 2 2 + = + − = ωτ ωτ θ ωτ θ

(10)

163

163 .

Respons pada input sinusoida, setelah transien mati:

Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa perbandingan amplitudo dan beda fasa output-input merupakan modulus dan argumen fungsi transfer sinusoida.

(

)

( )

1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ cos sin ˆ 2 2 2 + = + +         + − − = = + − ωτ ωτ ωτ ωτ ωτ θ θ ωτ K K e e e K e i o i o

( )

ωτ +

(

ωτ +θ

)

= sin 1 ˆ 2 i o e K e

( )

ωτ θ

( )

ωτ 1 2 ; tan 1 ˆ ˆ =− − + = i o e K e

( )

ωτ θ

( )

ωτ ω 1 2 ; tan 1 − − = + = K j e e i o S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N Perbandingan amplitudo dan beda fasa sinyal output-input dinyatakan sebagai respons frekuensi sistem pada input

sinusoida:

.

( )

1 ˆ ˆ 2 + = = ωτ ω K j e e e e i o i o

( )

ωτ

θ

1

tan

−

=

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1 10 100 1000 Frekuensi |e o /e i( jw )| -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 1 10 100 1000 Frekuensi P h a s a

(11)

165

Perbandingan amplitudo output-input sebagai fungsi frekuensi input digambarkan pada gambar di samping. Sistem orde I tipe nol

dapat dinyatakan sebagai LPF (low pass filter).

Jika diberikan input yang mengandung 2 frekuensi (frekuensi rendah dan tinggi), maka sistem akan memfilter frekuensi tinggi dan melewatkan frekuensi rendah. . S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Contoh Soal:

Carilah daerah frekuensi input yang akan

memberikan kesalahan penguatan maksimum 5% (ω_co), dan cari juga beda fasa output-input pada ω = ωco Pada ω << 1/τ,

( )

ωτ θ

( )

ωτ ω 1 2 ; tan 1 − − = + = K j e e i o

( )

j K e e i o ω =

( )

1 95 , 0 2 + =

ωτ

K K

(

1

0 ,

95 )

1

2

−

=

τ

ω

_co

( )

ωτ

θ

1

tan

−

=

(12)

167

167 Input Pulsa

Solusi umum:

Untuk t = 0, e_o= 0 Untuk 0 < t < T, Pada t = T Pada t > T Sehingga pada t = T T T t untuk t untuk T A t untuk ei < > < < = 0 0 0 0 τ t o

Ce

e

=

−

(

tτ

)

o e T KA e = 1− − t = T t = 0 t A/T T

(

Tτ

)

o e T KA e = 1− −

(

tτ

)

o

Ce

e

=

−

(

)

τ τ T T e e T KA C ₋ − − = 1

(

τ

)

τ T T e T KA Ce− = 1− − S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Solusi total sistem orde I tipe 0 untuk input pulsa

Pada T 0, maka harga

Respons sistem orde I tipe nol untuk input pulsa:

Di mana

pada t = 0 eo= KA/τ

pada t = besar eo= 0

Output sinyal pulsa untuk sistem orde I tipe nol berbentuk sinyal yang meluruh dari e_o= KA/τ

(

)

τ τ τ t T T o

e

T

KA

e

₋ − −

−

=

1 (

)

(

)

(

τ

)

τ

τ τ τ τ τ KA e T e e KA e e T KA C T T T T T T = − + − − = − = − − − − − → 1 1 1 lim ₀ τ

τ

t o

e

KA

e

=

−

(13)

169

169 Contoh Soal:

Carilah settling time, rise time sistem orde I tipe nol jika mendapatkan input step: Jika τ = 20 detik. Jawab: Settling time Rise time

:

(

tτ

)

i o

K

e

=

ˆ

1 −

− 0 0 0 ˆ p t untuk t untuk e ei i ≥ =

(

tτ

)

i i

K

e

K

ˆ

=

ˆ

1 −

−

95 ,

0 (

)

ik

t

e

t

det

60

04 ,

3

05 ,

0 ln

05 ,

0 =

−

=

−

=

−

τ

(

)

(

)

τ

τ τ

...

95 ,

0 ln

95 ,

0

1 ˆ

ˆ

05 ,

0 =

→

=

−

=

−

=

− −

t

e

K

e

K

t t i i S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Sistem Orde I tipe satu

Salah satu instrumen yang mempunyai karakteristik dinamik orde I tipe satu adalah sensor piezoelektrik. Bahan piezoelektrik

mempunyai sifat:

Jika dimensi benda

berubah, maka muatan listrik yang dapat

tersimpan di dalam bahan akan berubah

Jika muatan listrik dalam

bahan, maka dimensi benda berubah

.

Arus listrik adalah

perubahan muatan listrik persatuan waktu:

Pada bahan piezoelektrik yang dihubungkan dalam rangkaian tertutup, akan muncul arus listrik icr, jika dimensi bahan berubah oleh suatu sebab

i q

x

K

Q =

dt dx K i i q cr =

(14)

171

Rangkaian pengganti sistem piezoelektrik

Persamaan arus

listrik:

(*)

R C cr

i

=

+

∫

= = _C _R _tot tot o i dt i R C e 1 tot o i R cr o tot R e dt dx Kq i i dt de C = − = − dt dx R K e dt de R C i tot q o o tot tot + = dt dx K e dt de _i o o τ τ + = tot q tot tot C K K C R = = ; τ S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N Persamaan fungsi transfer: Persamaan diferensial

Pada sistem orde I tipe satu, Input x_idi

deferensier oleh sistem. Solusi umumnya sama

Solusi khusus

tergantung pada input yang bekerja pada sistem

Input step

mempunyai respons seperti respons sistem orde I tipe nol untuk input pulsa.

Input ramp

mempunyai respons seperti respons sistem orde I tipe nol untuk input step

( )

1 + = D D K D xi eo τ τ dt dx K e dt de _i o o τ τ + =

(15)

173

173 Respons frekuensi sistem orde I tipe satu

Perbandingan amplitudo dan beda fasa output-input:

( )

ωτ θ

( )

ωτ ωτ ω 1 2 90 tan 1 − − = + = o i o K j x e

Perbandingan Amplitudo Output-Input

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 10Frekuensi (Hz)100 1000 |e o /e i (j w )|

Phasa Sistem Orde I tipe satu

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 10Frequensi (Hz)100 1000 P h a s a ( ) S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Respons waktu sistem orde I tipe satu

Respons waktu untuk input step, τ τ τ = 5dtτ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 5 10 15 20 25 waktu (detik) e o eo tipe 0 eo tipe 1

(16)

175

175 Instrumen orde II

Contoh instrumen dg

dinamika orde II Load cell adalah instrumen _{untuk mendeteksi harga} gaya (fi) dengan output berupa defleksi pegas Persamaan antara harga

gaya fi, dengan defleksi xo adalah persamaan Hukum Newton II:

Σ F = m a =

• 2 2 dt x d m o 2 2

dt

x

d

m

dt

dx

B

x

K

f

o o o s i

−

=

S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N Persamaan diferensial orde II

Bentuk Fungsi Transfer:

Bentuk Umum:

Respon dalam domain waktu

Respons umum (respon

transien)

Respon khusus

(tergan-tung macam input)

Respon umum:

Solusi umum:

( )

s i o K BD mD D f x + + = ₂ 1 i o o s o _f dt dx B x K dt x d m ₂ + + = 2

( )

1 2 2 2 ₊ ₊ = n n i o D D K D f x

ω

ξ

ω

0 2 2 = + + dt dx B x K dt x d m o o s o 2 1 2 1 τ τ t t o

C

e

C

e

x

=

−

+

−

(

1

)

= τ

(17)

177

Jika ξ <1, maka Respons transien atau

Respons transien orde II

(

2

)

2 2 ₁ ₁ ξ ₁ ξ ξ − = − − =i −

(

2

)

1 1 1 ξ ξ ω τ − − = i n

(

2

)

2 1 1 ξ ξ ω τ − + = i n













₋

=

−_ξω _i_ω _t ₁−_ξ2 −_i_ω_t ₁−_ξ2 t o n n n

_e

Ce

x

(

ω

ξ

θ

)

ξω

₋

₊

=

− 2

1 sin

t

Ce

x

_o nt _n S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Jika ξ = 0, maka respons sistem akan berosilasi terus menerus, dengan frekuensi = ωn

Jika ξ = 1, maka τ1= τ2 respons sistem menjadi:

Output sistem tidak berosilasi, dan respons transien akan lebih cepat mati,

dibandingkan jika τ1 τ2

Respons khusus sistem tergantung pada input

Pada input step, output

sistem mempunyai harga konstan.

Pada input ramp, output

sistem juga ramp dengan kecepatan naik/ turun yang sama dengan inputnya

Pada input sinusoida,

output sistem juga

sinusoida dengan frekuensi yang sama dengan

frekuensi input, tetapi amplitudo dan fasanya tergantung pada perbandingan frekuensi input dengan frekuansi natural sistem (ωn)

( )

t x x_o = _isin

ω

_n

(

t

)

Ce

x

_o

=

−ωt

1 +

ω

_n

≠

(18)

179

Ada 4 macam respons umum sistem Orde II, pada input step

jika ξ = 0, respons berupa sinusoida murni (sistem undamped)

jika ξ < 1, respons akan menuju ke harga steady state dengan fluktuasi pada t ~ (sistem underdamped)

jika ξ = 1, respons akan menuju ke harga steady state tanpa fluktuasi pada t ~

jika ξ > 1, respons akan menuju ke harga steady state tanpa fluktuasi pada t ~ (sistem overdamped)

0 ˆ = =e untuk t e_i _i

( )

t e K e_o ˆ_i =1−sinω_n

(

ω ξ θ

)

ξ ξω + − − − = − 2 2 sin 1 1 1 ˆ e t e K e n t i o n ∞ ∞

(

t

)

e e K e_o ˆ_i =₁− −ωnt ₁+ω_n ∞ 2 1 1 2 2 1 2 1 1 ˆ τ τ τ τ τ τ τ τ t t i o Ke e e e − − − − − + = S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

overdamped.

underdamped

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 t (detik) e o

Sistem Orde II overdamped

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 100 200 300 400 waktu (detik) e o /e i t1=20;t2=50 t1=20;t2=100

(19)

181

181 Respon Frekuensi Sistem Orde II

Seperti pada sistem orde I, respon frekuensi

sistem orde II dapat diturunkan dari harga

modulus dan argumen fungsi transfer

( )

1 2 2 2 ₊ ₊ = n n i o D D K D e e

ω

ξ

ω

( )

2 2 2 1 1       +               − = n n i o _j e e ω ξω ω ω ω

(

)

       − − = − 2 1 1 2 tan n n ω ω ω ξω θ S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Respons frekuensi sistem orde II tipe nol, ωωωω_n=50 rad/dt

._{Respons Sistem Orde tipe nol}

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.01 0.1 1 10 100 1000 frekuensi (rad/dt) |e o /e i( jw )| x=0.01 x=0.2 x = 1 x = 5

(20)

183

183 Macam sistem orde II

Sistem orde II tipe nol: merupakan karakteristik

dinamik loadcell (detektor gaya F

_i

) dan

aselerometer (detektor percepatan a

_i

)

Sistem orde II tipe satu: merupakan

karakteristik dinamik velocitymeter (v

_i

)

Sistem orde II tipe satu: merupakan

karakteristik dinamik displacement meter (x

_i

)

( )

1 2 2 2 ₊ ₊ = n n i o D D K D F x ω ξ ω

( )

1 2 2 2 ₊ ₊ = n n i o D D KD D v x

ω

ξ

ω

( )

1 2 2 2 2 + + = n n i o D D KD D x x ω ξ ω S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Ketiga macam tipe karakteristik sistem orde II

tersebut mempunyai penyebut yang sama,

tetapi pembilang dengan orde operator D yang

berbeda.

Secara matematis, respons sistem orde dua

tipe satu sinyal input mengalami diferensiasi

sekali,

jika input sistem ramp setelah dideferensier sekali

menjadi input step.

jika input sistem step setelah dideferensier sekali

menjadi input pulsa.

(21)

185

185 Respons frekuensi sistem orde II tipe satu

Respons Frekuensi Sistem Orde II tipe satu

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.01 1 100 10000 1000000 frekuensi (rad/dt) |e o /e i( jw )| x=0.01 x=0.2 x = 1 x = 5 S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Respons frekuensi sistem orde II tipe satu

Respons Frekuensi Sistem Orde II tipe satu

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000 frekuensi (rad/dt) |e o /e i( jw )| x=0.01 x=0.2 x = 1 x = 5

(22)

187

187 Respons frekuensi sistem orde II tipe dua

Respons Frekuensi Sistem Orde II tipe dua

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0.1 1 10 100 1000 10000 frekuensi (rad/dt) |e o /e i( jw )| x=0.01 x=0.2 x = 1 x = 5 S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Respons frekuensi sistem orde II tipe dua

Respons Frekuensi Sistem Orde II tipe dua

0.1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 0.1 1 10 100 1000 10000 frekuensi (rad/dt) |e o /e i( jw )| x=0.01 x=0.2 x = 1 x = 5

(23)

189

189 Instrumen dengan orde tinggi

( )

₍

₎₍

_{) (}

₎

1

3 2 1

+

=

D

e

n i o

τ

_L

Respons waktu sistem orde tinggi akan

menampilkan waktu mati (dead time)

.

( )

(

1 )

(

2

1 )

(

1 )

(

2

1 )

1

2 2 1 1 2 1 2 1

+

=

nn n nn n n n i o

D

e

ω

ξ

ω

τ

ω

ξ

ω

τ

_L

( )

1 + = − D Ke D x e t dt i o

τ

( )

1 2 2 2 ₊ ₊ = − n n t i o D D Ke D F x dt ω ξ ω τ

( )

₍

₎₍

₎

1 1 ₂ 1 + + = − D D Ke D x e t i o τ τ τ S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Sistem orde II overdamped, terlihat sbg sistem dgn waktu mati dengan waktu mati, ττττ₁=20 dt, ττττ₂ = 100 dt

sistem orde II overdamped

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 10 100 1000 10000 waktu (detik) e o /e i

(24)

191

191 Sistem orde II underdamped, dengan ω

ω

_n

= 50

rad/dt, dan ξ

ξξξ = 0,2

0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5 5 5 .5 6 6 .5 7 7 .5 8 8 .5 0 .1 1 1 0 1 0 0 t ( d e t ik ) e o S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N S IS T E M P E N G U K U R A N

Pendekatan respons waktu dan respons frekuensi Instrumen Orde tinggi (dengan waktu mati)