SOLUSI OPTIMAL MODEL STOKASTIK SISTEM PERSEDIAAN DENGAN PERMINTAAN YANG BERGANTUNG PADA STOK MENGGUNAKAN PENDEKATAN SIMULASI MONTE CARLO

(1)

38 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 1 Januari 2012: 38-45

SOLUSI OPTIMAL MODEL STOKASTIK SISTEM PERSEDIAAN

DENGAN PERMINTAAN YANG BERGANTUNG PADA STOK

MENGGUNAKAN PENDEKATAN SIMULASI MONTE CARLO

Liem Chin; Agus Sukmana

Jurusan Matematika Universitas Katolik Parahyangan Jl. Ciumbuleuit 94 Bandung 40141

[email protected]; [email protected]

ABSTRACT

Inventory management is one important component of a supply chain system. Economic Order Quantity (EOQ) model is often used to describe an inventory management system where customer demand is deterministic with a fixed amount every time. However, many cases that can not be handled by the EOQ model, for instance is a case where customer demand is stochastic. This study focused on the inventory model in which the demand for goods (items) are not constant but has a non-linear form that is dependent on available stock. Benkherouf et al. (2001) have provided a closed-form of the optimal solution for inventory replenishment model with stochastic demand. However, the model is quite difficult to calculate. Therefore, in this study we provide another alternative by Monte Carlo simulation to find the optimal solution.

Keywords: inventory control, Monte Carlo simulation, stochastic model

ABSTRAK

Pengelolaan persediaan adalah salah satu komponen penting dari suatu sistem rantai pasok. Model EOQ digunakan untuk mendeskripsikan suatu sistem pengelolaan persediaan di mana permintaan pelanggan bersifat deterministik dengan jumlahnya tetap setiap saat. Namun, banyak kasus yang tidak dapat ditangani oleh model EOQ, antara lain kasus di mana permintaan pelanggan bersifat stokastik. Penelitian ini difokuskan pada model persediaan di mana pemintaan barang (items) tidak konstan tetapi memiliki bentuk non-linear yaitu bergantung pada stok yang tersedia. Benkherouf et al. (2001) telah memberikan closed-form mengenai solusi optimal dalam penambahan persediaan kembali untuk model persediaan dengan permintaan yang bersifat stokastik. Ternyata untuk mencari solusi model tersebut cukup sulit. Oleh karena itu, dalam penelitian ini kami memberikan cara alternatif untuk mencari solusi optimal model yaitu menggunakan simulasi Monte Carlo.

(2)

PENDAHULUAN

Pengelolaan persediaan merupakan salah satu komponen penting dari suatu sistem rantai pasok (supply-chain). Pengelolaan persediaan bertujuan memberikan jaminan kecukupan pasokan sesuai dengan permintaan pelanggan dengan biaya pengelolaan minimum. Model persediaan dapat digunakan untuk memperoleh gambaran mengenai sistem persediaan yang dikelola. Beberapa model dasar sistem persediaan yang banyak dibahas dalam literatur antara lain: Economic Order Quantity (EOQ), Newsboy, periodic review. Model EOQ digunakan untuk mendeskripsikan suatu sistem pengelolaan persediaan di mana permintaan pelanggan bersifat deterministik dengan jumlahnya tetap setiap saat. Model ini populer digunakan oleh para praktisi karena mudah dipahami untuk tujuan ingin memperoleh gambaran global dari suatu sistem pengelolaan persediaan. Namun demikian banyak kasus yang tidak dapat ditangani oleh model EOQ seperti misalnya permintaan pelanggan bersifat stokastik. Sehingga kemudian dikembangkan model dasar persediaan untuk berbagai jenis permintaanyang lebih mendekati situasi nyata.

Penelitian ini difokuskan pada model persediaan stokastik di mana pemintaan barang memiliki bentuk non-linear, yaitu bergantung pada stok yang tersedia. Sebagai ilustrasi keadaan nyata, misalkan pada toko buku ada situasi di mana permintaan pelanggan untuk buku tertentu bergantung pada berapa banyak jumlah jilid buku yang dipajang (display) di toko buku tersebut. Artikel yang membahas fenomena ini antara lain Benkherouf, Boumenir, & Aggoun (2001).

Beberapa penelitian tentang model persediaan untuk permintaan yang memiliki karakteristik tersebut antara lain: (1) Sana & Chaudhuri (2003, 2004) yang membahas model dengan permintaan bergantung pada stok dan memuat sebagian barang dengan kondisi rusak; (2) Pal, Bhunia, & Mukherjee (2005) juga membahas model dengan permintaan bergantung pada stok yang mereka uraikan pengaruhnya pada tiga komponen biaya; (3) Soni & Shah (2008) mengaitkan permintaan bergantung stok dengan cara pembayaran berbunga progresif. Ketiga artikel tersebut mengasumsikan permintaan bersifat deterministik sehingga kita dapat mengetahui dengan tepat berapa besar permintaan setiap saatnya. Chung (2003) membahas algoritma dan aspek-aspek komputasi dari model persediaan jenis tersebut. Sedangkan untuk jenis permintaan yang bersifat stokastik antara lain dibahas oleh Benkherouf et al. (2001).

Benkherouf et al. (2001) telah memberikan closed-form mengenai solusi optimal dalam penambahan persediaan kembali untuk model persediaan dengan permintaan yang bersifat stokastik. Namun untuk mencari solusi model tersebut tidaklah mudah. Oleh karena itu, pada penelitian ini kami memberikan suatu alternatif untuk mencari solusi optimal tersebut, yaitu dengan simulasi Monte Carlo yang diharapkan lebih mudah untuk diperoleh.

Pertanyaan penelitian yang ingin dijawab adalah: (1) apakah pendekatan simulasi Monte Carlo dapat digunakan untuk mencari solusi model Benkherouf et al. (2001)?; (2) bagaimana kinerja prosedur pencarian solusi model melalui pendekatan simulasi Monte Carlo?

METODE

Persediaan Stokastik

Model persediaan stokastik yang bergantung pada stok, secara matematis dituliskan sebagai berikut (Benkherouf et al., 2001: 318):

(3)

40 di mana: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) I laju perm variabili nol bila menyata kebijaka back-ord akan did diasumsi kesempa t (ditulis gudang. variabel yang me perminta tersebut jumlah p atau ber sebagai persedia perilaku persedia dan perio : xt menyatak I(.) adalah v δ adalah fun g > 0 adalah σ > 0 adala adalah p {wt} adalah adalah b Interpretasi u mintaan g ko tas takkonsta barang habi akan kekuran an untuk me der bila pela dahulukan u ikan tidak atan memper s dxt ) akiba Nilai dxt ber indikator. erupakan ko aan bergantu hanya berla permintaan s rubah-ubah. laju permin aan (saat model per aan dengan p ode waktu ya kan tingkat p variabel indi ngsi delta di h konstanta y ah volatilitas, parameter ber gerak Brow banyaknya pe umum dari m onstan, laju p an. Nilai x(t is, dan x(t) b ngan permint enangani kek anggan berse untuk dipenu bersedia m roleh keuntun at dari adan rgantung pad Bila a = 0, ndisi sesuai ung pada st aku bila tingk

setiap saat b Sedangkan ntaan. Sela ) tid sedian terse arameter-par ang disimula persediaan ba ikator bernila irac, yang menyat , rnilai n baku, emesanan/pe model (1) ad permintaan b (t) bernilai po bernilai nega taan barang kurangan, ap edia menung uhi. Sedangk menunggu se ngan. Pada p nya perminta da laju permi keadaan ini asumsi mod tok. Varibe kat persediaa bervariasi dan bila ain itu mod

ak berpenga ebut, lihat G rameter seba asikan selam Jurn arang (jumlah ai 0 atau 1, takan laju pe , engadaan yan dalah peruba bergantung s ositif bila ad atif bila perm

yang tidak d pakah kebija ggu dan bila

kan bila me ehingga kek persamaan (1 aan pelangga intaan menunjukk del EOQ. B el indikator an bernilai p n bersifat ac dan del (1) men aruh terhada Gambar 1 y agai berikut: a setahun.

nal Mat Stat, V

h barang yan enurunan per ng dilakukan ahan persedi tok , da barang yan mintaan mel dapat dipenu akan back-a bback-arback-ang bback-aru enggunakan kurangan pe ), laju perub an dan seju an bahwa la ila a > 0 da I(.) untuk positif. Perm cak. Variasi , nyatakan sec ap permintaa yang merupa g = 20, a = Vol. 12 No. 1 ng tersisa pad rsediaan, n pada saat iaan bergantu , dan fluktua ng tersisa di lebihi stok b uhi. Model b order atau l ru telah tiba, kebijakan l ermintaan m bahan tingkat mlah barang , di m aju permintaa an membatasi mintaan berje permintaan da cara implisit an. Sebagai akan hasil s 20, Januari 201 (1) da saat t), . ung pada ko si permintaa gudang, x(t) barang dan n bergantung p lost-sales. K , permintaan lost-sales, p merupakan h t persediaan p g baru masu mana I(.) me an konstan s , menyata ekspresi ma enis stokasti tersebut dap apat diinterp t bahwa kek gambaran m simulasi dar , 2: 38-45 omponen: an dengan t) bernilai nilai |x(t)| pula pada Kebijakan n tersebut pelanggan hilangnya pada saat uk dalam enyatakan sebesar g akan laju atematika ik artinya pat tetap pretasikan kurangan mengenai ri tingkat ,

(4)

Selanjutn (a). Fa (b). Bi (c). Bi (d). Bi Berdasar penamba (Benkhe dengan Untuk m solusi ter nya, untuk st aktor diskon iaya penyimp iaya setup (s iaya per unit rkan pemode ahan persed erouf, et al., 2 mencari solus rsebut akan d Gamb truktur biaya adalah , d panan adalah dan setup cost) ad t item adalah elan persedia diaan yang 2001:318): si yang mem dicari melalu bar 1. Contoh a (cost) pada dengan h: . dalah k, deng h c, dengan

aan dan stru direduksi m enuhi (2) ten ui pendekatan tingkat persed model perse . gan . . uktur biaya d menjadi mas

ntu saja tidak n simulasi M

diaan hasil sim

ediaan, diasu di atas, dapa salah menca k mudah. Ol Monte Carlo. mulasi. umsikan seba at diperoleh ari barisan

leh karena itu

agai berikut: solusi optim V* yang m (2) u, pada pene mal untuk memenuhi elitian ini,

(5)

42 Misalkan hukum b mean (ra bebas de adalah h bias untu Karena integral

Simulas

P solusi op tersebut Selanjutn Berdasar mengkaj yang diu (1) masu (a). B (b). B (c). F (d). B (e). B (f). P (g). W (h). M (i). N (j). s (2) set s (3) Bang (4) untu (a) j (b) j n peubah ac bilangan bes ataan), yaitu engan X, mak hampiran yan uk b adalah menggunaka

si Monte C

Penelitian in ptimal dari kemudian nya dilakuka rkan analisis ji kualitas pr usulkan untuk ukkan param Biaya kekura Biaya penyim Faktor disko Biaya setup Biaya per un Parameter Waktu penga M: waktu pe N: banyakny sim: banyakn suku1 = 0, su gkitkan bilan uk jika jika (i) (ii) cak X dengan ar (law of la jika ka ng baik untu an simulasi dihitu

Carlo

ni diawali de model yang di-coding an eksperime s terhadap k rosedur terseb k mencari so meter-parame angan mpanan on . . nit item dan amatan T (da emesanan kem ya selang wak nya simulasi uku2 = 0, ma ngan acak be , hitung n arge number mer uk a. ad Monte Carl ung dengan m engan menge telah diajuk agar dapat en sederhana keluaran dar but dalam m olusi persama eter berikut in . . . alam tahun). mbali. M ya ktu selama p . atriks x beruk erdistribusi n , lakukan: , hitung : . Jurn dan r), rata-rata s rupakan peub dalah penaks lo, maka in menggunaka embangkan p kan sebelum t dieksekusi a untuk melih ri program menemukan s aan (2) meng ni. ang digunaka periode peme kuran normal baku s .

nal Mat Stat, V

yan sampel meru bah acak yan

sir tak bias u

fimum dapa an metode tra prosedur sim mnya oleh Be i dengan m hat kinerja p Matlab yan solusi optima ggunakan pe an adalah: 1, esanan kemb sebanyak Vol. 12 No. 1 ng tidak dik upakan hamp ng berdistribu untuk a. Sed at diganti de apesium. mulasi Monte enkherouf d menggunaka rosedur penc ng telah diu al model. Be endekatan sim 2, 3, 4, 6, da ali. . b dan Januari 201 ketahui. Ber piran yang ba usi identik d (3) dangkan pen (4) engan minim Carlo untuk dkk. (2001). an program carian solusi lang 200 ka rikut adalah mulasi Mont an 12 bulan. buah. . 2: 38-45 rdasarkan aik untuk dan saling naksir tak mum dan k mencari Prosedur Matlab. tersebut. ali, kami prosedur e Carlo:

(6)

( ( (c) j ( ( (d) H (5) hitun (6) ulan (7) hitun (8) ulan (9) ulan wakt ditampil kembali empat bu periode p

Solusi

P (a) g = (b) wak (c) wak (d) ban dibandin namun d persedia sangat k dari hasi sekali m (iii) (iv) jika (i) (ii) (iii) (iv) Hitung suku ng jumlah da ngi langkah 2 ng mean dari ngi langkah 2 ngi langkah 2 tu pemesana Simulasi di kan dari sim

(Q) dengan ulan, enam b pemesenan y

Optimal

Pada bagian $ 100.000, a ktu pengama ktu pemesana nyaknya simu Situasi perta ngkan dengan dengan efek aan, dengan m kecil , yaitu s il ini juga d memberikan b , hitung . 1, yaitu ari suku1 dan 2 hingga lang i ytemp. 2 hingga lang 2 hingga lan an kembali di atas dilaku mulasi tersebu n waktu pem bulan, dan 12 yang bervaria

H

ini diberikan a = $ 20, p = atan: T = 10 t an kembali: ulasi: 200. ama yang ak n model det yang sanga model stoka ekitar USD dapat dilihat biaya yang pa dan dan : dan dan n suku2 dan s gkah 5 sebany gkah 7 untuk ngkah 8 untu igunakan: 1, ukan dengan ut adalah gra mesanan kem 2 bulan. Sel asi tersebut.

HASIL DA

n contoh num = $ 5, q = $ 2 tahun (dibata 1, 2, 3, 4, 5, an diamati a erministik, d at kecil (β = stik lebih re 1-4 dari orde bahwa wakt aling murah dengan m simpan hasil yak sim kali sebanyak ni uk waktu pe 2, 3, 4, 6, da n bantuan p afik biaya to mbali bervari

lain itu, ditam

AN PEMB

merik hasil si

, , k

asi karena tid , 6 dan 12 bu adalah bagaim di mana peng 0,01). Dar endah daripad e biaya total tu antar pen dibandingan . . . . menggunakan lnya dalam v (yaitu banya ilai q yang di emesanan ya an 12 bulan s program Ma otal per tahun asi antara sa mpilkan pula

BAHASAN

imulasi deng k = $ 100, c = dak mungkin ulan; mana perbed garuh stok te ri hasil perba da model de sekitar US$ ngadaan bara n dengan yan n metode trap variabel ytem aknya simula ibutuhkan. ang berbeda sekali). atlab 2007. n (y) terhada atu bulan, du a biaya minim

N

gan paramete = $ 20; diambil T ta daan penggun erhadap perm andingan bia eterministik t 1,25 juta (li ang selama 1 g lainnya. . pesium. mp. asi). (pada penel Adapun ha ap tingkat pe ua bulan, tig mum per tah

er sebagai be ak hingga);

naan model mintaan dim aya total pen

tapi penghem hat Tabel 1) 12 bulan (sat litian ini, asil yang emesanan ga bulan, hun untuk erikut: stokastik munculkan ngelolaan matannya . Namun, tu tahun)

(7)

44 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 1 Januari 2012: 38-45 Tabel 1

Rangkuman Solusi Optimal untuk Skenario β = 0,01 ; σ = 0 atau 5

Waktu antar pengadaan (dalam bulan)

1 2 3 4 6 12

β = 0,01 σ =

0 _{Q optimal} _{8.058 unit 15.609 unit 22.783 unit 29.451 unit 42.230 unit 75.015 unit}

Biaya Total ($) 1.261.493 1.257.826 1.254.658 1.251.777 1.246.651 1.235.015

β = 0,01 σ =

5 _{Q optimal} _{8.053 unit 15.611 unit 22.758 unit 29.526 unit 42.242 unit 75.028 unit}

Biaya Total ($) 1.261.491 1.257.822 1.254.657 1.251.777 1.246.650 1.235.013

Berikutnya, situasi yang akan diamati adalah bagaimana perbedaan penggunaan model stokastik dibandingkan dengan model deterministik, di mana pengaruh stok terhadap permintaan dimunculkan tapi dengan efek sedang (β = 0,5). Strategi optimal (lihat Tabel 2) untuk situasi ini adalah melakukan pengadaan persediaan secara regular setiap enam bulanan dengan Qoptimal = 40.817 unit (deterministik) atau Qoptimal = 40.741 unit (stokastik). Berbeda dengan situasi sebelumnya, disini model stokastik tidak selalu memberikan biaya pengelolaan persediaan yang lebih rendah dibandingkan dengan model deterministik.

Tabel 2

1 2 3 4 6 12

β = 0,

5

σ

=

0 Q optimal 7.948 unit 15.314 unit 22.191 unit 28.813 unit 40.817 unit 70.079 unit

Biaya Total ($) 1.263.620 1.261.098 1.258.849 1.256.766 1.253.009 1.320.289 β = 0, 5 σ =

Biaya

Total 1.263.618 1.261.096 1.258.849 1.256.765 1.253.009 1.320.292

Terakhir, situasi yang akan diamati adalah bagaimana perbedaan penggunaan model stokastik dibandingkan dengan model deterministik, di mana pengaruh stok terhadap permintaan dimunculkan dengan efek besar (β = 0,95). Strategi optimal (lihat Tabel 3) untuk situasi ini adalah melakukan pengadaan persediaan secara regular setiap bulan dalam satu tahun periode perencanaan.

Tabel 3

1 2 3 4 6 12

β = 0,95 σ

=

Biaya

Total ($) 1.275.835 1.285.005 1.293.490 1.301.547 1.313.869 1.320.289

β = 0,95 σ

=

Biaya

(8)

PENUTUP

Dari hasil uji coba terhadap prosedur pencarian solusi melalui simulasi Monte Carlo yang kami lakukan, dapat disimpulkan bahwa bila diterapkan terhadap situasi stokastik dengan parameter volatilitas rendah, solusi untuk model stokastik hampir sama dengan solusi untuk model deterministik yang bergantung pada stok. Karena pada situasi ini parameter volatilitas permintaan tidak memberikan efek pada fluktuasi permintaan secara berarti. Kemudian bila diterapkan terhadap situasi stokastik dengan parameter volatilitas cukup tinggi, solusi untuk model stokastik berbeda dengan solusi untuk model deterministik yang bergantung pada stok. Pada situasi ini parameter volatilitas permintaan memberikan efek pada fluktuasi permintaan secara berarti. Terjadi penghematan bila digunakan model stokastik, namum penghematannya masih kurang berarti nilainya dibandingkan dengan biaya total pengelolaan persediaan. Selanjutnya solusi optimal sulit untuk diprediksi dicapai pada periode waktu antar pengadaan dengan panjang interval berapa bulan, karena sangat bergantung pada pemilihan parameter model. Solusi yang diperoleh pada umumnya “make sense”.

Secara umum dapat disimpulkan bahwa prosedur simulasi Monte Carlo yang dirancang dapat membantu mencari solusi optimal model secara lebih mudah dan interpretasinya cukup “make sense” dibandingkan dengan solusi umum secara analitik dari (Benkherouf et al., 2001).

Kami mengucapkan terimakasih kepada Lembaga Penelitian dan Pengabdian Kepada Masyarakat (LPPM) Universitas Katolik Parahyangan yang telah mendanai penelitian ini.

DAFTAR PUSTAKA

Benkherouf, L., Boumenir, A., & Aggoun, L. (2001). A Stochastic Inventory Model with Stock Dependent Demand Items. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 14(4), 317-328.

Chung, K.. (2003). An Algorithm for an Inventory Model with Inventory-Level-Dependent Demand Rate. Computers & Operations Research, 30, 1311-1317.

Pal, A. K., Bhunia, A. K., & Mukherjee, R. N. (2005). A Marketing-Oriented Inventory Model with Three-Component Demand Rate Dependent on Displayed Stock Level (DSL). Journal of the Operational Research Society, 56(113-118).

Sana, S., & Chaudhuri, K. S. 2003. On a Volume Flexible Stock-Dependent Inventory Model. Advanced Modeling and Optimization, 5(3), 197-210.

Sana, S., & Chaudhuri, K. S. 2004. A Stock-Review Model with Stock-Dependent Demand, Quadratic Deterioration Rate. Advanced Modeling and Optimization, 6(2), 25-32

Soni, H., & Shah, N. H. (2008). Optimal Ordering Policy for Stock-Dependent under Progressive Payment Scheme. European Journal of Operational Research, 184, 91-100.