Edisi 4 Januari Pekan Ke-4, 2007 Nomor Soal: 31-40

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 4

Januari Pekan Ke-4, 2007

Nomor Soal: 31-40

31. Diberikan persamaan 9_8x15log1x  _ 14 2 log 8x



x15



yang akar-akarnya

a dan b, dengan ab. Angka satuan dari

2007 5

a

b adalah ….

A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 E. 9 Solusi: [C]

Persamaan 9_8x15log1x  _ 14 2 log 8x



x15



terdefinisi bila 8 15 

x dan

2  x

8 15 1

_

_

9_ x log x  _ 14 2 log 8x x15

8 15





9

14 2 log 8 15 log

x

x x

x

   









9 log 8x x15 142 log 8x x15



8 15



2

log x 

x

2 15 8x x

0 15 8

2_{  } x x



x3



x5



0 3

x b atau x 5 a

Pola angka satuan dari 3n, dengan n bilangan asli adalah 3, 9, 7, 1.

Jadi, angka satuan dari

2007 2007 5

2007 501 4 3

5 ₃ 5 _{3 3}

a

b



 

   adalah 7.

32. Jika N adalah akar dari persamaan

8 log 2 log 08 , 1 log 2 1 1 1 log 5

log x    x , maka nilai jumlah

angka-angka N1907 adalah ….

A. 9 B. 7 C. 8 D. 5 E. 4 Solusi: [A]

Agar persamaan itu memiliki arti, maka haruslah

5 1

logx , sehingga x510,

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007 1

1 log 5

log x  log1,08 log 2log 8 2

1 _{ }

 x

10 log 1 log 5

log x  log 1,08log 2logx8

10 1 log 5

log x

8 log 2

08 , 1 log

 

x

10 1 log

5 x

8 log 2

08 , 1

 

x

100 1 log 5 x

8 log 2

108

 

x

0 116 log 38 log

10 2 x x 

0 ) 58 log 10 )( 2

(logx x 

2

logx (diterima) atau

5 29

logx (ditolak, karena

5 1 logx )

100 x N

1907 100 1907 2007

N   

Jadi, jumlah angka-angka N 1907 adalah 2 + 0 + 0 + 7 = 9.

33. Tentukan semua nilai c sedemikian sehingga persamaan log

 

cx 2 log



x1



yang mempunyai solusi tepat satu akar real. A. c4

C. c4atauc0 E. c0 B. c0 D. c4atauc 1

Solusi: [C]

Persamaan terdefinisi untuk

x



1



0

atau

x





1

dan cx0.

 





log cx 2 log x1





2 1

cx x

2

2 1

cxx  x





2 _{2 1 0}

x  c x 

Persamaan kuadrat mempunyai satu akar solusi jika c4 atau c0. Karena cx0, makac0.

Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real untuk c4 dan tidak mempunyai akar real jika c

 

0, 4 .

Persamaan kuadrat hanya satu solusi real untuk c4; dan dua akar real untuk 0

c .

3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007 64

log log2x

36. Jika a, b, dan c adalah akar-akar sistem persamaan

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007 x

x 4 7 1 2 2  

0 1 3 2x3 x 



x1





2x22x1



0

1





x

atau

4 3 2 2 4

8 4

2  _ 



x

2 3 1



1





x

(ditolak,

x



0

) atau

2 3 1



x (ditolak,

x



0

) atau

2 3 1



x

(diterima)

2 2

3

1 _{ }

a



2



4 3 2

4  a

8 4 3 2

4  a

3 2 12 4a 

1

3 3

2 a 

38. Diberikan persamaan xlogayloga4xyloga. Jika x dan y adalah bilangan

pada interval (0,1), a adalah bilangan bulat positif dan a1, maka hubungan

yang benar adalah ….

A. x2y B. 2xy C. x 2y D. x y E. xy

Solusi: [E]

a a

a y xy

x

log 4 log

log  

xy y

x a a

a

log 4 log

1 log

1 _{ }

y x y

x y x

a a a

a a a

log log

4 log

. log

log log

 





alogxalogy



2 4alogx.alogy



alogxalogy



2 0 y x a

a

log log 

y x

39. Jika 12log



6log



3log log2 x





0, maka angka satuan dari bilangan x adalah .... A. 8 B. 60 C. 108 D. 109 E. 1010 Solusi: [C]









12 6 3 2

log log log logx 0

6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007





6 3 2

log log logx 1

3 2

log logx6

2 6

logx3 729

729

2

x

Pola angka satuan dari 2n, dengan n bilangan asli adalah 2, 4, 8, 6.

Jadi, angka satuan dari bilangan x27292182 4 1  adalah 2. 40. Jika x adalah bilangan terkecil yang memenuhi persamaan



2logx



32log2x3 



2logx



22logx22log2, maka nilai x 1 5 _{adalah ....} A. 8 B. 4 C. 2 D. 1

4 E. 1 2 Solusi: [B]

Misalnya 2logx y



2logx



32log2x3 



2logx



22logx22log2



2logx



32log232logx



2logx



222logx1

1 2 3

1 2

3_{  y y  y} y

0 2

3_{y y} y



y2 y1



0 y

0 

y atau y2 y10

0  y atau

2 5 1  y

0 log

2 _{x atau}

2 5 1 log 2 _x 

atau

2 5 1 log 2 _x 

1 

x atau 2

5 1 2

 

x atau 2

5 1 2

  x

Sehingga bilangan x terkecil adalah 2 5 1 2

 .

Jadi,







 

1 5 _{1 5 1 5}

1 5 1 5

1 5 ₂ 2 ₂ 2 ₂ 2 ₂2 ₄

x

  _{    }



  __ _{    }

 