Tabel metode simpleks Tabel metode simpleks bentuk standar

Tabel metode simpleks

Tabel metode simpleks bentuk standar

Pendahuluan

•

Pada pembahasan ini akan dibahas

mekanisme metode simpleks yang

diformulasikan dengan sebuah tabel.

–

Tabel tersebut akan merepresentasikan

setiap

corner point

dan nilai fungsi tujuan

yang bersangkutan

•

Dengan menggunakan tabel:

–

Dapat diselesaikan program linier skala

kecil tanpa menggunakan alat bantu

Algoritma metode simpleks

• Fase pertama (1) : tentukan titik intial yang merupakan sebuah

basic feasible solution.

– Jika ada, iterasi dilanjutkan.

– Jika tidak ada, maka model program linier dikatakan infeasibel. Iterasi dihentikan.

• Fase kedua (2): iterasi sampai keadaan untuk menghentikan iterasi ditemui (keadaan optimum tercapai)

– 2.1: apakah sudah optimum?

• Jika masih terdapat entering basic variable, maka keadaan belum optimum dan iterasi dilanjutkan.

• Jika tidak ada entering basic variable, iterasi dihentikan dengan

penyelesaian di titik basic feasible solution tersebut sebagai titik optimum dengan nilai fungsi tujuan di titik tersebut sebagai nilai optimumnya.

– 2.2: Tentukan entering basic variable

• Tentukan nonbasic variable yang memberikan pengaruh terbesar pada perubahan fungis tujuan

– 2.3: Tentukan leaving basic variable menggunakan minimum ratio test

(MRT)

– 2.4: Update persamaan-persamaan, untuk berpindah ke basic feasibel solution yang baru.

Table Simpleks (2)

• Table di atas merupakan tabel untuk basic

feasible solution di titik origin, yaitu (0,0,2,3,4).

• Kolom basic variable, berisi basic variable yang terjadi bersesuaian dengan masing-masing

persamaan fungsi kendala.

• Kolom kedua, No. Eq., merupakan label untuk masing-masing fungsi kendala

– Label 0 untuk fungsi tujuan, dan 1 sampai 3 untuk fungsi-fungsi kendala.

• Kolom RHS, berisi nilai-nilai RHS untuk masing-masing fungsi kendala.

Proper form table

•

Sebelum iterasi metode simpleks

dijalankan, tabel yang dihasilkan harus

dalam bentuk

proper table

.

•

Proper table

memiliki karakteristik:

– Memiliki sebuah basic variable untuk setiap persamaan

– Koefisien basic variable adalah 1, dan koefisien di atas dan di bawah basic variable dalam

kolom yang sama adalah 0.

Fungsi Proper form table

•

Jika tabel dalam bentuk

proper table

, nilai

untuk semua variable dan nilai fungsi

tujuan dapat langsung dibaca dari tabel

tersebut,

– Hal ini disebabkan karena hanya ada satu

basic variable di setiap baris dan memiliki

koefisien 1.

•

Variable-variable yang lain dalam satu

baris merupakan

nonbasic variable

,

2.1. Apakah sudah optimal?

•

Keadaan optimum tercapai jika tidak ada

lagi

entering basic variable

,

– Hal ini dapat diketahui dengan

memperhatikan baris fungsi tujuan.

– Jika pada baris fungsi tujuan tidak terdapat nilai yang negatif, maka keadaan sudah

optimum.

– Jika pada baris fungsi tujuan masih terdapat nilai yang negatif, maka keadaan belum

2.2. Menentukan

entering basic

variable

(1)

•

Entering basic variable

merupakan

nonbasic variable

di baris fungsi tujuan

(pers. No. 0) yang bernilai

paling negatif

.

– Pilihlah variable di baris fungsi tujuan yang

paling negatif sebagai

entering basic variable

– Dalam contoh model linier tersebut, x₁

memiliki koefisien -15 sedangkan x₂ memiliki koefisen -10. Dengan demikian, x₁ merupakan

entering basic variable.

2.3. Menentukan

leaving basic

variable

(1)

• Minimum ratio test digunakan untuk

menentukan

leaving basic variable

.

• Nilai MRT ditentukan dengan cara:

– (RHS)/(koefisien entering basic variable)

• Terdapat dua keadaan khusus untuk nilai MRT:

– Jika koefisien entering basic variable NOL, MRT diberi nilai dengan no limit,

– Jika koefisien entering basic variable NEGATIF, MRT diberi nilai dengan no limit.

• Catatan: MRT tidak diterapkan pada fungsi

2.3. Menentukan

leaving basic variable

(2)

•

Leaving basic variable

adalah pada

baris yang memiliki MRT paling kecil

–

Baris

leaving basic variable

disebut dengan

pivot row

.

Basic Var

Eqn.

no. Z X1 X2 s1 s2 s3 RHS MRT

Z 0 1 -15 -10 0 0 0 0 Never

s₁ 1 0 1 0 1 0 0 2 2

s₂ 2 0 0 1 0 1 0 3 No limit

2.4. Meng-udpate table (1)

• Setelah entering dan leaving basic variable

ditentukan, langkah selanjutnya adalah

meng-update nilai-nilai yang ada di dalam tabel, dengan cara:

– 2.4.1: pada kolom basic variable, ganti leaving basic

variable dengan sebagai pivot row dengan entering

basic variable.

– 2.4.2: element table di mana pivot column dan pivot row

berpotongan disebut dengan pivot element,

• Nilai pivot element harus sama dengan 1.

– 2.4.3: semua elemen pivot column dieleminasi kecuali

pivot element. Hal ini dilakukan dengan operasi

eleminiasi gauss,

2.4. Meng-udpate table (2)

• Hasil proses meng-update table adalah

sebagai berikut:

• Table di atas menghasilkan

basic feasible

solution

kedua (atau sebagai

corner point

jika dari sudut pandang secara grafik), yaitu:

– Basic feasible solution yang baru: (2,0,0,3,2)

– Dengan nilai Z sebesar: 30

Penyelesaian program linier (1)

• Dari tabel terakhir di atas, masih terdapat

koefisien yang negatif di baris fungsi tujuan (pers. No. 0), dengan demikian keadaan belum optimum.

• Jadi, proses penyelesaian masih terus

dilakukan untuk iterasi selanjutnya, sebagai berikut:

– Langkah 2.2: x₂ sebagai entering basic variable – Langkah 2.3: hasil dari MRT diperoleh s₃ sebagai

leaving basic variable

– Langkah 2.4: meng-update table dalam bentuk

Penyelesaian program linier (2)

•

Entering basic variable

: x

₂

•

Leaving basic variable

: s

₃

Basic Var

Eqn.

no. Z X1 X2 s1 s2 s3 RHS MRT

Z 0 1 0 -10 15 0 0 30 never

x₁ 1 0 1 0 1 0 0 2 No limit

s₂ 2 0 0 1 0 1 0 3 3

Tabel dalam keadaan optimum

• Tidak terdapat koefisien negatif di baris fungsi

tujuan

• Penyelesaiaanya adalah:

– Di titik (2,2,0,1,0)

– Dengan nilai Z = 50

Basic Var

Eqn.

no. Z X1 X2 s1 s2 s3 RHS MRT

Z 0 1 0 0 5 0 10 50 never

x₁ 1 0 1 0 1 0 0 2

s₂ 2 0 0 0 1 1 -1 1

Keadaan khusus dalam

manipulasi table (1)

•

Entering basic

variable

memiliki

nilai yang sama,

– Contoh: Z_maks = 15x₁+15x₂

– Untuk

menyelesaikan

Keadaan khusus dalam

manipulasi table (2)

• Leaving basic variable memiliki nilai MRT yang sama,

– Pilihlah leaving basic variable secara acak

• Untuk MRT semua bernilai no limit, berarti bahwa pergerakana entering basic variable tidak terbatas,

– Dengan demikian, model program linier tersebut

merupakan model unbounded

• Pada keadaan optimum, jika terdapat nonbasic

variabel bernilai NOL di baris fungsi tujuan, maka:

– Pemilihan nonbasic variable sebagai entering basic

variable akan menghasilkan kenaikan nilai Z dengan rate

NOL.

– Tidak ada efek ke pada perubahan nilai Z, dan

menghasilkan nilai Z yang sama pada basic feasible