commit to user
i
PERBANDINGAN PERHITUNGAN VALUE AT RISK
MENGGUNAKAN MODEL GARCH DAN MODEL EWMA
PADA SAHAM BRI, TBK TAHUN 2004-2008
oleh
ARIADNE MONASARI RAJAGUKGUK
M0106030
SKRIPSI
ditulisdan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
commit to user
ii
commit to user
iii
ABSTRAK
Ariadne Monasari Rajagukguk,2012. PERBANDINGANPERHITUNGAN
VALUE AT RISK MENGGUNAKAN MODEL GARCH DAN MODEL EWMA
PADA SAHAM BRI, TBK TAHUN 2004-2008.Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Value at Risk (VaR) adalah kerugian maksimum yang akan didapat selama periode waktu tertentu dalam kondisi pasar normal pada tingkat kepercayaan tertentu. Nilai ini dapat digunakan untuk mengestimasi ukuran risiko. Pemodelan volatilitas sebaiknya dilakukan terlebih dahulu sebelum menghitung VaR. Dalam penelitian ini, dibandingkan nilai VaR data saham dengan volatilitas model
GARCH dan model EWMA.
Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur mengenai perhitungan
VaR menggunakan model GARCH dan model EWMA. Kedua model tersebut diterapkan pada data saham BRI untuk selanjutnya digunakan dalam perhitungan VaR.
Berdasarkan hasil penelitian disimpulkan bahwa model yang sesuai untuk kasus data harga saham BRI yaitu model ARMA(2,1)-GARCH(1,1) dan model EWMA
dengan paramater 0,95. Dengan interval konfidensi 95%VaR dengan estimasi volatilitas EWMA lebih besar dibandingkan dengan model GARCH.
commit to user
iv
iv
ABSTRACT
Ariadne Monasari Rajagukguk,2012. COMPARISON OF VALUE AT RISK CALCULATION USING GARCH MODEL AND EWMA MODEL IN BRI STOCK, TBK DURING 2004 TO 2008.Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Value at Risk (VaR) is the maximum loss that will be obtained during certain time periods in normal market conditions at a certain confidence level. It can be used to estimate risk measure. Volatility modeling should be done first before calculating VaR. In this study, we compare the VaR of stock dataestimated by volatility of GARCH model and EWMA model.
The method used isliterature study on the VaR calculation using GARCH model and EWMA model. Both of the models are applied to the stock data of BRIand they are then used in the calculation of VaR.
Based on the discussion it can be concluded the appropriate models for the case of BRI stock price data are ARMA (2,1)-GARCH (1,1) model and EWMA model with parameter λ = 0.95. In 95% confidence interval, VaRestimated by EWMA model is greater than GARCH model.
commit to user
v
MOTO
“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan
ucapan syukur.”
commit to user
vi
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Papa dan Mama tercinta atas doa dan semua pengorbanan yang diberikan.
Kedua kakakku tersayang Kak Ima dan Kak Sondang,
commit to user
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat, pimpinan, dan pertolongan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Terwujudnya skripsi ini berkat dorongan dan bimbingan dari berbagai pihak untuk itu penulis tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada
1. Winita Sulandari, M.Si dan Drs.Siswanto, M.Si, selaku Pembimbing I dan
Pembimbing II atas segala ketulusan dan kesabarannya dalam membimbing,
mengarahkan, memberi saran, dan memotivasipenulis dalam menyusun
skripsi ini
2. Kedua orang tua dan kedua kakakku tersayang, atas semua kasih sayang,
doa, serta semangat yang telah diberikan sehingga penulis selalu termotivasi
3. Anita,Endah, Ivone, Siska dan rekan-rekan angkatan 2006 atas dukungan
semangat yang diberikan kepada penulis.
4. Semua pihak yang telah membantu kelancaran penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan semua pihak yang berkepentingan.
Surakarta,Mei 2012
commit to user
viii
viii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...
HALAMAN PENGESAHAN...
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL...
DAFTAR GAMBAR...
DAFTAR TABEL...
BAB I PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang Masalah...
1.2Perumusan Masalah...
1.3Tujuan Penelitian...
1.4Manfaat Penelitian...
BAB II LANDASAN TEORI
2.1Tinjauan Pustaka...
2.1.1Return...
2.1.2Risiko...
2.1.3Volatilitas...
2.1.4Model Runtun Waktu Stasioner...
2.2Kerangka Pemikiran...
BAB III METODE PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN
4.1Model Runtun Waktu dengan Heteroskedastisitas Bersyarat...
4.1.1 Model ARCH dan GARCH...
4.1.2 Estimasi Parameter...
4.1.3 Pemilihan Model Terbaik...
commit to user
ix
4.1.4 Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)...
4.2Value at Risk (VaR) pada Analisis Keuangan...
4.2.1 Pengertian VaR...
4.2.2 Uji Normalitas...
4.3VaR Data Saham BRI...
4.3.1 Deskripsi Data...
4.3.2 Log Return...
4.3.3 Pembentukan Model Stasioner...
4.3.4 Pembentukan Model Heteroskedastisitas...
4.3.5 Pemeriksaan Diagnostik Model GARCH(1,1)...
4.3.6 Peramalan Volatilitas dengan Model GARCH...
4.3.7 Peramalan Volatilitas dengan Model EWMA...
4.3.8 Perhitungan VaR...
commit to user
x
x
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
: data saham pada waktu ke-t
: harga harapan
: autokovariansi pada lag k
: autokorelasi pada lagk
: autokorelasi parsial antara dan
: operator Backhift
: parameter autoregresif
: parameter rata-rata bergerak
: estimasi parameter autoregresif
: estimasi parameter rata-rata bergerak
: order parameter autoregresif
: order parameter rata-rata bergerak
: jumlah kuadrat eror
: koefisien determinasi
: eror model rata-rata bersyarat pada waktu t
: parameter ARCH dan GARCH
: parameter GARCH
: order parameter ARCH dan GARCH
: order parameter GARCH
: himpunan semua informasi untuk dari waktu lampau sampai
dengan waktu t
Θ : vektor parameter model regresi linear GARCH
: vektor parameter model GARCH
H : matriks Hessian
: fungsi densitas probabilitas
: fungsi log likelihooduntukobservasike-t
commit to user
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1 Harga saham BRI periode 6 Januari 2004
sampai 8 Mei 2008...27
Gambar 4.2 Fungsi autokorelasi data harga saham BRI...27
Gambar 4.3 Plot log return BRI...28
Gambar 4.4 Fungsi autokorelasi log return BRI...29
Gambar 4.5 Fungsi autokorelasi parsial log return BRI...29
Gambar 4.6 Erormodel ARMA(2,1)...31
Gambar 4.7 Fungsi autokorelasi kuadrat eror model ARMA(2,1)...32
Gambar 4.8 Fungsi autokorelasi parsial kuadrat eror model ARMA(2,1)...32
commit to user
xii
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Sifat-sifat teoritis fungsi autokorelasi dan fungsi
autokorelasi parsial untuk proses-proses stasioner... 9
Tabel 4.1 Hasil estimasi model ARMA(2,1) dengan konstanta data log return... 29
Tabel 4.2 Uji breusch-godfrey eror ARMA(2,1)... 30
Tabel 4.3 Hasil estimasi model ARCH dan GARCH... 33
Tabel 4.4 Hasil estimasi model rata-rata bersyarat dan heteroskedastisitas bersyarat secara bersama... 34
Tabel 4.5 Nilai RMSE dengan nilai λ 0,90-0,99... 36
Tabel 4.6 Hasil perhitungan cornish fisher expansion... 37
Tabel 4.7 Hasil perhitungan VaR model ARMA(2,1)-GARCH(1,1)... 38
commit to user
1
BAB I PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang Masalah
Investasi pada hakikatnya merupakan penempatan sejumlah dana pada saat
ini dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masa mendatang. Menurut
Halim (2003), investasi dibagi menjadi dua, yaitu investasi pada aset keuangan
dan investasi pada aset riil. Investasi pada aset keuangan dilakukan di pasar uang,
misalnya berupa sertifikat deposito, commercial paper, surat berharga pasar uang,
dan lainnya atau dilakukan di pasar modal, misalnya berupa saham, obligasi,
waran, opsi dan lainnya. Sedangkan investasi pada aset riildiwujudkan dalam
bentuk pembelian aset produktif, pendirian pabrik, pembukaan pertambangan,
pembukaan perkebunan dan lainnya. Dengan adanya prinsip pasar bebas, investasi
dalam bentuk kepemilikan aset keuangan mulai diminati oleh masyarakat di
Indonesia. Saham adalah aset keuangan yang paling populer.
Investasi pada saham menawarkan tingkat pertumbuhan keuntungan yang
cepat dengan risiko yang sebanding. Investor selalu dihadapkan pada investasi
yang berisiko, oleh karena itu pilihan investasi tidak dapat hanya mengandalkan
pada tingkat keuntungan yang diharapkan tetapi juga tingkat kerugian yang
mungkin akan terjadi. Untuk memperoleh tingkat return yang tinggi, maka
investor harus berani menanggung risiko yang tinggi juga.
Dengan demikian, diperlukan alat untuk mengukur risiko pasar agar dapat
diketahui sejauh mana investor dapat dengan aman berinvestasi. Value at Risk
(VaR) dapat digunakan untuk mengestimasi risiko pasar yaitu estimasi kerugian
maksimum yang akan didapat selama periode waktu tertentu dalam kondisi pasar
normal pada tingkat kepercayaan tertentu (Tsay, 2002). Model volatilitas
merupakan komponen pembentuk dalam perhitungan VaR. Oleh karena itu,
sebelum melakukan perhitungan VaR perlu dilakukan pemodelan volatilitas.
Volatilitas digunakan sebagai ukuran untuk melihat seberapa besar dan seringnya
perubahan atau fluktuasi yang terjadi pada indikator-indikator ekonomi.
commit to user
2
mempunyai nilai volatilitas yang konstan maupun bersifat heteroskedastik yang
berarti mempunyai nilai volatilitas yang berubah-ubah.
Data runtun waktu pada analisis keuangan biasanya memiliki ragam
pengembalian harga saham yang tidak konstan di setiap titik waktunya. Demikian
halnya dengan data harga saham Bank Rakyat Indonesia, Tbk yang digunakan
dalam penelitian ini. Kondisi data seperti ini disebut heteroskedastisitas bersyarat.
Dalam hal ini, model runtun waktu dengan asumsi variansi sesatan tidak konstan
(heteroskedastik) dapat diterapkan pada pemodelan volatilitas tersebut. Menurut
Bollerslev (1986), data runtun waktu yang mengandung unsur heteroskedastisitas
dapat dimodelkan dengan model generalized autoregressive conditional
heretoscedasticity(GARCH). Sementara Morgan (1996) menjelaskan model
exponentially weighted moving average(EWMA)dapat memodelkan data runtun
waktu yang memiliki unsur heteroskedastisitas.Oleh karena itu, penulis tertarik
menggunakan model GARCH dan model EWMA untuk menghitung besarnya
volatilitas padadata saham.Selanjutnya estimasi volatilitas yang diperoleh
menggunakan kedua model tersebut digunakan untuk perhitungan VaR.
1.2Perumusan Masalah
Dari uraian latar belakang di atas, dapat dirumuskan masalah
1. bagaimana memodelkan data saham dengan menggunakan modelGARCH dan
modelEWMA,
2. bagaimana perbandingan nilai VaRmenggunakan estimasi volatiltas model
GARCH dan model EWMApada data saham BRI, Tbk.
1.3Tujuan Penelitian
Tujuan yang hendak dicapai dalam penelitian ini adalah
1. untuk memodelkan data saham dengan menggunakan modelGARCH dan
modelEWMA,
2. untuk mengetahui perbandingan nilai VaR menggunakan estimasi volatiltas
commit to user
1.4Manfaat PenelitianPenelitian ini diharapkan dapat bermanfaat untuk menambah wawasan
mengenai pemodelan statistik pada permasalahan ekonomi, khususnya mengenai
perhitungan ValueatRisk (pengukuran risiko) dengan volatilitas model GARCH
commit to user
4
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
Untuk mencapai tujuan penulisan skripsi, diperlukan pengertian dan teori
yang relevan dengan pembahasan yang dilakukan. Oleh karena itu pada subbab ini
disajikan beberapa teori yang mendukung meliputi return, volatilitas, model
ARMA, fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial.
2.1.1 Return
Return dari suatu aset adalah tingkat pengembalian atau hasil yang
diperoleh akibat melakukan investasi(Halim,2003).Sebagian besar studi mengenai
ekonomi dan keuangan lebih menitikberatkan pada return daripada nilai
sebenarnya dari suatu data keuangan.Alasan penggunaan return adalah mudah
dipakai dibanding nilai sebenarnya karena bentuknya yang memiliki sifat statistik
yang baik (Tsay,2002). Return jugadigunakan untuk membuat data lebih stasioner
di dalam rata-rata. Perubahan harga relatif didefinisikan sebagai
dengan adalah perubahan harga relafit, adalah harga saham pada waktu ke-t,
dan adalah harga saham pada waktu ke-(t-1). Sedangkan simple gross return
untuk data keuangan pada observasi ke-t, dirumuskan sebagai
Logaritma natural dari simple gross returndisebut sebagai log returnyang
dirumuskan sebagai
commit to user
2.1.2 RisikoDalamkonteks manajemen investasi, risiko merupakan besarnya
penyimpangan antara return yang diharapkandengan return yang dicapai (actual
return). Semakin besar penyimpangannya berarti semakin besar tingkat risikonya
(Halim, 2003).
Apabila risiko dinyatakan sebagai seberapa jauh hasil yang diperoleh bisa
menyimpang dari hasil yang diharapkan, maka digunakan ukuran penyebaran.
Alat statistik yang digunakan sebagai ukuran penyebaran tersebut adalah variansi
atau standardeviasi. Semakin besar nilainya, berarti semakin besar
penyimpangannya (= risikonya semakin tinggi). Van Horne dan Wachowics, Jr
pada tahun 1992 mendefinisikan risiko sebagai variabilitas (keragaman) return
terhadap return yang diharapkan (Jogiyanto, 2003).
Jika terdapat n (jumlah observasi) return, maka ekspektasi return dapat
diestimasi yaitu
dengan adalah rata-rata sampel return. Rata-rata return kemudian digunakan
untuk mengestimasi variansi tiap periode yaitu
Akar dari variansi (standar deviasi) merupakan estimasi risiko dari harga saham
yaitu
2.1.3 Volatilitas
Volatilitas digunakan sebagai salah satu ukuran untuk melihat seberapa
besar dan seringnya perubahan atau fluktuasi yang terjadi pada indikator-indikator
ekonomi. Biasanya besaran ini dinyatakan sebagai standar deviasi dari laju
commit to user
6
Dengan pemodelan volatilitas, para investor diharapkan dapat
mengendalikan risiko pasar dengan lebih baik. Harper (2007) menyatakan pada
penghitungan besarnya volatilitas ke-t secara sederhana
akan memberikan besarnya nilai pembobotan yang sama (konstan) sebesar
untuk semua return kuadrat, di mana n adalah banyaknya observasi.
Untuk tujuan peramalan, lebih baik diberikan bobot yang lebih besar untuk
data yang lebih baru. Dengan asumsi data yang lebih baru memberikan pengaruh
yang lebih besar dibandingkan data yang lebih lama. Penghitungan besarnya
volatilitas ke-t, t
di mana, merupakan besarnya pembobotan pada observasi i hari yang lalu.
Untuk metode EWMA, dengan adalah decay
factor, yang nilainya dengan .
2.1.4 Model Runtun Waktu Stasioner
Runtun waktu stasioner dapat dimodelkan menggunakan proses ARMA.
Ketika suatu log return diperlakukan sebagai kumpulan dari variabel random atas
waktu, maka terdapat runtun waktu (Tsay, 2002).
Dalam memodelkan rata-rata bersyarat ARMA diperlukan suatu alat yaitu
fungsi autokorelasi dan fungsi autokoralsi parsial. Fungsi autokorelasi adalah
fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi antara pengamatan pada waktu ke-t
dengan pengamatan waktu sebelumnya.MenurutCryer(1986) prosesrtdikatakan
stasioner apabila adalah konstan dan
,
dengan adalah fungsi dari selisih waktu .
Korelasi antara adalah
commit to user
dengan dan adalah fungsi autokorelasi.
Menurut Pankartz (1983), jika suatu runtun waktu dengan rata-rata
stasioner maka estimasi nilai dari fungsi autokorelasi turun secara cepat
mendekati nol dengan semakin bertambahnya lag. Jika rata-ratanya tidak stasioner
maka estimasi nilai dari fungsi autokorelasi turun secara perlahan mendekati nol.
Menurut Tsay (2002), uji untuk mengetahui apakah satu atau lebih
autokorelasi dalam runtun waktu adalah signifikan dapat dilakukan
menggunakan uji Ljung-Box. Hipotesis dalam uji Ljung-Box adalah
1. menentukan hipotesis
(tidak terdapat autokorelasi dalam data runtun
waktu),
untuk paling tidak sebuah (terdapat autokorelasi dalam
data runtun waktu),
2. memilih tingkat signifikansi ,
3. menentukan daerah kritis
ditolak jika ,
4. menghitung statistik uji Ljung-Box
dengan n adalah jumlah observasi, k adalah nilai lag, adalah fungsi
autokorelasi sampel pada lag k dan q adalah nilai lag maksimum yang ingin
diuji,
5. mengambil keputusan dan kesimpulan.
Jika maka ditolak dan dapat disimpulkan bahwa terdapat
autokorelasi dalam data runtun waktu. Jika , maka tidak ditolak dan
dapat disimpulakan bahwa tidak terdapat autokorelasi dalam data runtun waktu.
Sedangkan autokorelasi parsial pada lag k dapat dipandang sebagai
commit to user
8
(Wei, 1990). Fungsi autokorelasi parsial dapat digunakan dalam
identifikasi model ARMA. Autokorelasi parsial antara dan dinotasikan
dengan
disebut sebagai fungsi autokorelasi parsial.
Apabila sudah didapatkan plot autokorelasi dan plot autokorelassi parsial,
maka langkah selanjutnya memodelkan rata-rata bersyarat ARMA. Untuk
pemodelan rata-rata bersyarat yang stasioner, dapat digunakan model runtun
waktu yaitu model autoregressive (AR), model moving average
(MA) dan model ARMA.
Model AR adalah model prediksi variabel dengan menggunakan variabel
periode sebelumnya. Model ini didasarkan pada asumsi bahwa nilai sekarang
merupakan fungsi dari nilai sebelumnya. Model AR(p) dituliskan
dengan
dan adalah eror model rata-rata bersyarat
atau
untuk
dengan adalah parameter autoregressive
Model MA adalah model prediksi variabel yang menggunakan nilai eror
variabel pada periode sebelumnya atau merupakan kombinasi linear dari suatu
eror yang sudah white noise. Model MA(q) dituliskan
commit to user
atau
untuk
dengan adalah parameter moving average.
Menurut Wei (1990), model ARMA merupakan gabungan dari proses AR
dan MA. Model ARMA memiliki karakteristik seperti yang dimiliki oleh AR dan
MA, diantaranya adalah dipengaruhi oleh data pada lag periode-periode
sebelumnya. Model ARMA (p,q) dituliskan
dengan dan adalah proses white noise dengan
rata-rata nol. Proses ARMA(p,q) stasioner jika akar dari berada di luar
lingkaran satuan, dan invertibel jika akar dari berada di luar lingkaran
satuan.
Tabel 2.1 Sifat-sifat teoritis fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial
untuk proses-proses stasioner
Proses Fungsi Autokorelasi Fungsi Autokorelasi Parsial
AR(p) meluruh secara eksponensial menuju nol
terputus setelah lag-p
MA(q) terputus setelah lag-q meluruh secara eksponensial menuju nol
ARMA(p,q) meluruh menuju nol meluruh menuju nol
Untuk mengetahui model ARMA yang diperoleh tersebut cocok
digunakan untuk memodelkan harga saham, maka dilakukan estimasi parameter.
Menurut Cryer (1983), untuk mengestimasi nilai parameter dalam model ARMA
dapat digunakan metode kuadrat terkecil dengan cara meminimumkan jumlah
kuadrat eror. Jika adalah eror model ARMA, maka jumlah kuadrat eror
commit to user
10
Nilai fungsi pada persamaan (2.2) akan minimun jika turunan parsial pertama
fungsi terhadap dan sama dengan nol.
Misal dipunyai model ARMA(1,1)
.
Berdasarkan persamaan (2.3) diperoleh nilai eror
sehingga
.
Estimasi dari dapat dicari dengan menyamakan dengan nol, sehingga
diperoleh persamaan
Berdasarkan persamaan (2.4) diperoleh
Jadi berdasarkan persamaan (2.5) estimasi parameter dari menjadi
Estimasi dari dapat dicari dengan menyamakan dengan nol sehingga
diperoleh persamaan sebagai berikut
Berdasarkan persamaan (2.6) diperoleh
Jadi, berdasarkan persamaan (2.7), estimasi parameter menjadi
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
commit to user
Model stasioner yang diperoleh perlu diperiksa lebih lanjut untuk
mengetahui ada tidaknya autokorelasi dalam eror yang dihasilkan. Model
stasioner yang baik harus memenuhi asumsi bahwa tidak ada autokorelasi dalam
eror yang dihasilkan. Menurut Bollerslev (1986), untuk mengetahui autokorelasi
pada eror rata-rata bersyarat dapat dilakukan menggunakan uji Breusch-Godfrey.
Uji Breusch-Godfrey juga sering disebut sebagai uji korelasi serial Lagrange
Multiplier. Hipotesisnya adalah
tidak terdapat autokorelasi dalam eror model rata-rata bersyarat
terdapat autokorelasi dalam eror model rata-rata bersyarat.
Uji Breusch-Godfrey dirumuskan sebagai
dengan T adalah ukuran sampel, p adalah jumlah lag, adalah koefisien
determinasi dan adalah nilai pada tabel distribusi Chi-Squared dengan derajat
bebas p. ditolak jika > .
2.2 Kerangka Pemikiran
Data harga saham BRI merupakan deretan observasi variabel random yang
dapat dinyatakan sebagai data runtun waktu karena merupakan himpunan
observasi terurut. Data ini ditransformasikan ke dalam bentuk log return untuk
mengecilkan data. Transformasi ini mengakibatkan data stasioner dalam rata-rata
tetapi memiliki variansi tidak konstan.
Data runtun waktu stasioner dapat dimodelkan menggunakan model
ARMA, di mana model ini memiliki asumsi homoskedastisitas variansi. Asumsi
tersebut sulit dipenuhi oleh suatu data keuangan. Suatu data runtun waktu dengan
asumsi heteroskedastisitas dapat dimodelkan dengan model GARCH dan EWMA.
Model GARCH memerlukan asumsi eror model rata-rata bersyarat tidak memiliki
autokorelasi. Langkah pertama dalam pembentukan model GARCH adalah
menguji kestasioneran data. Apabila data belum stasioner maka dilakukan
transformasi. Transformasi yang dapat dilakukan diantaranya dengan mengubah
rata-commit to user
12
rata bersyarat ARMA. Eror model ARMA yang telah diperoleh harus diuji efek
heteroskedastisitas. Apabila terdapat efek heteroskedastisitas, maka langkah
selanjutnya adalah mengestimasi parameter model GARCH dan melakukan uji
diagnostik model. Model yang diperoleh dengan mengestimasi model ARMA
beserta model GARCH secara bersama digunakan untuk meramalkan besarnya
variansi dan volatilitas satu periode ke depan. Sedangkan model EWMA sangat
bergantung pada parameter yang disebut sebagai decay factor. Nilai terbaik
adalah yang menghasilkan nilai RMSE minimum. Model yang diperoleh
digunakan untuk meramalkan besarnya variansi dan volatilitas satu periode ke
depan. Selanjutnya dilakukan perhitungan VaR data harga saham BRI dengan
commit to user
13
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur dengan
mengacu pada jurnal dan buku yang berkaitan dengan model GARCH dan model
EWMA. Adapun jurnal utama yang dijadikan sebagai referensi yaitu Bollerslev
(1986), Morgan (1996) dan Jorion (2009). Selanjutnya menerapkan kedua
pemodelan volatilitas pada data saham BRI, Tbk dan menghitung besarnya
perbandingan nilai VaR menggunakan kedua metode tersebut. Langkah-langkah
yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut.
1. Mengkaji ulang dan melakukan estimasi parameter model GARCH.
2. Mengkaji ulang perhitungan risiko (VaR) pada analisis keuangan.
3. Menerapkan perhitungan VaR dengan estimasi volatilitas model GARCH
dan model EWMA pada data harga saham harian BRI tanggal 6 Januari
2004 sampai 8 Mei 2008.
a. Mengubahdata ke dalam bentuk log return, kemudian memeriksa
stasioneritasdan autokorelasi dari deret log return.Kemudian
memodelkan proses rata-rata bersyaratnya terlebih dahulu sebelum
memodelkan proses heteroskedastisitas.Pemodelan rata-rata bersyarat
dapat menggunakan proses AR, MA, atau ARMA.
b. Menganalisis model runtun waktu stasioner yang didapat dengan
i. mengidentifikasi model awal runtun waktu stasioner yang dapat
digunakan untuk memodelkan proses rata-rata bersyarat dari data,
ii. mengestimasi parameter model runtun waktu stasioner,
iii. melakukan pemeriksaan diagnostik untuk menguji apakah model
rata-rata bersyarat yang diperoleh sudah layak untuk digunakan,
yaitu dengan menguji independensi eror secara serial dan melihat
commit to user
14
c. Menganalisis model ARCH dan GARCH dengan
i. mengidentifikasi model dengan memeriksa autokorelasi dalam
kuadrat eror model rata-rata bersyarat,
ii. efek heteroskedastisitas juga diperiksa melalui uji efek ARCH
menggunakan uji Lagrange Multiplier(LM),
iii. mencari model-model ARCH dan GARCH yang dapat digunakan
untuk memodelkan heteroskedastisitas dari eror model rata-rata
bersyarat dan mencari model terbaikberdasarkan nilai AIC (akaike
info criterion) dan SSE (sum squared error) kemudian
mengestimasi model rata-rata bersyarat dan model
heteroskedastisitas bersyarat terbaik secara bersama-sama,
iv. melakukan pemeriksaan diagnostik untuk menguji apakah model
yang diperoleh sudah layak digunakan denganmemeriksa apakah
sudah tidak ada efek heteroskedastisitas dalam eror terstandar
menggunakan uji Lagrange Multiplierdanmemeriksa asumsi
distribusi dari eror terstandar.
d. Melakukan peramalan yaitu meramalkanvolatilitas satu periode ke depan
menggunakan model GARCH dan meramalkanvolatilitas satu periode ke
depan menggunakan modelEWMA.
e. Melakukan penghitungan nilai risiko (VaR) data saham dengan estimasi
commit to user
15
BAB IV
PEMBAHASAN
4.1 Model Runtun Waktu dengan Heteroskedastisitas Bersyarat
Model ARMA membutuhkan asumsi variansi eror yang konstan
(homoskedastisitas). Asumsi tersebut sulit untuk dipenuhi oleh suatu data
keuangan. Hal ini disebabkan pada periode-periode tertentu banyak terjadi gejolak
atau peningkatan yang tajam dibanding periode-periode biasanya. Hal ini disebut
dengan volatilitas. Volatilitas secara umum tidak dapat diobservasi secara
langsung, namun volatilitas memiliki karakteristik yaitu seringkali ditemukan
adanya volatility clustering dalam data yakni volatilitas yang bernilai besar selama
periode waktu tertentu dan bernilai kecil selama periode waktu yang lain. Menurut
Tsay (2002), ide dasar dari studi mengenai volatilitas adalah deret merupakan
deret yang tidak berkorelasi atau memiliki autokorelasi pada order lag yang
rendah, tetapi deret tersebut dependen.
Untuk kondisi data yang seperti ini diperlukan model yang dapat
mengakomodasi heteroskedastisitas. Model yang dapat mengakomodasi
heteroskedastisitas yaitu model generalized autoregressive conditional
heteroscedastic (GARCH)danmodel exponentially weighted moving average
(EWMA).
4.1.1 Model ARCH dan GARCH
ModelARCH pertama kali dikemukakan oleh Engle (1982). Model ini
dikembangkan terutama untuk menjawab persoalan adanya volatilitas pada data
ekonomi dan bisnis, khususnya dalam bidang keuangan. Volatilitas ini tercermin
dalam varians eror yang tidak memenuhi asumsi homoskedastisitas.
Engle (1982) menganalisis masalah variansi eror yang berubah-ubah untuk
setiap observasi di dalam runtun waktu. Menurutnya, variansi eror yang
berubah-ubah untuk setiap observasi terjadi karena variansi eror tidak hanya fungsi dari
commit to user
16
Diberikan adalah suatu runtun waktu dan adalah suatu proses
white noise berdistribusi normal dengan variansi satu. Jika diberikan adalah
himpunan semua informasi untuk dari waktu lampau sampai dengan waktu t,
maka dapat dimodelkan sebagai . Proses dari adalah ARCH (m)
jika dengan
(4.1)
dengan dan , untuk memastikan bahwa variansi
bersyarat bernilai positif. Dari persamaan (4.1) jelas bahwa nilai harapan bersyarat
dan variansi bersyarat dari adalah
Proses ARCH yang paling sederhana adalah proses ARCH(1). Proses
tersebut dapat dirumuskan sebagai
dengan dan . Variansi tidak bersyarat dari adalah
.
Dalam hal ini adalah proses yang stasioner dengan ,
sehingga diperoleh
dan . Nilai untuk menjamin agar variansi dari
bernilai positif. Selanjutnya diperoleh juga
dengan momen keempat dari proses adalah
.
commit to user
Kurtosis dari adalah
Jadi, nilai kurtosis dari positif dan memiliki distribusi dengan ekor yang lebih
pendek dibandingkan dengan distribusi normal.
Bollerslev (1986) mengembangkan model ARCH menjadi model GARCH.
Pada model GARCH, variansi eror tidak hanya bergantung pada eror periode lalu
tetapi juga variansi eror periode lalu. Model ini dikembangkan karena pada proses
ARCH dengan orde tinggi memiliki kesulitan dalam perhitungan dikarenakan
modelnya yang sangat rumit.
Proses adalah GARCH(m,n) jika , dengan
dengan syarat dan
. Kondisi dibutuhkan untuk
menjamin variansi bersyarat . Sedangkan syarat pada menyatakan
bahwa memiliki variansi tidak bersyarat yang berhingga.
Untuk n = 0, proses GARCH tereduksi menjadi proses ARCH(m). Jadi
proses ARCH adalah bentuk khusus dari proses GARCH. Sedangkan untuk
, proses GARCH berubah menjadi suatu white noise sederhana.
Menurut Bollerslev (1986), proses GARCH paling sederhana yang sering
digunakan adalah proses GARCH(1,1), diberikan oleh
,
di mana . Persamaan di atas menyatakan
commit to user
18
4.1.2 Estimasi Parameter
Estimasi yangdigunakan berasal dari nama penemunya Berndt, Hall, Hall
and Hausman yaitu metode BHHH dengan berdasar pada model Newton Raphson
(Bollerslev, 1986). Iterasi pada model Newton Rapshon dinyatakan sebagai
dengan H adalah matriks Hessian, adalah variabel step length dan
Pada metode BHHH, nilai dari matriks Hessian pada persamaan (4.2)
diganti , dengan . Metode BHHH menggunakan turunan
pertama fungsi log likelihood untuk mengestimasi parameter model.
Misal dipunyai model regresi GARCH(m,n) dimana
dengan adalah eror model regresi dengan
.
Oleh karena itu, dimiliki vektor parameter sebagai
dengan
dan .
Menggunakan asumsi normalitas, fungsi densitas probabilitas dari
adalah
Fungsi log likelihood untuk observasi ke-t adalah
commit to user
Untuk mengestimasi vektor parameter variansi yaitu , digunakan turunan
pertama dari fungsi log likelihood persamaan (4.3) terhadap parameter , yaitu
dengan dan .
Menggunakan metode BHHH diperoleh iterasi estimasi parameter variansi
yang dirumuskan sebagai
.
Iterasi (4.4) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai
dengan
dengan
(4.3)
commit to user
20
dengan ; ; dan adalah
matriks .
Untuk mengestimasi parameter rata-rata yaitu , digunakan turunan
pertama dari fungsi log likelihood pada persamaan (4.3) terhadap parameter
yaitu
Misal adalah , dan adalah , maka persamaan (4.5) menjadi
Iterasi untuk estimasi parameter rata-rata adalah
dengan
(4.5)
commit to user
Persamaan (4.6) dapat ditulis ke dalam notasi matriks sebagai
dengan
di mana
dengan dan dan adalah matriks .
4.1.3 Pemilihan Model Terbaik
Menurut Winarno (2007) model heteroskedastisitas yang cocok dapat
dipilih berdasarkan nilai akaike info criterion (AIC) dan schwarz criterion (SC).
Dalam penelitian ini digunakan nilai AIC untuk pemilihan model
heteroskedastisitas terbaik, yang dirumuskan sebagai
dengan adalah jumlahan eror kuadrat, k adalah banyak parameter, n adalah
jumlah observasi. Model yang dipilih untuk meramalkan data adalah model
dengan AIC terkecil.
4.1.4 Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)
Model EWMA mengasumsikan bahwa bobot yang diberikan pada data
terkini lebih besar dibandingkan pada data lampau. Misalkan terdapat suatu data
runtun waktu selama waktu t sehingga dapat dicatat data sampai waktu ke (t-1)
yaitu Model EWMA dapat didefinisikan sebagai
dengan adalah konstan, , disebut decay factor. Karena
commit to user
22
Persamaan yang digunakan untuk menghitung estimasi dari variansi model
EWMA diperoleh dengan mengubah nilai x menjadi return kuadrat yaitu
(4.7)
Persamaan (4.7) dapat dituliskan kembali dalam bentuk rekursif, yang lebih
mudah digunakan dalam perhitungan, yaitu
Persamaan (4.8) menjelaskan bahwa estimasi volatilitas untuk hari ke-t, yang
dibentuk pada akhir hari ke t-1 dihitung dari estimasi volatilitas sebelumnya,
dan return hari sebelumnya Terdapat dua bagian pada sisi kanan persamaan
(4.8). Bagian yang pertama menunjukkan persistensy dari volatilitas, bila
volatilitas hari kemarin tinggi maka hari ini juga akan tetap tinggi. Bagian yang
kedua menunjukkan intensitas reaksi volatilitas terhadap kondisi
pasar. Semakin kecil semakin reaktif volatilitas terhadap informasi pasar
mengenai return kemarin.
Bobot pada persamaan (4.8) memiliki nilai yang menurun secara
eksponensial. Dengan substitusi ke dalam persamaan
(4.8) sehingga diperoleh
.
Dengan cara yang sama disubstitusikan ke dalam persamaan (4.9), sehingga
diperoleh
Secara umum estimasi variansi model EWMA dapat dituliskan
(4.8)
commit to user
Untuk nilai n yang besar, nilai dari semakin kecil dan dapat diabaikan. Hal
ini membuat persamaan (4.8) sama dengan persamaan (2.1) dengan nilai dari
. Sedangkan untuk menghitung peramalan volatilitas dilakukan
dengan mengakarkan persamaan (4.8) sehingga menjadi
dengan adalah peramalan volatilitas pada waktu t. Persamaan (4.10)
menjelaskan bahwa estimasi volatilitas untuk hari ke-t, , dihitung dari estimasi
volatilitas sebelumnya, dan return pada waktu ke-(t-1), .
RiskMetrics mengukur volatilitas menggunakan model EWMA yang
memberikan bobot terbesar untuk data terkini. Peramalan volatilitas dengan
pendekatan EWMA pada dasarnya adalah melakukan estimasi terhadap volatilitas
di masa yang akan datang, di mana data observasi terkini diberi bobot lebih besar
dibandingkan data lampau.
Dalam mengestimasi volatilitas, terdapat tiga hal penting yang muncul
(Fan et al., 2004).
1. Ketepatan dari estimasi: perhitungan dari tingkat toleransi
Karena bobot dari , mendekati 0 , estimasi dari
volatilitas dapat dihitung dengan mendekati pada batas sampel sepanjang
K. Dalam hal ini,ditetapkan tingkat toleransi ketika banyak sampel yang
digunakan adalah Kyaitu
dengan adalah decay factor, adalah tingkat toleransi ketika banyak
sampel yang digunakan adalah K dan K adalah banyaknya data yang
efektif digunakan. Pada tingkat toleransi , estimasi dari standar deviasi
adalah
commit to user
24
2. Banyaknya data yang efektif (K)
Banyaknya data yang efektif digunakan sangatlah penting dalam
melakukan peramalan volatilitas. Persamaan untuk menghitung nilai
yaitu
(4.11)
Persamaan (4.11) secara sistematis dapat diperoleh
Persamaan (4.11) menunjukkan bahwa semakin besar nilai decay factor
maka jumlah data yang dibutuhkan juga semakin banyak.
3. Menentukan decay factor
Model EWMA bergantung pada parameter dengan yang
disebut decay factor. Jika didefinisikan eror dari peramalan variansi
sebagai , ini berarti bahwa nilai harapan dari eror
peramalan adalah nol yaitu .
Berdasarkan hubungan ini nilai ditentukan denganmeminimumkan
rata-rata eror kuadratnya (root mean squared error). Menurut Morgan (1996:
98), decay factor optimum ditentukan dengan persamaan
commit to user
dengan n adalah jumlah observasi. Parameter pada model EWMA dapat
diduga dengan model RiskMetrics. Pada RiskMetricsTMTechnical
document diusulkan bahwa rata-rata untuk estimasi volatilitas
harian, sedangkan untuk estimasi bulanan.
4.2 Value at Risk (VaR) pada Analisis Keuangan
Pengukuran risiko merupakan hal yang sangat penting dalam analisis
keuangan mengingat hal ini berkaitan dengan investasi dengan dana yang cukup
besar dan berkaitan dengan dana publik. Salah satu aspek yang penting dalam
analisis risiko adalah perhitungan Value at Risk yang telah banyak digunakan
untuk mengidentifikasi risiko.
4.2.1 Pengertian VaR
Value at Risk merupakan sebuah konsep yang digunakan dalam
pengukuran risiko dalam riskmanagement yang didefinisikan sebagai estimasi
kerugian maksimum yang akan didapat selama periode waktu tertentu dalam
kondisi pasar normal pada tingkat kepercayaan tertentu (Tsay, 2002). Value at
Risk menjelaskan seberapa besar (dalam persen atau sejumlah uang tertentu)
investor dapat merugi selama waktu investasi T dengan tingkat kepercayaan
sebesar .
Distribusi return akan lebih baik diuraikan sebagai distribusi parametrik,
seperti distribusi normal. Hal ini sangat mempermudah analisis karena distribusi
dikarakteristikan semata-mata oleh dua parameter, rata-rata dan standar deviasi
Kuantil di sekitar rata-rata menjadi perkalian dari , menggunakan pengali
yang bergantung pada tingkat kepercayaan. Oleh sebab itu, VaR dapat
didefinisikan sebagai
Sebagai contoh, jika Z mempunyai distribusi normal dan tingkat kepercayaan
commit to user
26
diperoleh nilai . Jika diukur pada satuan nilai return, maka akan
dikalikan dengan nilai yang berlaku dari portofolio , memberikan VaR sebagai
dengan adalah estimasi volatilitas dan adalah nilai pada portofolio.
Bila distribusi data return tidak normal, maka dapat dikoreksi dengan
cornish fisher expansion yang menggunakan nilai kemencengan dari data
tersebut. Rumus untuk mendapatkan adalah
dengan adalah nilai kemencengan. Sehingga besarnya VaR dapat dihitung
sebagai
Model volatilitas merupakan komponen pembentuk dalam perhitungan
VaR. Oleh karena itu, sebelum melakukan perhitungan VaR terlebih dahulu
dilakukan pemodelan volatilitas. Pemodelan volatilitas yang digunakan adalah
model GARCH dan model EWMA karena pemodelan ini dapat menangkap gejala
heteroskedastisitas yang sering terjadi pada data keuangan seperti data saham.
4.2.2 Uji Normalitas
Untuk menguji apakah data return berdistribusi normal atau tidak
dilakukan uji normalitas menggunakan uji Jarque Bera (JB)
1. menentukan hipotesis
data return berdistribusi normal
data return tidak berdistribusi normal,
2. memilih tingkat signifikansi ,
3. menentukan daerah kritis
ditolak jika ,
4. menghitung statistik uji Jarque-Bera
(4.13)
commit to user
dengan n : jumlah observasi
k : banyaknya koefisien penduga
S : nilai kemencengan
K : nilai keruncingan
5. mengambil keputusan dan kesimpulan.
Jika , artinya tolak , atau data return tidak
berdistribusi normal. Jika artinya tidak ditolak
atau data return berdistribusi normal.
4.3 VaR Data Saham BRI
4.3.1 Deskripsi Data
Dalam penelitian ini digunakan data runtun waktu keuangan berupa data
harga saham penutupan dari Bank Rakyat Indonesia, Tbk. Data yang digunakan
sebanyak 1133 observasi yang merupakan data harga saham harian tanggal 6
Januari 2004 sampai 8 Mei 2008 yang berlangsung selama lima hari dalam
seminggu kecuali hari libur (http://finance.yahoo.com/q/pr?s=BBRI). Gambar 4.1
memperlihatkan harga saham BRI tidak stasioner dalam rata-rata dan variansi.
1000
250 500 750 1000
Gambar 4.1 Harga saham BRI periode 6 Januari 2004 sampai 8 Mei 2008
Selain dapat dilihat dari plot data, untuk menguji stasioneritas data, juga
dapat dilihat dari plot fungsi autokorelasi pada Gambar 4.2. Grafik autokorelasi
pada lag pertama berada di luar tingkat kepercayaan dan menurun secara perlahan
commit to user
Gambar 4.2 Fungsi autokorelasi data harga saham BRI
4.3.2 Log Return
Pemodelan runtun waktu keuangan lebih menitik beratkan pada perubahan
data dari waktu ke waktu. Pada dasarnya jika harga saham merupakan fungsi
waktu t, yang dinotasikan dengan
maka fluktuasi harga saham dapat didefinikan sebagai perubahan harga saham
terhadap waktu t yaitu
Dalam skripsi ini perubahan tersebut dinyatakan dalam bentuk log return yaitu
.
Plot log return dapat dilihat pada Gambar 4.3. Terlihat bahwa plot log return
saham BRI telah stasioner dalam rata-rata tetapi variansi tidak konstan.
commit to user
4.3.3 Pembentukan Model Stasioner
a. Identifikasi Model
Setelah diketahui bahwa data log return merupakan data stasioner dalam
rata-rata maka dicari model rata-rata bersyaratnya dahulu sebelum memodelkan
heteroskedastisitas dari data. Pemodelan rata-rata bersyarat untuk data yang
stasioner dapat menggunakan proses AR, MA atau ARMA. Identifikasi awal dalam
mencari model yang sesuai untuk data log return yang stasioner dapat dilihat dari
nilai fungsi autokorelasi dan autokorelasi parsial. Terlihat bahwa pada plot fungsi
autokorelasi terputus pada lag ke-1, 6, dan 7 dan pada plot autokorelasi parsial
terputus pada lag ke- 1, 2, dan 6. Sehingga memungkinkan terjadi proses AR(1),
AR(2), AR(6), MA(1), MA(6), MA(7), ARMA(1,1), ARMA(1,6), ARMA(1,7),
Gambar 4.4Fungsi autokorelasi log returnBRI
75
commit to user
30
b. Estimasi Parameter Model
Model yang memenuhi uji signifikansi model diantaranya adalah model
AR(1) tanpa konstanta, MA(1) tanpa konstanta, ARMA(1,1) tanpa konstanta,
ARMA(2,1) tanpa konstanta, dan ARMA(2,1) dengan konstanta. Namun
ARMA(2,1) dengan konstanta memberikan nilai AIC dan SSE yang terkecil,
sehingga model rata-rata bersyarat yang selanjutnya digunakan adalah model
ARMA(2,1) dengan konstanta. Hasil uji statistik proses ARMA(2,1) dengan
konstanta dapat dilihat pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Hasil estimasi model ARMA(2,1) dengan konstanta data log return
Variabel Koefisien Standar deviasi t-statistik Probabilitas
c 0,001207 0,000612 1,973340 0,0487
0,841856 0,101742 8,274440 0,0000
-0,092038 0,029790 -3,089554 0,0021
-0,795503 0,098135 -8,106181 0,0000
Berdasarkan Tabel 4.1 probabilitas dari ARMA(2,1) lebih kecil dari tingkat
toleransi sebesar 0,05, sehingga dapat disimpulkan bahwa ARMA(2,1) signifikan
berbeda dengan nol. Jadi, model rata-rata bersyarat terbaik untuk data log return
BRI adalah ARMA(2,1), yaitu
. Dengan
adalah data log return saat periode ke-t dan adalah eror yang dihasilkan oleh
model.
c. Pemeriksaan Diagnostik Model ARMA(2,1)
ModelARMA(2,1) yang telah diperoleh akan diperiksa lebih lanjut melalui
eror yang dihasilkan. Model ARMA(2,1) diperiksa tingkat kesesuaiannya di dalam
memodelkan rata-rata bersyarat dari data log return. Pemeriksaan eror model
ARMA(2,1) antara lain uji autokorelasi eror dan homoskedastisitas eror.
Model rata-rata bersyarat dikatakan baik jika eror yang dihasilkan tidak
memiliki autokorelasi. Uji autokorelasi pada eror model ARMA(2,1) dilakukan
menggunakan uji statistik Breusch-Godfrey (uji korelasi serial Lagrange
commit to user
tidak terdapat autokorelasi di dalam eror model ARMA(2,1)
terdapat autokorelasi di dalam eror model ARMA(2,1).
Uji Breusch-Godfrey eror model ARMA(2,1) dari lag-1 sampai lag-10 diberikan
pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2 Uji breusch-godfrey eror ARMA(2,1)
Koefisien Probabilitas
Uji Breusch-Godfrey 0,301325
C 5,68E-05 0,9260
AR(1) -0,095758 0,9019
MA(1) -0,090995 0,8726
Eror pada lag-1 0,098282 0,6080 Eror pada lag-2 -0,004784 0,9944 Eror pada lag-3 0,087909 0,4947 Eror pada lag-4 0,119004 0,3234 Eror pada lag-5 0,050422 0,6111 Eror pada lag-6 0,050563 0,5213 Eror pada lag-7 -0,053839 0,4066 Eror pada lag-8 -0,020799 0,7023 Eror pada lag-9 -0,005380 0,9097 Eror pada lag-10 0,016208 0,6994
Dari Tabel 4.2 dapat disimpulkan bahwa untuk lag-1 sampai lag-10
menunjukkan nilai probabilitas eror ARMA(2,1) lebih besar dari nilai .
Berarti tidak terdapat autokorelasi di dalam eror model ARMA(2,1). Selain itu
nilai probabilitas eror ARMA(2,1) dalam uji Breusch-Godfrey adalah 0,301325
lebih besar dari . Sehingga tidak ditolak yang berarti juga tidak
terdapat autokorelasi di dalam eror model rata-rata bersyarat. Oleh karena itu
model ARMA(2,1) cukup baik digunakan dalam pemodelan mean data log return
saham BRI.Tbk.
Setelah melalui pemodelan rata-rata bersyarat, homoskedastisitas dari eror
yang dihasilkan perlu untuk dilihat. Homoskedastisitas dari eror model
ARMA(2,1) dapat dilihat melalui plot eror yang terdapat pada Gambar 4.6. Plot
memperlihatkan adanya variansi yang tinggi pada beberapa periode dan variansi
commit to user
32
karena itu, dimungkinkan eror ARMA(2,1) tidak memiliki kesamaan variansi
karena ada efek heteroskedastisitas di dalamnya.
Gambar 4.6 Eror model ARMA(2,1) d. Uji Efek Heteroskedastisitas
Eror model ARMA(2,1) perlu diuji efek heteroskedastisitas. Uji efek
heteroskedastisitas pada model ARMA(2,1) meliputi uji autokorelasi eror dan eror
kuadratnya. Heteroskedastisitas pada suatu model akan teridentifikasi jika eror
model tersebut tidak memiliki autokorelasi dan memiliki autokorelasi pada
kuadrat eror model tersebut. Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa eror model
ARMA(2,1) tidak memiliki autokorelasi. Autokorelasi pada kuadrat eror model
ARMA(2,1) dapat dilihat dari nilai fungsi autokorelasi dan autokorelasi parsial
kuadrat eror. Plot fungsi autokorelasi dan autokorelasi parsial dari kuadrat eror
model ARMA(2,1) pada Gambar 4.7 dan Gambar 4.8 memperlihatkan nilai
autokorelasi pada lag 1 dan lag 2 dan autokorelasi parsial pada lag 1 berbeda
signifikan dari nol yang berarti kuadrat eror model ARMA(2,1) memiliki
autokorelasi. Adanya autokorelasi pada kuadrat eror model ARMA(2,1)
mengindikasikan adanya efek heteroskedastisitas pada eror model ARMA(2,1). residu ke‐
-.12 -.08 -.04 .00 .04 .08 .12
commit to user
Gambar 4.7 Fungsi autokorelasi kuadrat eror model ARMA(2,1)
7 5
Gambar 4.8 Fungsi autokorelasi parsial kuadrat eror model ARMA(2,1)
Adanya efek heteroskedastisitas juga dapat diperiksa melalui uji efek
ARCH menggunakan uji Lagrange Multiplier. Uji dilakukan pada eror model
ARMA(2,1) untuk melihat apakah ada efek ARCH sampai dengan lag-5. Uji
hipotesis dari uji Lagrange Multiplier ARCH sampai lag-5 adalah
(tidak ada efek ARCH sampai lag-5).
paling sedikit terdapat satu (terdapat efek
ARCH, paling tidak pada sebuah lag).
Statistik uji Lagrange Multiplier sampai lag-5 menghasilkan nilai probabilitas
0,000000 yang lebih kecil dari tingkat signifikansi , yang berakibat
ditolak. Jadi terdapat efek ARCH pada eror model ARMA(2,1). Hasil uji
commit to user
34
4.3.4 Pembentukan Model Heteroskedastisitas
Berdasarkan signifikansi parameter model maka model ARCH dan
GARCH yang dapat digunakan untuk memodelkan eror model ARMA(2,1) adalah
model ARCH(1), ARCH(2), GARCH(1,1), GARCH(1,3), GARCH(2,3) dan
GARCH(3,3).
Tabel 4.3 Hasil estimasi model ARCH dan GARCH
Model
Model heteroskedastisitas dari eror ARMA(2,1) terbaik dipilih berdasarkan nilai
AIC dan SSE. Model yang dipilih adalah model yang memiliki nilai AIC dan SSE
terkecil, yaitu model GARCH(3,3). Langkah selanjutnya adalah mengestimasi
parameter rata-rata bersyarat dan heteroskedastisitas bersyarat secara
bersama-sama. Hasil uji signifikansi model ARMA(2,1)-GARCH(3,3) tidak semua
parameter memenuhi uji signifikansi model. Oleh karena itu, dipilih model
heteroskedastisitas selanjutnya yaitu GARCH(1,3). Namun hasil estimasi model
bersama ARMA(2,1)-GARCH(1,3) juga tidak memenuhi uji signifikansi model.
Selanjutnya dipilih model GARCH(2,3) yang setelah diestimasi bersama model
rata-rata bersyaratnya juga tidak semua parameternya signifikan. Pemilihan model
bersyarat selanjutnya yaitu pada model GARCH(1,1), yang ternyata setelah diuji
commit to user
ARMA(2,1) digunakan model GARCH(1,1). Model GARCH(1,1) yang diperoleh
adalah
Hasil estimasi parameter rata-rata bersyarat dan heteroskedastisitas bersyarat
secara bersama-sama dapat dilihat pada Tabel 4.4. Sedangkan hasil estimasi
model bersama ARMA(2,1)-GARCH(1,1) selengkapnya dapat dilihat pada
Lampiran 2.
Tabel 4.4 Hasil estimasi model rata-rata bersyarat dan heteroskedastisitas
bersyarat secara bersama
Variabel Koefisien Standar Deviasi Probabilitas
C 0,001722 0,000555 0,0019
0,922990 0,075059 0,0000
-0,068249 0,031043 0,0279
-0,889760 0,068241 0,0000
0,0000179 0,00000679 0,0084
0,056007 0,012727 0,0000
0,915168 0,019307 0,0000
Model untuk log return dengan asumsi heteroskedastisitas bersyarat di
dalam eror rata-rata bersyarat adalah
dengan adalah eror model rata-rata bersyarat. Sedangkan persamaan
heteroskedastisitas bersyaratnya adalah
4.3.5 Pemeriksaan Diagnostik Model GARCH (1,1)
a. Uji Efek ARCHLagrange Multiplier dalam Eror
Pemeriksaan diagnostik dilakukan untuk melihat apakah model yang
terbentuk telah cukup baik dalam memodelkan data. Untuk melihat apakah masih
terdapat efek ARCH dalam eror digunakan tes ARCH-LM. Uji dilakukan untuk
melihat apakah masih ada efek heteroskedastisitas sampai dengan lag-10. Uji
hipotesis dari uji Lagrange Multiplier sampai lag-10 adalah
(tidak ada efek ARCH sampai lag-10).
commit to user
36
paling sedikit terdapat satu (terdapat efek
ARCH, paling tidak pada sebuah lag).
Statistik uji Lagrange Multiplier sampai lag-10 menghasilkan nilai probabilitas
0,234111yang lebih besar dari tingkat signifikansi , sehingga tidak
ditolak. Jadi sudah tidak terdapat efek ARCH di dalam eror terstandar model
GARCH(1,1) dengan model ARMA(2,1) pada rata-rata bersyaratnya. Hasil uji
Lagrange Multiplier selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 3.
b. Distribusi Eror
Bentuk distribusi dari eror terstandar dapat dilihat dari nilai kemencengan dan
keruncingannya. Nilai kemencengan eror terstandar sebesar 0,099446. Nilai
tersebut mendekati nol, maka dapat dikatakan bahwa eror terstandar memiliki
distribusi yang simetris. Nilai keruncingan eror terstandar sebesar 3,805048
signifikan lebih besar dari 3 yang berarti eror terstandar memiliki distribusi
dengan ekor yang lebih pendek dari distribusi normal yang menyebabkan
distribusinya berbentuk leptokurtik. Hal tersebut merupakan efek dari
heteroskedastisitas bersyarat dalam data yang dimodelkan menggunakan model
GARCH, yang cenderung menghasilkan distribusi dengan ekor yang lebih pendek
dari distribusi normal.
4.3.6 Peramalan Volatilitas dengan Model GARCH
Ramalan variansi log return dari waktu t menggunakan persamaan (4.15).
Ramalan variansi satu langkah ke depan adalah
.
Peramalan volatilitas return satu periode ke depan didapatkan dengan
mengakarkan hasil dari ramalan variansinya. Nilai peramalan variansi satu
periode ke depan yang diperoleh sebesar 0,001287 dan ramalan volatilitasnya
sebesar 0,03587.
commit to user
Sebelum melakukan peramalan volatilitas dengan model EWMA, terlebih
dahulu dicari decay factor optimum. Decay factor optimum ialah nilai yang
menghasilkan nilai root mean square error terkecil. Dengan memasukkan nilai
yang berbeda (trial and error) ke dalam persamaan (4.12), diperoleh bahwa nilai
RMSE terkecil sebesar 0,001125294 dihasilkan oleh . Tabel 4.5
memperlihatkan nilai RMSE untuk yang berbeda-beda.
Tabel 4.5 Nilai RMSE dengan nilai 0,90-0,99
RMSE
0,90 0,001131841 0,91 0,001129980 0,92 0,001128311 0,93 0,001126900 0,94 0,001125843
0,95 0,001125294
0,96 0,001125508 0,97 0,001126933 0,98 0,001130465 0,99 0,001138248
Dengan demikian decay factor yang digunakan untuk menghitung
besarnya peramalan variansi satu periode ke depan ialah . Dengan
menggunakan , besarnya peramalan variansi satu periode ke depan
diperoleh sebesar 0,001585491. Sehingga besarnya peramalan volatilitas satu
periode ke depan diperoleh dengan mengakarkan variansi yang didapat yaitu
sebesar 0,03982. Perhitungan peramalan variansi dengan model EWMA
menggunakan dapat dilihat pada Lampiran 4.
4.3.8 Perhitungan VaR
Hasil ramalan volatilitas yang telah diperoleh kemudian akan digunakan
untuk menghitung besarnya nilai VaR. Namun sebelumnya perlu dilakukan uji
normalitas data return yaitu untuk mengetahui apakah data return saham BRI
commit to user
38
BRI tampak pada Gambar 4.9. Dari Gambar 4.9 tampak bahwa dara return tidak
berdistribusi normal. Oleh karena itu, untuk lebih jelasnya dilakukan uji
kenormalan. Pengujian normalitas dilakukan menggunakan uji Jarque-Bera.
Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai Jarque-Bera untuk data return
sebesar 70,52562. Nilai ini lebih besar dari nilai sebesar
5,99, artinya data return tidak berdistribusi normal.
Gambar 4.9 Histogram data return
Karena data return tidak mempunyai distribusi normal maka yang akan
digunakan untuk perhitungan VaR harus dikoreksi dengan cornish fisher
expansion . Tabel 4.6 memperlihatkan hasil perhitungan dengan cornish
fisher expansion untuk empat nilai tingkat kepercayaan.
Tabel 4.6 Hasil perhitungan cornish fisher expansion
No Tingkat
kepercayaan
Nilai Nilai
Kemencengan
1. 90% 1,282 0,185607 1,262
2. 95% 1,645 0,185607 1,592
3. 99% 2,326 0,185607 2,190
4. 99,5% 2,576 0,185607 2,402
Selanjutnya dihitung besarnya VaR jika diasumsikan dana yang
dialokasikan sebesar Rp 100.000.000,00 untuk investasi pada saham BRI, Tbk.
Perhitungan besarnya VaR menggunakan persamaan pada (4.14).
Hasil perhitungan VaR dengan estimasi volatilitas model GARCH dengan
beberapa tingkat kepercayaan yang berbeda disajikan pada Tabel 4.7.
commit to user
Tingkat kepercayaan
Ramalan
Volatilitas VaR VaR dalam Rp 90% 1,262 0,03587 0,04526794 4.526.794 95% 1,592 0,03587 0,05710504 5.710.504 99% 2,190 0,03587 0,07855530 7.855.530 99,50% 2,402 0,03587 0,08615974 8.615.974
Dengan menggunakan tingkat kepercayaan 95% berarti terdapat 5% peluang
terjadinya kerugian yang melebihi Rp 5.710.504,00 selama 24 jam ke depan jika
dana yang diinvestasikan sebesar Rp 100.000.000,00. Sedangkan perhitungan VaR
dengan estimasi volatilitas EWMA dapat dilihat pada Tabel 4.8.
Tabel 4.8 Hasil perhitungan VaR model EWMA
Tingkat kepercayaan
Ramalan
Volatilitas VaR VaR dalam Rp 90% 1,262 0,03982 0,05025284 5.025.284 95% 1,592 0,03982 0,06339344 6.339.344 99% 2,190 0,03982 0,08720580 8.720.580 99,50% 2,402 0,03982 0,09564764 9.564.764
Dengan menggunakan tingkat kepercayaan sebesar 95% berarti terdapat 5%
peluang terjadinya kerugian yang melebihi Rp 6.339.344,00 selama 24 jam ke
depan jika dana yang diinvestasikan sebesar Rp 100.000.000,00.
Pada kedua estimasi volatilitas yang digunakan yaitu baik model GARCH
maupun EWMA terlihat bahwa semakin besar nilai tingkat kepercayaan yang
digunakan, maka semakin besar pula nilai VaR yang dihasilkan. Sedangkan nilai
VaR dengan estimasi volatilitas EWMA lebih besar jika dibandingkan nilai VaR
commit to user
commit to user
40
BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasanyang telah dilakukan,dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut.
1. Pada pemodelan data runtun waktu menggunakan model GARCH, terlebih
dahulu dilakukan pemodelan pada rata-rata bersyaratnya. Eror pada model
rata-rata bersyarat harus sudah tidak memiliki autokorelasi. Sedangkan
untuk model bersama sudah tidak terdapat efek heteroskedastisitas dalam
eror terstandarnya. Sementara pada pemodelan data runtun waktu model
EWMA bergantung pada parameter , nilai ini diperoleh dengan
meminimalkan RMSE.
2. Pada kasus data harga saham BRI, pemodelan GARCH terbaik yang
diperoleh adalah model GARCH(1,1) dengan ARMA(2,1) sebagai model
rata-rata bersyaratnya. Sedangkan EWMA terbaik diperoleh dengan nilai
. Pada tingkat kepercayaan 95%, nilai VaR dengan estimasi
volatilitas EWMA lebih besar jika dibandingkan dengan model GARCH.
5.2 Saran
Dalam pembahasan ini data saham yang digunakan hanya terdiri dari satu
saham. Kenyataannya investor seringkali mempunyai investasi lebih dari satu
saham. Untuk selanjutnya perhitungan nilai VaR dengan model GARCH dan
commit to user
41
DAFTAR PUSTAKA
Bollerslev, T. 1986. Generalized Autoregressive Conditional Heretoskedasticity, Journal of Econometrics, 31:307-327
Cryer, J.D. 1986. Time Series Analysis. PWS Publisher Duxbury Press, Boston.
Engle, R. F. 1982. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of The Variance of United Kingdom Inflation. Econometrica, 50: 987-1008
Eviews 4 User’s Guide. (2001). Irvine. CA : Quantitative Micro Software.
Fan, Y., Wei, Y., and Xu, W. 2004. Application of VaR Methodology to Risk Management in The Stock Market in China. Computers & Industrial Engineering, 46:383-388
Halim, A. 2003. Analisis Investasi. Salemba Empat, Jakarta
Harper, D. 2007. Exploring The Exponentially Weighted Moving Average. Investopedia. URL
Morgan, J.P.Global Research. 1996. RiskMetrics TM Technical Document, 4 th Edition, URL
Pankratz, A. 1983. Forecasting With Univariate Box-Jenkins Models: Concepts and Case. John Wiley & Sons. New York.
Saham BRI (http://finance.yahoo.com/q/pr?s=BBRI).
Tsay, R. S. 2002. Analysis of Financial Time Series. John Wiley & Sons, Inc., Canada
Wei, W.W.S. 1994. Time Series Analysis, Univariate and Multivariate Methods, Addison Wesley Publishing Company, California
commit to user
42
LAMPIRAN 1
Output Uji Lagrange Multiplier Residu Model ARMA(2,1)
ARCH Test:
F-statistic 9.055981 Probability 0.000000 Obs*R-squared 43.75227 Probability 0.000000
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 04/22/12 Time: 14:11 Sample(adjusted): 8 1132
Included observations: 1125 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.000422 4.83E-05 8.735161 0.0000
RESID^2(-1) 0.116479 0.029609 3.933856 0.0001 RESID^2(-2) 0.033988 0.029806 1.140298 0.2544 RESID^2(-3) 0.006897 0.029843 0.231126 0.8173 RESID^2(-4) 0.019527 0.029800 0.655254 0.5124 RESID^2(-5) 0.145816 0.030693 4.750839 0.0000 R-squared 0.038891 Mean dependent var 0.000621 Adjusted R-squared 0.034596 S.D. dependent var 0.001105 S.E. of regression 0.001085 Akaike info criterion -10.80833 Sum squared resid 0.001318 Schwarz criterion -10.78153 Log likelihood 6085.687 F-statistic 9.055981 Durbin-Watson stat 2.023143 Prob(F-statistic) 0.000000
commit to user
43
LAMPIRAN 2
Output Model Rata-rata Bersyarat ARMA(2,1) dan Heteroskedastisitas Bersyarat GARCH(1,1) yang Diestimasi secara Bersama
Dependent Variable: LOG_RETURN Method: ML - ARCH (BHHH) Date: 04/19/12 Time: 07:13 Sample(adjusted): 3 1132
Included observations: 1130 after adjusting endpoints Convergence achieved after 14 iterations
MA backcast: 2, Variance backcast: ON
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 0.001722 0.000555 3.101693 0.0019
AR(1) 0.922990 0.075059 12.29687 0.0000 AR(2) -0.068249 0.031043 -2.198570 0.0279 MA(1) -0.889760 0.068241 -13.03855 0.0000
Variance Equation
C 1.79E-05 6.79E-06 2.636873 0.0084
ARCH(1) 0.056007 0.012727 4.400620 0.0000 GARCH(1) 0.915168 0.019307 47.40001 0.0000 R-squared 0.011596 Mean dependent var 0.001324 Adjusted R-squared 0.006315 S.D. dependent var 0.025169 S.E. of regression 0.025090 Akaike info criterion -4.589922 Sum squared resid 0.706927 Schwarz criterion -4.558763 Log likelihood 2600.306 F-statistic 2.195865 Durbin-Watson stat 1.970153 Prob(F-statistic) 0.041142 Inverted AR Roots .84 .08
Inverted MA Roots .89
commit to user
44
LAMPIRAN 3
Output Uji Lagrange Multiplier untuk Residu Model GARCH(1,1) dengan Model ARMA(2,1) pada Rata-rata Bersyaratnya
ARCH Test:
F-statistic 1.283757 Probability 0.234502 Obs*R-squared 12.81654 Probability 0.234111
Test Equation:
Dependent Variable: STD_RESID^2 Method: Least Squares
Date: 04/19/12 Time: 07:24 Sample(adjusted): 13 1132
Included observations: 1120 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 1.049380 0.107032 9.804339 0.0000
STD_RESID^2(-1) 0.051248 0.030028 1.706713 0.0882 STD_RESID^2(-2) -0.023523 0.030036 -0.783180 0.4337 STD_RESID^2(-3) -0.027686 0.030045 -0.921486 0.3570 STD_RESID^2(-4) -0.018642 0.030018 -0.621021 0.5347 STD_RESID^2(-5) 0.051086 0.030689 1.664633 0.0963 STD_RESID^2(-6) 0.009645 0.030690 0.314282 0.7534 STD_RESID^2(-7) -0.045841 0.030688 -1.493755 0.1355 STD_RESID^2(-8) -0.001601 0.030706 -0.052143 0.9584 STD_RESID^2(-9) -0.047250 0.030699 -1.539128 0.1241 STD_RESID^2(-10) 0.004802 0.030691 0.156479 0.8757 R-squared 0.011443 Mean dependent var 1.001976 Adjusted R-squared 0.002529 S.D. dependent var 1.677704 S.E. of regression 1.675581 Akaike info criterion 3.879970 Sum squared resid 3113.598 Schwarz criterion 3.929284 Log likelihood -2161.783 F-statistic 1.283757 Durbin-Watson stat 2.000999 Prob(F-statistic) 0.234502
