Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)

(1)

INTEGRASI NUMERIK

 _{Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu}

integral dan turunan(derivative)

 _{Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang}

(2)

INTEGRASI NUMERIK

 _{Fungsi yang dapat dihitung integralnya :}

 _{Fungsi yang rumit misal :}

C x x x dx x C x dx x C b a a dx b ax C b a a dx b ax C a e dx e C n ax dx ax ax ax n n                   



 | | ln | | ln | | ln 1 ) sin( 1 ) cos( ) cos( 1 ) sin( 1 1 dx e x

x ₀_.₅_x

(3)

INTEGRASI NUMERIK

 _{Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang}

digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

 _{digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi}

oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

 _{Penerapan integral : menghitung luas dan}

(4)

Dasar Pengintegralan Numerik

 _{Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi}

) ( ...

) ( )

(

) ( )

(

1 1

0 0

0

n n

i n

i

i b

a

x f c x

f c x

f c

x f c dx

x f

 

 









x₀ x₁ x_n-1 x_n x

(5)

0 2 4 6 8 10 12

3 5 7 9 11 13 15

Dasar Pengintegralan Numerik

 _{Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal}

belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

 _{Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati}

(6)

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dx

x

f

dx

x

f

I

b

a n

b

a







(

)

(

)



Nilai hampiran

f(x)

dengan polinomial

n n

1 n 1

n 1

0

n

x

a

x

a

x

a

x

f

(

)









_ 



(7)



f

_n

(

x

)

bisa fungsi linear

(8)



f

_n

(

x

)

bisa juga fungsi kubik atau

(9)

(10)

INTEGRASI NUMERIK

 _{Luas daerah yang diarsir L}

dapat dihitung dengan :

 _{L =}

 



b

a

(11)

Metode Integral Reimann

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

(12)

Metode Integral Reimann

 _{Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x}

 _{Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]}

 _{Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana}

(13)

Metode Integral Reimann

 _{Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :}

 _Dimana  _Didapat

 

_i

n

i

n n

x x

f

x x

f x

x f x

x f

L L

L

 

 

 



 





0

3 2

2 1

1 0

0

2 1

0

... ..

 



 





n

i

i b

a

x

f

h

dx

x

f

0

h x

x x

x        _n 

(14)

Contoh

 _{Hitung luas yang dibatasi y = x}2_{dan sumbu x untuk}

range x = [0,1]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x**2



1

0

2

dx x

(15)

Contoh

 _{Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :}

 _{Secara kalkulus :}

 _{Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333}

= 0,052





 

0.1 3,85



0,385

00 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0

) ( .

10 0

 

 







i

x f h

L

... 3333 ,

0 |

3

1 ₁

0 3 1

0

2 _ _

(16)

Algoritma Metode Integral Reimann:

 _{Definisikan fungsi f(x)}

 _{Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi}

 _{Tentukan jumlah pembagi area N}

 _{Hitung h=(b-a)/N}

 _Hitung





N

i

x

f

h

L

0

)

(

(17)

Metode Integrasi Trapezoida

 _{Aproksimasi garis lurus (linier)}



( ) ( )



) (

1 0

1 1

0 0

i 1

0 i

i b

a

x f x

f 2 h

x f c x

f c x

f c dx

x f

 









x₀ x₁ x

f(x)

(18)

Aturan Komposisi Trapesium

       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n 1 n i 1 0 n 1 n 2 1 1 0 x x x x x x b a x f x f 2 x 2f x f 2 x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h dx x f dx x f dx x f dx x f n 1 n 2 1 1 0                    



_     

x₀ x₁ x

f(x)

x₂

h h h x₃ h x₄

n a b

(19)

Metode Integrasi Trapezoida

   

 

 







 n

n

i

i f

f f

h L

1

0 2

2

   







_i _i



_i

i

i i

x f

f L

atau

x x

f x

f L

 



 





. 2

1

. 2

1







1

0



i

L







_n _n



n

i

i f f f f f

h f

f h

L        _ 



 



0 1 2 1

1

0

1 2 2 ... 2

2 2

(20)

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida

 _{Definisikan y=f(x)}

 _{Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)}

 _{Tentukan jumlah pembagi n}

 _{Hitung h=(b-a)/n}

 _Hitung





















 n

n

i

f

h

L

1

0

2

(21)

Aturan Simpson 1/3

 _{Aproksimasi dengan fungsi parabola}



( ) ( ) ( )



) ( )

( )

(

2 1

0

2 2

1 1

0 0

i 2

0 i

i b

a

x f x

f 4 x

f 3 h

x f c x

f c x

f c dx

x f

 



 

 







x₀ x₁ x

f(x)

x₂

h h

(22)

                                       1 x x 0 x x 1 x x h dx d h x x 2 a b h 2 b a x b x a x let x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x L 2 1 0 1 1 2 0 2 1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 2 0 1 0 2 1      , , , , ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ₀ 2 ₁ f x₂

2 1 x f 1 x f 2 1

L           

(23)

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ₀ 2 ₁ f x₂

2 1 x f 1 x f 2 1

L           

1 1 2 3 2 1 1 3 1 1 1 2 3 0 1 1 2 1 0 2 1 1 1 0 1 1 ) 2 3 ( 2 ) ( ) 3 ( ) ( ) 2 3 ( 2 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( ) (                   



ξ ξ h x f ξ ξ h x f ξ ξ h x f dξ ξ ξ h x f dξ ξ ( h x f dξ ξ ξ h x f dξ L h dx x f b a 



(

)

(

)

(

)



)

(

₀ ₁ ₂

b

a

3

f

x

4

f

x

f

x

h

dx

x

f







(24)

Aturan Komposisi Simpson

x₀ x₂ x

f(x)

x₄

h h h x_n-2 x_n

n a b

h  

…...

h x₃

(25)

Metode Integrasi Simpson

 _{Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah}

yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

 _{atau dapat dituliskan dengan:}



f f

 

h f f

 

h f f

 

h f f



h



f_n f_n

 

h f_n f_n



h

L  ₀  ₁  ₁  ₂  ₂  ₃  ₃  ₄   _₂  _₁  2 _₁ 

3 2

3 ... 2

3 2

3

    

  

 



   _n

genap i

i ganjil

i

i f f

f f

h

L ₀ 4 2

3

N = 0 – n

(26)

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

 _{Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang}

melalui ketiga titik tsb

0 2 2

0 0

0 2

2 0

0 2

! 2

) (

) ( !

2

) (

) ( )

( f

h h x x f

h x f

x f h

h x x x

f h x x

f x

(27)

Cara II

 _{Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]}

(28)

Cara II

 _Mengingat

 _{Maka selanjutnya}

0 1

0 f f

f  

 ) 4 ( 3 3 3 4 3 3 3 2 3 2 2 2 ) 2 ( 3 ) ( 2 2 2 1 0 2 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 f f f h L f h f h f h L f h f h f h hf hf x hf L f f f h f f h x hf L                   0 1 2 0 1 1 2 0 1 0 2

2

)

(

)

(

f



















(29)

Aturan Simpson 3/8

 _{Aproksimasi dengan fungsi kubik}



( ) ( ) ( ) ( )



) ( )

( )

(

3 2

1 0

3 3

2 2

1 1

0 0

i 3

0 i

i b

a

x f x

f 3 x

f 8

h 3

x f c x

f c x

f c dx

x f

 

 

 

 









x₀ x₁ x

f(x)

x₂

h h

L(x)

(30)

) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( 3 2 3 1 3 0 3 2 1 0 2 3 2 1 2 0 2 3 1 0 1 3 1 2 1 0 1 3 2 0 0 3 0 2 0 1 0 3 2 1 x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x L                            



( ₀ ) ( ₁) ( ₂ ) ( ₃ )



b a b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 3 a b h ; L(x)dx f(x)dx       



 Error Pemenggalan

3 a b h ; f 6480 a b f h 80 3 E 4 5 4 5 t        ( )( ) ( ) ( )( )

(31)

Metode Integrasi Gauss

 _{Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson)}

berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :

 _{H sama}

 _{Luas dihitung dari a sampai b}

(32)

 _{Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]}

 _{Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)}

 _{Misal x}₁_{=-1, x}₂_{=1 dan c}₁_=c₂₌₁_{menjadi m. trapezoida}

 _{Karena x}₁_{, x}_2,_,c₁_{dan c}₂_{sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga}

error integrasinya min





2

) 1 ( )

1 ( )

1 ( 2 )

(

1 1



 

 

 







h

f f

h dx x f I

) ( )

( )

( ₁ ₁ ₂ ₂

1

x f c x

f c dx x f

I 



 

(33)

Metode Integrasi Gauss

 _{Bagaimana mencari}x₁, x_2,,c₁dan c₂Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi

secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

 _{f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x}2_{; f(x) = x}3

) ( )

( )

( ₁ ₁ ₂ ₂

1 1 x f c x f c dx x f

I 



 

(34)

 _{Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2}

titik

) 3

1 ( )

3 1 ( )

(

1

 







f f

(35)

Transformasi

 _{Range [a,b]}_[-1,1]

 _X_{u f(x)}_{g(u) dx}_du





b

a

i

f

x

dx

L

(

)







1

)

(

u

du

g

(36)

Transformasi

du a

b dx

u a b

b a

x

au bu

b a

x

a a

b u

x

a b

u a

x

u a

b

a x

   



  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

) (

2

2 )

)( 1 (

2

) )(

1 (

2 2

2 1

a x _b

(37)

Transformasi

du u a b b

a f

a b du

u

g



 

   



    

 1

1 1

1 2

) (

2 1 )

(



( ) ( )



) (

2 1 )

(u b a f ₂1 b a u ₂1 b a

g     







1

)

(

u

du

g

(38)

Analisa

 _{Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida,}

Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih

sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

 _{Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.}  _{Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu}

menjadi





1

(39)

Tugas

 _{Carilah perintah dalam bahasa matlab untuk Integrasi}