Sistem aksioma yang mengkaitkan unsur-unsur tak terdefinisi itu

I. GEOMETRI INSIDENSI A. PENGERTIAN

Dalam cabang ilmu matematika, terdapat beberapa kelompok geometri. Setiap geometri mengandung:

1. Unsur-unsur tak terdefinisi (primitive terms)

2. Sistem aksioma yang mengkaitkan unsur-unsur tak terdefinisi itu 3. Definisi-definisi

4. Teorema –teorema yang dapat dijabarkan dari butir-butir (1), (2), dan (3) diatas Salah satu dari kelompok geometri tersebut adalah geometri insidensi. Geometri insidensi merupakan geometri yang berisi pembentukan sistem aksioma dan sifat-sifat yang mendasari geometri tersebut.

Geometri Insidensi ini dapat dikatakan mendasari geometri Euclides yang kita kenal semua. Menurut David Hilbert, Geometri Euclides didasarkan pada 5 kelompok

aksioma yaitu:

I. Kelompok aksioma insidensi II. Kelompok aksioma urutan III. Kelompok aksioma kongruensi IV. Aksioma kekontinuan

V. Aksioma kesejajaran Euclides

B. PEMBENTUKAN GEOMETRI INSIDENSI

Untuk membangun sebuah geometri diperlukan unsur-unsur tak terdefinisi. Unsur-unsur tak terdefinisi ini antara lain:

a. Titik

b. Himpunan titik-titik yang dinamakan garis c. Himpunan titik-titik yang dinamakan bidang

Jadi ada 3 unsur tak terdefinisi yaitu: titik, garis dan bidang. Ketiga unsur ini dikaitkan satu sama lain dengan sebuah sistem aksioma yaitu sistem aksioma insidensi.

I.1 Garis adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit dua titik

I.2 Dua titik yang berlainan termuat tepat dalam satu garis

I.3 Bidang adalah himpuan titik-titik yang mengandung paling sedikit tiga titik yang tidak terkandung dalam satu garis ( tiga titik tak segaris)

I.4 Tiga titik yang berlainan yang tak segaris terkandung dalam satu dan tidak lebih dari satu bidang

I.5 Apabila sebuah bidang memuat dua titik berlainan dari sebuah garis, bidang itu akan memuat setiap titik pada garis tersebut ( garis terletek pada bidang)

I.6 Apabila dua bidang bersekutu pada sebuah titik maka kedua bidang itu akan

bersekutu pada titik kedua yang lain

Definisi:

Sebuah himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan bidang yang memenuhi sistem aksioma 1 sampai dengan 6 disebut geometri insidensi.

Teorema teorema dalam geometri insidensi: Teorema 1

Dua garis yang berbeda bersekutu atau berimpit pada paling banyak satu titik.

Bukti:

 Misalkan garis itu l dan m;

 Jika l dan m berpotongan maka terdapat minimal satu titik potong, sebut P. (Menurut definisi);

 Andaikan Q titik potong lain dari l dan m, maka terdapat garis PQ yang melalui P dan Q;

 Kondisi pada gambar di atas kontradiksi dengan aksioma I.1.

Terbukti l dan m berpotongan pada tepat satu titik.

Definisi:

Sebuah garis yang memuat titik A dan titik B yang terletak pada ujung lain disebut garis AB.

Teorema 2

Apabila titik A tidak pada garis BC maka titik A, titik B, titik C berlainan dan tidak kolinear.

Bukti.

(i) Akan dibuktikan A,B, dan C berlainan.

 Terdapat titik A dan garis BC. B ∈ BC, C ∈ BC dan A ∉ BC;

 Menurut ketentuan B ≠ C . Andaikan A = B, karena B ∈ BC maka A ∈ BC;  A ∈ BC kontradiksi dengan A ∉ BC;

 Maka haruslah A ≠ B;

 Dengan cara yang sama dapat dibuktikan A ≠ C;  Jadi A, B dan C berlainan.

(ii) Akan dibuktikan A,B, dan C tidak kolinear (tidak segaris).

 Andaikan A, B dan C segaris maka terdapat garis g ∋ A∈ g, B ∈ g dan C ∈ g;  Karena B ∈ g, C ∈ g dan B ≠ C maka g = BC;

 Jadi A∈ g (A ¿ _{BC). Kondisi ini kontradiksi dengan A ∉ BC;}

 Jadi pengandaian A, B dan C segaris tidak benar. Ini berarti A,B dan C tidak kolinier.

Teorema 3.

Sebuah garis dan sebuah titik yang tidak pada garis itu termuat tepat dalam satu bidang.

l _{P Q}

Bukti:

 Andaikan terdapat titik A dan garis g dengan A ∉ g. ( A tidak pada g );

 Menurut I.1 terdapat B ∈ g dan C ∈ g dengan B ≠C . Sehingga g = BC. Jadi A ∉ BC;

 Menurut teorema 2 A,B,C berlainan dan tidak segaris;  Menurut I.4 A, B dan C termuat dalam sebuah bidang V;

 Oleh karena B ¿ _{V, C} ¿ _{V, maka menurut I.5, BC = g} ¿ _{V ( V memuat} g );

 Andaikan ada bidang lain V’ yang memuat g dan A . Jadi V’ memuat pula B dan C;

 Ini berarti V’ memuat A, B dan C;

 Menurut I.4 V’ = V . Ini berarti V satu-satunya bidang yang memuat g dan A.

Definisi

1. Andaikan A



g. Satu-satunya bidang yang memuat g dan A kita tulis sebagai gA

2. Andaikan A,B dan C berlainan dan tak kolinear . Satu-satunya yang memuat A, B dan C kita tulis sebagai bidang ABC.

Definisi

Dua garis l dan m dinamakan sejajar apabila: 1. l dan m termuat dalam satu bidang

2. l dan m tidak memiliki titik sekutu ( titik temu)

Teorema akibat :

Apabila l // m maka l dan m termuat dalam tepat satu bidang. Bukti

 Menurut definisi, terdapat sebuah bidang V yang memuat l dan m;  Andaikan V’ juga memuat l dan m;

Teorema 4

Jika dua garis yang berbeda berpotongan, kedua garis itu termuat dalam tepat satu bidang.

Bukti

 Andaikan l dan m adalah garis, l≠ m , A= l∩ m . Maka A ∈l dan A ∈m ;

 Terdapat titik kedua yaitu B∈m dan B ≠ A, B ¿ _{l (Aksioma 1.1);}

 Maka terdapat sebuah bidang V, di mana l∈V dan B∈V (Teorema 3);  Ambil sebarang C∈l , jelas A∈l , C∈l , A ≠C . (Aksioma 1.1);  Karena A∈l , lV , maka A∈V (Aksioma 1.5);

 A∈V dan B∈V , sehingga m∈V (Aksioma 1.5);  Jadi l∈V dan m∈V . (Terbukti)

Teorema 5

Apabila dua bidang yang berlainan berpotongan maka himpunan titik potongnya adalah sebuah garis.

Bukti

Andaikan P dan Q dua bidang yang berbeda dan yang berpotongan, andaikan A salah

satu ttitik temunya jadi A ¿ P dan A ¿ Q , maka ada titik kedua B dengan B ¿ P

dan B ¿ Q, jadi AB = P , ini berarti tiap titik AB memuat di P dan di Q

Akan dibuktikan P

¿

Q = AB . Telah dibuktikan diatas bahwa AB ¿ P

¿

Q

tinggal membuktikan bahwa P

¿

Q ¿ AB .Andaikan C ¿ P

¿

Q Andaikan C

¿

_{AB , oleh karena AB dan C termuat dalam P dan dalam Q maka P = Q .}

Bertentangan dengan yang diketahui jadi permisalan C

¿

AB tidaklah benar ,

sehingga C ¿ AB . Ini berarti bahwa P

¿

Q ¿ AB. Oleh karena itu telah terbukti

nahwa AB ¿ P

¿

Q maka P

¿

Q = AB

Dua bidang V dan W disebut sejajar apabila V dan W tidak memiliki titik temu ( titik potong)

Teorema 6

Apabila bidang P sejajar bidang Q dan bidang R memotong bidang P dan bidang Q maka himpunan P ∩ R dan Q ∩ R adalah garis-garis yang sejajar.

Bukti

(i) Akan dibuktikan P ∩ R dan Q ∩ R adalah garis–garis.  Akan dibuktikan P ≠ R dan Q ≠ R.;

 Andaikan P = R. Karena R ∩ Q maka P ∩ Q;

 Tidak mungkin P ∩ Q, karena P ∥ Q. Jadi haruslah P ¿ _R;  Ini berarti P ∩ R adalah sebuah garis l. Begitu pula Q ∩ R adalah

sebuah garis m.

(ii) Akan dibuktikan l ∥ m.  l ∈ R dan m ∈ R;

 Andaikan l ∩ m dan A = l ∩ m, maka A ¿ _{P dan A} ¿ _Q;  Jadi A ¿ _{P ∩ Q. (Tidak mungkin, karena kontradiksi dengan P ∥}

Q) ;

 Jadi l dan m terletak pada satu bidang dan tidak memiliki titik temu. Terbukti bahwa l ∥ m;

Definisi

1. Apabila garis-garis g1, g2,...., gn bertemu pada satu titik dinamakan garis g1, g2,...., gn konkuren

2. Apabila bangun geometri B1, B2, ..., Bn terletak pada satu bidang ; kita namakan bangun-bangun itu sebidang atau koplanar

Teorema 7

Apabila tiap dua garis dari sekelompok tiga garis koplanar, akan tetapi tidak bertiga koplanar maka ketiga garis itu konguren atau tiap dua garis diantaranya sejajar.

 Andaikan tiga garis itu l, m dan n;

 Andaikan l ∈ P, m ∈ P, m ∈ Q, n ∈ Q dan l ∈ R, n ∈ R;  Akan dibuktikan P ≠ Q ≠ R;

i. Andaikan P = Q maka l, m, n sebidang/koplanar (pada bidang P = Q). Kontradiksi dengan pernyataan ”tidak ketiga-tiganya koplanar”. Jadi haruslah P ≠ Q;

ii. Andaikan Q = R maka l, m, n sebidang/koplanar (pada bidang Q = R). Kontradiksi dengan pernyataan ”tidak ketiga-tiganya koplanar”. Jadi haruslah Q ≠ R.;

iii. Andaikan P = R maka l, m, n sebidang/koplanar (pada bidang P = R). Kontradiksi dengan pernyataan ”tidak ketiga-tiganya koplanar”. Jadi haruslah P ≠ R;

 Sehingga apabila dua garis diantara l, m, dan n berpotongan maka tiga garis itu konguren.

Apabila tiap dua garis diantara l, m, dan n tidak berpotongan, maka berhubung tiap dua garis itu sebidang, tiap dua garis tersebut sejajar

Teorema akibat yang memuat l dan m;

 Andaikan P ∩ Q = n, maka n ∥ l dan n ∥ m;

 Andaikan n’ garis lain, A ∈ n’, n’ ∥ l, dan n’ ∥ m, maka n’ ∈ R dan l ∈ R;

 Maka R harus memuat l dan A. Sehingga R = P;  Jadi n’_{⊂ P dan n’ ⊂ Q , sehingga n’ = n.}

II. GEOMETRI 4 TITIK

Geometri 4 titik merupakan geometri finite (geometri berhingga). Nama aksioma ini diambil dari aksioma pertamanya.

Unsur-unsur tak terdefinisi geometri 4 titik antara lain titik, garis, dan terletak pada.

Aksioma Geometri 4 Titik

• Aksioma 1: Terdapat tepat empat titik

• Aksioma 2: Sebarang dua titik berbeda, pada tepat satu garis

• Aksioma 3: Setiap garis pada tepat dua titik

Contoh Model geometri 4 titik

Jika titik diinterpretasikan sebagai noktah pada kertas dan garis sebagai coretan pensil, model dari geometri 4 titik dapat disajikan dengan gambar seperti berikut.

Definisi: Dua garis pada titik yang sama dikatakan berpotongan dan dua garis itu disebut garis-garis berpotongan.

Contoh

k l h

k dan g, l dan g, l dan m, m dan n, n dan g, h dan l, h dan m, k dan n adalah garis-garis berpotongan.

Garis h dan k tidak berpotongan

Definisi: Dua garis yang tidak berpotongan disebut sejajar. Contoh

Pada gambar di atas garis h sejajar k, l sejajar n, dan m sejajar g.

Teorema 1

Jika dua garis berbeda berpotongan maka mereka mempunyai satu titik sekutu. Bukti:

 Dua garis berpotongan mempunyai minimal satu titik sekutu. (Definisi);  Misal g dan h adalah garis tersebut dan A = g ∩ h. Berarti A ∈ g dan A

∈ h;

 Andaikan terdapat B adalah titik sekutu lain, berarti B ∈ g dan B ∈ h;  Akibatnya melalui A dan B ada lebih dari satu garis (Kontradiksi dengan

aksioma 2);

 Jadi pengandaian salah. Terbukti 2 garis berpotongan mempunyai tepat satu titik sekutu.

Teorema 2

Terdapat enam garis. Bukti:

 Terdapat empat titik (aksioma 1);

 Sebarang dua titik berbeda terdapat satu garis (aksioma 2);

C4,2= 4!

(4−2)!2! = 6 garis;

 Jadi terdapat 6 garis.

Teorema 3

Setiap titik pada tepat tiga garis. Bukti:

 Terdapat tepat 4 titik (aksioma 1);

 Dua titik berbeda menentukan tepat satu garis (aksioma 2);  Berarti dari satu titik terdapat minimal 3 garis.

Andaikan ada garis ke 4

 Setiap garis pada tepat 2 titik (aksioma 3);

 Berarti garis ke 4 pasti melalui salah satu dari ketiga titik lainnya;

 Sehingga terdapat dua titik berbeda yang mempunyai lebih dari satu garis pada keduanya (aksioma 2);

 Jadi tidak ada garis yang keempat, terbukti terdapat tepat tiga garis.

Teorema 4

Setiap garis berbeda mempunyai tepat satu garis yang sejajar dengannya. Bukti:

 Terdapat tepat empat titik, sebut P,Q,R, dan S (aksioma 1);

 Melalui sebarang titik Q dan R terdapat tepat satu garis, sebut l.(aksioma 2);  Sedangkan menurut teorema 3, setiap titik ada tepat 3 garis, berarti di suatu titik

P ∉ l ada tepat 3 garis. Dua dari 3 garis ini pasti memotong l (aksioma 2);  Andaikan garis ketiga memotong l maka perpotongnnya adalah satu titik. Titik

ini pasti berbeda dengan dua titik pada l (aksioma 2);

III. GEOMETRI FANO DAN GEOMETRI YOUNG A. GEOMETRI FANO

Inisiatif pertama dalam mempelajari geometri finite datang dari Gino Fano pada tahun 1892. Fano menemukan geometri finite tiga dimensi yang mempunyai 15 titik, 35 garis dan 15 bidang. Satu dari bidang bidang tersebut adalah geometri Fano. Sebagai undefined terms ditetapkan titik, garis, dan pada.

Terdapat 6 aksioma dalam geometri fano yaitu:

Aksioma-1 : Terdapat minimal satu garis

Aksioma-2 : Terdapat tepat tiga titik pada setiap garis

Aksioma-3 : Tidak semua titik segaris

Aksioma-4 : Terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda

Aksioma-5 : Terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda.

Berikut ini dua penyajian dari suatu model geometri Fano

Teorema 1

Dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu. Bukti:

 Terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda (aksioma 5); sebut garis k dan g dengan titik sekutu P;

D _{A A A B C C E}

B G E G G F B

C F D D E D F

I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7

E F

C B

 Andaikan ada titik sekutu lain yaitu Q maka P k dan Q k;∈ ∈

 Demikian pula, P g dan Q g;∈ ∈

 Jadi untuk dua titik berbeda P dan Q terdapat dua garis. Hal ini kontradiksi dengan aksioma 4;

 Jadi dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu.

Teorema 2

Geometri Fano empunyai tepat 7 titik dan 7 garis. Bukti:

 Terdapat minimal satu garis, misal l (aksioma 1);

 Pada l ada tepat tiga titik, sebut titik A,B, dan C (aksioma 2);

 Tidak semua titik pada l, artinya terdapat P ∉ l. Jadi ada minimal 4 titik, yaitu A,B,C, dan P (aksioma 3);

 P dan setiap titik pada l menentukan garis-garis berbeda (aksioma 4);  Garis-garis ini masing memuat 3 titik (aksioma 2);

 Karena untuk setiap dua titik hanya ada satu garis (aksioma 4) maka tiga titik tadi pasti bukan A, B, C ataupun P;

 Jadi minimal ada 7 titik, A,B,C,P,Q,R, dan S;

 Andaikan ada titik ke-8 yaitu K, maka P dan K menentukan garis h = garis PQ (aksioma 4);

 Menurut aksioma 5, h dan l pasti berpotongan. Titik potong h dan l pasti bukan A,B, ataupun C, karena setiap 2 titik menentukan garis tunggal;

 Berarti l memuat 4 titik. Hal ini kontradiksi dengan aksioma 2. Jadi tidak mungkin ada titik ke delapan, sehingga ada tepat 7 titik.

B. GEOMETRI YOUNG

Geometri young mempunyai lima aksioma.

Aksioma-1 : Terdapat minimal satu garis

Aksioma-2 : Terdapat tepat tiga titik pada setiap garis

Aksioma-3 : Tidak semua titik segaris

Aksioma-5 : Untuk setiap garis l dan titik P tidak pada l terdapat tepat satu garis yang melalui P dan tidak memuat titik pada l.

Jika kita cermati pada keempat aksioma pertama, maka akan sama dengan empat aksioma pertama geometri Fano.

Dari aksioma-aksioma ini diturunkan beberapa teorema sebagai berikut.

Teorema 1

Di setiap titik terdapat minimal empat garis. Bukti:

 Terdapat minimal satu garis, sebut l (aksioma 1);  Terdapat tepat 3 titik pada setiap garis (aksioma 2);  Berarti di l terdapat 3 titik, sebut titik itu A, B, dan C;

 Menurut aksioma 3: tidak semua titik segaris. Berarti ada titik tidak pada l, sebut P;

 Menurut aksioma 4: ada tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda. Jadi terdapat minimal 3 garis melalui sebarang titik P;

 Menurut aksioma 5: di P tidak pada l ada satu garis yang tidak memuat titik pada l. Jadi terdapat minimal 4 garis di P.

Teorema 2

Terdapat tepat 9 titik. Bukti:

P

C l

 Terdapat minimal 3 titik pada garis l (akisoma 1 dan 2);

 Tidak semua titik segaris, berarti terdapat minimal satu titik tidak pada l, sebut P. Sehingga terdapat minimal 4 titik (aksioma 3);

 Setiap 2 titik menentukan garis. Berarti P dan titik-titik pada l menentukan garis, yaitu I1,I2 dan I3 (aksioma 4);

 Di setiap garis ini terdapat tepat 3 titik (aksioma 2). Tiga titik ini pasti bukan 4 titik tadi karena untuk setiap 2 titik terdapat tepat satu garis, sehingga minimal ada 7 titik;

 Di P terdapat minimal 4 garis dan menurut aksioma 5, I4 memotong l;  Menurut aksioma 2, di I4 terdapat tepat 3 titik. Jadi terdapat minimal 9 titik

(teorema 1);

 Andai terdapat titik ke-10 yaitu Q;

 P dan Q menentukan satu garis (aksioma 4);

 Pasti Q ∉ l, karena jika Q l berarti di l terdapat lebih dari 3 titik. Hal ini ∈

kontradiksi dengan aksioma 2;

 Sehingga di P ada lebih dari satu garis yang tidak memuat titik pada l. Kontradiksi dengan aksioma;

 Jadi tidak ada titik yang ke 10. Terbukti terdapat tepat 9 titik.

Teorema 3

Terdapat tepat 12 garis. Bukti:

 Terdapat tepat 9 titik (teorema 2). Untuk memudahkan kita sebut saja titik-titik itu A,B,C,D,E,F,G,H, dan I;

 Terdapat tepat 3 titik berbeda pada setiap garis (aksioma 2);  Jadi didapat :

Contoh Soal

1. Diketahui sebuah garis sembarang g=zaz+a-z+b=0,a 0,b real,buktikan bahwa g memuat paling sedikit dua titik yang berbeda.

Bukti:

A A A B B B C C D D G H

B D E E D F F E E H H F

C G I H I G I G F C I A

Akan dibuktikan bahwa g mremuat paling sedikit dua titik yang berbeda,artinya harus ditunjukkan ada paling sedikit dua bilangan kompleks yang berbeda yang

dapat memenuhi persamaan az+az+b=0.Andaikan a=+i, dan  real dan tidak

nol,z=x+iy maka az+b=0 dapat ditulis sebagai:

( + i)( x + iy )+ ( - i )( x - iy) = 0

Persamaan ini dapat pula ditulis sebagai

2x - 2y + b = 0

Ambil x = 0,maka y = b

2α(α=0)

Ambil x = 0,maka x = −_2αb(α=0)

Sehingga titik z1 = bi

2β dan z2 = −bi

2β

Memenuhi persamaan az + a – z + b = 0, ini berarti garis mengandung paling sedikit dua titik yaitu z1 dan z2 tersebut.

2. Dalam model geometri insidensi M11, garis yang melalui A(-2,4) dan B(-1,6) adalah?

Jawab:

M = (6-4)/(1-2) = -2, m<0. sehingga garis tersebut: G2 = {(x,y)|y=-2x+8}. 3. Apakah geometri empat titik merupakan geometri insidensi?

Penyelesaian :

Geometri empat titik adalah geometri insidensi. Hal ini dapat dilihat dari padanan berikut ini.

Geometri Insidensi Geometri 4 titik

Aksioma 1 Aksioma 2

Aksioma 3 Aksioma 1

Aksioma 4 Aksioma 1, Aksioma 2,

Aksioma 3

Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi dipenuhi oleh aksioma-aksioma geometri 4 titik.

Jadi geometri 4 titik merupakan geometri Insidensi. 4. Apakah geometri fano merupakan geometri insidensi?

Penyelesaian :

Geometri Fano adalah geometri insidensi. Hal ini dapat dilihat dari padanan berikut ini.

Geometri Insidensi Geometri Fano

Aksioma 1 Aksioma 4

Aksioma 2 Aksioma 2

Aksioma 3 Aksioma 1, aksioma 2

Aksioma 4 Aksioma 3

Jelas semua aksioma-aksioma geometri Insidensi dipenuhi oleh aksioma-aksioma geometri Fano.

Jadi geometri Fano merupakan geometri Insidensi. 5. Apakah geometri young merupakan geometri insidensi?

Penyelesaian :

Geometri Young adalah geometri insidensi. Hal ini dapat dilihat dari padanan berikut ini.

Geometri Insidensi Geometri Young

Aksioma 2 Aksioma 2

Aksioma 3 Aksioma 4

Aksioma 4 Aksioma 1

Aksioma 3, Aksioma 4

Jelas semua aksioma geometri Insidensi dipenuhi oleh aksioma-aksioma geometri Young.

Daftar Pustaka

 Prenowitz, W. Jordan, M. 1965. Basic Concepts of Geometry. Blaisdell Publishing

 Company : Waltham, Massachusetts. Toronto. London