- 1 - SISTEM AKSIOMATIK PENGERTIAN SISTEM AKSIOMATIK

(1)

___________________________________________________________________________________ Geometry Handout by Bambang Hendriya G.

Department of Mathematics, Universitas Jenderal Soedirman

SISTEM AKSIOMATIK

PENGERTIAN SISTEM AKSIOMATIK

Sistem aksiomatik memuat himpunan yang terdiri dari istilah-istilah yang tidak didefinisikan atau primitif, dan memiliki arti yang bergantung pada interpretasi pembaca. Semua istilah selain istilah-istilah primitif didefinisikan berdasarkan istilah-istilah-primitif. Istilah-istilah-istilah itu disebut definisi. Sistem aksiomatik juga mengandung himpunan pernyataan yang tidak perlu dibuktikan, yang disebut sebagai aksioma atau postulat. Aksioma atau postulat tersebut dirumuskan menggunakan istilah-istilah primitif dan definisi-definisi. Konsekuensi logis dari aksioma-aksioma pada suatu sistem aksiomatik disebut sebagai teorema, yang keabsahannya tidak bergantung pada interpretasi terhadap istilah-istilah primitif.

Berikut ini merupakan salah satu contoh dari sistem aksiomatik.

Diberikan suatu sistem aksiomatik, dinamai dengan sistem aksiomatik Fe-Fo, dengan istilah-istilah primitif : “Fe”, “Fo”, dan relasi “termasuk pada”. Aksioma-aksiomanya adalah :

Aksioma 1. Terdapat tepat tiga Fe yang berbeda pada sistem aksioma ini.

Aksioma 2. Dua Fe yang berbeda termasuk pada tepat satu Fo.

Aksioma 3. Tidak semua Fe termasuk pada Fo yang sama.

Aksioma 4. Setiap dua Fo yang berbeda memuat paling sedikit satu Fe yang termasuk pada keduanya.

Dari aksioma-aksioma tersebut kita memiliki teorema-teorema di bawah ini.

(2)

Bukti. Aksioma 4 mengatakan bahwa setiap dua Fo yang berbeda memuat paling sedikit satu Fe. Karenanya, untuk membuktikan Teorema Fe-Fo 1, kita cukup membuktikan bahwa tidak mungkin setiap dua Fo yang berbeda memuat lebih dari satu Fe. Kita akan menggunakan bukti kontradiksi. Andaikan setiap dua Fo yang berbeda memuat dua Fe. Namun pengandaian ini bertentangan atau kontradiksi dengan aksioma 2 yang menyatakan bahwa dua Fe yang berbeda termasuk pada tepat satu Fo. Pengandaian setiap dua Fo yang berbeda memuat lebih dari dua Fe juga akan menimbulkan pertentangan dengan aksioma 2. Dengan demikian, dua Fo yang berbeda haruslah memuat tepat satu Fe. ■

Teorema Fe-Fo 2. Terdapat tepat tiga Fo.

Bukti. Aksioma 2 menyatakan setiap pasang Fe yang berbeda termasuk pada tepat satu Fo. Aksioma 1 menyatakan terdapat tepat tiga Fe yang berbeda pada sistem. Berdasarkan Aksioma 1 dan 2 tersebut, maka terdapat paling sedikit tiga Fo. Untuk membuktikan Teorema Fe-Fo 2, kita cukup membuktikan tidak mungkin terdapat lebih dari tiga Fo. Kita akan menggunakan bukti kontradiksi. Andaikan terdapat empat Fo. Menurut Teorema Fe-Fo 1, Fo yang keempat bersama dengan tiga Fo sebelumnya akan membentuk enam Fe. Padahal menurut Aksioma 1, hanya terdapat tepat tiga Fe yang berbeda. Akibatnya, terjadi kontradiksi. Kontradiksi seperti itu akan terjadi pula jika kita mengandaikan terdapat lebih dari empat Fo. Jadi haruslah tidak boleh lebih dari tiga Fo. Dengan demikian terdapat tepat tiga Fo. ■

Teorema Fe-Fo 3. Setiap Fo memiliki tepat dua Fe yang termasuk padanya.

Bukti. Menurut Aksioma 2, setiap Fo memiliki paling sedikit dua Fe yang terletak padanya. Selanjutnya, andaikan terdapat lebih dari dua

(3)

Fe yang termasuk pada tepat satu Fo. Misalkan terdapat tiga Fe yang termasuk pada satu Fo. Namun hal ini bertentangan dengan Aksioma 1 dan 3, yang menyatakan bahwa terdapat tepat tiga Fe dan tidak semuanya berada pada Fo yang sama. Kontradiksi ini akan terjadi juga jika terdapat lebih dari tiga Fe yang termasuk pada satu Fo. Jadi haruslah setiap Fo memiliki tepat dua Fe yang termasuk padanya. ■

MODEL

Istilah-istilah primitif “Fe”, “Fo”, dan “termasuk pada” bisa saja diinterpretasikan bermacam-macam. Sekarang, misalkan Fe diinterpretasikan sebagai titik, Fo diinterpretasikan sebagai garis, dan termasuk pada diinterpretasikan sebagai terletak pada. Karenanya sistem aksioma Fe-Fo menjadi :

Aksioma 1. Terdapat tepat tiga titik yang berbeda pada sistem aksioma ini.

Aksioma 2. Dua titik yang berbeda terletak pada tepat satu garis.

Aksioma 3. Tidak semua titik terletak pada garis yang sama.

Aksioma 4. Setiap dua garis yang berbeda memuat paling sedikit satu titik yang terletak pada keduanya.

Kalau kita perhatikan, aksioma-aksioma pada sistem aksioma Fe-Fo di atas (dengan meninterpretasikan Fe sebagai titik, Fo sebagai garis, dan termasuk pada sebagai terletak pada) merupakan pernyataan-pernyataan yang benar. Interpretasi yang demikian disebut sebagai model.

Selanjutnya, misalkan Fe diinterpretasikan sebagai buku, Fo diinterpretasikan sebagai rak, dan termasuk pada diinterpretasikan sebagai terletak pada. Akibatnya, sistem aksioma Fe-Fo dengan interpretasi demikian menjadi :

(4)

Aksioma 1. Terdapat tepat tiga buku yang berbeda pada sistem aksioma ini.

Aksioma 2. Dua buku yang berbeda terletak pada tepat satu rak.

Aksioma 3. Tidak semua buku terletak pada rak yang sama.

Aksioma 4. Setiap dua rak yang berbeda memuat paling sedikit satu buku yang terletak pada keduanya.

Aksioma 4 pada sistem aksioma Fe-Fo di atas (dengan meninterpretasikan Fe sebagai buku, Fo sebagai rak, dan termasuk pada sebagai terletak pada) merupakan pernyataan yang salah. Interpretasi seperti ini tidaklah dikatakan sebagai model.

SIFAT SISTEM AKSIOMATIK

Suatu sistem aksiomatik harus memiliki beberapa sifat. Yang pertama, adalah konsisten. Suatu sistem aksiomatik dikatakan konsisten jika dari aksioma-aksioma yang ada tidak mungkin menghasilkan teorema-teorema yang kontradiksi dengan aksioma-aksioma yang ada dan dengan teorema-teorema yang telah dibuktikan sebelumnya.

Sifat kedua yang harus dimiliki oleh suatu sistem aksioma adalah setiap aksioma yang ada pada sistem tersebut bukanlah merupakan turunan (deduksi) dari aksioma-aksioma yang lain. Jadi antara aksioma yang satu dengan aksioma yang lain saling bebas atau independen.

Sifat terakhir yang harus dimiliki oleh suatu sistem aksioma adalah lengkap. Maksudnya, tidaklah mungkin menambahkan aksioma lain yang konsisten dan independen tanpa menambahkan istilah-istilah primitif.

(5)

(6)

GEOMETRI BERHINGGA

Geometri berhingga maksudnya adalah geometri yang memiliki sejumlah kecil aksioma dan teorema serta sejumlah titik yang berhingga.

Geometri Empat Titik

Istilah-istilah primitifnya : titik, garis, dan “terletak pada”. Aksioma-aksiomanya adalah :

Aksioma 1. Terdapat tepat empat titik.

Aksioma 2. Setiap dua titik yang berbeda memiliki tepat satu garis yang terletak pada keduanya.

Aksioma 3. Setiap garis terletak tepat pada dua titik.

Definisi 1. Dua garis yang terletak pada titik yang sama dikatakan memotong dan disebut garis-garis yang memotong.

Definisi 2. Dua garis yang tidak memotong disebut garis-garis yang paralel.

Dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi di atas, kita memiliki beberapa teorema.

Teorema “Empat Titik” 1. Pada Geometri empat titik, jika dua garis yang berbeda memotong maka kedua garis tersebut memiliki tepat satu titik yang terletak pada keduanya.

Bukti. Menurut Definisi 1, jika dua garis yang berbeda memotong maka kedua garis tersebut memiliki paling sedikit satu titik yang terletak pada keduanya. Andaikan terdapat lebih dari satu titik, misalkan dua titik, yang terletak pada dua garis yang memotong. Itu

(7)

berarti dua titik tersebut memiliki dua garis yang terletak pada keduanya. Hal ini bertentangan dengan Aksioma 2. Yang demikian akan berlaku pula jika terdapat lebih dari dua titik yang terletak pada dua garis yang memotong. Jadi terdapat tepat satu titik yang terletak pada dua garis yang memotong. ■

Teorema “Empat Titik” 2. Geometri empat titik memiliki tepat enam garis.

Bukti.. Aksioma 4 menyatakan terdapat tepat empat titik. Karenanya, terdapat tepat enam pasang titik. Menurut Aksioma 2 dan 3, terdapat tepat enam garis. ■

Teorema “Empat Titik” 3. Setiap titik memiliki tepat tiga garis yang terletak padanya.

Bukti. Berdasarkan aksioma 2 dan 3, setiap titik yang berpasangan dengan tiga titik yang lain memiliki tepat satu garis yang terletak pada masing-masing pasangan titik. Akibatnya, terdapat paling sedikit tiga buah garis yang terletak pada setiap titik. Andaikan terdapat lebih dari tiga garis, misalkan empat garis, yang terletak pada setiap titik. Garis yang keempat harus terletak pada salah satu titik dari tiga titik yang lain. Akibatnya, terdapat sepasang titik yang memiliki dua garis yang terletak pada keduanya. Hal tersebut bertentangan dengan Aksioma 2. Kontradiksi ini akan terjadi pula jika terdapat lebih dari empat garis yang terletak pada setiap titik. Jadi haruslah Setiap titik memiliki tepat tiga garis yang terletak padanya.

■

Teorema “Empat Titik” 4. Setiap garis memiliki tepat satu garis yang paralel dengannya.

(8)

Bukti. Menurut Aksioma 3, setiap garis terletak tepat pada dua titik. Sedangkan Aksioma 1 menyatakan terdapat tepat empat titik. Artinya jika kita mengambil garis l maka terdapat titik P yang tidak terletak pada garis tersebut. Berdasarkan Teorema “Empat Titik” 3, terdapat tepat tiga garis yang terletak pada titik P, dan menurut Aksioma 2, dua diantara tiga garis itu pasti memotong garis l. Akibatnya, kita memiliki paling sedikit satu garis yang paralel dengan l, misalkan m. Andaikan terdapat lebih dari satu garis, misalkan dua garis, yang paralel dengan l. Menurut Teorema “Empat Titik” 3, garis kedua yang paralel dengan l ini, misalkan n, tidak terletak pada titik P, rimitive paralel dengan l, garis n ini tidak memuat titik-titik yang terletak pada l. Garis n akan memotong garis m di titik bukan P. Jika garis n terletak pada satu titik maka akan bertentangan dengan Aksioma 3. Jika garis n terletak pada dua titik maka haruslah ada titik yang kelima, dan hal ini bertentangan dengan Aksioma 1. Kontradiksi ini akan terjadi pula jika terdapat lebih dari dua garis yang paralel dengan l. Jadi haruslah terdapat tepat satu garis yang paralel dengan l. ■

Geometri Fano

Istilah-istilah primitifnya : titik, garis, dan terletak pada. Aksioma-aksiomanya adalah :

Aksioma 1. Terdapat paling sedikit satu garis.

Aksioma 2. Terdapat tepat tiga titik yang terletak pada setiap garis.

Aksioma 3. Tidak semua titik terletak pada garis yang sama.

Aksioma 4. Terdapat tepat satu garis yang terletak pada setiap dua titik yang berbeda.

Aksioma 5. Terdapat paling sedikit satu titik yang terletak pada setiap dua garis yang berbeda.

(9)

Dari aksioma-aksioma itu dapat diturunkan teorema-teorema berikut ini.

Teorema Fano 1. Dua garis yang berbeda memiliki tepat satu titik yang terletak pada keduanya.

Bukti. Menurut Aksioma 5, terdapat paling sedikit satu titik yang terletak pada setiap dua garis yang berbeda. Kita akan menggunakan bukti kontradiksi. Andaikan terdapat lebih dari satu titik, misalkan dua titik, yang terletak pada setiap dua garis. Itu artinya pada dua titik terdapat dua garis. Yang demikian bertentangan dengan Aksioma 4. Pertentangan ini akan berlaku pula jika kita mengandaikan terdapat lebih dari dua titik yang terletak pada satiap dua garis. Jadi haruslah terdapat tepat satu titik yang terletak pada dua garis yang berbeda. ■

Teorema Fano 2. Terdapat terdapat tepat tujuh titik dan tujuh garis.

Bukti. Berdasarkan Aksioma 1 sampai dengan Aksioma 3, terdapat paling sedikit empat titik, tiga di antaranya terletak pada garis l satu titik sisanya, misalkan titik P, tidak terletak pada garis l. Menurut Aksioma 4, titik P berpasangan dengan setiap titik pada garis l membentuk tiga garis. Menurut Aksioma 2, terdapat tepat tiga titik yang terletak pada setiap garis yang terletak pada pasangan titik P dengan tiga titik pada garis l. Dengan demikian, terdapat paling sedikit tujuh titik. Andaikan terdapat lebih dari tujuh titik, misalkan delapan titik. Misalkan titik yang kedelapan itu adalah titik Q. Menurut Aksioma 4, terdapat tepat satu garis, misalkan garis m, yang terletak pada titik P dan titik Q. Menurut Aksioma 4, terdapat paling sedikit satu titik yang terletak pada garis m dan l. Titik potongnya jelas tidak mungkin titik P dan titik Q. Artinya, titik potongnya harus berada pada garis l. Karena setiap titik pada garis l sudah berpasangan dengan titik P untuk, masing-masing, membentuk

(10)

sebuah garis, maka harus ada titik keempat pada garis l sebagai titik potong antara garis m dan l. Tetapi itu tidak mungkin, karena akan bertentangan dengan Aksioma 2. Pertentangan ini akan terjadi pula jika kita mengandaikan lebih dari delapan titik pada Geometri Fano. Jadi haruslah terdapat tepat tujuh titik pada Geometri Fano.

Bukti bahwa terdapat tepat tujuh garis pada geometri Fano ditinggalkan sebagai latihan bagi pembaca. ■ Perhatikan kembali Aksioma 5 yang menyatakan bahwa Terdapat paling sedikit satu titik yang terletak pada setiap dua garis yang berbeda. Itu berarti tidak terdapat dua garis yang paralel pada Geometri Fano, jika kita mendefinisikan dua garis yang paralel seperti mendefinisikan dua garis paralel pada Geometri Empat Titik.

Geometri Young

Semua istilah rimitive dan aksioma pada Geometri Young sama seperti pada Geometri Fano, kecuali Aksioma 5-nya yang berbeda. Aksioma 5 pada Geometri Young menyatakan untuk setiap garis l dan setiap titik P yang tidak terletak pada garis l, terdapat tepat satu garis pada P yang tidak memuat setiap titik pada l.

Dari aksioma-aksioma pada Geometri Young dapat diturunkan teorema-teorema berikut ini.

Teorema Young 1. Setiap titik terletak pada paling sedikit empat garis.

Bukti. Misalkan l adalah sembarang garis dan P adalah sembarang titik yang tidak terletak pada l. Menurut Aksioma 2, terdapat tepat tiga titik pada garis l. Menurut Aksioma 4, terdapat tepat tiga buah

(11)

garis yang masing-masing terletak pada setiap pasangan titik P dengan setiap titik pada l. Selanjutnya, menurut Aksioma 5, terletak pada titik P sebuah garis yang tidak memuat setiap titik pada garis l. Jadi pada titik P terdapat paling sedikit empat garis. ■

Teorema Young 2. Terdapat tepat sembilan titik.

Bukti. Bukti ditinggalkan sebagai latihan bagi pembaca.

Teorema Young 3. Terdapat tepat 12 garis.

(12)

INCIDENCE GEOMETRY

The axiomatic system of incidence geometry consists of the undefined or primitive terms : point, line, and on. This axiomatic system contains a finite number of axioms and doesn’t explicitly state the number of points and lines. Of course, it is different to Fano and Young geometry that state the number of points and lines. Nevertheless, this axiomatic system can be applied to both finite and infinite geometries. Any geometry which satifies this axiomatic system is called an incidence geometry. The axiomatic system of incidence geometry contains axioms :

Axiom 1. There exists exactly one line on each two distinct point.

Axiom 2. There exist at least two distinct point on every line.

Axiom 3. There exist at least three distinct point.

Axiom 4. Not all points lie on the same line.

It can be shown that “Four Point”, Fano, and Young Geometry are examples of incidence geometry. The explanation of Four Point, Fano, and Young Geometry as examples of incidence geometry is left as a exercise for the reader. From axiomatic system of incidence geometry, we can deduce some theorems.

Incidence Theorem 1. If two line intersect then the intersection is exactly one point.

Proof. Based on the definition of the intersection, if two line intersect then they intersect on at least one point P. If these line intersect on second line Q, then there exist two different lines which lie on points P and Q. Of course, this violates axiom 1. It means that there exists

exactly one point on two lines intersecting.

(13)

Incidence Theorem 2. For each point, there exist at least two lines containing it.

Proof. Let P be a point in incidence geometry. According to axiom 3, there exist at least two other points Q and R, beside of P. By axiom 1, there exists exactly one line on Q and R. Of course, this line doesn’t contain P. It means that for each point P then there exists at least one line l not containing P. By axiom 2, there exist at least two distinct point on l. By axiom 1, P and each points on l determine one line. So,

there exist at least two lines on P.

■ Is it possible that there exist more than two lines on each point in

incidence geometry ? The answer is left as a exercise for the reader.

Incidence Theorem 3. There exist three lines which do not lie on the same point.

Proof. By axiom 3 and 4, there exist at least three points which do not lie on the same line. By axiom 1, these lines, each other, determine one line. Therefore, there exist at least three line which do not

intersect together or lie on the same point.

■

Moreover, perhaps we then ask the existence of parallel lines in incidence geometry. In earlier discussion, we known that, in Fano geometry, there are no parallel lines, while, in Young Geometry, there exist parallel lines. Beside of that, both are examples of incidence geometry. The existence of parallel line in Young geometry is deduced from axiom 5, which is different to axiom 5 in Fano Geometry. It means that from the axioms of incidence geometry, we can’t state whether there exist parallel lines or not. If we have line l and point P

(14)

which is not on l then there are three possibilities for parallel notion. These possibilities are :

1. There exist no lines on P which are parallel to l.

2. There exists exactly one line on P which is parallel to l, or 3. There exists more than one line on P which is parallel to l.

An incidence geometry which assumes alternative 2 above or its axioms imply the statement which is equivalent to alternative 2 is said to be Euclidean or have Euclidean parallel property. While, If the incidence geometry assumes alternative 1 or 3 above or its axioms imply the statement which is equivalent to one of both alternative then it is said to be non-Euclidean or have non-Euclidean parallel property. The Four Point and Fano geometry are Euclidean, while the Young Geometry is non-Euclidean. The explanation of this is left as a exercise for the reader.