MAKALAH BAB 13 LINGKARAN

KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA

MATERI TENTANG

“LINGKARAN”

NAMA KELOMPOK :

ASKA MUTA YULIANI

(09320017 )

AYU DWI ASNANTIA

( 09320042 )

INDAH YUNIAWATI KHAIRIAH

( 09320046 )

KELAS 3A

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ... 2

A. PERSAMAAN LINGKARAN ... 3

1. Definisi Lingkaran

... 3

2. Jarak dua titik

... 3

3. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari – jari r

...

4

4. Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan jari – jari r

... 5

5. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

... 7

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN ... 9

1. Definisi Garis Singgung

... 9

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran

... 10

... 3. Persamaan Garis Singgung Bergradien m

... 11

4. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

... 11

C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN ... 13

D. HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN ... 16

O

A

B

C

0

y

x

A(x1,y1) C B(x2,y2)

A. PERSAMAAN LINGKARAN

1. Definisi Lingkaran

Perhatikan gambar lingkaran di samping! Sebuah lingkaran mempunyai beberapa unsure, diantaranya jari – jari dan pusat lingkaran . O merupakan titik pusat.

OA, OB , dan OC adalah jari – jari .

Jari – jari (r) pada lingkaran memiliki panjang yang sama. Sehingga, OA = OB = OC

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa : Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik

(himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu adalah sama ( konstan ) .

Titik tertentu disebut pusat lingkaran,dan jarak konstan disebut jari – jari lingkaran.

2. Jarak Dua Titik

Sebelum memasuki persamaan lingkaran, diperlukan penguasaan terlebih dahulu mengenai jarak dua titik. Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, kita dapat menemukan jarak antara dua titik (d) yaitu dengan pemisalan titik A (x1,y1) dan B (x2,y2,) .

Pada segitiga ABC di atas, berlaku :

AB²=AC²+BC²

x2−x1¿ 2

+(y2−y1)²

AB²=¿

y2−y1¿2 x2−x1¿2+¿

¿

AB=√¿

Y

X P(x0,y0)

O

3. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

Misalkan titik P(x0,y0) adalah sembarang titik yang terletak pada

lingkaran, maka:

OP=r

y0−0¿ 2 ¿

x₀−0¿2+¿ ¿ √¿ x0−0¿ 2

+

(

y0−0

)

2

=r2

¿

x02+y02=r2

Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0 pada x0 dan y0, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi

x2 +y2

=r2 _.

Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah :

O

P ( x0,y0 )

M (a,b) Y

X  Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari –

jari r

 Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dengan jari –

jari:

a. 5 b. 10 c. 8

Jawab :

a. x2+y2=25

b. x2

+y2

=100

c. x2+y2=64

 Tentukan panjang jari – jari lingkaran apabila diketahui persamaannya :

a. x2+y2=12

b. x2

+y2

=49

Jawab :

a. r=

√

12=2

√

3 b. r=

√

49=7

4. Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r

Jarak MP = r = jari –jari. Titik M (a,b) adalah pusat lingkaran. Andaikata P (x0,y0) adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan

MP=r y0−b¿2

¿

x₀−a¿2+¿ ¿ √¿

x₀−a¿2+

(

y₀−b

)

2=r2

¿

Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat : (

x−a y−b

¿ ¿ ¿ ¿2+¿

Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari – jari r adalah :

x−a

¿ ¿

y−b

¿ ¿ ¿

.

 Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari – jari r

 Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat M(5,2) dan jari jari 4. Jawab :

x−5

¿ ¿

y−2

¿ ¿ ¿

x2−10x+25+y2−4 y+4=16

x2+y2−10x−4y+25+4−16=0

x2 +y2

−10x−4y+13=0

 Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran bila diketahui persamaan lingkaran :

Jawab :

x2 +y2

−10x−4y+71=0

x2

−10x+52

+y2

−4y+22

−52

−22

=71

x−5

¿ ¿

y−2

¿ ¿ ¿

x−5

¿ ¿

y−2

¿ ¿ ¿

5. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

x2 +y2

+Ax+By+C=0

Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa dapat menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut :

Persamaan Lingkaran

x2+y2+Ax+By+C=0

x2+Ax+

(

1

2 A

)

²+y

2

+By+

(

1

2B

)

²+C−

(

1

2 A

)

²−

(

1

2B

)

²=0

x+1

2A¿

2

+

(

y+1

2B

)

2 =1 4 A 2 +1 4B 2 −C ¿

Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari lingkaran. Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah

P

(

−1

2 A ,−

1

2B

)

dan jari – jari lingkaran R=

√

1₄ A2+1₄B2−C

R=−

√

1

4 A

2 +1

4B

2

−C tidak diambil, karena jari – jari lingkaran selalu positif.

 Contoh Soal .

Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran jika persamaan lingkarannya adalah :

a. x2+y2−10x+8y−23=0

b. x2+y2−10y−24=0

Jawab :

a. A=−10,B=8dan C=−23

Pusat lingkaran P=

(

−1

2 A ,− 1

2B

)

=(5,−4)

jari−jari lingakran R=

√

1

R=

√

1

4(−10)

2 +1

48+23

¿

√

25+16+23 =

√

64=8

b. A=0,B=−10,dan C=−24

Pusat Lingkaran P=

(

−1

2 A ,− 1

2B

)

=(0,5)

Jari−jari Lingkaran R=

√

1

4 A 2 +1 4B 2 −C −10 ¿ ¿ 1 40 2 +1 4¿ ¿√¿

¿

√

0+25+24=

√

49=7

 Kesimpulan yang dapat diperoleh adalah :

 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari – jari r adalah

x2+y2=r2

 Persamaan Lingkaran dengan pusat M(a,b) dan jari jari r adalah

x−a

¿ ¿

y−b

¿ ¿ ¿

 Persamaan Lingkaran dengan bentuk Umum :

x2 +y2

Memiliki pusat lingkaran P

(

−1

2 A ,−

1 2B

)

Dan jari - jari R=

√

1

4 A

2 +1

4B

P(a,b)

9

99 r

A(x1,y2) D=0 g≡Garis Singgung

O(0,0)

Y=mx+c T(X1,y1)

Y=m+c2

Y=m+c1

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1. Definisi Garis Singgung

Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut!

g ≡ Garis singgung A(x1,Y1) titik singgung

AP⊥g

Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c. Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini:

Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran

Y=m2x+c2

R(x1,y1)

Y=m1x+c1

Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran

Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut:

Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung

x2

+y2

=r2 _xx

1+yy1=r2

(x−a)2+(y−b)2=r2 _y

(¿¿1−b)=r2

(x−a)

(

x1−a

)

+(y−b)¿

x2 +y2

+Ax+By+C=0 _xx

1+yy1+

1

2 A

(

x+x1

)

+

1

2B

(

y+y1

)

+C=0

Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran.

 Contoh Soal .

Tentukan Persamaan Garis singgung Lingkaran L≡ x2+y2=10 yang melalui titik (-3,1).

Jawab :

Titik (-3,1) ⇒x₁=−3 dan y₁=1 , terletak pada L≡ x2+y2=10 Persamaan garis singgungnya xx1+yy1=r2

(−3)x+(1)y=10

−3x+y=10

3. Persamaan Garis Singgung Bergradien m

Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah

Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung

x2

+y2

=r2

y=mx ± r

√

1+m2

(x−a)2+(y−b)2=r2 y−b=m(x−a)± r

√

1+m2

x2+y2+Ax+By+C=0 Ubah bentuk persamaan ke

(x−a)2+(y−b)2=r2 gunakan rumus

y−b=m(x−a)± r

√

1+m2

4. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m.

a. Menggunakan rumus

Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik

A(x1, y1) pada lingkaran (x−a)2+(y−b)2=r2 adalah

1

x−x¿

y−y₁=m¿ adalah dengan

m=

(

y1−b

)(

x1−a

)

±

√

(

y1−b

)

2

+

(

x₁−a

)

2−r2

(

x₁−a

)

2

−r2

b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m

Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui A(x1, y1) dan

persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng bergradien m.

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, x2 +y2

=25 yang

Persamaan 1 : y−y1=m

(

x−x1

)

y−1=m(x−7)

y=mx−7m+1 Persamaan 2 : y=mx ± r

√

1+m2

y=mx ±5

√

1+m2

y=mx ±5

√

1+m2→ y=mx−7m+1 5

√

1+m2

=7m+1

25

(

1+m2

)

=49m2

−14m+1

25+25m2

=49m2

−14m+1 24−14−24=0

(4m+3)(3m−4)=0

m₁=−3

4 ataum2=

4 3 Persamaan Garis singgung 1

m₁=y=mx−7m+1

y=−3

4 x−7

(

−3

4

)

+1 4 y=−3x+21+4 3x+4y=25

Persamaan Garis singgung ke 2

m2=y=mx−7m+1

y=4

3x−7

(

4 3

)

+1

3y=4x−28+3

P

Y

X A

C

B

0

A

B

C. HUBUNGAN ANTARA GARIS DAN LINGKARAN

Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran, misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis l₁

yang memotong lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis l₂ yang memotong lingkaran di satu titik saja, yaitu titik C dan garis l₃ yang tidak memotong lingkaran. Sehingga posisi garis terhadap lingkaran ada 3 macam, yaitu:

1. Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda

A

2. Garis Memotong Lingkaran pada Satu Titik Saja dan Ini Disebut Garis Menyinggung Lingkaran

D= 0 garis menyinggung pada satu titik

3. Garis Tidak Memotong Lingkaran Maupun Menyinggung Lingkaran

Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan:

D=b2 −4ac

1. Jika D < 0 Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda

D= 0 garis menyinggung pada satu titik

D>0 garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

 Contoh Soal

Tentukan posisi garis

y = 2x+3terhadaplingkaran x2+y2=49 !

Penyelesaian:

y = 2x+3 subsitusi pada x2+y2=49

x2

+(2x+3)2=49

x2

+4x2

+12x+9=49

5x2+12x−40=0

D=b2−4ac

= 122

−4(5)(40)

=944 D>0

D. HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN

Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran :

Pada gambar a lngkaran l₁ dan l₂ berpotongan di dua titik yang berlainan

- Jika pusat lingkaran l₂ berada di lingkaran l₁ , atau sebaliknya dikatakan l₁ dan l₂ berpotongan didalam. Perhatikan gambar a(i)

- Jika pusat lingkaran l₂ di luar lingkaran l₁ atau sebaliknya ,dikatakan l1 dan l2 berpotongan di luar. Perhatikan gambar a(ii)

(b) l1 dan l2 bersinggungan

(i

)

Pada gambar b (i) lingkaran l₁ dan l₂ bersinggungan di dalam sedangkan gambar b(ii), lingkaran l₁ dan l₂ bersinggungan di luar

(c). l₁ dan l₂ Tidak berpotongan maupun bersinggungan

Pada gambar c(i), lingkaran l₁ dan l₂ tidak berpotongan maupun bersinggung didalam

Pada gambar c(ii), lingkaran l₁ dan l₂ tidak berpotongan maupun bersinggung diluar

Jika lingkaran l₁ dan l₂ tidak berpotongan maupun bersinggungan di

kataka l1 dan l2 saling lepas.

Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan di atas , masih ada dua kemungkinan posisi dua lingkaran yang khusus yaitu:

 Dua lingkaran sepusat atau kosentris

Lingkaran l₁ dikatakan sepusat dengan lingkaran l₂ , jika pusat lingkaran l₁ berimpit dengan pusat lingkaran l₂ , tetapi jari – jari lingkaran l₁ tidak sama dengan jari – jari lingkaran l₂

 Dua lingkaran berimpit

Lingaran l₁ dikatakan berimpit dengan lingkaran l₂ jika pusat dan jari – jari lingkaran l₁ sama dengan pusat dan jari – jari lingkaran l₂

 CONTOH SOAL

Tentukan Posisi dua Lingkaran berikut.

L1≡ x 2

+y2=9dan L2≡ x 2

+y2−6x−6y+9=0

(i

)

[image:21.595.110.517.155.519.2]

Jawab :

L1≡ x2+y2=9

L2≡ x2+y2−6x−6y+9=0

6x+6y−18=0

x+y−3=0

y=−x+3

Substitusi y=−x+3 ke x2 +y2

−9=0 diperoleh :

−x+3

¿ ¿

x2

+¿

x2

+x2

−6x+9−9=0

2x2−6x=0

x2

−3x=0

Nilai Diskriminan persamaan kuadrat x2−3x=0 adalah:

D=b2

−4ac

−3

¿ ¿

D=¿

KUMPULAN SOAL – SOAL LINGKARAN

1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari

a. 3 b. 5

√

2 c. 7 d.

√

13 e. 2

√

7

2. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat dan jari-jari sebagai berikut:

a. pusat (5, 1) dan jari-jari 4 b. pusat (2, –3) dan jari-jari 12 c. pusat (–3, 4) dan jari-jari 9 d. pusat (–1, –5) dan jari-jari 3

3. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran jika persamaannya :

a. x2

+y2

−8x−2y−8=0

b. x2+y2−10x+6y−2=0

c. x2

+y2

−10x−56=0

d. x2+y2+8y−33=0 e. x2+y2=18

f. 2x2+2y2−15x=0

4. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik O(0,0), pusatnya pada garis x + 2y = 5, dan jari-jarinya 5.

5. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu y dititik asal dan melalui titik (6, –3).

6. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu x, r = 2 dan pusatnya pada garis 2x + y = 4.

7. Bagaimana Posisi :

a. Garis y=x−5 terhadap lingkaran x2

+y2

−6x−6y=0

b. Garis y=x+5

√

2 terhadap lingkaran x2+y2=25

c. Garis y=−x−5 terhadap lingkaran x2+y2−4x+2y−4=0

8. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2, 1 ), (4,5), dan ( 3, -2 ).

9. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran yang melalui titik – titik (0,5), (12,0) dan titik pusat O.

11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2=16 dan mempunyai gradient 3!

12. Sebuah lingkaran berpusat pada O(0,0) dan berjari – jari 5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran itu dan yang harus sejajar dengan garis y=2x−3

13. Tentukan Posisi dari dua Lingkaran berikut!

L1≡ x 2

+y2−2x−4y+1=0

DAFTAR PUSTAKA

Bird, John. 2002. Matematika Dasar Teori dan Aplikasi Praktis Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga

Budiyono. 1984. Matematika Program Inti. Malang : Widia Duta

Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 2 untuk SMA kelas XI Program Ilmu Alam. Jakarta : Erlangga