PROSIDING. Peranan Matematika dan Statistika dalam Menyikapi Perubahan Iklim VOLUME 2/NO.1/2014 ISN : X

(1)

PROSIDING

Peranan Matematika dan Statistika dalam

Menyikapi Perubahan Iklim

VOLUME 2/NO.1/2014

ISN : 2337-392X

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA,

STATISTIKA, PENDIDIKAN MATEMATIKA,

DAN KOMPUTASI

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sebelas Maret Surakarta

Jl. Ir. Sutami 36 A Solo - Jawa Tengah

(2)

ii

Tim Prosiding

Editor

Purnami Widyaningsih, Respatiwulan, Sri Kuntari,

Nughthoh Arfawi Kurdhi, Putranto Hadi Utomo, dan Bowo Winarno

Tim Teknis

Hamdani Citra Pradana, Ibnu Paxibrata, Ahmad Dimyathi,

Eka Ferawati, Meta Ilafiani, Dwi Ardian Syah,

dan Yosef Ronaldo Lete B.

Layout & Cover

(3)

iii

Tim Reviewer

Drs. H. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D.

Dr. Sri Subanti, M.Si.

Dr. Dewi Retno Sari Saputro, MKom.

Drs. Muslich, M.Si.

Dra. Mania Roswitha, M.Si.

Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc.

Drs. Pangadi, M.Si.

Drs. Sutrima, M.Si.

Drs. Sugiyanto, M.Si.

Dra Etik Zukhronah, M.Si.

Dra Respatiwulan, M.Si.

Dra. Sri Sulistijowati H., M.Si.

Irwan Susanto, DEA

Winita Wulandari, M.Si.

Sri Kuntari, M.Si.

Titin Sri Martini, M.Kom.

Ira Kurniawati, M.Pd.

(4)

iv

Steering Committee

Prof. Drs.Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D.

Prof. Dr. Budi Murtiyasa, M.Kom.

Prof. Dr. Dedi Rosadi, M.Sc.

Prof. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

Prof. Dr. Budi Nurani, M.S.

Dr. Titin Siswantining, DEA

Dr. Mardiyana, M.Si.

(5)

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa sehingga

prosiding seminar nasional Statistika, Pendidikan Matematika dan

Komputasi ini dapat diselesaikan.

Prosiding ini bertujuan mendokumentasikan dan

mengkomunika-sikan hasil presentasi paper pada seminar nasional dan terdiri atas 95

paper dari para pemakalah yang berasal dari 30 perguruan

tinggi/politeknik dan institusi terkait. Paper tersebut telah dipresentasikan

di seminar nasional pada tanggal 18 Oktober 2014. Paper didistribusikan

dalam 7 kategori yang meliputi kategori Aljabar 14%, Analisis 9%,

Kombinatorik 8%, Matematika Terapan 14%, Komputasi 7%, Statistika

Terapan 27%, dan Pendidikan Matematika 19%.

Terima kasih disampaikan kepada pemakalah yang telah

berpartisipasi pada desiminasi hasil kajian/penelitian yang dimuat pada

prosiding ini. Terimakasih juga disampaikan kepada tim reviewer, tim

prosiding, dan steering committee.

Semoga prosiding ini bermanfaat.

(6)

vi

DAFTAR ISI

Halaman

Halaman Judul ………..………..

i

Tim Prosiding ………..………….

ii

Tim Reviewer ………..………….

iii

Steering Committee ………..……

iv

Kata Pengantar ………...

v

Daftar Isi ………..……….

vi

BIDANG ALJABAR

1 Bentuk-Bentuk Ideal pada Semiring (D

_{Dian Winda}

_Setyawati

_………..

nxn

(Z+), +, )

₁

2 Penentuan Lintasan Kapasitas Interval Maksimum dengan Pendekatan

Aljabar Max-Min Interval

M. Andy Rudhito

dan D. Arif Budi Prasetyo

...……….

8

3 Karakterisasi Aljabar Pada Graf Bipartit

Soleha

, Dian W. Setyawati

………..……….

18

4 Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial Reguler Lengkap dalam Batasan

Quasi-Ideal Fuzzy

Karyati

, Dhoriva Urwatul Wutsqa

………...

₂₆

5

Syarat Perlu dan Cukup Ring Lokal Komutatif Agar Ring Matriksnya

_{Bersih Kuat (-Regular Kuat)}

Anas Yoga Nugroho, Budi Surodjo ………..

34

6 Sifat-sifat Modul Komultiplikasi Bertingkat

Putri Widi Susanti, Indah Emilia Wijayanti ……….. 42

7 Ideal dari Ring Polinomial F

2n

[x] mod(x

n

-1) untuk Kontrol Kesalahan

dalam Aplikasi Komputer

Komar Baihaqi dan Iis Herisman ……….……… 49

9 Submodul Hampir Prima

Dyana Patty, Sri Wahyuni ….………….……….………. 55

Subgrup Normal suatu Grup Perkalian dari Ring Pembagian yang Radikal

atas Subring Pembagian Sejati

Juli Loisiana Butarbutar dan Budi Surodjo ……….. 64

Sifat dan Karakterisasi Submodul Prima Lemah S(N)

Rosi Widia Asiani, Sri Wahyuni ………..

₇₃

Modul Distributif dan Multiplikasi

Lina Dwi Khusnawati, Indah Emilia Wijayanti ……… 83

(7)

vii

Penjadwalan Keberangkatan Kereta Api di Jawa Timur dengan

Menggunakan Model Petrinet dan Aljabar Max-plus

Ahmad Afif, Subiono ……… 92

\

Minimalisasi Norm Daerah Hasil dari Himpunan Bayangan Matriks

Aljabar Maks-Plus dengan Sebagian Elemen Ditentukan

Antin Utami Dewi, Siswanto, dan Respatiwulan ………

107 Himpunan Bayangan Bilangan Bulat Matriks Dua Kolom dalam Aljabar

Maks-Plus

Nafi Nur Khasana, Siswanto, dan Purnami Widyaningsih .………

₁₁₂

BIDANG ANALISIS

Ruang 2-Norma Selisih

Sadjidon, Mahmud Yunus, dan Sunarsini …….………..

120 Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif pada Ruang C[a,b]-Metrik (ℓ

p

,

d

C[a,b]

)

Sunarsini,

Sadjidon, Mahmud Yunus

………..………..

124 Generalisasi Ruang Barisan Yang Dibangkitkan Oleh Fungsi Orlicz

Nur Khusnussa’adah

dan Supaman ………..………..

132 Gerakan Kurva Parameterisasi Pada Ruang Euclidean

Iis Herisman dan Komar Baihaqi

…….………..

141 Penggunaan Metode Transformasi Diferensial Fraksional dalam

Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Fraksional untuk Persamaan Bessel

Fraksional

Marifatun, Sutrima, dan Isnandar Slamet……….………..

148 Konsep Topologi Pada Ruang C[a,b]

Muslich ……….………..

155 Kekompakan Terkait Koleksi Terindeks Kontinu dan Ruang Topologis

Produk

Hadrian Andradi, Atok Zulijanto

……….………..

162 A Problem On Measures In Infinite Dimensional Spaces

Herry Pribawanto Suryawan ..………..

171 Masalah Syarat Batas Sturm-Liouville Singular Fraksional untuk

Persamaan Bessel

Nisa Karunia, Sutrima, Sri Sulistijowati H ………

179 BIDANG KOMBINATORIK

Pelabelan Selimut (a,d)-H-Anti Ajaib Super pada Graf Buku

(8)

viii

Digraf Eksentrik Dari Graf Hasil Korona Graf Path Dengan Graf Path

Putranto Hadi Utomo, Sri Kuntari, Tri Atmojo Kusmayadi ………

193 Super (a, d)-H-Antimagic Covering On Union Of Stars Graph

Dwi Suraningsih, Mania Roswitha, Sri Kuntari ………

198 Dimensi Metrik pada Graf Umbrella

Hamdani Citra Pradana dan Tri Atmojo Kusmayadi ………

202 Dimensi Metrik pada Graf Closed Helm

Deddy Rahmadi dan Tri Atmojo Kusmayadi . ………..

210 Pelabelan Selimut (a,b)-C

s+2

-Anti Ajaib Super pada Graf Generalized

Jahangir

Anna Amandha, Mania Roswitha, dan Bowo Winarno ………

215 Super (a,d)-H-Antimagic Total Labeling On Sun Graph

Marwah Wulan Mulia, Mania Roswitha, and Putranto Hadi Utomo ……

223 Maksimum dan Minimum Pelabelan pada Graf Flower

Tri Endah Puspitosari, Mania Roswitha, Sri Kuntari …………...………..

231 BIDANG MATEMATIKA TERAPAN

2 Penghitungan Volume Konstruksi dengan Potongan Melintang

Mutia Lina Dewi ………... 238

4 Pola Pengubinan Parabolis

Theresia Veni Dwi Lestari dan Yuliana Pebri Heriawati ……….. 247

5 Analisis Kestabilan Model Mangsa Pemangsa Hutchinson dengan Waktu

_{Tunda dan Pemanenan Konstan}

Ali Kusnanto, Lilis Saodah, Jaharuddin

………..

257

6 Susceptible Infected Zombie Removed (SIZR) Model with Quarantine and

_Antivirus

Lilik Prasetiyo Pratama, Purnami Widyaningsih, and Sutanto ………. 264

7 Model Endemik Susceptible Exposed Infected Recovered Susceptible

_{(SEIRS) pada Penyakit Influenza}

Edwin Kristianto dan Purnami Widyaningsih ………... 272

9 Churn Phenomenon Pengguna Kartu Seluler dengan Model Predator-Prey

Rizza Muamar As-Shidiq, Sutanto, dan Purnami Widyaningsih …………

279 Pemodelan Permainan Flow Colors dengan Integer Programming

Irfan Chahyadi, Amril Aman, dan Farida Hanum ………..

283 Optimasi Dividen Perusahaan Asuransi dengan Besarnya Klaim

Berdistribusi Eksponensial

(9)

ix

Permasalahan Kontrol Optimal Dalam Pemodelan Penyebaran Penyakit

Rubono Setiawan ……….. 300

Model Pengoptimuman Dispatching Bus pada Transportasi Perkotaan:

Studi Kasus pada Beberapa Koridor Trans Jakarta

Farida Hanum, Amril Aman, Toni Bakhtiar, Irfan Chahyadi

……….. 306

Model Pengendalian Epidemi dengan Vaksinasi dan Pengobatan

Toni Bachtiar dan Farida Hanum ………..

315 How Realistic The Well-Known Lotka-Volterra Predator-Prey Equations

Are

Sudi Mungkasi ……….. 323

Aplikasi Kekongruenan Modulo pada Algoritma Freund dalam

Penjadwalan Turnamen Round Robin

Esthi Putri Hapsari, Ira Kurniawati ………..

334 BIDANG KOMPUTASI

Aplikasi Algoritma Enkripsi Citra Digital Berbasis Chaos Menggunakan

Three Logistic Map

Suryadi MT, Dhian Widya ………

344 Implementasi Jaringan Syaraf Tiruan Untuk Mengklasifikasi Kualitas Citra

Ikan

Muhammad Jumnahdi ……….….

352 Sistem Pengkonversi Dokumen eKTP/SIM Menjadi Suatu Tabel

Nurul Hidayat, Ikhwan Muhammad Iqbal, dan Muhammad Mushonnif

Junaidi ………...

360 Kriptografi Kurva Eliptik Elgamal Untuk Proses Enkripsi-Dekripsi Citra

Digital Berwarna

Daryono Budi Utomo,

Dian Winda Setyawati dan Gestihayu Romadhoni F.R

373 Penerapan Assosiation Rule dengan Algoritma Apriori untuk Mengetahui

Pola Hubungan Tingkat Pendidikan Orang Tua terhadap Indeks Prestasi

Kumulatif Mahasiswa

Kuswari Hernawati ………...

384 Perancangan Sistem Pakar Fuzzy Untuk Pengenalan Dini Potensi

Terserang Stroke

Alvida Mustika R., M Isa Irawan dan Harmuda Pandiangan

………..

394 Miniatur Sistem Portal Semiotomatis Berbasis Sidik Jari pada Area

Perpakiran

(10)

x

BIDANG STATISTIKA

1

Uji Van Der Waerden Sebagai Alternatif Analisis Ragam Satu Arah

_{Tanti Nawangsari………..}

₄₁₇

2

Analisis Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Keberhasilan Mahasiswa

Politeknik (Studi Kasus Mahasiswa Polban)

Euis Sartika………...….. 425

3

Distribusi Prior Dirichlet yang Diperumum sebagai Prior Sekawan dalam

Analisis Bayesian

Feri Handayani, Dewi Retno Sari Saputro …………...……… 439

5

Pemodelan Curah Hujan Dengan Metode Robust Kriging Di Kabupaten

Sukoharjo

Citra Panindah Sari, Dewi Retno Sari S, dan Muslich ………

₄₄₄

6

Premi Tunggal Bersih Asuransi Jiwa Endowment Unit Link Dengan

Metode Annual Ratchet

Ari Cahyani, Sri Subanti, Yuliana Susanti……….………. 453

7

Uji Siegel-Tukey untuk Pengujian Efektifitas Obat Depresan pada Dua

Sampel Independen

David Pratama dan Getut Pramesti ………..……… 462

8

Aplikasi Almost Stochastic Dominance dalam Evaluasi Hasil Produksi Padi

di Indonesia

Kurnia Hari Kusuma, Isnandar Slamet, dan Sri Kuntari ………..

470

9

Pendeteksian Krisis Keuangan Di Indonesia Berdasarkan Indikator Nilai

Tukar Riil

Dewi Retnosari, Sugiyanto, Tri Atmojo ……….... 475

Pendekatan Cross-Validation untuk Pendugaan Data Tidak Lengkap pada

Pemodelan AMMI Hasil Penelitian Kuantitatif

Gusti Ngurah Adhi Wibawa dan Agusrawati

………

483

11

Aplikasi Regresi Nonparametrik Menggunakan Estimator Triangle pada

Data Meteo Vertical dan Ozon Vertikal, Tanggal 30 Januari 2013

Nanang Widodo, Tony Subiakto, Dian Yudha R, Lalu Husnan W ……….

493

12

Pemodelan Indeks Harga Saham Gabungan dan Penentuan Rank

_{Correlation dengan Menggunakan Copula}

Ika Syattwa Bramantya, Retno Budiarti, dan I Gusti Putu Purnaba ……..

502

13

Identifikasi Perubahan Iklim di Sentra Produksi Padi Jawa Timur dengan

Pendekatan Extreme Value Theory

Sutikno dan Yustika Desi Wulan Sari

………..

513

15

Analisis Data Radiasi Surya dengan Pendekatan Regresi Nonparametrik

Menggunakan Estimator Kernel Cosinus

(11)

xi

16

Pengujian Hipotesis pada Regresi Poisson Multivariate dengan Kovariansi

Merupakan Fungsi dari Variabel Bebas

Triyanto, Purhadi, Bambang Widjanarko Otok, dan Santi Wulan Purnami 533

17

Perbandingan Metode Ordinary Least Squares (OLS), Seemingly

Unrelated Regression (SUR) dan Bayesian SUR pada Pemodelan PDRB

Sektor Utama di Jawa Timur

Santosa, AB, Iriawan, N, Setiawan, Dohki, M ………

544

19

Studi Model Antrian M/G/1: Pendekatan Baru

Isnandar Slamet ……… 557

20

Pengaruh Pertumbuhan Ekonomi dan Konsumsi Energi Terhadap Emisi

CO

2

di Indonesia: Pendekatan Model Vector Autoregressive (VAR)

Fitri Kartiasih ………...………. 567

21

Estimasi Parameter Model Epidemi Susceptible Infected Susceptible (SIS)

dengan Proses Kelahiran dan Kematian

Pratiwi Rahayu Ningtyas, Respatiwulan, dan Siswanto .………….………

578

22

Pendeteksian Krisis Keuangan di Indonesia Berdasarkan Indikator Harga

Saham

Tri Marlina, Sugiyanto, dan Santosa Budi Wiyono ……….

584

23

Pemilihan Model Terbaik untuk Meramalkan Kejadian Banjir di

Kecamatan Rancaekek, Kabupaten Bandung

Gumgum Darmawan, Restu Arisanti, Triyani Hendrawati, Ade Supriatna 592

24

Model Markov Switching Autoregressive (MSAR) dan Aplikasinya pada

Nilai Tukar Rupiah terhadap Yen

Desy Kurniasari, Sugiyanto, dan Sutanto ……….

602

25

Pendeteksian Krisis Keuangan di Indonesia Berdasarkan Indikator

Pertumbuhan Kredit Domestik

Pitaningsih, Sugiyanto, dan Purnami Widyaningsih ……… 608

26

Pemilihan Model Terbaik untuk Meramalkan Kejadian Banjir di Bandung

_{dan Sekitarnya}

Gumgum Darmawan, Triyani Hendrawati, Restu Arisanti ………

615

27

Model Probit Spasial

Yuanita Kusuma Wardani, Dewi Retno Sari Saputro ……… 623

28

Peramalan Jumlah Pengunjung Pariwisata di Kabupaten Boyolali dengan

Perbandingan Metode Terbaik

Indiawati Ayik Imaya, Sri Subanti ………..……... 628

29

Pemodelan Banyaknya Penderita Demam Berdarah Dengue (DBD) dengan

Regresi Kriging di Kabupaten Sukoharjo

(12)

xii

Ekspektasi Durasi Model Epidemi Susceptible Infected (SI)

Sri Kuntari, Respatiwulan, Intan Permatasari

………. 646

BIDANG PENDIDIKAN

3

Konsep Pembelajaran Integratif dengan Matematika Sebagai Bahasa

Komunikasi dalam Menyongsong Kurikulum 2013

Surya Rosa Putra, Darmaji, Soleha, Suhud Wahyudi, ………. 653

4

Penerapan Pendidikan Lingkungan Hidup Berbasis Pendidikan Karakter

dalam Pembelajaran Matematika

Urip Tisngati ………. 664

5

Studi Respon Siswa dalam Menyelesaikan Masalah Matematika

Berdasarkan Taksonomi SOLO (Structure of Observed Learned Outcome)

Herlin Widia, Urip Tisngati, Hari Purnomo Susanto ……….. 677

7

Desain Model Discovery Learning pada Mata Kuliah Persamaan

_Diferensial

Rita Pramujiyanti Khotimah, Masduki ……….. 684

8

Efektivitas Pembelajaran Berbasis Media Tutorial Interaktif Materi

_Geometri

Joko Purnomo, Agung Handayanto, Rina Dwi Setyawati ……… 693

10

Pengembangan Modul Pembelajaran Matematika Menggunakan

Pendekatan Problem Based Learning (PBL) Pada Materi Peluang Kelas

VII SMP

Putri Nurika Anggraini, Imam Sujadi, Yemi Kuswardi ……… 703

11

Pengembangan Bahan Ajar Dalam Pembelajaran Geometri Analitik Untuk

_{Meningkatkan Kemandirian Mahasiswa}

Sugiyono\, Himmawati Puji Lestari ………..………

711

13

Pengembangan Strategi Pembelajaran Info Search Berbasis PMR untuk

Meningkatkan Pemahaman Mata Kuliah Statistika Dasar 2

Joko Sungkono, Yuliana, M. Wahid Syaifuddin ……… 724

14

Analisis Miskonsepsi Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika

Pada Mata Kuliah Kalkulus I

Sintha Sih Dewanti ………..………..……. 731

Kemampuan Berpikir Logis Mahasiswa yang Bergaya Kognitif Reflektif

vs Impulsif

Warli ………. 742

Model Pembelajaran Berbasis Mobile

(13)

xiii

Profil Gaya Belajar Myers-Briggs Tipe Sensing-Intuition dan Strateginya

Dalam Pemecahan Masalah Matematika

Rini Dwi Astuti, Urip Tisngati, Hari Purnomo Susanto ……….. 760

Penggunaan Permainan Matematika Berbasis Lingkungan Hidup untuk

Menningkatkan Minat dan Keterampilan Matematis Peserta Didik

Rita Yuliastuti ………..

772 Tingkat Pemahaman Peserta PLPG Matematika Rayon 138 Yogyakarta

Tahun 2014 Terhadap Pendekatan Saintifik Pada Kurikulum 2013

Berdasarkan Kuesioner Awal dan Akhir Pelatihan

Beni Utomo, V. Fitri Rianasari dan M. Andy Rudhito ………..

784 Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Melalui Pendekatan

RME dengan CD Interaktif Berbasis Pendidikan Karakter Materi Soal

Cerita Kelas III

Sri Surtini, Ismartoyo, dan Sri Kadarwati ……….

791 E-Learning Readiness Score Sebagai Pedoman Implementasi E-Learning

Nur Hadi Waryanto ……….. 805

Pengembangan Lembar Kerja Siswa (LKS) Matematika Realistik di SMP

Berbasis Online Interaktif

Riawan Yudi Purwoko, Endro Purnomo ……….. 817

IbM APE Matematika Bagi TK Pinggiran Di Kota Malang

(14)

92

PENJADWALAN KEB ERANGKATAN KERETA API DI JAWA TIMUR DENGAN MENGGUNAKAN MODEL PETRINET DAN ALJAB AR

MAX-PLUS

AHMADAFIF1,SUBIONO2

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

ABSTRAK. Jaringan Kereta api merupakan salah satu moda transportasi darat yang disukai oleh masyarakat, khususnya di Jawa Timur. Kapasitas orang dan barang di kereta api yang cukup besar dan biaya yang murah menyebabkan moda transportasi ini banyak disukai masyarakat untuk melakukan perjalanan keluarga maupun pekerjaan. Jalur kereta api yang unik menyebabkan sistem jaringan kereta api memiliki kelemahan dalam proses pelayanan publik. Kurangnya pelayanan dari segi ketepatan waktu sering terjadi pada sistem tranportasi kereta api. Hal ini disebabkan jalur kereta api tidak bisa dilalui sekaligus oleh dua atau lebih kereta api sehingga terjadi saling tunggu di tiap stasiun. Penjadwalan yang tepat sangat diperlukan untuk mengurangi kelemahan kereta api dalam melayani ketepatan waktu kedatangan dan keberangkatan. Jenis kereta api yang banyak semakin menambah waktu tunggu kereta api di stasiun. Penelitian ini akan dilakukan penjadwalan keberangkatan kereta api di Jawa Timur menggunakan model petrinet dan aljabar max-plus. Dari penelitian ini diharapkan memperoleh desain penjadwalan kereta api di Jawa Timur di masing – masing stasiun.

Kata kunci : kereta api, jadwal, petrinet, aljabar max-plus.

1. PENDAHULUAN

Sistem transportasi merupakan bentuk sinkronisasi antara penumpang, barang, sarana dan prasarana guna terpenuhi perpindahan orang dan barang yang baik. Sistem transportasi dikatakan baik jika proses pergerakan penumpang dan barang dapat dicapai secara optimum dalam ruang dan waktu dengan berbagai faktor, yaitu faktor keamanan, kenyamanan, kelancaran, dan efisiensi atas waktu dan biaya [4]

Kereta api adalah moda transportasi darat pada jalan rel yang sudah ada sejak tahun 1804 diperkenalkan oleh Richard Trevithick [3]. Di Negara maju dan berkembang moda transportasi ini berkembang sangat pesat. Indonesia adalah salah satu Negara berkembang yang memanfaatkan jenis transportasi ini untuk menunjang aktifitas penduduknya yang padat. Kapasitas orang dan barang di kereta api yang cukup besar dan biaya yang murah menyebabkan moda transportasi ini banyak disukai masyarakat untuk melakukan perjalanan keluarga maupun pekerjaan. Jalur kereta api yang unik menyebabkan sistem jaringan kereta api memiliki kelemahan dalam proses pelayanan publik. Kurangnya pelayanan dari segi ketepatan waktu sering terjadi pada sistem tranportasi kereta api. Hal ini disebabkan jalur kereta api tidak bisa dilalui sekaligus oleh dua atau lebih kereta api sehingga terjadi saling tunggu di tiap stasiun. Penjadwalan yang tepat sangat diperlukan

(15)

Seminar Nasional Matematika 2014 93 Prosiding

untuk mengurangi kelemahan kereta api dalam melayani ketepatan waktu kedatangan dan keberangkatan.

Keberadaan jadwal kedatangan dan keberangkatan kereta api memegang peran penting dalam pemodelan sistem jaringan kereta api. Sistem jaringan kereta api merupakan Sistem Event Diskrit yang dapat dimodelkan menggunakan petrinet dan aljabar max-plus. Kemudahan petrinet dan aljabar max-plus dalam menyelesaikan proses sinkronisasi yang menyebabakan penulis tertarik mengadakan penelitian ini. Berdasarkan proses sinkronisasi ini akan digunakan sebagai acuan desain penjadwalan kereta api..

2. TINJAUANPUSTAKA/RUMUSANMASALAH SISTEM JARINGAN KERETA API DI JAWA TIMUR

Sistem jaringan kereta api di Jawa Timur mempunyai 5 jalur, diantaranya yaitu : jalur Surabaya – Madiun, jalur Malang – Madiun, jalur Surabaya – Cepu, jalur Surabaya – Banyuwangi, dan jalur Surabaya – Malang. Jalur Surabaya – Madiun merupakan lintas daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya dan daerah operasi (DAOP) VII Madiun. Daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya meliputi stasiun Surabaya Gubeng (SGU) – Mojokerto (MR) dan daerah operasi (DAOP) VII Madiun meliputi stasiun Curahmalang (CM) – Madiun (MD). Jalur Malang – Madiun merupakan lintas daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya dan daerah operasi (DAOP) VII Madiun. Daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya meliputi stasiun Malang (ML) – Blitar (BL) dan daerah operasi (DAOP) VII Madiun meliputi stasiun Rejotangan (RJ) – Madiun (MD). Jalur Surabaya Pasarturi – Cepu merupakan lintas daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya dan daerah operasi (DAOP) IV Semarang. Daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya meliputi stasiun Surabaya Pasarturi (SBI) – Kapas (KPS) dan daerah operasi (DAOP) IV Semarang meliputi stasiun Bojonegoro (BJ) – Cepu (CP). Jalur Surabaya Gubeng – Banyuwangi merupakan lintas daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya dan daerah operasi (DAOP) IX Jember. Daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya meliputi stasiun Surabaya Gubeng (SGU) – Bangil (BG) dan daerah operasi (DAOP) IX Jember meliputi stasiun Pasuruan (PS) – Banyuwangi (BW). Jalur Surabaya – Malang merupakan kesemuanya daerah operasi (DAOP) VIII Surabaya.

Penelitian ini, yang dikaji adalah jaringan kereta api di Jawa Timur dengan acuan data dari Grafik Perjalanan Kereta Api (GEPEKA) PT. KAI 2013 – 2014. Berikut diberikan tabel waktu tempuh kereta api antar stasiun di setiap jalur di Jawa Timur.

Jalur Dari Tujuan Waktu

Tempuh (menit) Jumlah kereta 1 Madiun Nganjuk 36 1 1 Nganjuk Kertosono 17 0 1 Kertosono Jombang 15 0 1 Jombang Mojokerto 19 0 1 Mojokerto Surabaya 33 0 1 Surabaya Mojokerto 40 1 1 Mojokerto Jombang 22 0 1 Jombang Kertosono 14 0 1 Kertosono Nganjuk 17 0 1 Nganjuk Madiun 39 0

Tabel 1. Waktu tempuh dan alokasi jumlah

Kereta api eksekutif/ bisnis jalur 1

Tempuh (menit) Jumlah kereta 1 Kertosono Jombang 21 1 1 Jombang Mojokerto 31 0 1 Mojokerto Surabaya 77 0 1 Surabaya Mojokerto 77 1 1 Mojokerto Jombang 30 0 1 Jombang Kertosono 19 0

(16)

Kereta api eksekutif/bisnis jalur 2

Kereta api ekonomi jalur 2

Tempuh (menit) Jumlah kereta 3 Cepu Bojonegoro 24 1 3 Bojonegoro Lamongan 46 0 3 Lamongan Surabaya 31 0 3 Surabaya Lamongan 31 1 3 Lamongan Bojonegoro 46 0 3 Bojonegoro Cepu 31 0

Tabel 7. Waktu tempuh dan alokasi jumlah Kereta api ekonomi jalur 5

Berdasarkan data – data diatas dapat disusun graf dari jaringan kereta api di Jawa Timur adalah sebagai berikut:

Gambar 1. Gambar graf jalur kereta api di Jawa Timur

Tempuh (menit) Jumlah kereta 2 Madiun Nganjuk 40 1 2 Nganjuk Kertosono 18 0 2 Kertosono Kediri 32 0 2 Kediri Blitar 80 0 2 Blitar Malang 108 0 2 Malang Blitar 117 1 2 Blitar Kediri 80 0 2 Kediri Kertosono 29 0 2 Kertosono Nganjuk 21 0 2 Nganjuk Madiun 38 0

Tempuh (menit) Jumlah kereta 2 Kertosono Kediri 37 1 2 Kediri Blitar 97 0 2 Blitar Malang 140 0 2 Malang Blitar 138 1 2 Blitar Kediri 97 0 2 Kediri Kertosono 34 0

Tempuh (menit) Jumlah kereta 4 Banyuwangi Jember 160 1 4 Jember Probolinggo 104 0 4 Probolinggo Bangil 66 0 4 Bangil Surabaya 49 0 4 Surabaya Bangil 55 1 4 Bangil Probolinggo 66 0 4 Probolinggo Jember 114 0 4 Jember Banyuwangi 150 0

Jalur Dari Tujuan Interval Waktu Tempuh (menit) Jumlah kereta

5 Surabaya Bangil 48 1 5 Bangil Malang 63 0 5 Malang Bangil 68 1 5 Bangil Surabaya 45 0 𝑡15 𝑡16 𝑡1 𝑡2 𝑡3 𝑡4 𝑡5 𝑡6 𝑡7 𝑡8 𝑡9 𝑡10 𝑡11 𝑡12 𝑡13 𝑡14 𝑡17 𝑡18 𝑡19 𝑡20 𝑡21 𝑡22 𝑡23 𝑡24 𝑡25 𝑡26 𝑡27 𝑡28 𝑡29 𝑡31 𝑡30 𝑡32 𝑡33 𝑡34 𝑡35 𝑡36 𝑡38 𝑡37 Keterangan : Warna arc SBY – MD : Jalur 1 ML – MD : Jalur 2 SBY – CP : Jalur 3 SBY – BW : Jalur 4 SBY – ML : Jalur 5 Node SBY : Surabaya MR : Mojokerto JG : Jombang KTS : Kertosono NJK : Nganjuk MD : Madiun KDR : Kediri BL : Blitar ML : Malang LMG : Lamongan BJ : Bojonegoro CP : Cepu BG : Bangil PB : Probolinggo JR : Jember BW : Banyuwangi

(17)

MODEL PETRINET

A. Notasi dan Definisi Petrinet

Petrinet dikembangkan pertama kali oleh C.A. Petri pada awal 1960-an. Petrinet merupakan salah satu alat untuk memodelkan Sistem Event Diskrit. Pada Petrinet event berkaitan dengan transisi. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan harus terpenuhi terlebih dahulu. Keadaan pada petrinet dinyatakan dengan place. Place dapat berfungsi sebagai masukan atau keluaran suatu transisi. Place sebagai masukan menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaan tersebut adalah keluaran dari transisi.

Definisi 1.[1] Petrinet adalah 4-tuple, dengan

 : himpunan berhingga place, { ₁ 2 },

 : himpunan berhingga transisi, { 1 2 },

 : himpunan arc, ⊆ ( × ) ∪ ( × ),

 : fungsi bobot, ₁,

Petrinet dapat digambarkan sebagai graf berarah. Node dari graf berupa place yang diambil dari himpunan place P atau transisi yang diambil dari himpunan transisi T. Pada Petrinet graf diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau lebih dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini dikenal dengan struktur multigraf.

B. Petrinet Bertanda dan Ruang Keadaan

Transisi pada Petrinet menyatakan event pada Sistem Event Diskrit dan place merepresentasikan kondisi agar event dapat terjadi. Token adalah sesuatu yang diletakkan di place yang menyatakan terpenuhi tidaknya suatu kondisi. Secara grafik token digambarkan dengan dot dan diletakkan di dalam place. Jika jumlah token lebih dari 5 maka dituliskan dengan angka.

Definisi 2. [1] Petrinet bertanda (marked) adalah 5-tuple 0 dimana

adalah Petrinet dan 0 adalah penanda awal.

Penanda dinyatakan dengan vektor yang berisi bilangan bulat nonnegatif yang menyatakan jumlah token. Jumlah elemen sama dengan banyak place petrinet. Elemen kepada vektor merupakan jumlah token pada place , { }. Jumlah token pada place adalah sebarang bilangan bulat nonnegatif, tidak harus terbatas (bounded). Ruang keadaan (state space) X pada Petrinet bertanda dengan place didefinisikan oleh semua vektor berdimensi dengan elemen – elemennya adalah bilangan bulat nonnegatif, sehingga { }.

Penyusunan model petrinet dan model aljabar max-plus, yang diperlukan sebagai berikut. a. Jalur - jalur pada jaringan kereta api di Jawa Timur.

b. Jumlah dan distribusi kereta api di tiap – tiap Jalur. c. Aturan sinkronisasi antar keberangkatan kereta api. d. Waktu tempuh antar stasiun di tiap – tiap jalur.

Berdasarkan dari informasi jadwal keberangkatan dan lamanya waktu perjalanan, maka dapat disusun aturan sinkronisasi pada jaringan kereta api di Jawa Timur dengan 5 (lima) jalur sebagai berikut.

Jalur 1 :

Kelas eksekutif/bisnis

 Keberangkatan kereta api ke- dari MD1 menuju NJK1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari NJK1 menuju MD1.

(18)

 Keberangkatan kereta api ke- dari NJK1 menuju KTS1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MD1 menuju NJK1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari KTS1 menuju JG harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari NJK1 menuju KTS1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari JG menuju MR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS1 menuju JG.

 Keberangkatan kereta api ke- dari MR menuju SBY1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JG menuju MR.

 Keberangkatan kereta api ke- dari SBY1 menuju MR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR menuju SBY1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari LMG menuju SBY2 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG1 menuju SBY3 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG2 menuju SBY4.

 Keberangkatan kereta api ke- dari MR menuju JG harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari SBY1 menuju MR.

 Keberangkatan kereta api ke- dari JG menuju KTS1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR menuju JG.

 Keberangkatan kereta api ke- dari KTS1 menuju NJK1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JG menuju KTS1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari NJK1 menuju MD1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS1 menuju NJK1.

Kelas ekonomi

 Keberangkatan kereta api ke- dari KTS1,1 menuju JG1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JG1 menuju KTS1,1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KDR1 menuju KTS2,1

 Keberangkatan kereta api ke- dari JG menuju MR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS1 menuju JG1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari MR1 menuju SBY1,1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JG1 menuju MR1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari SBY1,1 menuju MR1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR1 menuju SBY1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG2 menuju SBY4.

 Keberangkatan kereta api ke- dari MR1 menuju JG1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari SBY1 menuju MR1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari JG1 menuju KTS1,1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR1 menuju JG1.

Jalur 2 :

Kelas eksekutif/bisnis

 Keberangkatan kereta api ke- dari MD2 menuju NJK2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari NJK2 menuju MD2.

 Keberangkatan kereta api ke- dari NJK2 menuju KTS2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MD2 menuju NJK2.

 Keberangkatan kereta api ke- dari KTS2 menuju KDR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari NJK2 menuju KTS2.

 Keberangkatan kereta api ke- dari KDR menuju BL harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS2 menuju KDR.

 Keberangkatan kereta api ke- dari BL menuju ML1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KDR menuju BL.

(19)

 Keberangkatan kereta api ke- dari ML1 menuju BL harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BL menuju ML1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG2 menuju ML2.

 Keberangkatan kereta api ke- dari BL menuju KDR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari ML1 menuju BL.

 Keberangkatan kereta api ke- dari KDR menuju KTS2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BL menuju KDR.

 Keberangkatan kereta api ke- dari KTS2 menuju NJK2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KDR menuju KTS2.

 Keberangkatan kereta api ke- dari NJK2 menuju MD2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS2 menuju NJK2.

Kelas ekonomi

 Keberangkatan kereta api ke- dari KTS2,1 menuju KDR1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KDR1 menuju KTS2,1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JG1 menuju KTS1,1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari KDR1 menuju BL1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KTS2,1 menuju KDR1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari BL1 menuju ML1,1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari KDR1 menuju BL1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari ML1,1 menuju BL1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BL1 menuju ML1,1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG2 menuju ML2.

 Keberangkatan kereta api ke- dari BL1 menuju KDR1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari ML1 menuju BL1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari KDR1 menuju KTS2,1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BL1 menuju KDR1.

Jalur 3 :

 Keberangkatan kereta api ke- dari CP menuju BJ harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BJ menuju CP.

 Keberangkatan kereta api ke- dari BJ menuju LMG harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari CP menuju LMG.

 Keberangkatan kereta api ke- dari LMG menuju SBY2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BJ menuju LMG.

 Keberangkatan kereta api ke- dari SBY2 menuju LMG harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari LMG menuju SBY2 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR menuju SBY1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG1 menuju SBY3 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG2 menuju SBY4.

 Keberangkatan kereta api ke- dari LMG menuju BJ harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari SBY2 menuju LMG.

 Keberangkatan kereta api ke- dari BJ menuju CP harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari LMG menuju BJ.

Jalur 4 :

 Keberangkatan kereta api ke- dari BW menuju JR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari JR menuju BW.

 Keberangkatan kereta api ke- dari JR menuju PB harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari PB menuju BG1.

(20)

 Keberangkatan kereta api ke- dari BG1 menuju SBY3 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari PB menuju BG1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari SBY3 menuju BG1 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG1 menuju SBY3 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR menuju SBY1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR1 menuju SBY1,1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari LMG menuju SBY2.

 Keberangkatan kereta api ke- dari BG1 menuju PB harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari SBY3 menuju BG1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari ML2 menuju BG2.

 Keberangkatan kereta api ke- dari PB menuju JR harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG1 menuju PB.

 Keberangkatan kereta api ke- dari JR menuju BW harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari PB menuju JR.

Jalur 5 :

 Keberangkatan kereta api ke- dari SBY4 menuju BG2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG2 menuju SBY4 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari MR1 menuju SBY1,1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari LMG menuju SBY2.

 Keberangkatan kereta api ke- dari BG2 menuju ML2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari SBY4 menuju BG2 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari PB menuju BG1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari ML2 menuju BG2 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BG2 menuju ML2 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari BL1 menuju ML1.

 Keberangkatan kereta api ke- dari BG2 menuju SBY4 harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke- dari ML2 menuju BG2.

Selanjutnya, setelah aturan sinkronisasi diberikan maka dibuat suatu model jaringan kereta api. Berikut pendefinisian variabel pada model sistem jaringan kereta api.

Var. Definisi keberangkatan kereta api dari :

1 1 ke 1 pada saat ke- 26 2 ke 2 pada saat ke- 2 1 ke 1 pada saat ke- 27 2 1 ke 1 pada saat ke- 3 1 ke pada saat ke- 28 1 ke 1 pada saat ke- 4 ke pada saat ke- 29 1 ke 1 1 pada saat ke- 5 ke 1 pada saat ke- 30 1 1 ke 1 pada saat ke- 6 1 ke pada saat ke- 31 1 ke 1 pada saat ke- 7 ke pada saat ke- 32 1 ke 2 1 pada saat ke- 8 ke 1 pada saat ke- 33 ke pada saat ke- 9 1 ke 1 pada saat ke- 34 ke pada saat ke- 10 1 ke 1 pada saat ke- 35 ke 2 pada saat ke- 11 1 1 ke 1 pada saat ke- 36 2 ke pada saat ke- 12 1 ke 1 pada saat ke- 37 ke pada saat ke- 13 1 ke 1 1 pada saat ke- 38 ke pada saat ke- 14 1 1 ke 1 pada saat ke- 39 ke pada saat ke- 15 1 ke 1 pada saat ke- 40 ke pada saat ke- 16 1 ke 1 1 pada saat ke- 41 ke 1 pada saat ke- 17 2 ke 2 pada saat ke- 42 1 ke 3 pada saat ke- 18 2 ke 2 pada saat ke- 43 3 ke 1 pada saat ke-

(21)

19 2 ke pada saat ke- 44 1 ke pada saat ke- 20 ke pada saat ke- 45 ke pada saat ke- 21 ke 1 pada saat ke- 46 ke pada saat ke- 22 1 ke pada saat ke- 47 4 ke 2 pada saat ke- 23 ke pada saat ke- 48 2 ke 2 pada saat ke- 24 ke 2 pada saat ke- 49 2 ke 2 pada saat ke- 25 2 ke 2 pada saat ke- 50 2 ke 4 pada saat ke-

Tabel 6. Pendefinisian variabel

Pertama, disusun Petrinet untuk tiap jalur, kemudian disinkronisasi berdasarkan aturan sinkronisasi di atas. Petrinet yang disusun berikut dimaksudkan untuk menggambarkan sinkronisasi antar keberangkatan kereta api berdasarkan aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atasnamun tidak dimaksudkan untuk menggambarkan pergerakan jaringan kereta api secara simultan. Berdasarkan definisi petrinet variabel – variabel yang dipakai sebagai berikut.

: himpunan berhingga place, { 1 2 3 50}, dengan jumlah token pada

setiap place menunjukkan jumlah distribusi kereta api pada masing – masing jalur yang bersesuian.

: himpunan berhingga transisi, { 1 2 3 50}. Transisi merepresentasi

event keberangkatan kereta api di tiap – tiap stasiun. Berikutnya, masing – masing notasi

transisi diganti dengan , yaitu { 1 2 3 50}. Hal ini bertujuan supaya sesuai

dengan tabel 6 pendefinisian variabel dan dalam penyusunan model aljabar max-plus. : himpunan arc, ⊆ ∪ , yaitu : { 1 1 1 2

50 50 50 47 }.

: fungsi bobot, { }, yaitu semua arc dalam himpunan bobotnya adalah 1.

Penanda awal, yaitu 0

, menunjukkan jumlah token untuk setiap

1 2 3 50.

Berikut petrinet untuk keberangkatan kereta api di Jawa Timur.

MODEL ALJABAR MAX-PLUS

A. Notasi dan Definisi Aljabar Max-plus

Definisi 3. [5] Diberikan ∪ { } dengan adalah himpunan semua bilangan real

dan . Pada didefinisikan operasi berikut:

{ } dan .

Dimana operasi dibaca o-plus dan dibaca o-times. Selanjutnya, diberikan

merupakan semiring dengan elemen netral dan elemen satuan . Untuk

(22)

Pangkat dalam aljabar max-plus diperkenalkan dengan menggunakan sifat asosiatif dari operator .

B. Vektor dan Matriks dalam Aljabar Max-Plus

Himpunan matriks dalam aljabar max-plus dinyatakan dalam . Untuk dengan , didefinisikan { }. Elemen dari matriks pada

baris ke- dan kolom ke- dinyatakan dengan untuk dan . Dalam hal ini

matriks ditulis sebagai

[

1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2

]

biasanya elemen juga dinotasikan sebagai

Penjumlahan matriks dinotasikan oleh didefinisikan sebagai

{ }

untuk dan .

Untuk dan matriks , perkalian skalar dengan matriks

dinotasikan didefinisikan sebagai

untuk dan .

Untuk matriks dan , perkalian matriks didefinisikan sebagai

⨁

⨂ { }

untuk dan . Perkalian ini serupa dalam perkalian matriks aljabar biasa dimana + diganti dengan max dan dengan +.

C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 4. [5] Diberikan matriks persegi . Jika adalah skalar dan

adalah vektor yang memuat sedikitnya satu elemen berhingga sedemikian

hingga

⨂ ⨂

Maka disebut nilai eigen dan adalah vektor eigen dari .

D. Algoritma Power

Algoritma power adalah salah satu algoritma yang digunakan menentukan nilai eigen dan vektor eigen dalam semiring max-plus. Algoritma ini dimulai dengan pemberian vektor awal , ini artinya vektor awal memuat sedikitnya satu elemen berhingga, dan selanjutnya dilakukan iterasi dari bentuk persamaan linier

(1) hingga diperoleh dua vektor dan sebuah konstanta , sedemikian hingga .

Berikut langkah – langkah algoritma power untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks .

1. Ambil sebarang vektor awal , dimana adalah vektor yang hanya memuat elemen .

(23)

2. Iterasi persamaan (1) hingga ada bilangan bulat dengan dan bilangan real , sedemikian hingga .

3. Hitung nilai eigen Hitung vektor eigen

(

⨂ _{⨂ ).}

Algoritma tersebut sudah diimplementasikan dengan program Scilab dalam Max Plus

Toolbox. Selanjutnya, dalam pembahasan untuk memudahkan dalam penghitungan nilai

eigen dan vektor eigen akan digunakan program Scilab dan Max-Plus Toolbox tersebut. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Berdasarkan aturan sinkronisasi yang telah dibuat dan berdasarkan tabel 6 pendefinisian variabel dapat dikontruksi model sistem jaringan kereta api di Jawa Timur sebagai berikut.  Jalur 1 : 1 = 10 10 = 6 2 = 1 1 = 1 3 = 2 2 = 1 4 = 3 3 = 1 5 = 4 4 = 1 6 = 5 5 ⨁ 35 23 ⨁ 42 30 ⨁ 50 38 = 1 ⨁ 33 ⨁ 39 ⨁ 49 7 = 6 6 = 6 8 = 7 7 = 6 9 = 8 8 = 6 10 = 9 9 = 6 11 = 16 8 1 ⨁ 32 18 1 = 14 ⨁ 30 12 = 11 3 1 = 11 13 = 12 4 1 = 11 14 = ( 13 5 1) ⨁ ₅₀ ₃₈ = 11 ⨁ 49 15 = 14 6 1 = 14 16 = 15 7 1 = 14  Jalur 2 : 17 = 26 20 = 22 18 = 17 11 = 17 19 = 18 12 = 17 20 = 19 13 = 17 21 = 20 14 = 17 22 = 21 15 ⨁ 48 36 = 17 ⨁ 39 ⨁ 47 23 = 23 16 = 22 24 = 23 17 = 23 25 = 24 18 = 16 26 = 25 19 = 22 27 = 32 18 1 = 30 28 = 27 13 1 = ₂₇ 29 = 28 14 1

(24)

Seminar Nasional Matematika 2014 102 Prosiding = ₂₇ 30 = ( 29 15 1) ⨁ 48 36 = 27 ⨁ 39 ⨁ 47 31 = 30 16 1 = 30 32 = 31 17 1 = 30  Jalur 3 : 33 = 38 26 = 37 34 = 33 21 = 33 35 = 34 22 = 21 36 = 35 23 ⨁( 13 5 1) ⨁ 42 30 ⨁ 50 38 = 33 ⨁ 11 ⨁ 39 ⨁ 49 37 = 36 24 = 37 38 = 38 25 = 37  Jalur 4 : 39 = 46 34 = 43 40 = 39 27 = 39 41 = 40 28 = ₃₉ 42 = 41 29 = 39 43 = 42 30 ⨁ 5 5 ⨁( 13 5 1) ⨁ 35 23 = 39 ⨁ 1 ⨁ 11 ⨁ 33 44 = 44 32 = 43 45 = 44 32 = 43 46 = 45 33⨁ 48 36 = 43 ⨁ 47 ⨁ 39  Jalur 5 : 47 = 50 38 ⨁ 35 23 ⨁( 13 5 1) = 49 ⨁ 33 ⨁ 11 48 = 47 35 ⨁ 41 29 = 47 ⨁ 39 49 = 48 36 ⨁( 29 15 1) = 47 ⨁ 27 50 = 49 ⨁ 39

Selanjutnya, dari model diatas dapat dinyatakan dalam bentuk sistem matriks aljabar max-plus sebagai berikut :

⨂ (2) dimana vektor dan matriks adalah matrik berukuran , yakni :

[ 1 6 11 14 17 22 27 30 33 36 39 43 49] dan [ ]

Berikutnya, selain dari model diatas dapat juga dinyatakan dalam bentuk sistem matriks aljabar max-plus sebagai berikut :

(25)

dimana vektor dan matriks adalah matriks berukuran ,yakni

[ 2 3 4 5 7 8 9 10 12 13 15 16 18 19 20 21 23 24 25 26 28 29 31 32 34 35 37 38 40 41 42 44 45 46 48 50] dan [ ]

dimana untuk alasan kemudahan notasi ε diganti dengan “.”.

Bentuk model (2) dan (3) masih sulit untuk mendesain penjadwalan kereta api di Jawa Timur. Berikut diberikan lemma 9 yang menyatakan keterhubungan keperiodikan model (2) dan (3).

Lemma 1. (Fahim, 2013) Jika ⨂ dengan memenuhi model (2)

dan . Maka ⨂ dengan memenuhi model (3).

Selanjutnya, selain lemma diatas sifat yang dimiliki model (2) dan (3) adalah jika didapatkan nilai dari maka dapat diperoleh . Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk menyusun penjadwalan kereta api di Jawa Timur cukup dengan hanya menyelesaikan model (2). Yakni cukup menentukan dan sedemikian hingga model (2) mempunyai sifat ⨂ untuk . Dengan demikian dapat ditentukan nilai dari sedemikian hingga model (3) mempunyai sifat ⨂ untuk .

DESAIN PENJADWALAN

Penyusunan desain penjadwalan kereta api di Jawa Timur menggunakan informasi mengenai nilai eigen dan vektor eigen dari matriks pada persamaan (2). Nilai eigen dan vektor eigen dapat ditentukan dengan algoritma power. Dalam penelitian ini untuk membantu menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks dan digunakan bantuan aplikasi program Scilab dan fungsi – fungsi yang terdapat pada Maxplus

(26)

Dengan menggunakan Scilab dan Maxplus Toolbox diperoleh nilai eigen adalah 382. Vektor eigen matriks , yaitu :

[896 1146 1057 901 1073 1170 1057 1170 872 1146 1149 1146 901 1170]T . Selanjutnya, hasil nilai eigen menyatakan keperiodikan sistem. Interpretasi dari nilai eigen adalah periode keberangkatan kereta api di stasiun adalah setiap menit sekali, yaitu menit.

Berikutnya, hasil vektor eigen hanya digunakan untuk awal keberangkatan kereta api di stasiun asal untuk kereta api yang di definisikan dengan variabel

1 6 11 14 17 22 27 30 33 36 39 43 47 49. Sedangkan untuk

keberangkatan kereta api yang didefinisikan dengan variabel ₂ ₃ ₄ ₄₈ ₅₀ digunakan model 3. Model ini digunakan untuk menentukan dengan cara mensubstitusi pada model 3 dengan .

Dengan menggunakan program Scilab dan Maxplus Toolbox diperoleh

=[932 949 964 983 1186 1208 1222 1239 1078 1109 978 1008 1113 1131 1163 1243 1287 1367 1396 1417 1094 1308 1405 896 942 1177 1223 1309 1413 1479 1552 1267 1381 1489 1238)]T

Sehingga dapat didefinisikan vektor keberangkatan awal yang sudah mewakili semua variabel penjadwalan yaitu

( ₎

Selanjutnya, disusun penjadwalan dengan menggunakan sebagai acuan keberangkatan awal. Untuk mempermudah penentuan jadwal keberangkatan awal kereta api didefinisikan vektor keberangkatan awal yang baru sebagai berikut.

dengan

1 50 1

dan

1 50 1.

Sehingga diperoleh vektor akhir keberangkatan yang berukuran .

Hasil akhir dari proses perhitungan ini yakni vektor sebagai waktu keberangkatan awal penjadwalan dan selanjutnya dapat disusun jadwal periodik keberangkatan kereta api dari setiap stasiun dengan periode menit atau 6 jam 22 menit untuk setiap keberangkatan kereta api. Hasil terlihat bahwa 9 1 , sehingga untuk selanjutnya

stasiun Cepu (CP) disebut titik acuan penjadwalan.

Berdasarkan kondisi sebenarnya keberangkatan awal kereta api dari stasiun Surabaya rata – rata dimulai pukul 8.00 WIB sehingga dalam penelitian ini keberangkatan awal kereta api di stasiun Surabaya juga dimulai pukul 8.00 WIB. Karena pada stasiun Surabaya bernilai 274 sehingga keberangkatan awal di stasiun Cepu pukul 3.26. Dengan penentuan awal keberangkatan pada titik acuan ini maka selanjutnya dapat disusun penjadwalan kereta api di Jawa Timur. Berikut jadwal keberangkatan kereta api di Jawa Timur.

No. Stasiun Keberangkatan

Keberangkatan No. Stasiun Keberangkatan

keberangkatan

ke- 1 ke- 2 ke- 1 ke- 2

1 ₁ ke ₁ 3.50 10.12 26 ₂ ke ₂ 12.31 18.53 2 ₁ ke ₁ 4.26 10.48 27 _{2 1} ke ₁ 6.31 12.53 3 ₁ ke 4.43 11.05 28 ₁ ke ₁ 7.08 13.30 4 ke 4.58 11.20 29 ₁ ke _{1 1} 8.45 15.07 5 ke ₁ 5.17 11.39 30 _{1 1} ke ₁ 8.24 14.46 6 ₁ ke 8.00 14.22 31 ₁ ke ₁ 10.42 17.04

(27)

Seminar Nasional Matematika 2014 7 ke 8.40 15.02 32 8 ke ₁ 9.02 15.24 33 9 ₁ ke 10 ₁ ke 11 _{1 1} ke 12 ₁ ke 13 ₁ ke 14 ₁ ke 15 ₁ ke 16 ₁ ke 17 ₂ ke 18 ₂ ke 19 ₂ ke 20 ke 8.17 14.39 45 21 ke ₁ 9.37 15.59 46 22 ₁ ke 23 ke 10.21 16.43 48 24 ke ₂ 11.41 25 ₂ ke 4. KESIMPULAN 105 Prosiding ₁ ke _{2 1} 11.19 18.41 ke 3.26 9.48 ₁ 9.16 15.38 34 ke 3.50 10.12 ₁ 9.33 12.53 35 ke ₂ 4.36 10.58 ₁ 6.31 12.35 36 ₂ ke 8.00 14.22 ₁ 6.52 13.14 37 ke 8.31 14.53 _{1 1} 7.23 13.45 38 ke 9.17 15.39 ₁ 3.55 10.17 39 ke 8.03 14.25 ₁ 5.12 11.34 40 ke 10.43 17.05 ₁ 5.42 12.04 41 ke ₁ 12.27 18.49 ₂ 6.47 13.09 42 ₁ ke ₃ 13.33 19.55 ₂ 7.27 13.49 43 ₃ ke ₁ 8.00 14.22 7.45 14.07 44 ₁ ke 14.46 20.08 ke 10.01 16.23 ke 11.55 18.17 8.24 14.46 47 ₄ ke ₂ 12.05 10.17 ₂ ke ₂ 13.43 20.05 18.03 49 ₂ ke ₂ 8.24 14.46 ₂ 12.10 18.32 50 ₂ ke ₄ 9.32 15.54

Berdasarkan hasil analisa yang telah dilakukan dalam memodelkan dan mendesain penjadwalan kereta api di Jawa Timur, maka dapat disimpulkan bahwa :

a. Aljabar max-plus dan petri net dapat diterapkan dalam penyusunan model sistem jaringan kereta api di Jawa Timur. Model yang disusun menggunakan aljabar max-plus ini adalah dan dengan analisa penyusunan jadwal regular dilakukan pada matriks .

b. Model sistem jaringan kereta api di Jawa Timur menghasilkan periode keberangkatan di masing – masing stasiun adalah setiap menit sekali. Sedangkan waktu keberangkatan awal kereta api di setiap stasiun diperoleh dari vektor eigen.

c. Desain dan model penjadwalan sistem jaringan kereta api di jawa timur dipengaruhi oleh banyaknya kereta api, waktu tempuh, dan aturan sinkronisasi.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Adzkiya, D., 2008, Membangun Model Petri Net Lampu Lalu Lintas dan

Simulasinya, Tesis Magister, ITS, Surabaya.

[2] Fahim, K, 2013, Aplikasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan

Busway yang Di integrasikan dengan Kereta APi Komuter, Skripsi Magister, ITS,

Surabaya.

[3] Sejarah Kereta – Wikipedia, http://id.wikipedia.org/wiki/Lokomotif_uap, tanggal

akses : 17 Pebruari 2014.

[4] Sistem Transportasi, http://www.ircham.sttnas.ac.id/system_transportasi.doc, tanggal

akses 17 Pebruari 2014.

[5] Subiono, 2013, Aljabar Maxplus dan Terapannya, Buku Ajar Mata Kuliah Pilihan Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya.

(28)

[6] Winarni, 2010. Penjadwalan jalur bus dalam kota dengan model petrinet dan aljabar

max-plus (studi kasus busway transjakarta), Jurnal CAUCHY.