Operator Momentum Sudut
Operator Momentum Sudut
Momentum sudut berkaitan dengan momentum benda yang sedang bergerak Momentum sudut berkaitan dengan momentum benda yang sedang bergerak melingkar atau berotasi. Konsep ini penting dalam membahas teori kuatum atom melingkar atau berotasi. Konsep ini penting dalam membahas teori kuatum atom hidrogen. Dalam bab ini akan ditinjau teori kuatum tentang momentum sudut. hidrogen. Dalam bab ini akan ditinjau teori kuatum tentang momentum sudut.
Kerena merupakan besaran inti dalam pembahasan gerak rotasi atau revolusi, maka Kerena merupakan besaran inti dalam pembahasan gerak rotasi atau revolusi, maka momentum sudut sangat penting bagi peninjauan atom dan molekul, termasuk
momentum sudut sangat penting bagi peninjauan atom dan molekul, termasuk spektroskopi dan masalah tumbukan. Konsep iso-spin dalam fisika nuklir spektroskopi dan masalah tumbukan. Konsep iso-spin dalam fisika nuklir merupakan generalisasi dari momentum sudut, termasuk grup
merupakan generalisasi dari momentum sudut, termasuk grup simetri
simetri dalam dalam fisika fisika zarah zarah (partikel(partikel).). e!ara klasik, momentum sudut didefinsikan sebagai
e!ara klasik, momentum sudut didefinsikan sebagai
("#$) ("#$)
Gambar 6.1:
Gambar 6.1: %itik %itik juga juga dapat dapat dinyatakan dinyatakan dalam dalam koordinat koordinat kutub kutub sferissferis .
.
ajian
ajian momentum momentum sudut sudut lebih lebih praktis praktis menggunakan menggunakan sistem sistem koordinatkoordinat sferis
sferis seperti seperti ditunjukkan ditunjukkan oleh oleh &b.&b. '.'.. ubungan antara peubah. ubungan antara peubah koordinat *artesian dan koordinat sferis dinyatakan sbb
koordinat *artesian dan koordinat sferis dinyatakan sbb
("#+) ("#+)
pusat dapat dituliskan dalam peubah posisi dan momentum linear sbb
("#)
elanjutnya,
ubungan ini dapat diperoleh dari persamaan '. demikian pula sajian untuk peubah dan . Dengan !ara ini, operator momentum sudut dapat dimnyatakan
dalam peubah sudut sebagai
("#)
erolehan sajian di atas dapat pula dilakukan dengan menyatakan operator langsung dalam koordinat sferis
(")
dimana
("/) ("0)
1pabila momentum sudut diukur dengan satuan , nilai eigen kuantum
mendekati nilai momentum sudut klasik . 2ektor momentum sudt total dapat berarah kemana saja, yang dapat dinyatakan dengan peubah dan . Komponen
dalam arah- tidak bergantung pada , tetapi jelas bergantung pada . 3ilai maksimumnya adalah , jika dan minimum jika . e!ara klasik dapat bernilai sembarang antara dua ekstrim tersebut, bergantung pada orientasi terhadap . asil mekanika kuantum se!ara kualitatif sama, bedanya karena adanya nilai diskret, yakni bilangan bulat antara dan .
e!ara klasik, hal ini dilukiskan dalam diagram vektor &br. './, dimana nilai-nilai yang mungkin ditunjukkan sebagai orientasi momentum sudut. Kendati se!ara kuantum momentum sudut memiliki harga tertentu, tetapi tetap terdapat ketidakpastian se!ara kuantum, yakni berlaku bagi peubah yang komplementer.
Gambar: Diagram vektor momentum sudut. e!ara klasik momentum sudut memiliki orientasi sembarang, sedangkan se!ara kuantum orientasi dibatasi pada
kelipatan bukat dari .
1pabila suatu partikel bergerak dalam potensial terpusat sekitar titik asal
koordinat, distribusi kebolehjadian dari orientasi momentum sudut dinyatakan oleh kuadrat modulus dari keadaan eigen momentum sudut, yang dapat dituliskan
("0)
5ntuk , terdapat hubungan berikut
("6#)
("6)
7eberapa keadaan sederhana dari ( '.0/) terdapat dalam %abel '. . erhatikan bah8a merupakan tetapan juga sebagai keadaan eigen dari dan ,
yang bersesuaian dengan nilai eigen nol.
Kebolehjadian bagi suatu keadaan yang dinyatakan oleh memiliki orientasi adalah
("6")
5ntuk keadaan dengan , tampak jelas dalam %abel '. bah8a nilai paling mungkin bagi adalah , sehingga orbit !enderung berada pada
bidang - , dan total vektor momentum sudut yang paling mungkin adalah yang ke atas atau ke ba8ah. ebaliknya, untuk , nilai yang paling mungkin adalah dan , sehingga orbit !enderung berada pada bidang yang tegak lurus dengan bidang - . %idak ada ketergantungan terhadap . al ini berarti bah8a diagram vektor yang terdapat dalam &br. './ seyogyanya dipahami
dalam konteks kuantum.
Dalam ranah klasik, nilai dan menjadi sangat besar, beda antara
dan dapat diabaikan, demikian juga beda antara spektrum kontinu dan spektrum diskret yang dibolehkan bagi nilai .
asil translate
ebelum mempertimbangkan momentum sudut elektron mengorbit, akan sa ngat membantu untuk
mengulas bagaimana momentum sudut mempengaruhi orbit klasik, seperti orang-orang dari planet
atau komet tentang un. Klasik, momentum sudut dari partikel adalah
di8akili oleh vektor9 : ;9 r <9 p, di mana9 r adalah vektor posisi yang menempatkan partikel dan9 p adalah momentum linear. 1rah9 : tegak lurus
terhadap bidang orbit. eiring dengan energi, momentum sudut tetap
konstan sebagai orbit planet. =nergi total dari gerak orbital menentukan jarak rata-rata planet dari Matahari 5ntuk total energi yang diberikan, banyak orbit yang berbeda yang
mungkin,
untuk orbit melingkar dan terke!il untuk elips memanjang. &ambar $." menunjukkan berbagai orbit planet memiliki total energi yang sama tetapi berbeda sudut
momentum. pesifikasi lengkap orbit mengharuskan kita tidak memberi hanya besarnya vektor momentum sudut tetapi juga arahnya ini
arah mengidentifikasi bidang orbit. 5ntuk benar-benar menggambarkan sudut
vektor momentum membutuhkan tiga angka Misalnya, kita mungkin memberikan tiga komponen9 : (:?, :y, :z). =kuivalen, kami mungkin memberikan besarnya : dari vektor dan dua koordinat angular yang memberikan arahnya (mirip dengan lintang dan bujur pada bola).
Defnisi Momentum Sudut
Momentum sudut adalah sebuah besaran fisika yang penting, khususnya untuk masalah-masalah pada tingkat energi dan spektra atom dan molekul. Dalam bagian ini, momentum sudut akan didefinisikan dan sifat-sifatnya akan dijelaskan.
Momentum sudut dari sebuah partikel didefinisikan sebagai sebuah produk luar (produk vektor) r x p dari posisi vektor r yang menyatakan posisi (x, y, z) dan momentum ( x, y, z).
(!."#)
$ersamaan ini dapat ditulis ulang dengan komponen-komponen berikut.
(!."%)
Momentum sudut yang diperkenalkan di sini disebut sebagai momentum sudut orbital karena ini berkaitan dengan gerak orbital klasik dari partikel.
Contoh 1.12 Dapatkan momentum sudut orbital l dari sebuah partikel dengan masa m yang melingkar pada bidang x-y dengan ke&epatan yang konstan v dan pada radius r. 'emudian tulis lagi kondisi ohr untuk kuantisasi pada persamaan (!.!) untuk batasan dari besaran momentum sudut *l*.
(Jawaban) 'arena z +, pz + untuk gerak melingkar di sekitar titik pusat dalam bidang x-y
sebagaimana ditunjukkan dalam gambar, maka komponen x dan y dari momentum sudut l, keduanya akan menghilang.
Dengan mengambil sudut dan arah dari ke&epatan v sebagaimana dalam gambar, kita akan mendapatkan persamaan-persamaan berikut.
'omponen z dari momentum sudut l menjadi
Dengan &atatan baha *l* mvr dalam persamaan di atas maka kita mendapatkan
Dengan demikian, kondisi ohr untuk kuantisasi menunjukkan baha besaran momentum sudut orbital dari gerak melingkar dikuantisasi menjadi perkalian bilangan bulat dengan h.
peratorÎ (Î x, Î y, Î z) berhubungan dengan l yang dapat diperoleh dengan menggunakan
persamaan (!./0) yang digunakan juga untuk menurunkan operator 1amiltonian dengan menggunakan koordinat polar (r, , 2) kita akan mendapatkan persamaan berikut.
(!."3)
$ersamaan-persamaan ini akan menuju pada sebuah ekspresi yang sangat berguna untuk momentum sudut kuadrat l l
x 2 + l y 2 + l z 2 . 4ehingga Î akan sebanding dengan operator 5egendre
6.
4ifat karakteristik dari operator 6 telah dipelajari dengan baik dalam kaitannya dengan harmonik sudut Y l,m. eberapa &ontoh untuk Y l,m ditunjukkan dalam tabel !.0. 1ubungan berikut ini adalah
sangat penting.
(!.!++) atau
(!.!+!) 7ni adalah persamaan eigen untuk Î 8Y
l,m adalah fungsi eigen dan l (l 9 !)h adalah nilai
eigen. l adalah bilangan kuantum yang menentukan besarnya momentum sudut orbital. 7ni adalah bilangan kuantum untuk kuadrat dari l dan dibatasi pada nilail +,!,,0,: .
1ubungan berikut untuk kompnen z dari momentum sudut Î z dan dapat dikonfirmasi pada tabel
!.0.
(!.!+)
7ni adalah persamaan eigen untuk Îz 8 Y l,m adalah fungsi eigen dan mh adalah nilai eigen. m adalah
bilangan kuantum untuk komponen z dari momentum sudut orbital dan memiliki l 9 ! nilai yang mungkin yang berkaitan dengan bilangan kuantuml dalam daerah dari ;l hingga 9l . 4ebagai &ontoh untuk l !, maka nilai yang mungkin adalah m -!, +, !. 'arakteristik yang seperti itu untuk l dan m adalah berkaitan dengan perilaku elektron dalam atom. 4ebuah hubungan yang sama dan juga penting dalam menjelaskan keadaan rotasional dari molekul. 4ebagaimana telah dipelajari dalam kasus rotor yang kaku dari sebuah molekul diatomik, operator 1amiltonian adalah sebanding dengan operator 5egendre 6 dalam persamaan (!.!++), fungsi gelombang untuk rotasi molekul akan menjadi fungsi harmonik sperikal <l,m.
