MATEMATIKA TERAPAN Daftar isi : I. Review Definisi Dasar Fungsi Variabel Turunan/Derivatif
Beberapa aturan pada operasi turunan Latihan Soal
Integral
Beberapa sifat pada operasi integral
Beberapa sifat trigonometri yang perlu diperhatikan Latihan Soal
II Persamaan Diferensial Biasa Pengertian persamaan diferensial Pembentukan persamaan diferensial Orde persamaan diferensial
Persamaan diferensial biasa Solusi persamaan Diferensial
Solusi umum Solusi khusus
Masalah nilai awal dan nilai batas Latihan Soal
III. Persamaan Diferensial Orde 1
Bentuk Sederhana persamaan diferensial orde pertama Pemisahan Variabel
Contoh Soal Cerita
IV. Persamaan Diferensial Linear Orde 1
Ciri-ciri sifat linearitas pada Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Eksak
Metode Faktor Pengintegralan
Solusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Faktor Pegintegaralan V. Persamaan Diferensial Orde 2
Persamaan Diferensial linear Orde 2
Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients)
Akar-akarnya adalah bilangan riil dan sama Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda Akar-akarnya adalah bilangan kompleks
Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients)
VI. Aplikasi Persamaan Diferensial Dalam Bidang Teknik Elektro
I. REVIEW Definisi Dasar
Fungsi
Secara mudah, fungsi dapat dipandang sebagai “aturan” yang menghubungkan input dan output. Input yang diberikan akan dilewatkan ke sebuah blok fungsi, dan menghasilkan output sesuai dengan karakteristik blok fungsi. Hal ini dapat diilustrasikan sebagai berikut :
Gambar 1. Hubungan antara input, output, dan blok fungsi
Sebuah fungsi “pengali input dua kali” akan menghasilkan nilai output dua kali dari nilai input. fungsi tersebut apabila dituliskan secara matematis adalah sebagai berikut :
: 2
f x x,
atau ditulis secara lebih kompak ( ) 2
f x x
dan digambarkan sebagai berikut :
Gambar 2. Sebuah fungsi dengan blok fungsi “input kalikan 2”
Input suatu fungsi disebut sebagai argumen. Pada fungsi f x( ) 2x, yang menjadi argumen adalah x. Jika x diganti dengan nilai 3, maka : f(3) 2.3 6, dengan nilai argumen adalah 3.
Sebuah fungsi dapat digambarkan secara grafik dengan memakai kordinat kartesius. Fungsi ( ) 2
f x x dapat digambarkan dengan menguji nilai f x( )untuk beberapa nilai x sebagai berikut. x = 2, f x( )= 4 x = 1, f x( )= 2 x = 0, f x( )= 0 x = -1, f x( )= -2 x = -2, f x( )= -4 dst.
Gambar 3. koordinat kartesius fungsi f x( ) 2x Variabel
Pada fungsi y f x( ) 2x, x dan y dapat memiliki kemungkinan sejumlah nilai tertentu, sehingga x dan y dinamakan sebagai variabel. x adalah variabel independent (variabel bebas) dan y adalah variabel dependent (variabel tak-bebas), mengingat nilai y ditentukan oleh nilai variabel x.
Contoh I.1
a. y x4 5x2, variabel dependent = y. variabel independent = x b.
dq
6
q
3
t
2dt
, variabel dependent = q. variabel independent = t c. 2 29
td y
x
e
dt
, variabel dependent = y, variabel independent = x, tpada contoh b dan c terlihat bahwa pada persamaan differensial, variabel dependent-nya adalah variabel dalam bentuk turunannya.
TURUNAN/DERIVATIF
Berikut ini adalah turunan dari beberapa fungsi.
input output aturan input output Fungsi input kalikan 2
x
2x
f
0 1 2 2 4 -1 -2 -2 -4Tabel I.1. Beberapa fungsi yang sering digunakan beserta turunannya
Fungsi, y(x) Turunan, y’ Fungsi, y(x) Turunan, y’
Konstanta 0 1 sin (ax b) 2
1 (
)
a
ax b
n x nxn 1 cos (1 ax b) 21 (
)
a
ax b
x e ex tan (1 ax b) 21 (
)
a
ax b
x e e x sinh(ax b) acosh(ax b) ax e aeax cosh(ax b) asinh(ax b) ln x1
x
tanh(ax b) 2 sec ( ) a h ax bsin x
cos x
cosech ax b( ) acosech ax b( ) coth(ax b)cos x
sin x sec (h ax b) a ech ax bs ( ) tanh(ax b)sin(ax b) acos(ax b) coth(ax b) 2
cos ( ) a ech ax b cos(ax b) asin(ax b) 1 sinh (ax b) 2
(
)
1
a
ax b
tan(ax b) 2 sec ( ) a ax b cosh (1 ax b) 2(
)
1
a
ax b
cosec ax b( ) acosec ax b( ) cot(ax b) 1tanh (ax b)
2
1 (
)
a
ax b
sec(ax b) asec(ax b) tan(ax b)Beberapa Aturan Pada Operasi Turunan
Jika u dan v adalah sebuah fungsi, dan c adalah konstanta, maka : 1. (u v) ' u' v'
2. (uv) ' u v uv' ' 3. (cu) ' cu' 4.
( ) '
u
u v uv
'
2'
v
v
5. Jika y y z( ), dan z z x( ), maka :
dy
dy
*
dz
dx
dz
dx
Contoh I.2
Carilah turunan dari fungsi y berikut ini : 1. y (x2 sin )x jawab : 2
(
)
(sin )
'
d x
d
x
y
dx
dx
' 2 cos y x x 2. sin : , sin y x x misalkan u x v x.' 1 u , dan v' cosx maka y menjadi
y
uv
. ' ( ) ' ' ' ' y uv y u v uv sin cos y x x x 3. y 10 cosx Jawab : ' 10sin y x 4. 22
1
t
y
t
. Jawab : Misalkan u t2 dan v 2t 1. ' 2 u t, dan v' 2( )
u
y
v
, maka 2'
'
'
( ) '
u
u v uv
y
v
v
2 22 (2
1)
.2
'
(2
1)
t
t
t
y
t
2 2 2 2 2 24
2
2
2
2
2 (
1)
'
(2
1)
(2
1)
(2
1)
t
t
t
t
t
t t
y
t
t
t
5. y z6, z x2 1. Carilahdy
dx
! Jawab : 2 6 ( 1) y x ,dy
dy
*
dz
dx
dz
dx
5 6 .2z x 5 12 .x z 2 5 12 (x x 1) Latihan Soal I.1 Temukan turunan dari1. y e 7 x 2. y tan(3x 2) 3. y x5 4. y sin( x ) 5.
y
1
5t
6. y cos(4 t) 7.y
8. y cos (41 t 3) 9. y sin ( 21 t 3) 10.1
sin(5
3)
y
x
11. y 3sin(5 )t 2e4t 12. y 2e3t 17 4sin(2 )t 13.
1
3cos 5
2
t
y
t
14. 3 42
3
2
ww
e
y
15.y
x
ln(
x
)
16. y 3sin (2 ) 5cos (3 )1 t 1 t 17.1
tan (
12) 4 cos (2
11)
2
y
t
t
18. Sebuah fungsi : 3 25
( )
4
1
3
2
t
t
y t
t
(a) tentukandy
dt
(b) jika turunan pertama fungsi tersebut adalah nol, berapa nilai t ? Latihan Soal I. 2
Carilah turunan dari fungsi berikut ini : 1. y sin cosx x
2.
y
xe
x 3. y etsin cost t 4. y etsin cost t(nomor 1-4, gunakan aturan perkalian)
5.
cos
sin
x
y
x
6. 2 31
te
y
t
7. 2 33
2
9
1
x
x
y
x
8. y ln(x2 1) 9. y sin (33 t 2) 10.1
1
y
t
INTEGRALProses mengintegralkan suatu fungsi merupakan kebalikan turunan/derivatif. Suatu fungsi f(x) dapat kita turunkan menjadi :
d fx
(
)
dx
. Apabila kita ingin mencari suatu fungsi f(x) dari turunan/derivatif-nya, maka dinamakan : integralTabel I.2. Beberapa fungsi yangs sering digunakan beserta integral fungsi tersebut Fungsi, f(x) f x dx( ) Fungsi, f(x) f x dx( )
K, Konstanta kx c
tan ax
ln | sec
ax
|
c
a
n x 1,
1
1
nx
c n
n
tan(ax b)ln | sec(
ax b
) |
c
a
x e e x c cosec ax b( )1
ln |
co
sec(
ax b
) cot(
ax b
) |
c
a
x e e x c sec ax b( )1
ln | sec(
ax b
)
tan(
ax b
) |
c
a
ax e axe
c
a
cot(ax b)1
ln | sin(
ax b
) |
c
a
1 x ln | |x c 2 21
a
x
1sin
x
c
a
sin x cos x c 2 21
a
x
11
tan
x
c
a
a
sin axcos ax
c
a
sin(ax b)cos(
ax b
)
c
a
cos x
sin x ccos ax
sin ax
c
a
cos(ax b)sin(
ax b
)
c
a
tan x
ln | sec |x c Contoh I.3Temukan fungsi y jika : (a) y' 6x (b) y' 4x3 (c) y' cosx x jawab : 1. y 6xdx 2 3
y x c, dengan c adalah suatu konstanta sembarang. Perlu diingat, bahwa turunan dari suatu konstanta adalah nol. 2. y 4x dx3
4
(3 1),
4(3 1)
y
x
y
x
c
3. y (cosx x dx)sin
1
22
y
x
x
c
1. (f g dx) fdx gdx 2. Afdx A fdx
3. (Af Bg dx) A f dx B gdx (sifat 1-3 dinamakan sifat linearitas) 4. uv dx' uv vu dx'
Beberapa sifat trigonometri yang perlu diingat : 1. sin2t cos2t 1 2.
cos
21 cos 2
2
t
t
3.sin
21 cos 2
2
t
t
4.tan
sin
cos
t
t
t
5. sin 2t 2sin cost t6. cos 2t 1 2sin2t 2 cos2t 1 cos2t sin2t 7. tan2t 1 sec2t
8. 1 cot 2t cosec2t
9. sin(A B) sinAcosB sinBcosA 10. cos(A B) cosAcosBsinAsinB
11. tan( ) tan( ) 1 tan tan A B A B A B
12. 2sinAcosB sin(A B) sin(A B) 13. 2sinAsinB cos(A B) cos(A B) 14. 2 cosAcosB cos(A B) cos(A B) Latihan Soal I.3
Temukan fungsi y jika : 1. y sin(3x 2) 2. y 5.9
3. y e 3t 4.
y
1
5x
nomor 5 dst, gunakan sifat linear integral 5.
y
3
t
2t
6.sin
cos
2
x
x
y
7.7 cos
( )
2
y
ec
8. y 4 cos(9x 2) nomor 9 dst. Carilah : 9. cos tdt2 10. sin tdt211. xe dx2 x 12. etsintdt 13. (3x 1)5dx 14. 2 2 1 sin cost tdt 15.
4
(5
x
7)
dx
II. Persamaan Diferensial Biasa (Ordinary Differential Equations)
II. 1 Pengertian Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial/PD adalah persamaan yang di dalamnya berisi turunan (derivative atau differential) satu atau lebih variabel. Persamaan diferensial orde 1 dengan y sebagai variabel independent dan x sebagai variabel dependent ditulis secara matematis sebagai berikut :
( , )
dy
f x y
dx
. Sedangkan persamaan diferensial dalam orde 2 ditulis secara matematis sebagai :2
2
( , ,
)
d y
dy
f x y
dx
dx
dengan catatan, tidak semua variabel dari fungsi f harus muncul dalam persamaan. Contoh dari persamaan diferensial antara lain:(1)
e
x
dx
dy
xsin
(x adalah variabel independent, y adalah variabel dependent yang nilainya tergantung x) (2) y" 2y' y cosx (3) t u y u x u 2 2 2 2
(4) 3x2dx 2ydy 0
II Pembentukan persamaan diferensial
Persamaan diferensial muncul ketika terjadi perubahan pada suatu besaran, yang biasanya dinyatakan dalam suatu fungsi matematis. Contoh (1), (2), (3) dan (4 ) merupakan persamaan diferensial yang secara matematis diekspresikan tanpa mengetahui latar belakang pembentukan/terjadinya persamaan diferensial tersebut.
Contoh pembentukan persamaan diferensial dalam dunia riil adalah persamaan differensial yang terbentuk dari suatu objek yang sedang bergerak. Dimisalkan objek tersebut bergerak dengan karakteristik persamaan : 2 2
6
2
3
d x
dx
x
t
dt
dt
dengan : x menyatakan jarak 2 2d x
dt
(yaitu turunan kedua fungsi jarak) menyatakan percepatan, dandx
dt
(turunan pertama) menyatakan kecepatan.Contoh yang lain adalah muatan listrik yang bergerak, dimisalkan memiliki persamaan :
8
sin
dq
q
t
dt
dengan q merupakan muatan listrik,dq
dt
merupakan laju aliran muatan (yang diistilahkan sebagai aliran arus listrik).Contoh lain pembentukan persamaan diferensial adalah pada rangkaian listrik yang terdiri dari komponen RC sebagaimana diperlihatkan dalam gambar berikut :
Gambar II.1 Suatu Rangkaian listrik dengan saklar
Berdasarkan hukum kirchof, jumlah tegangan pada loop tertutup dari suatu rangkaian listrik adalah nol. Jika dituliskan :VS VR VC , atau VR VS VC.
Vs = tegangan sumber Vc = tegangan pada kapasitor VR = tegangan pada resistor
Berdasarkan hukum Ohm, arus yang mengalir pada resistor (pada rangkaian tertutup) dapat dicari dengan rumus :
i
Vs Vc
R
.Arus yang mengalir pada kapasitor adalah :
i
C
dVc
dt
.Oleh karena arus yang mengalir pada kapasitor = arus yang mengalir pada resistor, maka :
Vs Vc
dVc
C
R
dt
.Vs
R
C
Vc
V
Ri
+
-
Sehingga didapatkan :
RC
dVc
Vc
Vs
dt
.Persamaan ini merupakan persamaan diferensial dengan Vc adalah variabel dependent, dan t merupakan variabel independent.Lebih lanjut tentang aplikasi persamaan diferensial dalam bidang elektro, dapat dipelajari di bagian akhir bab ini.
Orde Persamaan Diferensial
Orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan yang ada di dalam persamaan diferensial tersebut.
3
dq
q
R
dt
C
, adalah persamaan diferensial orde pertama dalam qsin( )
d
dt
, adalah persamaan diferensial orde pertama dalam θ2
'' 4 0
x t , adalah persamaan diferensial orde kedua dalam x
3
2
3
4
d u
du
u
t
dt
dt
, adalah persamaan diferensial orde ketiga dalam u Persamaan Diferensial BiasaPersamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel independent disebut sebagai persamaan diferensial biasa. Sehingga contoh (1), (2), dan (4) di muka merupakan contoh persamaan diferensial biasa, sedangkan contoh (3) bukan merupakan persamaan diferensial biasa. Selanjutnya, (3) merupakan persamaan diferensial parsial (partial differential equation,PDE). Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel independent. Contoh : persamaan diferensial parsial orde 1 dengan 2 variabel independent : x1 dan x2 ditulis dalam bentuk :
( 1, 2, )
1
y
f x x
y
x
, dan bukan1
( 1, 2, )
dy
f x x
y
dx
.Solusi Persamaan Diferensial
Solusi persamaan differensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial yang dimaksudkan. Pada kedua kasus di atas adalah dimaksudkan untuk mencari nilai x(t) dan q(t). Solusi persamaan differensial dapat berupa solusi analitis, dimana jawaban dari persamaan differensial tersebut dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi dasar seperti et, sin t, cos t, dst. Tidak semua persamaan diferensial dapat dicari solusinya secara analitis. Solusi persamaan differensial dapat juga dicari dengan menggunakan metode numerik yang menghasilkan solusi dengan nilai pendekatan.
Contoh II.1: Tunjukkan bahwa x = t3 adalah solusi dari persamaan diferensial :
dx
3
t
2dt
Jawab :Untuk membuktikan bahwa x = t3 adalah solusi dari persamaan diferensial
dx
3
t
2dt
, maka substitusikan x = t3 kedalam persamaandx
3
t
2dt
. 3 2( )
3
d t
t
dt
, 2 23t 3t , berlaku untuk semua nilai t, sehingga x = t3 adalah solusi dari
dx
3
t
2dt
.Contoh II.2 : Tunjukkan bahwa y t2 3t 3.5 adalah solusi dari persamaan diferensial
2
'' 3 ' 2 2
y y y t .
Jawab : y t2 3t 3.5, y' 2t 3, y'' 2. Substistusikan ke dalam persamaan diferensial
2
'' 3 ' 2 2
y y y t , sehingga :
2 2
2 2
2t 6t 9 2t 6t 7 2t
2 2
2t 2t
Solusi ini berlaku untuk semua nilai t. Sehingga y t2 3t 3.5 merupakan solusi dari persamaan diferensial y'' 3 ' 2y y 2t2
Solusi Umum dan Khusus
Persamaan diferensial boleh jadi memiliki banyak solusi. Sebagai contoh, persamaan diferensial
dx
3
t
2dt
dapat memiliki solusi x = t3
, x = t3+9, x = t3-6, dst. Solusi solusi ini disebut
sebagai solusi khusus, sedangkan x = t3 + C merupakan solusi umum dari
dx
3
t
2dt
.Persamaan differensial dalam bidang teknik umumnya digunakan untuk memodelkan sistem dinamis, yaitu sistem yang berubah terhadap waktu. Contoh dari beberapa sistem dinamis antara lain:
1. Rangkaian listrik dengan arus/tegangan yang merupakan fungsi waktu.
2. Dalam produksi kimia, dimana tekanan, laju aliran, dst selalu berubah terhadap waktu. 3. Peralatan semikonduktor, dimana kerapatan hole dan elektron selalu berubah.
Masalah Nilai Awal dan Nilai Batas
Jika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi tambahan dengan sebuah nilai yang sama pada variabel independent-nya (baik fungsi maupun turunannya), maka dikatakan bahwa persamaan diferensial tersebut sebagai masalah nilai-awal (initial-value problem). Jika kondisi tambahan yang diberikan merupakan nilai yang berbeda pada variabel independent-nya, maka dikatakan sebagai masalah nilai-batas (boundary-value problem).
Contoh II.3 :
Sebuah persamaan diferensial : 2 1
2y e ;y( ) ,y( )
y x
merupakan bentuk initial-value problem, karena terdapat dua kondisi tambahan yaitu pada
x
, dengan y (π) = 1 dan y’ (π) = 2.Sedangkan pada persamaan diferensial : 1 1 1 0 2y e ;y( ) ,y( ) y x
merupakan bentuk boundary-value problem, karena dua kondisi tambahan diberikan pada nilai x yang berbeda, yaitu pada x 0 and x 1.
Latihan Soal II.1:
1. Tunjukkan bahwa : y 3sin 2x adalah solusi dari persamaan diferensial :
2
2
4
0
d y
y
dx
2. Jika y Ae2 x adalah solusi umum daridy
2
y
dx
, carilah solusi khusus yang memenuhi y(0) = 3.3. Identifikasi variabel dependent dan independent dari persamaan diferensial berikut ini. Dan sebutkan orde persamaan diferensial tersebut!
(a) 3 3
5
cos
d y
dy
x
dx
dx
(b)dy
9
y
0
dx
(c) 2 2(
dy d y
)(
) 9
dy
0
dx
dx
dx
4. Solusi umum dari : 2 2
(
d y
) 2
dy
y
0
dx
dx
adalah : x xy Axe Be . Carilah solusi khusus yang memenuhi : y(0) = 0,
dy
(0) 1
dx
III. Persamaan Diferensial Orde 1
Sebelum membahas persamaan diferensial orde tinggi, akan dibahas terlebih dahulu persamaan diferensial orde 1.
Bentuk Sederhana
Bentuk sederhana persamaan diferensial orde 1 adalah :
dy
f x
( )
dx
. Fungsi y dapat dicari dengan cara mengintegralkan f(x), yaitu : y f x dx( ) . Namun d, kebanyakan pada demikian, persamaan diferensial yang dijumpai dalm soal umumnya tidak sesederhana itu bentuknya.. Contoh III.15sin 2
dy
x
dx
. Untuk mencari fungsi y (x), persamaan tersebut diintegralkan : Maka y 5sin 2xdx,5
cos 2
2
y
x C
Pemisahan Variabel
Jika persamaan diferensial memiliki bentuk :
dy
f x g y
( ) ( )
dx
, maka penyelesaian persamaan diferensial tersebut dapat dicari dengan metode pemisahan variabel, yaitu :1
( )
y dy
f x dx
( )
g
.Berikut ini adalah contoh penyelesaian persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel. Perhatikan bahwa variabel dikelompokkan sesuai dengan variabel sejenisnya, yaitu variabel x dengan dx, variabel y dengan dy.
Contoh III.2
Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemisahan variabel :
(a)
dy
dx
x
y
2 (b) dy dx x y x 2 3 1 (c)dy
x
dx
y
, y(0) = 1 (d)dm
2
m
sin ,
t
m
(0)
4
dt
Jawab :(a) Persamaan diferensial
dy
dx
x
y
2
yd y x d x2 y x C y x C 2 3 3 2 3 2 3 2 , cukup ditulis: 3 2 3 x y C (b) Persamaan diferensial dy dx x y x 2 3 1 menjadi
ydy
x
x
d x
2 31
sehinggayd y
x
x
d x
y
x
C
y
x
C
2 3 2 3 31
2
1
3
1
2
3
1
ln
ln
'
(c) Pisahkan variabel yang sama sehingga persamaan diferensialnya menjadi : ydy xdx , integralkan kedua ruas :
2 2
1
1
2
2
ydy
xdx
y
x
c
,Kalikan kedua ruas dengan 2 sehingga menjadi :y2 x2 c ( seharusnya adalah 2c, namun karena masih bersifat konstanta, cukup ditulis c saja). Untuk mencari nilai c, substitusikan nilai y(0) = 1.
2 2
1 0 c , c 1
Sehingga solusi persamaan diferensial
dy
x
dx
y
adalah :2 2
1
x y
(d)
dm
2
m
sin ,
t
m
(0)
4
dt
. Pisahkan variabel yang sama sehingga :2sin
dm
tdt
m
, 2 sin
dm
t dt
m
, 1 22 sin
m dm
t dt
, 1 2 2m 2 cost c, m cost c oleh karena c = 3, maka m 3 cost 2Latihan Soal 1.
dx
10
dt
2.dy
e
2 xdx
3. 2 2 xdy
e
dx
y
4.dx
9 cos 4
2t
dt
x
5.dx
3cos 2
t
28sin 4
t
dt
x
x
6.dy
3sin
t
dt
y
, y(0) = 27. 2
6
dy
x
dx
y
, y(0) = 1 8.x
2dy
2
y
2yx
dx
9.y
dy
sin
x
dx
10. temukan solusi umum dari persamaan diferensial :
2
(
1)
dx
x
dt
t
. Tentukan solusi khusus yang memenuhi : x(0) = 5Contoh Soal Cerita Contoh III.3
Laju pertumbuhan penduduk suatu negara adalah 1,3 kali jumlah penduduk saat ini. Jika jumlah penduduk saat ini adalah 80, berapakah jumlah penduduk setelah 100 minutes ?
Jawab :
Langkah 1 Pemodelan menjadi persamaan diferensial
1.3
dN
N
dt
Langkah 2 Integralkan1.3
dN
dt
N
, ln |N| 1.3t c Langkah 3 Jadikan N sebagai subjek :1.3t c
N e
Langkah 4 Susun kembali persamaan N dengan konstanta yang bersangkutan:
1.3t c
N e e , N Ae1.3t dengan A = ec Langkah 5 Cari nilai konstanta :
0
80 Ae A 80 (didapat dari N(0) = 80) Langkah 6 Temukan solusinya :
1.3 100
80
N e , N 2.298 10 individu58 Contoh III.4
Jawab :
Blok es deng berat 10kg meleleh dalam lingkungan yang temperaturnya naik. Laju pengurangan berat es per detik adalah sebanding dengan 20 dikurangi berat es yang tersisa. Setelah 60 detik, berat es adalah 9.5 kg. berapa berat es setelah 120 detik ?
Langkah 1 Susun persamaan diferensialnya :
(20
)
dM
k
M
dt
, M(0) = 10, M(60) = 9.5 Langkah 2 Integralkan :(20
)
dM
k
M
dt
,20
dM
k dt
M
ln | 20 M | kt c Langkah 3 Jadikan M sebagai subjek :ln | 20 M | kt c, 20 M ekt c, M 20 ekt c
Langkah 4 Susun kembali persamaan M dengan konstanta yang bersangkutan: 20 kt c
Langkah 5 Cari nilai konstanta
Gunakan nilai kondisi awal : M(0) = 10, M(60) = 9.5
0 10 20 Ae A 10, 60 9.5 20 Ae k, 10e60k 10.5, e60k 1.05, 60k ln1.05, k 0.000813 maka M 20 10e0.000813t
Langkah 6 Temukan solusinya :
0.000813 20 10 t M e , M(120) 20 10e0.000813 120, (120) 8.975 kg M Contoh III.5 Jawab :
Laju pertumbuhan suatu kultur bakteri adalah sebanding (proporsional) dengan fungsi eksponensial pangkat t, dengan t adalah waktu (dalam jam). Disebabkan karena pertumbuhan bakteri yang sangat cepat, maka terjadi overcrowding, sehingga laju pertumbuhan bakteri juga berbanding terbalik dengan pangkat empat dari jumlah bakteri saat itu. Lewat eksperimen diketahui bahwa konstanta proporsionalnya adalah 1. Jika pada awalnya hanya terdapat 1 bakteria, berapa banyak bakteria dalam waktu 5 jam ? Solusi : pemodelan matematis : 4
,
(0) 1
tdn
e
n
dt
n
, ditanyakan :n(5) = ???4
cos 0
c
2
1
c
4 t n dn e d , n dn4 e dtt , 55
tn
e
c
, n5 5et c evaluasi nilai c : 5 0 1 5 1 5 4 e c c c 5 5 t 4 n e , n 5 5et 4,IV. Persamaan Linear Orde Pertama
Adakalanya persamaan diferensial memiliki bentuk :
dy
P x y
( )
Q x
( )
dx
, maka dikatakan bahwapersamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial linear orde pertama. P(x) dan Q(x) merupakan fungsi x. Contoh persamaan diferensial linear orde pertama adalah
2
5
7
dy
xy
x
dx
, P(x) = 5x Q(x) = 7x22
4
xdy
y
e
dx
x
, P(x) =2
x
Q(x) = 4e x Metode Faktor PengintegralanPersamaan linear orde pertama dapat dicari solusinya dengan metode : faktor pengintegralan, yaitu dengan cara mengalikan persamaan diferensial linear tersebut dengan μ sehingga :
dy
Py
Q
dx
, dengan P dan Q merupakan fungsi dengan variabel x.5 5
(5) 5 4
4
Faktor pengintegralan/ μ dapat dicari dengan rumus :
e
Pdx. Ide dari penggunaan faktor pengintegaralan ini adalah menjadikan persamaan diferensial tersebut bersifat eksak, yakni sisi kiri persamaan diferensialdy
Py
Q
dx
dapat ditulis sebagai :(
)
( )
d
y
Q x
dx
. Ingat bahwa :(
)
d
dy
d
y
y
dx
dx
dx
( dari rumus (uv) ' u v uv' '). Sehingga :dy
dy
d
Py
y
dx
dx
dx
, disederhanakan menjadi :d
y
Py
dx
d
P
dx
, d
P
dx
maka akan didapatkan :
e
Pdx kembali ke persamaan diferensial mula-mula :(
)
( )
d
y
Q x
dx
, y Qdxy
1
Qdx
Contoh IV.1Tentukan penyelesaian dari :
dy
y
5
dx
x
dengan faktor pengintegralan Jawab :dari persamaan diferensial
dy
y
5
dx
x
, terlihat bahwa1
P
x
dan Q 5. Maka :y
1
Qdx
, dengan 1 ln dx x x e e x1
5
y
xdx
x
21 5
2
y
x
C
x
,5
2
y
x C
Latihan Soal :1. Buktikan bahwa solusi dari persamaan diferensial
d
P
dx
adalah : Pdxe
. 2.dy
4
y
8, (0) 1
y
dx
3.dx
3
x
8
dt
4.dy
y
2
x
8
dx
5.x
dy
y
x
3dx
Persamaan Diferensial Eksak
M x y dx( , ) N x y dy( , ) 0
dinamakan persamaan diferensial eksak (exact differential equation) jika terdapat sebuah fungsi f sedemikian rupa sehingga
M
f
x
andN
f
y
pada daerah tertentu. Oleh karenanya, persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi :f
x
dx
f
y
dy
0
. Solusi dari persamaan ini adalah f x y( , ) k, k adalah nilai konstanta tertentu.Apabila M x y f x
( , ) dan N x y f y
( , ) maka persamaan diferensial dalam bentuk
M x y dx( , ) N x y dy( , ) 0 dikatakan eksak jika dan hanya jika M y
N x .
Contoh IV.2
Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solusi persamaan diferensial tersebut :
(a) 9x2 y 1dx 4y x dy 0
(b) exsiny 2ysinx dx excosy 2cosx dy 0 jawab :
(a) Untuk persamaan diferensial
M x y x y M y ( , ) 9 2 1 1 N x y y x N x ( , ) 4 1
oleh karenanya, persamaan diferensial tersebut eksak. Fungsi diferensialnya adalah : f x 9x y 1 f x y 9x y 1dx 3x x y x C y 2 2 3 1 ( , ) ( ) f y 4y x f x y 2y x y C x 2 2 ( , ) ( )
dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan : f x y( , ) 3x3 x y x 2y2
Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah : 3x3 x y x 2y2 k
(b) Untuk persamaan diferensial ini :
M x y e y y x M
y e y x
x x
N x y e y x N
x e y x
x x
( , ) cos 2cos cos 2sin
adalah merupakan persamaan diferensial bersifat eksak. Fungsi diferensialnya adalah : f
x e y y x f x y e y y x C y
x x
sin 2 sin ( , ) sin 2 cos 1( )
f
y e y x f x y e y y x C x
x x
cos 2cos ( , ) sin 2 cos 2( )
dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan : f x y( , ) exsiny 2ycosx
Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah : exsiny 2ycosx k
Solusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Faktor Pegintegaralan Apabila persamaan diferensial dalam bentuk :
M x y dx( , ) N x y dy( , ) 0
jika tidak eksak, faktor integralnya dicari terlebih dahulu. Pedoman mencari faktor pengintegralannya adalah sebagai berikut :
a. jika 1 M N f x( )
N y x , dengan f(x) adalah fungsi dalam x, maka faktor integralnya adalah :
e
f x dx( )b. jika 1 M N g y( )
N y x , dengan g(y) adalah fungsi dalam y, faktor integralnya adalah
( ) g y dy
e
Contoh IV.3Temukan faktor pengintegralan dari persamaan diferensial biasa berikut dan tentukan solusinya : 3x y2 2x y y dx3 x2 y dy2 0 solusi: 2 3 2 2
( , )
3
2
3
2
3
dan
6
2
M x y
x y
x y
y
M
M
x
x
y
x y
y
y
x
2 2 ( , ) N 2 dan N 2 N x y x y x y x y terlihat bahwa 1 3 N M y Nx . Oleh karenanya, faktor pengintegralannya adalah :
exp
3
d x
e
3x sehingga persamaan diferensial-nya menjadifungsi diferensialnya adalah f x y( , ) f x e x y x y y x 3 2 3 3 2
f
y
e
x
y
f x y
e
x y
y
C x
f
x
e
x y
e
x y
y
C x
f
x
e
x y
x y
y
C x
x x x x x 3 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 33
2
3
3
2
3
( , )
( )
' ( )
' ( )
dengan membandingkan kedua persamaan di atas, didapatkan :
'( ) 0, ( ) constant
C x sehingga C x
solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah :
k y y x e y x f x 3 3 2 3 ) , ( Contoh IV.3 Selesaikan : (2xy e4 y 2xy3 y dx) (x y e2 4 y x y2 2 3 )x dy 0 Jawab :
Kita periksa terlebih dahulu apakah persamaan diferensial tersebut bersifat eksak ataukah tidak. 3 4 2
8
y2
y6
1
M
xy e
xy e
xy
y
4 22
y2
3
N
xy e
xy
x
persamaannya tidak eksak karena
N
M
x
y
. Selanjutnya dicari faktor integralnya :3 2
8
y8
4
M
N
xy e
xy
y
x
, dan4
( )
M
N
y
x
g y
N
y
maka faktor integralnya adalah :
4 4ln 4
1
dy y ye
e
y
kalikan persamaan diferensial (2xy e4 y 2xy3 y dx) (x y e2 4 y x y2 2 3 )x dy 0 dengan faktor integralnya, yaitu :
1
4y
, sehingga persamaan diferensialnya berbentuk :2 2 3 2 3
1
(2
y2
x
)
(
yx
3
x
)
0
xe
dx
x e
y
y
y
y
dan persamaan diferensial ini eksak.Selanjutnya : ambil =
Mdx
(2
xe
y2
x
1
3)
dx
y
y
2 2 3( )
yx
x
x e
y
y
y
sehingga : 2 2 2
3
4'( )
yx
x
x e
y
y
y
y
= N 2 2 2 2 23
4'( )
23
4 yx
x
yx
x
x e
y
x e
y
y
y
y
sehingga '( )y 0, maka ( )y konstanta oleh karenanya, solusi persamaan diferensial
4 3 2 4 2 2 (2xy ey 2xy y dx) (x y ey x y 3 )x dy 0 adalah : 2 2 3 y
x
x
x e
C
y
y
Soal latihanperiksalah apakah persamaan diferensial di bawah ini eksak atau tidak, kemudian carilah solusinya. 1. ( 2x y2 x dx) (xy dy) 0
2. (2x y3 2 4x y2 2xy2 xy4 2 )y dx 2(y3 x y2 x dy) 0 V. Persamaan Diferensial Orde 2
Persamaan Diferensial linear Orde 2
Persamaan diferensial linear orde 2 memiliki bentuk umum sebagai berikut : :
2 2
( )
d y
( )
dy
( )
( )
p x
q x
r x y
f x
dx
dx
dengan p x q x r x( ), ( ), ( )dan f x( ) adalah fungsi dengan variabel x. Apabila f x( ) = 0, maka persamaan diferensial ini dikatakan homogen. Sebaliknya, jika f x( ) 0, maka dikatakan sebagai persamaan diferensial linear tidak homogen orde 2.
2 2
( )
d y
( )
dy
( )
0
p x
q x
r x y
dx
dx
, homogen 2 2( )
d y
( )
dy
( )
sin
p x
q x
r x y
x
dx
dx
, tidak homogencontoh persamaan diferensial linear orde 2 antara lain :
2 2 2
1
sin
d y
dy
x
x
y
x
dx
dx
x
Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients)
Orde 2 : pangkat tertinggi dari turunan (derivatif) yang terdapat pada persamaan diferensial : Contoh :
2 2
d x
dt
Homogen : tiap elemen mengandung unsur :
2 2
,
,
d x dx
x
dt
dt
Contoh : 2 2 3 0 d x dx x x dt dt t homogen 2 23
3
d x
dx
t
dt
dt
tidak homogenLinear : tiap elemen persamaan mengandung setidaknya satu unsur :
2
2
,
,
d x dx
x
unsur : 2
dx
dt
atau 2 2d x
x
dt
.Persamaan diferensial dikatakan linear jika :
1. Variabel dependent dan turunannya berpangkat satu. Jadi bentuk
2
dx
dt
adalah non linear (mengapa ??)2. Tidak ada perkalian antara varibel dependent dan turunannya. Sehingga bentuk
2 2
d x
x
dt
adalah non-linear (mengapa??)3. Variabel dependent tidak berbentuk fungsi non-linear, seperti fungsi sinus, cosinus, eksponensial, dst. Contoh :
dx
4
t
dt
2 24
d x
t
dt
2 23
0
d x
dx
x
t
dt
dt
t
Linear, karena syarat (1),(2),(3) terpenuhi 2 2 23
0
d x
dx
x
t
dt
dt
t
, Tidak linear karena menyalahi syarat (2)2 2
2
0
d y
y
dx
, Tidak linear karena menyalahi syarat (1)cos
0
dy
y
dx
, Tidak linear karena menyalahi syarat (3) Koefisien Konstan : koefisien2 2
,
,
d x dx
x
dt
dt
adalah konstanta Solusi UmumContoh dari persamaan diferensial linear homogen orde 2 dengan koefisien konstan antara lain : : 2 2
6
0
d x
dx
x
dt
dt
, 2 24
0
d x
x
dt
, dstBerikut ini contoh dalam mencari solusi umum persamaan diferensial linear homogen orde 2 dengan koefisien konstan
Contoh V.1
Carilah solusi dari persamaan diferensial :
2 2
4
3
0
d x
dx
x
dt
dt
. Jawab : Misalkan x Ce t, makadx
C e
tdt
, dan 2 2 2 td x
C
e
dt
Substitusikan sehingga menjadi : C 2e t 4C e t 3Ce t 0, 2 4 3 0
ke persaman 2 2
4
3
0
d x
dx
x
dt
dt
menghasilkan persamaan 2 4 3 0 , dengan = -3, -1. oleh karenanya terdapat 2 solusi, yaitu x Ce 3t dan x Ce t. Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial 2 24
3
0
d x
dx
x
dt
dt
adalah : 3 1 2 t tx
C e
C e
Contoh V.2Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut :
2 2
d x
2
dx
15
x
0
dt
dt
jawab : misalkan x Ce t, maka
dx
C e
tdt
, dan 2 2 2 td x
C
e
dt
2 2 15 0 t t t C e C e Ae , 2 2 15 0 Didapatkan = 5, -3. Solusi umum :x
C e
1 5tC e
2 3t Catatan : 2 24
3
0
d x
dx
x
dt
dt
memiliki persamaan karakteristik2
4 3 0
2 2
d x
2
dx
15
x
0
dt
dt
memiliki persamaan karakteristik2 2 15 0 jadi : 2 2 2
d x
dt
,dx
dt
, x 1 maka : 2 25
6
0
d x
dx
x
dt
dt
2 5 6 0Akar-akar persamana karakteristik dapat memiliki 3 kemungkinan : 1. Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda 2. Akar-aknya adalah bilangan kompleks dan sama 3. Akar-akarnya adalah bilangan kompleks
4. Akar-aknya adalah bilangan riil dan sama Latihan Soal :
Tuliskan persamaan karakteristik dari : (a) 2 2
3
0
d x
dx
x
dt
dt
(b) 2 20
d x
dx
dt
dt
(c) 2 23
0
d x
x
dt
Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda
Jika akar persamaan karakteristik adalah dan , maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah :
y
C e
1 xC e
2 x, jika y adalah variabel dependent dan x adalah variabel independent.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 Contoh V.3
Temukan solusi dari persamaan diferensial :
2 2
4
3
0
(0) 1, x (0)
0
d x
dx
x
x
dt
dt
3 langkah penyelesaian :1. Tuliskan persamaan karakteristik dan cari nilai 2. Tuliskan solusi umum
3. Cari nilai konstanta dari solusi umum Jawab :
(1) 2 4 3 0 ( 3)( 1) 0 3, 1
(2)
x
C e
1 3tC e
2 t(3) (i) x(0) 1 1 C1 C2
(ii)
x
3
C e
1 3tC e
2 t , x(0) 0 0 3C1 C2maka dicari nilai C1 dan C2 dari persamaan : 1 = C1 + C2 dan 0 = -3C1 -C2
1 1 2 C C , 0 3(1 C2) C2 2
3
2
C
,C
11
2
sehingga solusi dari2 2
4
3
0,
(0) 1, x (0)
0
d x
dx
x
x
dt
dt
adalah 31
3
2
2
t tx
e
e
apabila digambar dalam grafik akan terlihat seperti gambar berikut :
Gambar. Grafik dari
1
33
2
2
t t
x
e
e
Contoh V.4
Temukan solusi dari persamaan diferensial :
2 2
7
12
0
(0) 1
0
0
d x
dx
x
x
x ( )
dt
dt
Jawab : (1) 2 7 12 0 ( 3)( 4) 0 3, 4 (2)x
C e
1 3tC e
2 4t, x(0) 0 0 3C1 4C2 (3) 1 = C1 + C2 dan 0 = 3 C1 + 4 C2 2 3 C , C1 4Jadi solusi selengkapnya dari persamaan diferensial
2 2
7
12
0
d x
dx
x
dt
dt
dengan (0) 1 0 0-400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Gambar V.1 grafik fungsi x 4e3t 3e4t
Jika akar-akar persamaan karakteristik merupakan bilangan kompleks dan sama.
Jika akar persamaan karakteristik adalah , maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah :
1cos 2sin
y C x C x
Perhatikan contoh soal berikut : Contoh V.5
Tentukan solusi dari :
2 2
4
0
d y
y
dx
Jawab :Persamaan karakteristik dari
2 2
4
0
d y
y
dx
adalah : 2 4 0, 2 4, maka 2oleh karenanya, solusi umum yang didapatkan adalah :
2 2
1 2
jx jx
y
C e
C e
berdasarkan sifat trigonometri :
2 cos 2 sin 2 jx e x j x 2 cos 2 sin 2 jx e x j x maka didapatkan :
1(cos 2 sin 2 ) 2(cos 2 sin 2 )
y C x j x C x j x
jika C1 C2 A
1 2
C j C j B
maka : y Acos 2x Bsin 2x
Jika akar-akar persamaan karakteristik merupakan bilangan kompleks
Jika akar persamaan krakteristik adalah a bj, maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah : 1 2
(
cos
sin
)
axy
e
C
bx C
bx
Contoh V.6Tentukan solusi dari persamaan diferensial : '' 2 ' 4 0
y y y
jawab :
Persamaan karakteristik : 2 2 4 0
2
4
2
b
b
ac
a
22
2
4.1.4
2.1
2 4 16 2 , 1 3 jmaka solusi umumnya adalah :
( cos 3
sin 3 )
x
y
e
A
x
B
x
Jika akar persamaan karakteristik berupa bilangan riil dan sama maka solusi umumnya berbentuk : y x e. x
Contoh V.6 '' 9 0 y
Persamaan karakteristik : 2 9 0, 3
Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah : y x e. 3x Latihan Soal
1. tentukan persamaan karakteristik dari :
2 2
1
0
di
di
L
R
i
dt
dt
C
2. tentukan solusi dari persamaan diferensial homogen orde 2 berikut : a. 2 2
8
0
d y
dy
y
dx
dx
b. 2 22
0
d y
dy
y
dx
dx
c . 2 216
0
d x
x
dt
d. 2 25
6
0
d x
dx
x
dt
dt
e. 2 20
d y
dy
y
dx
dx
Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan (Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients)
Dari bentuk umum persamaan diferensial linear orde 2
2 2
( )
d y
( )
dy
( )
( )
p x
q x
r x y
f x
dx
dx
jika f x( ) 0, maka solusi khusus persamaan diferensial tersebut dicari dengan mencobanya dengan menggunakan ketentuan sebagai berikut : :
f(x) Solusi coba-coba
Konstanta Konstanta
cos kx acoskx bsinkx
sin kx acoskx bsinkx
kx
ae kx
ae
Solusi total merupakn penjumlahan dari solusi khusus dan solusi umum. Solusi_total = Solusi_Umum + Solusi_Khusus
Contoh V.7
Carilah solusi dari persamaan diferensial :
2
2
6
8
3cos
d y
dy
y
x
dx
dx
(1). Mencari solusi umum Persamaan karakteristik dari
2 2
6
8
0
d y
dy
y
dx
dx
adalah : 2 6 8 0 ( 4)( 2) 0 1 2, 2 4Sehingga solusi umumnya adalah :
C e
1 2xC e
2 4x (2) Mencari solusi khususBeberapa langkah yang harus dilakukan dalam mengerjakan solusi khusus : 1. Cari fungsi yang merupakan solusi khusus berdasarkan tabel Berdasarkan tabel, maka solusi khusus dimisalkan adalqh fungsi :
y x
p( )
a
cos
x b
sin
x
2. Cari turunan pertama dan kedua, kemudian substitusikan ke dalam persamaan diferensial Turunan pertamanya :
y
' ( )
px
a
sin
x b
cos
x
Turunan keduanya :
y
'' ( )
px
a
cos
x b
sin
x
Selanjutnya substitusikan ke persamaan diferensial2
2
6
8
3cos
d y
dy
y
x
dx
dx
(
y
'' ( )
px
a
cos
x b
sin
x
)–6(y
' ( )
px
a
sin
x b
cos
x
)+ (y x
p( )
a
cos
x b
sin
x
) = 3cos x2. Kelompokkan koefisien- koefisien yangs sejenis, dan cari nilai konstantanya Untuk koefisien cos x :
( a 6b 8 ) cosa x ( b 6a 8 ) sinb x 3cosx ( a 6b 8 ) cosa x 3cosx
(7a 6 )b 3
Untuk koefisien sin x : ( b 6a 8 ) sinb x 0 ( b 6a 8 )b 0 (6a 7 )b 0
Maka dapat dicari nilai a dan b, yaitu :
21
,
18
85
85
a
b
3. Substitusikan nilai konstanta yang didapat ke dalam solusi khusus persamaan diferensial
Solusi khusus :
y x
p( )
a
cos
x b
sin
x
adalah :21
18
( )
cos
sin
85
85
p
solusi_total = Solusi_Umum + Solusi_Khusus =
C e
1 2xC e
2 4x+21
cos
18
sin
85
x
85
x
Latihan Soal :
Temukan solusi khusus dari : 1. 2 2
6
8
d y
dy
y
x
dx
dx
LATIHAN SOAL TERPADU
1. Tentukan solusi dari persamaan diferensial
dy
y
dx
y
, dengan , , , adalah konstanta.2. Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemisahan variabel : (a)
dy
dx
y
x
2
0
sin
3. Pergerakan suatu benda yang jatuh ke bumi memiliki persamaan : bv
g t d
dv
Tentukan kecepatan benda tersebut pada waktu t, jika
v( )
0
0.
4. Inti bahan radioaktif mengalami peluruhan dengan fungsi peluruhan :dN
d t N
N adalah konsentrasi(massa) inti bahan radioaktif tersebut and adalah konstanta peluruhan. Temukan
N t
( )
dengan kondisi awal N( )0 No.5. Dari persamaan diferensial berikut, tentukan : (a) apakah bersifat linear
(b) sebutkan orde persamaan diferensial tersebut
(c) buktikan bahwa fungsi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan diferensial tersebut : i.
t
dy
y
,
y
ct
4dt
ii.y
dy
t
,
y
2t
2c y
,
0
dt
iii. 2 24,
3 .
4
td y
dy
t
t
y
y
t e
dt
dt
iv. 2 2 2 3 2 23
y
d y
6 (
y
dy
)
2,
y
t
dt
dt
6. Temukan solusi dari persamaan diferensial dengan kondisi awal berikut ini : a.
dy
6
t
0,
y
(1)
6
b.
dy
5
y
sin(12 ),
t
y
(0)
0
dt
c.dy
3
y
0,
y
(0) 1
dt
d.4
dy
y
4,
y
(0)
2
dt
e.1
6
3sin(5 )
2 cos(5 ),
(0)
0
2
dy
y
t
t
y
dt
f.3
dy
2
y
e
t,
y
(0)
3
dt
7. Temukan faktor pengintegralan dari persamaan diferensial biasa berikut dan tentukan solusinya :
(a) y2dx xydy 0
(b) (x2 y2 x)dx xy dy 0
8. Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solusi dari persamaan diferensial tersebut :
(a) ax by dx bx cy dy 0 (b) 2x y2 2x dy 2x y2 2y dx 0
Aplikasi Persamaan Diferensial Dalam Bidang Teknik Elektro
Rangkaian LRC pada gambar dapat dimodelkan ke dalam persamaan diferensial dengan aturan-aturan sebagai berikut :
1. Hukum II Kirchoff’s tentang tegangan : jumlah/sigma keseluruhan tegangan dalam loop tertutup adalah nol (the sum of all the voltage drops around any closed loop is zero). 2. Tegangan pada pada resistor, VR, adalah sebanding dengan arus yang melewatinya, yang
dirumuskan dengan : VR = iR (Hukum Ohm’s ), dengan R adalah resistansi dari resistor.
3. Tegangan pada kapasitor adalah sebanding dengan muatan elektrik pada kapasitor, yaitu q, yang dirumuskan dengan :
Vc
1
.
q
C
, dengan C adalah kapasitansi kapasitor (dalam satuan farad) dan muatan q dalam satuan coulombs.4. Tegangan pada induktor sebanding dengan laju perubahan arus listrik yang mengalir dalam satu satuan waktu. Dirumuskan sebagai : VL
di
L
dt
, dengan L adalah induktansi induktor yang diukur dalam satuan : henri.Gambar VI. Rangkaian RLC dalam loop tertutup. Berdasarkan hukum II Kirchof (KVL II) :
1
( )
di
L
iR
q
v t
Oleh karena
i t
( )
dq
dt
, maka: 2 2(
)
di
d dq
d q
dt
dt dt
dt
. Sehingga persamaan1
( )
di
L
iR
q
v t
dt
C
menjadi : 2 2( )
d q
dq
q
L
R
v t
dt
dt
c
Contoh VI.1Sebuah rangkaian listrik yang terdiri dari komponen R, C, dan sumber tegangan sebagai berikut :
Jika pada saat t=0 switch tertutup, tegangan pada kapasitor adalah Vo, yaitu Vc (0) = Vo maka : 1. Buktikan bahwa persamaan diferensial yang terbentuk merupakan persamaan diferensial
linear orde pertama
2. Carilah solusi dari persamaan diferensial tersebut menggunakan metode faktor pengintegaraln
3. Carilah solusi khusus dari persamaan diferensial tersebut jika tegangan pada kpasitor mula-mula adalah Vo = 0. Solusi pada kondisi ini dinamakan : respon keadaan nol (zero state- response)
4. Carilah solusi persamaan diferensial yang terbentuk, jika tegangan sumber = 0 (Vs = 0). Solusi pada kondisi ini dinamakan : respon input nol (zero input- response)
5. buktikan bahwa solusi (2) merupakan penjumlahan antara zero state- responsedan zero input- response
Jawab :
1. berdasark hukum II Kirchof tentang tegangan : Vs t( ) VR Vc.
Arus yang mengalir pada resistor = arus yang mengalir pada kapasitor
R
Vs V
dVc
C
R
dt
, sehingga persamaan diferensial yang terbentuk adalah :dVc
RC
Vc
Vs
dt
, yang dapat disederhanakan menjadi bentuk :dVc
Vc
Vs
dt
RC
RC
(persamaan diferensial orde pertama linear) 2. dari pembentukan persamaan diferensial di atas terlihat bahwa :P =
1
RC
, Q =Vs
RC
, sehingga faktor pengintegralan ( ) diberikan sebagai :Pdt
e
, 1 , dt Pdt RC e e t RCe
solusi dapat dicari dengan rumus :