Bahan Kuliah Mekanika Bahan Kuliah 2

(1)

B.

Tegangan dan Lendutan Akibat Momen Lentur

Bila suatu beban vertikal bekerja pada balok yang terletak di atas dua Bila suatu beban vertikal bekerja pada balok yang terletak di atas dua tumpuan atau pada balok kantilevel, maka balok tersebut akan mengalami lentur, tumpuan atau pada balok kantilevel, maka balok tersebut akan mengalami lentur, yang mengakibatkan terjadinya perubahan bentuk pada batang berupa lendutan. yang mengakibatkan terjadinya perubahan bentuk pada batang berupa lendutan.

Pad

Pada a umuumumnya mnya balbalok ok mermerupaupakan kan bagibagian an konkonstrstruksi uksi banbangunagunan n yanyangg digunak

digunakan an untuk mengalihkuntuk mengalihkan an beban-bebeban-beban vertikal menjalar ke ban vertikal menjalar ke arah horisontalarah horisontal yang

yang menimmenimbulkan lentur, dan bulkan lentur, dan mengakmengakibatkaibatkan n balok mengalami lendutanbalok mengalami lendutan, , yangyang akhirnya akan menyebabkan timbulnya tegangan lentur pada penampang balok. akhirnya akan menyebabkan timbulnya tegangan lentur pada penampang balok.

Perhatikan

Perhatikan GaGambmbar ar 11.. SeSelelembambar r kekertrtas as yayang ng didileletatakakan n di di atatas as duduaa perletakan, tidak mampu di bebani, akan tetapi bila kertas tersebut dilipat-lipat, perletakan, tidak mampu di bebani, akan tetapi bila kertas tersebut dilipat-lipat, maka kertas tersebut akan menjadi lebih kaku dan mampu dibebani, Mangapa ? maka kertas tersebut akan menjadi lebih kaku dan mampu dibebani, Mangapa ?

Gambar 1. Gambar 1. Perhatikan

Perhatikan Gambar 2Gambar 2.. Bila sebatang balok kantilever dibebani denganBila sebatang balok kantilever dibebani dengan beba

beban n vertvertikaikal l P P padpada a ujuujungnyngnya, a, makmaka a akaakan n menmenimbimbulkaulkan n lenlentur tur padpada a balbalokok tersebu

tersebut, t, lentulentur r ini ini menyemenyebabkan terjadinya perubahan bentuk babkan terjadinya perubahan bentuk berupa lendutan,berupa lendutan, yang

yang kemukemudiadian n menmengakgakibaibatkatkan n timtimbulbulnya nya tegtegangangan an pada pada penapenampanmpang g balbalokok tersebu

tersebut, dimana t, dimana lapisalapisan bagian atas dari penn bagian atas dari penampang balampang balok akan mengalaok akan mengalamimi tegangan tarik, sedangkan pada bagian bawah balok akan mengalami tegangan tegangan tarik, sedangkan pada bagian bawah balok akan mengalami tegangan tegangan tekan.

tegangan tekan.

Terdapat beberapa kondisi yang dapat menerangkan lebih jelas tentang Terdapat beberapa kondisi yang dapat menerangkan lebih jelas tentang lendutan yang terjadi pada balok kantilevel, mulai dari perubahan lendutan yang lendutan yang terjadi pada balok kantilevel, mulai dari perubahan lendutan yang dia

diakibakibatkatkan n oleoleh h perperubaubahan han besbesarnarnya ya bebbeban an P, P, samsampai pai dendengan gan peruperubahbahanan panj

panjangang, , benbentuk tuk penpenampampang ang , , jenjenis is bahbahan, an, dan dan carcara a perperletletakaakan n penpenampampangang pada balok yang digunakan.

(2)

Kondisi tersebut dapat dilukiskan sebagai berikut : Kondisi tersebut dapat dilukiskan sebagai berikut :

a.

a. _{Bila beban P diperbesar}_{Bila beban P diperbesar}

b.

b. _{Bila Panjang balok}_{Bila Panjang balok} _ll_diperbesar_diperbesar

c.

c. BilBila ja jenienis bs bahaahan ban balok lok berberbedbedaa

d.

d. BilBila bala balok diok diletletakan rakan rebaebah atah atau tegu tegakak

Gambar 2. Gambar 2. P P d d22 2P 2P 2l 2l P P d d d d11 ll ll P P d d ll E E11 P P d d ll E E22 P P d d ll d d ll d d 4 4

(3)

Dari kondisi di atas dapat disimpulkan bahwa lendutan akibat beban terpusat Dari kondisi di atas dapat disimpulkan bahwa lendutan akibat beban terpusat pada konstruksi batang mempunyai hubungan sebagai berikut:

pada konstruksi batang mempunyai hubungan sebagai berikut:

I

E

n

l

P

k

d

⋅⋅

≈

Dim

Dimana ana K K mermerupaupakan kan fakfaktor tor yanyang g tertergantgantung ung padpada a bentbentuk uk konskonstrutruksiksi, , dan dan II meru

merupakapakan n fakfaktor tor penapenampampang ng balbalok, ok, n n menmenunjunjukaukan n bahbahwa wa rumurumus s tertersebusebutt bukan fungsi linear.

bukan fungsi linear.

Selanjutnya pada balok di atas dua perletakan yang dimuati beban P akan Selanjutnya pada balok di atas dua perletakan yang dimuati beban P akan melengkung atau melentur. Lentur ini akan menimbulkan lendutan dan tegangan melengkung atau melentur. Lentur ini akan menimbulkan lendutan dan tegangan pada balok tersebut seperti

pada balok tersebut seperti Gambar 3Gambar 3.. Perubahan bentuk ini akan menyebabkanPerubahan bentuk ini akan menyebabkan lapisan atas balok mangalami tegangan tekan, sedangkan lapisan bawahnya lapisan atas balok mangalami tegangan tekan, sedangkan lapisan bawahnya akan mengalami tegangan tarik. Sifat ini pula yang ditemui pada balok kantilevel, akan mengalami tegangan tarik. Sifat ini pula yang ditemui pada balok kantilevel, batang tepi atas mengalami tegangan tarik dan tepi bawah mengalami tegangan batang tepi atas mengalami tegangan tarik dan tepi bawah mengalami tegangan tekan. Lebih lanjut hal ini menerangkan keadaan sebagai berikut:

tekan. Lebih lanjut hal ini menerangkan keadaan sebagai berikut: Jik

Jika a sebsebataatang ng balbalok ok dibdibebaebani ni oleoleh h sebsebuah uah gaygaya a linlintantang, g, makmaka a balbalokok te

tersersebut but akakan an memelelendundut t dadan n bibila la didiamambibil l sesebabagigian an elelememen en babalolok k tetersersebubut,t, berdasarkan

berdasarkan HipotesHipotesa a BernoullBernoulli i dan dan periperilaklaku u elaelastistis s bahabahan n sessesuai uai dendengangan hukum Hooke

hukum Hooke akan memberikan diagram sebagai berikut:akan memberikan diagram sebagai berikut:

Gambar 3. Gambar 3.

(4)

D

Daarri i ssiinni i kkiitta a ddaappaat t mmeenneennttuukkaann pem

pembagbagian ian tegtegangaangan n pada pada penpenampampangang balok, kita dapatkan tegangan tekan pada balok, kita dapatkan tegangan tekan pada serat atas dan tegangan tarik pada serat serat atas dan tegangan tarik pada serat bawah.

bawah. Te

Tegagangngan an lelentntur ur yayang ng bebekekerjrja a papadada pe

penanampampang ng memelilintntanang g adadalalah ah sesehahargarga dengan gaya kopel D dan T

dengan gaya kopel D dan T yang bekerjayang bekerja dengan panjang lengan Z.

dengan panjang lengan Z. K

Kooppeel l iinni i memembmbeennttuuk k mmoomemen n yyaangng d

diibbuuttuuhhkkaan n uunnttuuk k kkeesseeiimmbbaannggaann.. Sedangkan gaya-gaya D san T diibentuk Sedangkan gaya-gaya D san T diibentuk oleh tegangan total σ yang bekerja pada oleh tegangan total σ yang bekerja pada pen

penampaampang ng melmelintintang ang D D samsama a dengdenganan vo

volulume me ttegeganangagan n ttekekaan n dadan n T T sasamama dengan volume tegangan tarik.

dengan volume tegangan tarik.

h h Z Z h h b b T T h h b b D D

⋅⋅

==













 ⋅⋅

⋅⋅

==













 ⋅⋅

⋅⋅

−−

==

3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 σ σ σ σ

dimana Z adalah jarak antara titik berat volume tegangan tekan dan volume dimana Z adalah jarak antara titik berat volume tegangan tekan dan volume tegangan tarik terhadap garis normal.

tegangan tarik terhadap garis normal. Momen

Momen dalam dalam M meM menjadi njadi :: M M

==

D D

⋅⋅

Z Z

==

T T

⋅⋅

Z Z dimana dimana : : D D = = gaya gaya tekan tekan ; ; T T == gaya tarik

gaya tarik

Untuk penampang segi empat : Untuk penampang segi empat :

6 6 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 _bh_bh22 h h b b h h M M



⋅⋅

==

⋅⋅











 ⋅⋅

⋅⋅

==

σ σ σ σ ; jika; jika 22 6 6 1 1 bh bh W W _X_X

==

⋅⋅

;; W

W _x_x _{tergantung dari}_tergan_{tung dari bentuk penampan}_{bentuk penampang}_{g melint}_melintang_{ang dan}_{dan diseb}_disebut_{ut Momen Tahanan,}_{Momen Tahanan,}

sehingga persamaan momen dapat ditulis menjadi :

(5)

Pe

Pembambahahasasan n sesecacara ra umumum um teteori ori lelentnturauran n dadan n pepenunurunrunan an rurumumus s tetegagangangann

lentur :

Sebatang balok yang melentur dengan penampang melintang sembarang, Sebatang balok yang melentur dengan penampang melintang sembarang, bila diamati deformasi pada elemen nya. Menurut Hipotesa Bernolli bahwa jika bila diamati deformasi pada elemen nya. Menurut Hipotesa Bernolli bahwa jika titik berat penampang tidak ditengah-tengah tinggi balok, deformasi pada serat titik berat penampang tidak ditengah-tengah tinggi balok, deformasi pada serat at

atas as dadan n seserarat t babawawah h akakan an beberberbedada, , sesedadangkngkan an memenurnurut ut HuHukukum m HoHookeoke tegangan pada serat atas akan berbeda dengan tegangan pada serat bawah. tegangan pada serat atas akan berbeda dengan tegangan pada serat bawah.

Denga

Dengan n mengammengambil sebuah bil sebuah elemeelemen n dengan panjang ldengan panjang loo pada batang yangpada batang yang

men

mengagalalami mi lelentnturur, , dadapapat t didipeperoroleh leh gagambambararan n dedefoformarmasi si dadan n pepenyenyebabararann tegangan seperti

tegangan seperti Gambar 4.Gambar 4.

Gambar 4. Gambar 4. Pad

Pada a eleelemen men keckecil il tak terhitak terhingga ∆A ngga ∆A bekebekerja rja sebsebuah teganuah tegangan gan σ, dan σ, dan gaygayaa ∆K = σ. ∆A akan menyebabkan bekerjanya momen pada garis netralnya sebesar ∆K = σ. ∆A akan menyebabkan bekerjanya momen pada garis netralnya sebesar ∆M = ∆K . y.

∆M = ∆K . y. Tegangan σ

Tegangan σ dapat dinyatdapat dinyatakan sebagai akan sebagai :: y y y y_b_b B B

_⋅⋅

==

σ σ σ σ _;; sehingga

sehingga y y A A

y y A A K K B B B B

_⋅⋅

_∆∆

==

∆∆

⋅⋅

==

∆∆

σ σ σ σ _Dan_Dan y y A A

y y y y K K M M B B B B

_⋅⋅

_∆∆

==

⋅⋅

∆∆

==

∆∆

σ σ 22 ;

; oleh oleh karenakarena tia

tiap-tip-tiap ap eleelemen men menmenghaghasilsilkan kan sebsebuah uah ∆M ∆M , , sehsehingingga ga jikjika a dijdijumlumlahkahkan an akaakann

diperoleh

diperoleh y y A A y y M M B B B B

⋅⋅

∆∆

∑

==

∆∆

σ σ 22 ;

; dadan n kakarerenana

B B B B y y σ σ kon

konstastan, n, makmaka a perpersamasamaanan

momen dapat ditulis :

momen dapat ditulis : y y A A y y M M B B B B _⋅⋅_∑_∑ _⋅⋅_∆_∆ = = ∆ ∆ σ σ 22 ; jika

(6)

penampang terhadap sumbu X melalui titik berat penampang, maka tegangan penampang terhadap sumbu X melalui titik berat penampang, maka tegangan

akibat lentur dapat dihitung dengan menggunakan rumus

akibat lentur dapat dihitung dengan menggunakan rumus y y I I M M X X

⋅⋅

==

σ

σ _{; dan jika}_{; dan jika}

kit

kita a banbandingdingkan kan dengdengan an rumrumus us umuumumm yy

II M M σ σ X X ⋅⋅ =

= _den_dengan_{gan rumu}_rumus_s

X X W W M M

==

σ σ

⋅⋅

,,

maka kita dapat memperoleh bentuk hubungan : maka kita dapat memperoleh bentuk hubungan :

y y I I W

W X X

==

X X yakni antara Momenyakni antara Momen

Ketahanan dengan Momen Inersia. Ketahanan dengan Momen Inersia.

Hal

Hal yanyang g samsama a dapadapat t dibdibuktuktikaikan n dendengan gan menmenghitghitung ung regregangaangan n padapada elemen balok yang mengalami lentur

elemen balok yang mengalami lentur Gambar 5Gambar 5 ::

Gambar 5 Gambar 5 Momen M pada

Momen M pada gamgambar bar 5a5a menmenimbimbulkulkan an momemomen n lenlentur tur murnmurni i pada pada batbatangang sederhana AB. Jika batang tidak kaku sempurna serta gaya dalam masih dalam sederhana AB. Jika batang tidak kaku sempurna serta gaya dalam masih dalam batas elastik maka sumbu batang akan melendut. Menurut

batas elastik maka sumbu batang akan melendut. Menurut Hipotesa Bernoulli Hipotesa Bernoulli

bila batas elastis belum dilampaui, maka setiap bagian batang akan tetap datar bila batas elastis belum dilampaui, maka setiap bagian batang akan tetap datar seperti sebelumnya. Hal ini berarti bahwa perubahan panjang tiap-tiap lapisan seperti sebelumnya. Hal ini berarti bahwa perubahan panjang tiap-tiap lapisan

(7)

sejajar dengan sumbu batang berbanding lurus dengan jarak terhadap sumbu sejajar dengan sumbu batang berbanding lurus dengan jarak terhadap sumbu gambar 5b

gambar 5b, sehingga regangan pada lapisan yang berjarak Y dari sumbu batang, sehingga regangan pada lapisan yang berjarak Y dari sumbu batang

dapa

dapat t dipdiperoeroleh leh perbperbandandingaingan n ::

R R y y EF EF EF EF GH GH

==

−−

;

; sedasedangkangkan n menmenuruturut HukumHukum

Hooke

Hooke pada lapisan tersebut terjadi regangan :pada lapisan tersebut terjadi regangan :

E E y y σ σ ε

ε

==

; sehingga diperoleh; sehingga diperoleh

tegangan pada lapisan tersebut adalah :

tegangan pada lapisan tersebut adalah : y y r r E E y y

==

⋅⋅

σ

σ ; hal ini menunjukan bahwa; hal ini menunjukan bahwa

teg

tegangangan an padpada a tiatiap-tp-tiap iap laplapisaisan n berbberbandanding ing lurlurus us dendengan gan jarjarak ak dari dari sumsumbubu net

netralral. . DimDimana ana tegtegangangan an pada pada bagbagian ian ataatas s sumsumbu bu netnetral ral berbersifasifat t tektekan an dandan tegangan pada bagian bawah sumbu netral bersifat tarik.

tegangan pada bagian bawah sumbu netral bersifat tarik. Bi

Bila la gagaya ya yayang ng bebekekerjrja a papada da pepenanampmpanangg dAdA _adal_ad_alah_{ah ::} dT dT

==

σ σ _y_y

⋅⋅

dAdA _atau_atau

dA dA y y r r E E dT

dT

==

⋅⋅

dari persamaan ini dapat dihitung gaya tarik pada bagian tarikdari persamaan ini dapat dihitung gaya tarik pada bagian tarik

sebesar :

sebesar : y y dAdA r r E E T T h h

⋅⋅

==

∫ ∫

1 1 0 0 ;;

Dengan cara yang sama didapat pula gaya tekan sebesar :

Dengan cara yang sama didapat pula gaya tekan sebesar : y y dAdA r r E E K K h h

⋅⋅

==

∫ ∫

2 2 0 0 Perl

Perlu u dikediketahtahui ui pada pada konkonstrstruksi uksi yanyang g hanhanya ya menmenderiderita ta mommomen en lenlentur tur murmurnini sumbu netralnya terleta

sumbu netralnya terletak k pada lapisan yang pada lapisan yang mengamengalami tegangan sama lami tegangan sama dengandengan nol, dengan kata lain :

nol, dengan kata lain :

0 0 0 0

==

⋅⋅

_∫ ∫

y y dAdA r r E E A A

; berarti ; berarti 00 1 1 0 0

==

⋅⋅

∫ ∫

y y dAdA h h

yang berarti sumbu netral didapat bila y = 0, yang berarti sumbu netral didapat bila y = 0, at

atau au susumbmbu u nenetratral l beberirimpmpit it dedengangan n susumbmbu u babatatang. ng. SeSelalanjnjututnya nya gagaya ya tatarikrik maupun gaya tekan akan menimbulkan momen terhadap sumbu netral sebesar : maupun gaya tekan akan menimbulkan momen terhadap sumbu netral sebesar :

dA dA y y r r E E y y dT dT dM

(8)

)) (( 5 5 ,, 18 18 0 0 2 2 75 75 ,, 0 0 20 20 0 0 20 20

↓

=

−

⋅⋅

−

=

−

⋅⋅

−

kn kn V V V V V V x x q q B B B B B B 0 0 = = ∑ ∑ M M _B_B 0 0 = = ∑ ∑V V m m kn kn M M M M M M x x x x q q x x r r r r r r .. 5 5 ,, 38 38 0 0 2 2 2 2 2 2 75 75 ,, 0 0 2 2 20 20 0 0 2 2 20 20 2 2

=

−

⋅⋅

−

⋅⋅

=

−

⋅⋅

−

⋅⋅

penampang :

penampang : y y dAdA r r E E M M A A

⋅⋅

==

∫ ∫

0 0 2 2 ; berdasarkan keseimbang

; berdasarkan keseimbangan an maka momen padamaka momen pada persamaan diatas akan melawan momen lentur Mx, sehingga dapat diperoleh persamaan diatas akan melawan momen lentur Mx, sehingga dapat diperoleh tegangan lentur pada lapisan sejauh y dari sumbu netral adalah :

tegangan lentur pada lapisan sejauh y dari sumbu netral adalah : dA dA y y y y M

M _X_X

==

σ σ Y Y

⋅⋅

∫ ∫

22

⋅⋅

;; I I y y M M _X_X

==

σ σ Y Y

⋅⋅

Contoh Soal : Contoh Soal : 1.

1. DikDiketaetahui sebuahui sebuah h balbalok kantilok kantileveevel l sepseperterti i gamgambar dibawbar dibawa, mempua, mempunyanyaii penampang balok segi empat.

penampang balok segi empat.

Penampang balok pada pot C - C Penampang balok pada pot C - C

Tentukan

Tentukan tegangan tegangan lentur lentur maksimum maksimum yang yang terjadi terjadi pada pada sebuah sebuah irisan irisan 2 2 m m daridari Ujung bebas Ujung bebas Penyelesaian : Penyelesaian : Persyaratan keseimbangan : Persyaratan keseimbangan : maka : maka : maka : maka : B B MMrr L m L m V VBB 40 cm 40 cm 30 cm 30 cm 2 m 2 m C C Q = 75kg/m’ Q = 75kg/m’ C C A A 20 kn 20 kn

(9)

2.

2. Seperti soal nomor 1, andaikata penampang potongan c-c seperti gambar Seperti soal nomor 1, andaikata penampang potongan c-c seperti gambar berikut :

berikut :

satuan: mm satuan: mm

Ditentukan titik berat penampang Ditentukan titik berat penampang

(10)

Dicari momen inersia luasan penampang terhadap sumbu z-z. Maka : Dicari momen inersia luasan penampang terhadap sumbu z-z. Maka :

Besarnya tegangan lentur maksimum pada potongan c-c 2m dari ujung bebas Besarnya tegangan lentur maksimum pada potongan c-c 2m dari ujung bebas

3. 3.

(11)

Penampang balok AB Penampang balok AB

ukuran : mm ukuran : mm

Tentukan tegangan lentur maksimum ! Tentukan tegangan lentur maksimum ! Solusi :

Solusi :

Mencari titik berat dan letak garis sumbu netral Mencari titik berat dan letak garis sumbu netral

Mencari momen inersia luasan terhadap sumbu z-z Mencari momen inersia luasan terhadap sumbu z-z

(12)

Mencari gaya reaksi tumpuan Mencari gaya reaksi tumpuan

Diambil potongan kiri sejauh X m dari A Diambil potongan kiri sejauh X m dari A

(13)

Agar momen maksimum maka : Agar momen maksimum maka :

Jadi nilai momen maksimum Jadi nilai momen maksimum

Tegangan lentur maksimum untuk serat atas Tegangan lentur maksimum untuk serat atas

Serat bawah : Serat bawah :

(14)