2 Dasar Teori. Bab Hindcasting

(1)

2 Dasar Teori

Untuk melakukan analisis mengenai permasalahan sedimentasi yang terjadi di sekitar alur masuk Pelabuhan Pulau Baai berdasarkan data mentah yang tersedia (berupa data angin jam-jaman, data batimetri, peta lokasi dan data seri waktu dari elevasi pasang surut di lokasi studi) diperlukan beberapa metoda pengolahan data untuk mendapatkan data yang siap digunakan dalam pemodelan numerik.

Berikut ini akan diuraikan beberapa teori yang mendasari metode pengolahan data dan analisis yang digunakan dalam penyusunan model numerik untuk permasalahan sedimentasi di sekitar alur masuk Pelabuhan Pulau Baai.

2.1 Hindcasting

Angin merupakan faktor dominan dalam mekanisme pembentukan gelombang. Untuk melakukan peramalan gelombang, maka dibutuhkan data gelombang. Namun karena data gelombang sulit diperoleh dikarenakan oleh berbagai faktor seperti sulitnya metode pelaksanaan, alat dan biaya yang sangat mahal karena gelombang adalah proses acak yang terjadi dalam satuan detik sehingga diperlukan storage dan baterai yang sangat besar karena data ini harus diambil untuk beberapa tahun kedepan jadi dapat dibayangkan berapa banyak storage yang diperlukan untuk menampung data tersebut. Dalam peramalan data gelombang, data gelombang hanya dapat diramal sesuai dengan banyaknya data yang didapat (data gelombang 2 tahun hanya dapat meramal data gelombang 2 tahun kedepan). Karena data gelombang sulit didapatkan maka data gelombang diperoleh dari data angin melalui proses hindcasting. Dalam hindcasting, gelombang laut yang timbul dianggap hanya dibangkitkan oleh hembusan angin saja. Hal

Bab

(2)

ini masih dapat diterima karena angin merupakan faktor terbesar yang dapat membentuk gelombang walupun tidak seakurat meramal data gelombang dari data gelombang yang diperoleh dari lapangan. Adapun gelombang-gelombang laut yang terjadi pada umumnya diakibatkan oleh hal-hal sebagai berikut :

• Gelombang akibat angin

• Gelombang akibat pasut

• Gelombang akibat gempa/longsor/pergerakan di dasar laut • Gelombang akibat kapal laut, dan lain-lain.

Data-data yang dibutuhkan untuk meramal gelombang terdiri dari : 1. Data angin

2. Panjang fetch efektif (daerah pembentukan gelombang)

2.1.1 Data Angin

Posisi bumi terhadap matahari yang berubah-ubah sepanjang tahun akan menyebabkan terjadinya perbedaan temperatur dan tekanan udara di setiap bagian bumi. Peristiwa tersebut menyebabkan terjadinya gerakan udara. Gerakan udara dari tekanan tinggi menuju tekanan rendah disebut dengan angin. Angin merupakan salah satu pembangkit gelombang laut. Oleh karena itu data angin dapat digunakan untuk memperkirakan tinggi dan arah gelombang di lokasi studi.

Data angin yang digunakan untuk perhitungan tinggi gelombang adalah data yang dicatat oleh BMG (Badan Meteorologi dan Geofisika). Pada umumnya data ini diperoleh dari Pelabuhan Udara.

Data angin yang diperlukan adalah kecepatan dan arahnya. Data tersebut selanjutnya diolah secara statistik dan kemudian digunakan sebagai data masukan perhitungan tinggi dan perioda gelombang. Pada umumnya data angin yang diperoleh pelabuhan udara berupa kecepatan angin berikut arah untuk tiap-tiap jam. Selanjutnya data angin jam-jaman ini diolah menjadi data angin harian maksimum, sehingga untuk satu hari pengamatan terdapat satu data kecepatan angin maksimum berikut arahnya. Selanjutnya data angin tersebut dikelompokkan berdasarkan arah berhembusnya ke dalam delapan penjuru mata angin seperti yang disajikan dalam Tabel 2.1.

(3)

Tabel 2.1 Pengelompokan Arah Angin Berhembus No. Arah Angin Sudut (derajat)

1. Utara 337, 5 ≤ x < 22,5 2. Timur Laut 22,5 ≤ x < 67,5 3. Timur 67, 5 ≤ x<112,5 4. Tenggara 112,5 ≤x<157,5 5. Selatan 157, 5 ≤ x < 202,5 6. Barat Daya 20,5 ≤ x < 247,5 7. Barat 247,5 ≤ x < 292,5 8. Barat Laut 292, 5 ≤ x < 337,5

Jadi dapat disimpulkan secara umum data angin yang digunakan untuk peramalan atau hindcasting gelombang adalah sebagai berikut :

Data angin yang dipersiapkan harus terdiri dari :

- Arah datang angin

- Kecepatan hembusan angin

- Durasi/lama hembusan angin.

Data angin tersebut harus berasal dari hasil catatan stasiun pencatat angin yang dapat mewakili kondisi angin di lokasi studi dengan kriteria :

1. Stasiun berada tepat pada kawasan studi.

2. Jika tidak ada, pilih lokasi stasiun yang terdekat dengan kawasan studi dengan syarat kedua lokasi tersebut memiliki kesamaan gradien tekanan udara dan perbedaan kekasaran yang tidak terlalu besar.

Data angin yang digunakan dalam hindcasting dapat dihasilkan dari pengukuran langsung di atas permukaan laut, misalnya dengan menggunakan kapal, ataupun pengukuran di darat, misalnya di bandara dekat lokasi yang ditinjau, yang kemudian dikonversikan menjadi data angin di laut. Perlu diperhatikan bahwa data kecepatan angin yang diperoleh di Pelabuhan Udara terdekat ke lokasi perairan kajian pada umumnya dalam satuan knot (mil/jam) sedangkan yang digunakan dalam perhitungan adalah suatu nilai rata-rata dalam satuan m/s , sehingga untuk ini perlu dilakukan konversi satuan dari knot ke m/s

(4)

dimana 1 mil laut setara dengan 1853,15 meter.

Berdasarkan Shore Protection Manual 1984 (SPM 1984), data angin yang diperoleh dari pengukuran harus dikoreksi terlebih dahulu. Setelah dikoreksi kemudian dikonversi menjadi UA yaitu wind stress factor (faktor tegangan angin). Koreksi data angin meliputi tahap-tahap berikut:

A. Koreksi Elevasi

Jika posisi stasiun tidak terletak pada elevasi 10 m, maka dilakukan koreksi terhadap data yang akan digunakan yaitu :

7 / 1 (z) ) 10 ( 10 U = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × z U (2.1) di mana :

U(z) = Kecepatan angin menurut pencatatan stasiun pada elevasi z

U(10) = Kecepatan angin pada elevasi 10 m di atas permukaan laut

B. Koreksi Lokasi

Data angin yang diperoleh di stasiun pengamat angin (biasanya di bandara) merupakan data angin yang dicatat di daratan, sedang terbentuknya gelombang adalah akibat dari angin yang terbentuk dan berhembus di laut, sehingga perlu dilakukan koreksi terhadap

data hasil pencatatan dengan suatu reduksi yang diberi notasi RL. Jadi selain diperlukan

faktor konversi satuan dari knot ke meter/detik, juga diperlukan pemberian faktor reduksi

RL untuk mengubah angin darat menjadi angin laut. Rumusan untuk menghitung faktor

reduksi RL diperoleh dari acuan Shore Protection Manual (SPM 1984), yaitu persamaan

(2.2) sebagai berikut : L W L U U R = (2.2) dimana:

RL = Rasio antara kecepatan angin dilautan dengan kecepatan angin di daratan.

Uw = Kecepatan angin di lautan.

UL = Kecepatan angin di daratan.

Harga RL ini didapat dari grafik hubungan antara RL vs UL yang terdapat pada SPM 1984

(5)

di atas, dengan diketahuinya harga RL dan UL maka besar kecepatan angin di laut dapat

dihitung sebagai berikut:

L L W R U

U = . (2.3)

Jadi, kecepatan angin lautan setelah dikoreksi dan dikonversikan adalah:

3600 15 , 1853 _L L w U R U = (2.4) dimana:

Uw = Kecepatan angin setelah dikoreksi dan dikonversi, (meter/detik)

RL = Faktor reduksi dari kecepatan di daratan menjadi di lautan, non dimensi

UL = Kecepatan angin maksimum harian dari stasiun pengamat (knot)

Harga RL diperoleh dari Gambar 2.1 dibawah ini.

Gambar 2.1 Perhitungan harga rasio RL sebagai fungsi dari UL

C. Koreksi Durasi

Data angin yang tersedia biasanya tidak disebutkan durasiya atau merupakan data hasil pengamatan sesaat. Kondisi sebenarnya kecepatan angin adalah selalu berubah-ubah meskipun pada arah yang sama. Untuk melakukan hincasting, diperlukan juga durasi atau

(6)

lama angin bertiup, dimana selama dalam durasi tersebut dianggap kecepatan angin adalah konstan. Oleh karena itu, koreksi durasi ini dilakukan untuk mendapatkan kecepatan angin rata-rata selama durasi angin bertiup yang diinginkan.

Berdasarkan data hasil pengamatan angin sesaat, dapat dihitung kecepatan angin rata-rata untuk durasi angin tertentu, dengan prosedur sebagai berikut:

1. Perhitungan u3600 ( kecepatan rata-rat pada durasi 3600 detik)

f f

u

t =1609 uf = kecepatan angin hasil pengukuran (2.5)

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = f f t c 1.277 0.296tanh 0.9log45 ; 1 < tf < 3600 s 5334 . 1 log 15 . 0 + − = f f t c ; 3600 < tf < 36000 s (2.6) f f c u u₃₆₀₀ = (2.7) 2. Perhitungan ut ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = t c_t 1.277 0.296tanh 0.9log45 ; 1 < tf < 3600 s 5334 . 1 log 15 . 0 + − = t c_t ; 3600 < tf < 36000 s (2.8) 3600 u c u_t = _t (2.9) D. Koreksi Stabilitas

Jika udara (tempat angin berhembus) dan laut (tempat pembentukan gelombang) memiliki perbedaan temperatur, maka harus ada koreksi terhadap stabilitas kecepatan angin akibat kondisi ini, yang didefinisikan sebagai:

) 10 ( T R = U U × (2.10) dimana :

RT = Besar koreksi (dibaca dari grafik pada SPM 1984) U = Kecepatan angin setelah dikoreksi dalam m/s

(7)

Gambar 2.2 Grafik Nilai RT vs ΔT (SPM 1984) E. Koreksi Tegangan Angin

Setelah data kecepatan angin melalui koreksi-koreksi di atas, maka data tersebut

dikonversi menjadi wind stress factor (UA) dengan menggunakan persamaan berikut ini :

23 . 1 71 . 0 u u_A = ⋅ (2.11)

2.1.2 Daerah Pembentukan Gelombang (Fetch Efektif)

Fetch adalah daerah pembentukan gelombang yang diasumsikan memiliki arah dan kecepatan angin yang relatif konstan. Karakteristik gelombang yang ditimbulkan oleh angin ditentukan juga oleh panjang fetch. Fetch efektif di titik tertentu adalah area dalam radius perairan yang melingkupi titik tersebut dimana dalam area tersebut angin bertiup dengan kecepatan konstan dari arah manapun menuju titik tertentu.

Penghitungan panjang fetch efektif ini dilakukan dengan meggunakan bantuan peta topografi lokasi dengan skala yang cukup besar, sehingga dapat terlihat pulau-pulau atau daratan yang mempengaruhi pembentukan gelombang disuatu lokasi. Penentuan titik fetch diambil pada posisi laut dalam dari lokasi perairan yang ditinjau. Ini karena gelombang yang dibangkitkan oleh angin terbentuk dilaut dalam, kemudian merambat kearah pantai dan pecah seiring dengan mendangkalnya dasar perairan didekat pantai. Pada peramalan gelombang, data angin yang digunakan adalah data angin maksimum jam - jaman berikut arahnya yang dibuat dalam delapan arah mata angin. Setelah itu,

(8)

panjang fecth efektif dapat ditentukan kemudian.

Prosedur penentuan panjang fetch efektif adalah sebagai berikut: 1. Menentukan titik dan lokasi yang hendak ditinjau.

2. Tarik garis fetch untuk suatu arah.

3. Garis-garis fetch dibagi dengan selang 5˚ untuk delapan arah mata angin, dengan tiap arah mata angin memiliki daerah pengaruh sebesar 22,5˚ ke arah kiri (berlawanan arah jarum jam) dan 22,5˚ ke arah kanan (searah jarum jam).

4. Ukur panjang fecth yang telah dibuat, hasil perhitungan panjang fecth yang dihitung harus dalam skala 1:1 (dalam panjang sebenarnya).

5. Mengukur panjang fetch efektif adalah:

∑

= = = _k i i k i i i eff F F 1 1 cos cos

α

(2.12) Dimana :

Fi = Panjang fetch ke-i

α = sudut pengukuran fetch ke i

i = nomor pengukuran fetch

k = jumlah pengukuran fetch

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam penarikan garis fetch yaitu: a. Tidak ada fetch di daratan

b. Tidak ada fetch sejajar pantai, minimum 15˚ dari garis pantai. 2.1.3 Peramalan Data Gelombang

Setelah dilakukan koreksi data angin dan penghitungan fetch efektif, selanjutnya

dilakukan peramalan data gelombang. Data angin yang telah dikoreksi (UA) dan data

panjang fetch efektif digunakan untuk memperkirakan data tinggi gelombang (H) dan perioda gelombang (T) yang dibangkitkan oleh hembusan angin tersebut.

Dalam melakukan peramalan tinggi dan perioda gelombang, digunakan langkah-langkah perhitungan berdasarkan SPM 1984 dengan menggunakan persamaan-persamaan berikut:

(9)

4 2 7.15 10 . 8 . 68 x U F g U gt A eff A ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = (2.13) dimana :

g = Percepatan gravitasi bumi = 9.81 (m/s2₎

UA = Wind stress factor (m/s)

Feff = Panjang fetch efektif (m)

T = Durasi angin yang bertiup (detik)

Adapun prosedur peramalan gelombang berdasarkan SPM 1984 adalah sebagai berikut: 1. Lakukan perhitungan sesuai persamaan (2.13). Jika hasil perhitungannya tidak

memenuhi persamaan tersebut, maka gelombang yang terjadi merupakan hasil pembentukan gelombang sempurna. Oleh karena itu perhitungan tinggi dan perioda gelombangnya menggunakan persamaan berikut:

g U H A mo 2 . 2403 . 0 = (2.14) g U T A p 2 314 . 8 = (2.15) dimana:

Hmo = Tinggi gelombang signifikan menurut energi spektral (m)

TP = Perioda puncak spektrum (detik)

G = Percepatan gravitasi bumi = 9.81 (m/s2₎

UA = Wind stress factor (m/s)

Jika hasil perhitungan memenuhi persamaan (2.13), maka gelombang yang terjadi merupakan hasil pembentukan gelombang tidak sempurna. Pembentukan gelombang tidak sempurna ini ada dua jenis, yaitu ;

a. Pembentukan gelombang terbatas fetch (fetch limited) b. Pembentukan gelombang terbatas durasi (time limited)

(10)

3 2 2 2 _. 8 . 68 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A eff A c U F g g U t (2.16)

2. Periksa durasi data angin (t), lalu bandingkan terhadap durasi kritis (tc).

Jika t > tc, maka gelombang yang terjadi merupakan gelombang hasil pembentukan terbatas fetch (fetch limited). Pada pembentukan jenis ini, durasi angin yang bertiup cukup lama. Perhitungan tinggi dan perioda gelombangnya dilakukan dengan menggunakan persamaan berikut :

2 2 2 _. . 0016 . 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A eff A mo U F g g U H (2.17) 2 2 . . 2857 . 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A eff A p U F g g U T (2.18) dimana:

Hmo = Tinggi gelombang signifikan menurut energi spektral (m)

TP = Perioda puncak spektrum (detik)

g = Percepatan gravitasi bumi = 9.81 (m/s2₎

UA = Wind stress factor (m/s)

Jika t < tc, maka gelombang yang terjadi merupakan gelombang hasil pembentukan terbatas durasi (time limited). Pada pembentukan ini, durasi angin yangbertiup tidak cukup lama. Perhitungan tinggi dan perioda gelombangnya dilakukan dengan menggunakan persamaan (2.17) dan (2.18) namun dengan terlebih dahulu mengganti panjang Feff dengan Fmin berikut ini :

2 3 2 2 min 6 . 68 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A A U gt g U F (2.19)

Proses peramalan tinggi dan periode gelombang metode hindcasting dapat dilihat pada bagan alir dalam Gambar 2.3 di bawah ini.

(11)

Gambar 2.3 Flowchart peramalan tinggi dan periode gelombang

2.1.4 Analisis Frekuensi Gelombang

Tinggi gelombang rencana ditentukan dengan mencari tinggi gelombang perioda ulang tertentu yang dapat dihitung menggunakan metoda analisa frekuensi. Beberapa metoda yang sangat dikenal antara lain adalah Metoda Normal, Gumbell, Pearson Type III dan Log Pearson Type III. Metoda ini digunakan untuk mengetahui tinggi dan perioda gelombang untuk beberapa perioda ulang tahun kedepan yaitu 2, 5, 10, 25, 50 serta 100 tahun, metoda yang digunakan dalam penentuan tinggi dan perioda gelombang perencanaan yaitu metode yang memiliki kesalahan relatif (error) terkecil.

A. Metode distribusi normal

Distribusi normal atau kurva normal dikenal pula dengan nama distribusi Gauss yang mempunyai rumus sebagai berikut:

X t X KS

X = + . (2.20)

dimana:

Xt = Tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun (m)

X

= Gelombang maksimum rata-rata

(12)

K = Faktor variabel reduksi Gauss untuk distribusi normal

B. Metode distribusi log normal 2 parameter

Distribusi log normal merupakan hasil transformasi dari distribusi normal, yaitu dengan mengubah nilai variat X menjadi nilai logaritmik variat X. Untuk distribusi log normal dua parameter mempunyai persamaan transformasi:

LogX t LogX KS

X .

log = + (2.21)

dimana:

log Xt = Nilai logaritmik tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun (m)

LogX = Nilai logaritmik tinggi gelombang maksimum rata-rata

LogX

S = Standar deviasi logaritmik nilai X

K = faktor variabel reduksi Gauss untuk distribusi log normal 2 parameter

Apabila perhitungan tanpa nilai logaritmik, dapat digunakan persamaan berikut:

X t X KS

X = + . (2.22)

dimana:

Xt = Nilai tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun (m)

X = Nilai tinggi gelombang maksimum rata-rata

SX = Standar deviasi nilai X

K = Nilai karakteristik distribusi Log Normal 2 Parameter yang nilainya bergantung

dari koefisien variasi (CV)

X S

C X

V =

C. Metode distribusi log normal 3 parameter

Distribusi log normal 3 parameter dapat dituliskan sebagai:

X t X KS

X = + . (2.23)

dimana:

(13)

X

= Nilai tinggi gelombang maksimum rata-rata

SX = Standar deviasi nilai X

K = Nilai karakteristik distribusi Log Normal 3 Parameter yang nilainya bergantung dari

koefisien variasi (CS)

D. Metode distribusi Gumbell

Metoda distribusi Gumbell yang banyak digunakan dalam analisa frekuensi mempunyai rumus: X t X KS X = + . (2.24)

(

Yt Yn

)

Sn K = − / (2.25) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = 1 303 . 2 834 . 0 T T Log Y_t (2.26) dimana:

Xt = Tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun (m)

X = Tinggi gelombang maksimum rata-rata

SX = Standar deviasi

K = Faktor frekuensi

Yn = Nilai rata-rata dari reduksi variat, nilainya tergantung dari jumlah data Sn = Deviasi standar dari reduksi variat, nilainya tergantung dari jumlah data E. Metode distribusi Pearson III

Distribusi Pearson III mempunyai bentuk kurva seperti bel. Persamaan distribusi Pearson III dapat dijelaskan sebagai berikut:

X t X KS

X = + . (2.27)

dimana:

Xt = Nilai tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun (m)

X

= Nilai tinggi gelombang maksimum rata-rata

(14)

K =Faktor sifat distribusi Pearson III yang merupakan fungsi dari CS (koefisien skewness)

Nilai Cs yang diperoleh digunakan untuk mendapatkan nilai KT dari tabel. Persamaan distribusi Pearson III akan merupakan garis lengkung apabila digambarkan pada kertas peluang normal.

F. Metode distribusi log Pearson tipe III

Metoda ini mempunyai persamaan sebagai berikut:

LogX t LogX KS

X .

log = + (2.28)

dimana :

LogXt = Logaritmik tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun

LogX = Logaritmik tinggi gelombnag maksimum rata-rata

=

∑

n LogX LogX S = Standar deviasi =

(

)

1 2 − − n LogX LogX

K = Karakteristik dari distribusi Log Pearson III yang nilainya bergantung

pada harga CS CS = koefisien Skewness =

(

)

(

)(

)

3 . 2 . 1 n S_i n LogX LogX − − −

∑

Apabila nilai CS = 0, maka distribusi log Pearson III identik dengan distribusi log normal

sehingga distribusi kumulatifnya akan tergambar sebagai garis lurus pada kertas grafik log normal. Perioda gelombang rencana bisa didapatkan dengan cara memetakan tinggi gelombang yang didapat dari analisa frekuensi di atas ke scatter diagram perioda gelombang terhadap tinggi gelombang.

2.2 Transport Sedimen Sejajar Pantai

Gelombang yang datang dengan kemiringan sudut tertentu dan pecah didekat pantai, akan diteruskan dalam dua komponen (Gambar 2.4), yaitu fluks energi gelombang yang tegak lurus pantai dan fluks energi gelombang yang sejajar pantai. Komponen fluks energi gelombang yang tegak lurus pantai akan hancur membentur pantai sedangkan komponen

(15)

fluks energi gelombang yang sejajar pantai akan membangkitkan arus sejajar dengan garis pantai. Gelombang dan arus inilah yang menyebabkan terjadinya transpor sedimen baik yang sejajar dengan garis pantai maupun ke arah laut dalam. Namun yang mempunyai pengaruh lebih banyak untuk jangka panjang ialah tranpor sedimen sejajar pantai sedangkan yang tergak lurus pantai bila dirata-ratakan hasilnya sangat kecil sehingga bisa diabaikan.

Gelombang yang pecah akan menyebabkan sedimen terangkat dan melayang-layang. Arus mengangkut sedimen sesuai dengan kapasitasnya dalam arti bahwa yang menentukan bergerak tidaknya sedimen adalah besarnya arus dan ukuran butiran. Besarnya tingkat transpor sedimen ini dapat dinyatakan dalm Q (debit sedimen) yaitu banyaknya material sedimen yang melalui suatu penampang tilik per satuan waktu. Transpor sedimen sejajar pantai umumnya mempunyai satuan meter kubik per tahun. Karena pergerakannya sejajar pantai, maka ada dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu ke arah kanan dan kiri relatif terhadap seorang pengamat yang berdiri di pantai

menghadap ke arah laut. Pergerakan dari kanan ke kiri diberi notasi Qlt, dan pergerakan

dari kiri ke kanan Qrt, sehingga didapat tingkat transpor sedimen ”kotor”(gross), ialah

Qg = Qlt + Qrt, dan transpor sedimen ”bersih” (net) IQnI = Qlt - Qrt.. Nilai Qg digunakan untuk

meramalkan tingkat pendangkalan pada suatu alur perairan yang terbuka, Qn untuk

desain alur yang dilindungi dan perkiraan erosi pantai, dan Qlt serta Qrt untuk penumpukan

sedimen di ”belakang” sebuah struktur pantai yang menahan pergerakan sedimen.

Untuk menaksir debit sedimen dapat didekati dengan faktor fluks energi sejajar garis pantai. Dalam perhitungan ini asumsi yamg digunakan adalah :

1. Transpor sedimen hanya terjadi di daerah surf zone saja 2. Garis pantai dengan kontur berupa garis sejajar

(16)

Breaker line

Energi gelombang sejajar pantai

Energi gelombang tegak lurus pantai

Garis pantai Darat Q = Debit Sedimen Surf zone Perairan dalam Refraksi α Gelombang datang Breaker line

Energi gelombang sejajar pantai

Energi gelombang tegak lurus pantai

Garis pantai Darat Q = Debit Sedimen Surf zone Perairan dalam Refraksi α Gelombang datang

Gambar 2.4 Ilustrasi Komponen Energi Gelombang Setelah Pecah

Daerah pantai adalah daerah yang sangat rentan terhadap terjadinya proses erosi dan sedimentasi, kejadian ini terjadi karena adanya perbedaan transport sedimen yang terjadi di pantai oleh karena suatu benda baik berupa bangunan ataupun yang lainnya. Dengan adanya penghalang ini transport sedimen menjadi tidak seimbang sehingga dapat menjadikan pantai mengalami erosi dan sedimentasi. Daerah yang ditinjau untuk masalah transport sedimen ini yaitu berada diantara garis pantai dan daerah gelombang pecah (breakerline), dimana kriteria gelombang pecah adalah saat tinggi gelombang mencapai 0.78 kedalamannya atau dengan persamaan:

78 . 0 ≈ h H

Persamaan transport sedimen yang digunakan dalam pemodelan transport sedimen meliputi tiga persamaan dasar, yaitu

1. persamaan kontinuitas sedimen

0 y x q q y t x y ∂ ∂ ∂ ₊ ₊ ₌ ∂ ∂ ∂ (2.29)

Seperti yang terlihat pada persamaan di atas, persamaan kontinuitas ini memerlukan input persamaan distribusi sedimen long-shore dan persamaan distribusi sedimen cross-shore dimana masing-masing persamaan ini saling terkait.

(17)

2. persamaan distribusi sedimen longshore

Persamaan yang dipakai untuk persamaan ini yaitu persamaan yang telah dikembangkan oleh Fulford (1982) berdasarkan hasil penelitian laboratorium Savage (1959) dengan asumsi struktur bangunan pantai berlaku sebagai total litoral barier dan transport sedien cross-shore diabaikan. Rumus yang dipakai dapat ditulis sebagai berikut:

)

exp(

)

(

(n 1) n x

y

By

y

q

=

−

_(2.30)

Dengan mengambil nilai konstanta B tertentu, persamaan diatas diintegralkan dari y=0 sampai y=y1 (lokasi tertentu dalam surfzone) dikalikan dengan persamaan longshore transport total. Dimana persamaan longshore transport total diambil dari US Army Corps Of Engineers, Coastal Engineering Research Center (Shore Protection Manual, 1984), adalah sebagai berikut:

) 2 sin( ' 52 b b H C Q =

α

(2.31)

Hb = Tinggi gelombang pecah

b

α

= Sudut Gelombang pecah

C’ = Koefisien CERC 2 1 2 1

16 )

1 ).(

(

ρ

κ

ρ

−

=

s

g

K

κ

= 0.78

ρs = rapat massa sedimen

K = 0.77 (SPM,1984) ρ = massa jenis air laut P = porositas sedimen

Pada penelitian lebih lanjut nilai n = 3 menunjukan hasil yang lebih mendekati, sehingga persamaan distribusi long-shore menjadi:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − + = 3 2 exp ) ( ) ( b x cy a y a y B y q _(2.32)

Yb = jarak dari sumbu referansi ke titik gelombang pecah (dalam arah offshore)

(18)

Level

c = Konstanta yang menentukan lebar pengaruh longshore transport (dalam arah

offshore) 3 3 3 b Y c B = sehingga dipenuhi ( ) 1.0 0 =

∫

∞ dy Y q_x

Dengan asumsi bahwa harga a sebanding dengan nilai tinggi gelombang pecah Hb dibagi dengan kemiringan (slope) pantai, a=

S Hb _.

Nilai c diambil = 1.25, nilai ini ditentukan dari persamaan regresi kuadrat tekecil non-linier dari nilai-nilai hasil penelitian Fulford.

Sehingga bentuk akhir persamaan distribusi sedimen longshore pada suatu titik y dalam surfzone untuk kontur pantai lurus dan sejajar adalah.

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − + = 3 2 3 3 ( ) exp ₁_.₂₅ 25 . 1 3 ) ( b b x y a y a y y y q _(2.33)

3. persamaan distribusi sedimen cross-shore

2.3 Persamaan Kontinuitas

Hukum kekekalan massa menetapkan bahwa massa tidak dapat diciptakan atau dimusnahkan, walaupun dapat ditransformasi. Untuk mengembangkan konsep matematis mengenai masalah ini, tinjau suatu ruang berbentuk kubus dalarn sistem koordinat kartesian seperti ditunjukkan Gambar 2.5.

Persamaan dan hukum kekekalan massa dapat dinyatakan sebagai berikut:

Laju perubahan massa (terhadap waktu) dalam ruang waktu =

(19)

Gambar 2.5 Ruang tilik kubus dalam fluida

(

) (

) ( )

z x y z w z y x w z y x ⎟Δ Δ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ Δ ₊ ... 2 , , , ,

δ

ρ

δ

ρ

(2.41)

Fluks aliran massa netto = laju perubahan massa dalam ruang tilik, maka persamaan (2.10) dan (2.11b) dapat disubstitusi ke dalam persamaan massa menjadi seperti di bawah ini:

( )

₍

₎

t z y x t t z y x z w y v x u _Δ _Δ _Δ _Δ ₌ _Δ _Δ _Δ _Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₊ −

δ

δρ

δ

ρ

δ

ρ

δ

ρ

δ

_(2.45)

( )

0 = + + + z w y v x u t

δ

ρ

δ

ρ

δ

ρ

δ

δρ

(2.46) 0 = + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + z w y v x u z w y v x u t

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

ρ

δ

δρ

(2.47) Jika persamaan (2.14) dibagi dengan ρ, maka persamaan tersebut akan menjadi:

0 1 ₊ ₊ ₊ ₌ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₊ ₊ z w y v x u z w y v x u t

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

δ

δρ

ρ

(2.48) Karena

ρ

=

ρ

ρ

.

Sehingga persamaan kekekalan massa atau hukum kontinuitas dapat ditulis menjadi:

0 1 ₊ ₊ ₊ ₌ z w y v x u Dt D

δ

ρ

(2.49)

Untuk fluida yang tak mampat

0 =

Dt D

ρ

Maka persamaan kontinuitas akan menjadi seperti di bawah ini:

0 = + + z w y v x u

δ

(2.50) Persamaan (2.50) merupakan persamaan kontinuitas, persamaan ini menyatakan bahwa laju pertambahan terhadap waktu untuk massa di suatu titik tinjauan adalah tepat sama dengan laju bersih aliran masuk massa ke dalam titik tersebut. Untuk mendapatkan

(22)

persamaan dalam dua dimensi, maka persamaan tiga dimensi di atas diintegrasikan terhadap kedalaman dengan asumsi tidak terdapat variasi kecepatan terhadap kedalaman.

Persamaan (2.50) di atas diintegrasikan terhadap kedalaman hingga persamaan tersebut menjadi sebagai berikut:

(

x y

) (

w x y h

)

w dz y v dz x u dz z w y v x u h h h − − + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₊

∫

− − − , , , ,

η

δ

η η η (2.51)

Untuk mengintegralkan suku ke 1 dan suku ke 2 pada ruas kanan dari persamaan (2.51) di atas, digunakan Leibniz Rule, bentuk umum Leibniz Rule dapat dituliskan sebagai berikut:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

(

) ( )

(

( )

) ( )

x x x x Q x x x x Q dy y x Q x dy y x Q x x x x x

δ

δα

α

δ

δβ

β

δ

β α β α , , , , =

∫

+ −

∫

(2.52)

Penerapan metode Leibniz Rule untuk suku ke 1 persamaan (2.51) akan menghasilkan persamaan sebagai berikut:

(

)

(

)

x h h y x u x y x u dz x u dz u x _h _h

δ

δη

η

δ

η η − + + =

_∫

∫

− − , , , , atau

(

)

(

)

x h h y x u x y x u dz u x dz x u h h

δ

δη

η

δ

η η − − − =

_∫

∫

− − , , , , (2.53)

Penerapan metode Leibniz Rule untuk suku ke 2 persamaan (2.51) akan menghasilkan persamaan sebagai berikut:

(

)

(

)

y h h y x v y y x v dz y v dz v y _h _h

δ

δη

η

δ

η η − + + =

_∫

∫

− − , , , , atau

(

)

(

)

y h h y x v y y x v dz v y dz y v h h

δ

δη

η

δ

η η − − − =

_∫

∫

− − , , , , (2.54)

Substitusikan persamaan (2.53) dan persamaan (2.54) ke dalam persamaan (2.51), maka akan didapat persamaan sebagai berikut:

(

)

(

)

(

)

(

, ,

)

(

, ,

) (

, ,

)

0 , , , , , , = − − + − + − + − + −

_∫

∫

− − h y x w y x w y h h y x v y y x v dz v y x h h y x u x y x u dz u x _h _h

η

δ

δη

η

δ

δη

η

δ

η η (2.55)

(23)

Besarnya kecepatan rata-rata terhadap kedalaman dalam arah sumbu x dan dalam arah sumbu y adalah sebagai berikut:

dz u h U h

∫

− + = η

η

1 (2.56) dan vdz h V h

∫

− + = η

η

1 (2.57) dimana:

U = kecepatan rata-rata terhadap kedalaman dalam arah sumbu x V = kecepatan rata-rata terhadap kedalaman dalam arah sumbu y Definisi h dan η dapat dilihat pada Gambar 2.6 di bawah ini.

Gambar 2.6 Definisi h dan η

Substitusikan persamaan (2.56) dan (2.57) ke persamaan (2.55), maka akan didapat persamaan sebagai berikut:

(

)

[

]

(

)

(

)

[

(

)

]

(

)

(

, ,

)

(

, ,

) (

, ,

)

0 , , , , , , = − − + − + − + + − + − + h y x w y x w y h h y x v y y x v h V y x h h y x u x y x u h U x

η

δ

δη

η

δ

δη

η

δ

(2.58)

Dengan syarat batas kinematis di permukaan bebas adalah:

(

)

(

)

(

η

)

δ

η

δ

η

δ

η

δ

₊ ₊ ₊ ₌₋ ₋ (2.61a) Karena H = h + η, maka persamaan kontinuitas dalam dua dimensi menjadi sebagai berikut:

(

)

( )

0 = + + y HV x HU x H

δ

(2.61b) dimana:

U = kecepatan rata-rata terhadap kedalaman dalam arah sumbu x; udz

h U h

∫

− + = η

η

1

V = kecepatan rata-rata terhadap kedalaman dalam arah sumbu y; vdz

h V h

∫

− + = η

η

1

Persamaan (2.61b) dapat ditulis menjadi:

0 = + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ + y H V x H U y V x U H x H

δ

(2.62) dimana: H = kedalaman perairan

U, V = komponen kecepatan arah x dan y

2.4 Persamaan Kekekalan Momentum

Persamaan momentum dapat diturunkan dari hukum II Newton yang berbunyi:

Besarnya total gaya yang bekerja:

∑

F = am.

Untuk arah x, total gaya dapat dituliskan menjadi:

x x ma

F

∑

= . (2.63)

(25)

ax = percepatan dalam arah sumbu x =

Dt Du

u = kecepatan dalam arah sumbu x dan merupakan fungsi dari ruang dan waktu

(

x y z t

)

u u= , , ,

Karena u merupakan fungsi dari ruang dan waktu, maka turunan total dari u terhadap waktu adalah: t z z u t y y u t x x u t u Dt Du a_x

δ

₊ ₊ ₊ = = (2.64) dimana: u t x =

δ

; v t y =

δ

; w t z =

δ

sehingga persamaan (2.64) dapat ditulis menjadi:

z u w y u v x u u t u Dt Du a_x

δ

₊ ₊ ₊ = = (2.65)

Maka Hukum II Newton atau persamaan gerak dalam arah sumbu x dapat dituliskan sebagai berikut: Dt Du m F

∑

= . (2.66)

Untuk melihat gaya-gaya yang bekerja pada fluida, tinjau suatu elemen fluida seperti pada

(26)

Gambar 2.7 Gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida

Jika tegangan normal di pusat elemen fluida dalam arah sumbu x adalah σxx, maka

dengan ekspansi deret Taylor hingga orde ke 1, dapat diketahui besarnya tegangan normal pada sisi x yaitu pada

(

x+Δx 2

)

dan pada

(

x−Δx 2

δσ

σ

(2.72)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.67) hingga persamaan (2.72) ke dalam persamaan Hukum II Newton, maka persamaan kesetimbangan dalam arah sumbu x akan menjadi seperti berikut:

Dt Du z y x zX y x y x z z y x z z z x y y z x y y z y x x z y x x zx zx zx zx yx yx yx yx xx xx xx xx Δ Δ Δ = Δ Δ Δ + Δ Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ Δ − Δ Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ Δ + Δ Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ Δ − Δ Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ Δ + Δ Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ Δ − Δ Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ Δ

ρ

δ

δσ

σ

δ

δσ

σ

δ

δσ

σ

δ

δσ

σ

δ

δσ

σ

δ

δσ

σ

2 2 2 2 2 2 (2.73) dimana:

X = notasi body force (aksi gaya badan) persatuan massa dalam arah sumbu x Persamaan (2.73) dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut:

Dt Du X z y x zx yx xx

ρ

Dimana Y dan Z merupakan notasi body force (aksi gaya badan) persatuan massa dalam arah sumbu y dan z.

Persamaan Navier-Stokes diturunkkan dari persamaan momentum dengan memasukkan Hukum Newton untuk tegangan geser dan Hukum Stokes untuk tegangan normal pada fluida. Hukum Newton untuk tegangan geser pada fluida adalah:

dy du

μ

τ

= ; μ = kekentalan mutlak

Untuk problem tiga dimensi, tegangan geser merupakan fungsi linier dari gradien kecepatan:

; ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = dz du dx dw zx

μ

_δ

δ

μ

δ

μ

σ

3 2 2 (2.76a) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ ₊ − + − = z w y v x u y v P yy

_δ

δ

μ

δ

μ

σ

3 2 2 (2.76b) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ ₊ − + − = z w y v x u z w P zz

δ

ρ

3 1 1 2 2 2 2 2 2 (2.79) dimana: μ = kekentalan dinamik

(29)

Pada persamaan (2.50), dapat dilihat bahwa untuk aliran tak mampat, + + =0 z w y v x u

δ

, sehingga persamaan (2.79) menjadi:

X z u y u x u x P Dt Du ₊ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − = 1 2₂ 2₂ 2₂

δ

ρ

μ

δ

ρ

(2.78)

Bila persamaan (2.78) dijabarkan lebih lanjut, maka akan diperoleh:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − = + + + 1 2₂ 2₂ 2₂ z u y u x u x P X z u w y u v x u u t u

δ

Dalam proses penurunan persamaan momentum 2 dimensi, diasumsikan bahwa percepatan arah vertikal nilainya mendekati nol.

0 ≈

Dt

Dw

Persamaan (2.79c) akan menjadi seperti berikut:

0

1 ₌

−

z

P

Z

δ

ρ

(2.80)

Integralkan persamaan (2.80), maka akan diperoleh:

(

η

)

ρ

+

= Z h

P (2.81)

Dari persamaan (2.80), akan diperoleh:

(

)

x

h

Z

x

P

δ

η

δ

ρ

+

=

1

(2.82)

(

)

y

h

Z

y

P

δ

η

δ

ρ

+

=

1

(2.83)

(30)

Dengan mengalikan persamaan (2.50) dengan u, kemudian jumlahkan ke ruas kiri persamaan (2.79a) dan substitusikan persamaan (2.82), maka akan diperoleh persamaan berikut:

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

=

+

2 2₂ 2₂ 2₂

z

u

y

u

x

u

x

h

Z

X

z

uw

w

y

uv

v

x

u

t

u

δ

ρ

μ

δ

η

δ

(2.84a) Dengan mengalikan persamaan (2.50) dengan v, kemudian jumlahkan ke ruas kiri persamaan (2.79b) dan substitusikan persamaan (2.83), maka akan diperoleh persamaan berikut:

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + − = + + + 2 2₂ 2₂ 2₂ z v y v x v y h Z Y z vw w x uv y v v t v

δ

ρ

μ

δ

η

δ

(2.84b) Untuk memperoleh persamaan kekekalan momentum dua dimensi, maka persamaan (2.84a) dan (2.84b), diintegrasikan terhadap kedalaman. Persamaan (2.84a) diintegrasikan terhadap kedalaman, maka akan didapat sebagai berikut:

dz z u y u x u dz x Z dz X dz z uw dz y uv dz x u dz t u h h h h h h h

∫

− − − − − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₊ + − = + + + η η η η η η η

δ

ρ

μ

δ

δη

δ

2 2 2 2 2 2 2 (2.85)

Untuk menyederhanakan proses pengintegralan, ruas kiri dan ruas kanan persamaan (2.85) diselesaikan secara terpisah, untuk menyelesaikan ruas kiri, digunakan metoda

Leibniz Rule sebagai berikut:

Suku 1

(

)

(

)

t h h y x u t y x u dz u t dz t u h h

δ

δη

η

δ

η η − − − =

_∫

∫

− −

,

(2.86) Suku 2

(

) (

)

(

) (

)

x h h y x u h y x u x y x u y x u dz u x dz x u h h

δ

δη

η

δ

η η − − − − =

_∫

∫

− − , , , , , , , , 2 2 (2.87) Suku 3

(

) (

)

(

) (

)

y h h y x v h y x u x y x v y x u dz uv y dz y uv h h

δ

δη

η

δ

η η − − − − =

∫

− − , , , , , , , , (2.88) Suku 4

(31)

(

) (

)

u

(

x y h

) (

w x y h

)

y y x w y x u dz z uw h − − − =

∫

− , , , , , , , ,

δ

δη

η

δ

η (2.89)

Substitusi persamaan (2.86) sampai (2.89) ke ruas kiri persamaan (2.85), diperoleh sebagai berikut:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

dz z u y u x u dz x h Z dz X h y x w h y x u y y x w y x u y h h y x v h y x u x y x v y x u dz uv y x h h y x u x y x u dz u x t h h y x u t y x u dz u t h h h h h h

∫

− − − − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + − = − − − + − − − − + − − − + − − − η η η η η η

δ

ρ

μ

δ

η

δ

δη

η

δ

δη

η

δ

δη

η

δ

δη

η

δ

2 2 2 2 2 2 2 2 2

,

∫

− h UV dz uv h (2.93)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.91) sampai dengan persamaan (2.92) dan persamaan (2.56) dan (2.88) ke persamaan (2.90), maka diperoleh persamaan:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

dz z u y u x u X dz x h Z dz X UV h y U h x y x U t h h h ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ ₊ + + + = + + + +

∫

− − − 2 2 2 2 2 2 2 , ,

δ

ρ

μ

δ

η

δ

η

δ

η

δ

η

δ

η η η (2.94)

Pengintegrasian ruas kanan persamaan (2.85) menghasilkan persamaan sebagai berikut:

(

_{) ( )}

dz z u y u x u X h x h Z X h ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ +

∫

− 2 2 2 2 2 2

δ

ρ

μ

η

δ

η

δ

η (2.95)

Dalam aliran turbulen, viskositas dinamik dapat diganti dengan koefisien viskositas eddy. Perbedaan dibuat antara tekanan yang bekerja pada bidang x-y, bidang x-z, dan bidang

(32)

y-z. Suku ke 2 persamaan (2.95) dapat ditulis sebagai berikut:

∫

− − − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ η η η h xz h xy h xx z u E dz y u E dz x u E ₂ 2 2 2 2 2 (2.96) dimana Exx, Exy dan Exz adalah koefisien Viskositas Eddy. Penyelesaian persamaan diatas

adalah sebagai berikut.

(

)

2₂ 2 2 x u h E x u E _xx h xx _∂ ∂ + = ∂ ∂

∫

−

η

η (2.97)

(

=

−hx

τ

Tegangan geser yang bekerja di dasar perairan

Tegangan geser yang bekerja di permukaan air disebabkan oleh kecepatan angin, gaya geser ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

ψ

ρξ

τ

_η_x = V_a2cos (2.100a)

ψ

ρξ

τ

_η_y = V_a2sin (2.100b)

Tegangan geser yang terjadi di dasar perairan dihitung dengan menggunakan rumus empiris.

(

)

33 . 1 2 2 2 2 H C V U U n gH u hx + = −

ρ

τ

(2.101)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.97), (2.98), (2.99), (2.100a) dan (2.101) ke ruas kanan persamaan (2.94), diperoleh hasil sebagai berikut:

(33)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) ( )

(

)

2₂ 2 x u h E h x h Z X UV h y U h x h U t xx ∂ ∂ + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ + ∂ + = + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + + ∂ ∂

_η

ρ

η

(

η

)

(

)

ξ

ψ

ρ

cos 2 33 . 1 2 0 2 2 2 2 2 a xy V H C V U U n gH y u h E + + − ∂ ∂ + + (2.102) dimana, H h+

η

= =

X Gaya coriolis untuk arah x (=2

ων

sinΦ dengan

ω

=7.292x10-5_rad/s

= 0 C 1.486 = n koefisien manning

=

Z

gaya gravitasi =

ξ

koefisien tegangan geser angin empiris

=

a

V kecepatan angin

Persamaan (2.102) dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut:

( )

(

)

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 y u E x u E H x H gH UVH y H U x UH t

ρ

xx xy

(

+

)

₊ ₊ _Φ − 2cos 2 sin 33 . 1 2 0 2 2 2

ν

ω

ψ

ξ

V h H C V U gHUn a (2.103a)

Dengan cara yang sama, diperoleh persamaan kekekalan momentum dua dimensi untuk arah y.

( )

(

)

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 y v E x v E H y H gH H V y UVH x VH t

ρ

yx yy

(

+

)

₊ ₊ _Φ − ₂ ₁_.₃₃ 2cos 2 sin 0 2 2 2

ν

ω

ψ

ξ

V h H C V U gHVn a (2.103b)

Persamaan kekekalan momentum yang digunakan oleh RMA2 adalah: Arah x: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x h x a gH y u E x v E h y v hv x v hu t u h _yx _xy ₂ 2 2 2