TUGAS FISIKA KUANTUM
TUGAS FISIKA KUANTUM
TEORI GELOMBANG
TEORI GELOMBANG
Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fisika Kuantum Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fisika Kuantum
Dosen Pengampu : Drs.Supurwoko, M.Si Dosen Pengampu : Drs.Supurwoko, M.Si
OLEH : OLEH :
ERLYTA INTAN PERWITASARI ERLYTA INTAN PERWITASARI
K2309019 K2309019 PEND. FISIKA A PEND. FISIKA A
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
SURAKARTA
2012
2012
BAB I BAB I
PENDAHULUAN PENDAHULUAN
A.
A. Latar Belakang MasalahLatar Belakang Masalah
Aproksimasi
Aproksimasi WKB WKB (Wentzel, (Wentzel, Kramers, Kramers, dan dan Billiouin) Billiouin) tidak tidak dapatdapat digunakan untuk penyelesaian semua soal nilai eigen. Selain itu, metoda digunakan untuk penyelesaian semua soal nilai eigen. Selain itu, metoda aproksimasi WKB juga tidak menyediakan prosedur perbaikan hasil aproksimasi WKB juga tidak menyediakan prosedur perbaikan hasil aproksimasinya secara sistematik. Untuk mengatasi keterbatasan tersebut, maka aproksimasinya secara sistematik. Untuk mengatasi keterbatasan tersebut, maka akan dibahas teori rumusan Rayleigh-Schrodinger (RS)
akan dibahas teori rumusan Rayleigh-Schrodinger (RS) untuk kasus gangguan.untuk kasus gangguan. Teori gangguan, sering digunakan untuk
Teori gangguan, sering digunakan untuk perhitungan-perhitungperhitungan-perhitungan dalam tan dalam teorieori kuantum. Teori gangguan diterapkan pada banyak masalah untuk memperkirakan kuantum. Teori gangguan diterapkan pada banyak masalah untuk memperkirakan perubaha
perubahan n tingkat-tingkat tingkat-tingkat dan dan fungsi fungsi gelombang gelombang yang yang berhubungan berhubungan dengandengan tambahan variasi yang disebabkan oleh interaksi antar partikel dan juga medan tambahan variasi yang disebabkan oleh interaksi antar partikel dan juga medan listrik atau magnet.
listrik atau magnet.
Teori gangguan dibedakan menjadi dua yaitu
Teori gangguan dibedakan menjadi dua yaitu gangguagangguan tak bergantung waktun tak bergantung waktu atau gangguan stasioner dan gangguan bergantung waktu. Dalam gangguan atau gangguan stasioner dan gangguan bergantung waktu. Dalam gangguan stasioner dibedakan kadi menjadi dua yaitu kasus non-degenerasi dan kasus stasioner dibedakan kadi menjadi dua yaitu kasus non-degenerasi dan kasus degenerasi. Untuk lebih jelasnya mengenai teori gangguan tersebut akan dibahas degenerasi. Untuk lebih jelasnya mengenai teori gangguan tersebut akan dibahas dalam makalah ini.
dalam makalah ini.
B.
B. Perumusan MasalahPerumusan Masalah
1.
1. ApasajakaApasajakah mh macam-macam teori acam-macam teori gangguan?gangguan? 2.
2. Bagaimana penjabaran teori gangguan dengan teori rumusan Rayleigh-Bagaimana penjabaran teori gangguan dengan teori rumusan Rayleigh-Schrodinger (RS)?
Schrodinger (RS)?
C.
C. Tujuan PenulisanTujuan Penulisan
1.
1. Mengetahui macam-macam teori Mengetahui macam-macam teori gangguan.gangguan. 2.
2. Mengetahui penjabaran teori gangguan dengan teori rumusan Rayleigh-Mengetahui penjabaran teori gangguan dengan teori rumusan Rayleigh-Schrodinger (RS)
BAB II PEMBAHASAN
Suku tambahan Ĥ‟ pada perator Hamiltonian Ĥ sering kali muncul pada
beberapa persamaan dalam mekanika kuantum. Suku tambahan tersebut merupakan sebuah ganguan. Dalam teori gangguan, Hamiltonian diuraikan menjadi dua bagian yaitu bagian tanpa gangguan dan bagian suku pengganggu. Suku pengganggu dibagi lagi menjadi dua yaitu gangguan yang bergantung waktu dan gangguan stasioner atau tak bergantung waktu.
A. Teori Gangguan Bergantung Waktu
Proses dinamika yang berkaitan dengan perubahan keadaan suatu sistem kuantum biasa dilukiskan sebagai proses peralihan atau transisi dari suatu keadaan ke keadaan kuantum yang lain. Proses transisi ini dapat diselesaikan dengan persamaan Schrodinger.
Apabila sistem Hamiltonian diuraikan menjadi sebagai berikut:
Pers.1 Dengan
sebagai gangguan kecil terhadap
dan
memenuhi syarat-syarat:a) Tak bergantung pada waktu
b) Memiliki solusi lengkap bagi persamaan nilai eigen
〉
〉
Pers. 2 Dengan perangkat vector eigen
yang ortonormal.Deskripsi perubahan waktu dari setiap keadaan stasioner secara umum diberikan sebagai superposisi linear berikut.
〉 ∑
〉
Pers. 3Karena
tidak konstan, maka persamaan eigen tidak berlaku lagi untuk
. Persamaan gerak yang berlaku adalahSolusi untuk persamaan 4 pada saat tertentu masih dapat dianggap sebagai hasil gangguan tertentu pada keadaan eigen
yang dituliskan dalam bentuk superposisi vector-vektor eigen
dengan koefisien Ck yang berlaku untuk saattersebut. Hal ini berarti bahwa deskripsi perubahannya diungkapkan oleh variasi waktu dari koefisien-koefisien kombinasi linear menurut persamaan Schrodinger. Dalam bentuk umum, solusi persamaan 4 dapat ditulis sebagai berikut.
〉 ∑
〉
Pers. 5 Dengan notasi ringkas
〉 〉
dan syarat awal〉 〉
Pers. 6Untuk menentukan persamaan yang memenuhi {Ck (t)} sesuai dengan
persamaan 5 maka
〉
dari persamaan 5 subtitusikan ke persamaan 4. Kemudian ambil produk skalar dengan vektor eigen〉
, sehingga diperoleh persamaan berikut.
⟨⟩
Dengan menggunakan sifat ortonormal vector eigen
⟨⟩
, akan diperoleh elemen matriks sebagai berikut.|
|
⟨⟩
Sehingga, persamaan menjadi
∑
Pers. 7 dengan d/dt merupakan diferensial eksplisit terhadap t dan
|
|
Pers. 8Untuk setiap k dapat ditulis dalam bentuk deret seperti
∑
Pers. 8Dengan syarat awal:
Deret Ck (t) pada persamaan 8 disubtitusikan pada persamaan 7 dengan
menambahkan koefisien λ pada
. Dengan menyamakan koefisien-koefisienλ
n, diperoleh dua order aproksimasi pertama sebagai berikut. ̇
∑
Pers. 12 Sehingga koreksi order ke-n secara umum dapat ditulis ̇
∑
Pers. 13Persamaan order terendah setara dengan persamaan 3 yang solusinya
dengan syarat
. Sehingga persamaan order pertama untuk l ≠ mmenjadi
Pers. 14Persamaan 14 juga dapat langsung diperoleh dengan pendekatan Ck (t)<<Cm(t0)=1. Dengan syarat
dapat ditentukan harga koefisien Cl(t)dengan mengintegralkan persamaan 14
Untuk menyelesaikan persamaan di atas,
harus diketahui secara khusus. Gangguan nonstasioner dibedakan menjadi dua jenis yaitu:a. Gangguan transien (terbatas dalam waktu)
b. Gangguan terus menerus atau tetap
1. Keadaan Transien
Keadaan transien terjadi pada sistem dengan gangguan awal dan akhir berada pada keadaan stasioner. Keadaan ini digambarkan seperti dibawah ini.
〉
〉
〉 ∑
〉
-∞ ∞ t1 t 2
〉
〉
Apabila
∑
, maka probabilitas transisi dari〉 〉
diberikan oleh suatu konstanta pada keadaan yang bersifat stasioner yaitu t =0. Konstanta pada kasus ini adalah
. Karena
bersifat transien, maka integral dari persamaan 15 menjadi :
Dengan menggunakan transformasi fourier, integral di atas dapat ditulis menjadi
Dimana
∫
Harga
dapat diperoleh melalui perhitungan transformasi fourier pada frekuensi
dengan syarat
.Berdasarkan sifat hermitivitas
, diperoleh bahwa
. Dari hubungan tersebut, diperoleh pula bahwa
. Sehingga amplitude probabilitas untuk transisi balik〉 〉
dapat dituliskan sebagai berikut.
,
-
Dari penjabaran di atas, dapat disimpulkan bahwa transisi antara dua keadaan, yaitu keadan
〉
dan〉
memiliki probabilitas yang sama dan tidak bergantung arah transisinya. Sifat ini dikenal dengan prinsip keseimbanganterinci (detail balance) yang diakibatkan oleh sifat hermitisitas
. Sifat iniberlaku untuk suatu sistem kuantum tertentu seperti sebuah atom.
Eksitasi Atom “H” dengan Radiasi Elektromagnetik (E.M)
Sesuai perumusan klasik, Hamiltonian untuk atom
“H” bebas tanpa
Dengan Z adalah jumlah muatan efektif teras (core
) “H” dalam satuan
e (harga mutlak muatan elektron). Jika terdapat suatu medan radiasi dengan potensial vektor
̅
dan potensial skalar φ melalui medan
magnet
dan medan listrik
, maka akan diperoleh hubungan sebagai berikut. ̅
̅
Pada medan elektromagnet yang tak mengandung komponen statik atau biasa disebut sebagai radiasi murni, hubungan antara medan raiasi dengan medan listrik
menjadi: ̅
Dimana medan radiasi
̅
memenuhi persamaan gelombang bebas.
̅ ̅
Sesuai dengan kaidah substitusi minimal dengan syarat invariant gauge local
̅
, dengan
adalah momentum yang berkonjugasidengan koordianat umum bagi suatu sistem yang bersangkutan, dapat didapatkan interaksi elektromagnetik antara electron yang bermuatan
–
edan medan radiasi yang dilaluinya. Sehingga persamaan 19 dapat dituliskan dalam bentuk
. ̅/
Pada mekanika kuantum, operator
berharga
. Dengan mengganti
dengan
serta dijabarkan sesuai aturan gugus kuadratik dan persamaan operator ̅ ̅ ̅
, diperoleh persamaan
, ̅ ̅-
engan menggunakan syarat Coulomb dan pendekatan
untuk intensitas radiasi yang lemah, maka persamaan di atas menjadi
̅
Dari persamaan di atas, maka
̅
Persamaan 27 dapat disubstitusikan pada persamaan 16 sehingga diperoleh
̅
yang dapat didefinisikan.Gangguan transien terjadi jika medan radiasi yang hanya berlangsung pada waktu tertentu yang terbatas. Oleh karena itu, potensial vektor
̅
tidak mungkin bersifat monokromatik. Akan tetapi potensial vector
̅
dianggap sebagai gelombang monokromatik yang bersuperposisi linear dan dengan rumus transform Fourier dapat definisikan sebagai: ̅ ̅
Untuk mediun nondispersif, harga potensial vector
̅
bernilai ̅̅ ̅
̅
Dengan
|| ⁄
. Persamaan 23 dan persamaan 29 mengakibatkan sifat transversalitas ̅
tampak pada Hamiltonian sehingga dapat dituliskan dalam bentuk
̅
̅
Amplitude untuk probabilitas transisi
〉 〉
menurut persamaan 16 dan definisi
di atas, maka dapat dicari harga
.
|
|
|
̅
| ̅
Dengan representasi Dirac, diperoleh
|
̅
| ̅(
)
Sehingga besar probabilitas diperoleh
|
|
||
̅
| ̅(
)|
Misalkan
̅ ̂ ̂
dan panjang gelombang radiasi yang ditinjau cukup besar̅
maka perlu digunakan pendekatan dipole yang berlaku untuk sistem atom dengan ukuran beberapa Å. Dengan aproksimasi
̅
̅
maka akandidapat rumus aproksimasi
⟨ ⟩̂(
)
Dengan menggunakan matriks identitas operator untuk tiga dimensi
̅̅
,
̅-
dan persamaan 26, maka diperoleh hubungan komputasi sebagai berikut.
[
̅]
[̅
]
Sehingga diperoleh persamaan
⟨ ⟩
|[̅
]|
⟨ ̅⟩
Dengan menggunakan operator momen dipole listrik
̅̅
, maka persamaan 33 menjadi:⟨ ⟩
⟨ ̂⟩ (
)
Dan didapat rumus aproksimasi dipole
|
|
⟨ ̂⟩
|(
)|
Pers. 372. Keadaan Tetap
Gangguan stasioner untuk keadaan tetap sering ditemukan pada kasus hamburan partikel oleh suatu potensial tetap,
̅
, yang memiliki jangkauaninteraksi terbatas. Karena jangkauan interaksinya terbatas, maka keadaan awal dan akhir pada kasus ini memiliki nilai eigen
yang berbeda. Untuk kasus ini, gangguan stasioner dituliskan sebagai.
Sesuai rumus aproksimasi, persamaan untuk Cl (t) dapat dituliskan
Dengan mengintegralkan langsung persamaan 39 dengan batas 0 sampai t dan memenuhi syarat awal
maka diperoleh
(
)
Dan probabilitas untuk keadaan di atas adalah sebagai berikut.
Pada keadaan yang terjadi di daerah spectrum kuasikontinu misalnya pada proses Auger atom berat dan proses hamburan terjadi proses konservatif
dengan
. Selama keadaan tersebut
sehingga
dapat diabaikan. Persamaan diatas menjadi:
ers 43
Pada kasus ini, laju transisi total
〉 *〉+
karena probabilitas transisi dalam kasus ini merupakan fungsi waktu. Dengan persamaan 41 dengan*〉+
mencangkup seluruh keadaan yang mungkin ditempati pada akhir transisi, maka persamaan tersebut menjadi.
Persamaan di atas hanya berlaku pada spectrum dengan kadaan akhir,
*〉+
, bersifat diskrit. W merupakan jumlah dari fungsi-fungsi t harmoniktanpa ada pembatasan untuk
. Untuk keadaan diskrit, W berbanding lurus dengan t .Dalam peristiwa fotolistrik, emisi electron Auger, serta proses-proses radiatif lain, proses transisi biasanya akan berakhir pada kumpulan energy yang berdekatan. Dapat dikatakan bahwa keadaan akhir dari proses-proses tersebut memiliki distribusi E kontinu. Karena distribusi keadaan berlangsung
kontinu terhadap waktu maka kerapatan keadaan diberikan berupa fungsi waktu,
. Selang energi antara
dan
dapat dirumuskan..
/.
/
Dengan penyesuaian operasi penjumlahan
∑
∫
∑
∫
, diperoleh laju reaksi
Fungsi
,
-
berosilasi dengan puncak yang menonjol di sekitar
. Amplitudo yang dihasilkan mengecil dengan cepat pada
seperti pada gambar di bawah. Hal ini dapat mengakibatkan kontribusi integral luar
dapat diabaikan. Besar
dan
di sekitar
adalah konstan sehingga persamaan 46 menjadiDengan mengingat bahwa
dan lebar karakteristik distribusi
sangat besar, maka batas integral di atas disamakan antara -∞ sampai ∞ Sehingga persamaan menjadi
Jika diketahui bahwa
∫
, integral di atas menghasilkan
*+
⟨⟩
Persamaan di atas dikenal dengan kaidah emas Fermi yang menyatakan laju transisi konstan. Hasil penjumlahan dari
|
|
merupakan hasil penjumlahan dari proses konservatif
dan proses konservatif
.|
|
Sedangkan untuk hasil penjumlahan yang lain merupakan hasil penjumlahan dari fungsi-fungsi harmonik yang berubah terhadap waktu
menurut persamaan 42. Resultan dari distribusi fungsi harmonik tersebut menghasilkan probabilitas total yang berbanding lurus dengan t . Jika Vlm = 0
untuk semua keadaan akhir maka Vlm berada pada orde kedua, yaitu
Gangguan Medan Harmonik
Gangguan medan harmonik terjadi pada potensial yang bersifat harmonik, misalnya pada medan yang berasal ari sumber gelombang
monokromatik dengan modus gelombang kontinu (CW). Hermitian pada keadaan ini dapat dituliskan sebagai berikut.
V adalah potensial yang tak bergantung pada waktu t . Untuk harga
koefisien Cl(t) perlu mensubtitusikan syarat di atas pada persamaan 15
dengan memperhatikan syarat awal
akan diperoleh
[{(
)}]
[{(
)}]
Persamaan di atas dapat dijelaskan melalui gambar berikut.
Dengan syarat
serta memperhatikan bahwa
, diperoleh koefisien Cl(t) dari suku kedua persamaan 52 dalam bentuk:
,*+-
Hal tersebut menghasilkan probabilitas yang sama dengan persamaan 42 dengan perubahan sebagai berikut.
|
|
Dengan menggunakan rumus Fermi untuk proses emisi radiasi dan absorbsi radiasi dimana
, diperoleh lagi jumlah dari fungsi-fungsi harmonik sebesar:
*+
|
|
(
)
Penurunan rumus Fermi digunakan untuk dua pengandaian penting, yaitu.
a. Dasar keberlakuan aproksimasi pertama
|
|
untuk
mendekati nol. Berlaku syarat|
|
b. Penyederhanaan integral terhadap energi keadaan akhir dimanalebar maksimum utama harus jauh lebih kecil dari lebar distribusi spektral (
).Dari penurunan rumus Fermi dengan dua pengandaian penting tersebut, diperoleh bahwa batas validitas rumus laju reaksi untuk gangguan medan harmonik adalah sebagai berikut.
|
|
B. Teori Gangguan Stasioner 1. Keadaan Nondegenerasi
Apabila terdapat nilai eigen
〉
〉
, dapat digunakan pendekatan Rayleigh-Schrodinger dengan menguraikan Hermitian dalam bentuk
yang memenuhi syarat sebagai berikut.a.
Soal nilai eigen yang “tak terganggu”
〉
〉
4
Artinya, nilai eigen yang dapat diselesaikan dengan mudah sehingga perangkat vektor eigen
〉
yang diperoleh dapat digunakan sebagai
b. Menggunakan parameter yang cukup kecil dan biasa disimbolkan dengan
λ
sehingga suku
dapat dianggap sebagai gangguan yang kecil terhadap
Dalam perumusan selanjutnya,
untuk λ yang cukup kecil dapat
ditulis dalam bentuk deret konvergen untuk nilai eigen dan vektor eigen sebagaiberikut:
∑
〉 ∑
〉
dengan syarat „kontinuitas‟
dan
〉
〉
dan syarat „keterpisahan‟ (tidak ada tumpang tindih atau
“overlap” )antara keadaan awal
〉
dan keadaan
〉
dengan n ≥ 1, yaitu
Subtitusi deret konvergen untuk λ ke dalam persamaan Hermitian:
〉
〉
〉
〉
〉
Jika koefisien λ
nsama untuk setiap n, maka berlaku persamaan berikut: 1.
〉
3.
.
/
.
/
〉
〉
Untuk orde n ≥ 1, persamaan umum dapat dituliskan
〉
〉
〉
Mengingat bahwa
〈
|
〈
, maka diperoleh persamaan untuk suku koreksi energi
orde ke n(n≥1) sebagai berikut
Mengingat syarat keterpisahan bahwa
untuk harga s = n– r ≠ 0 maka diperoleh rumus umum
Berdasar persamaan di atas, koreksi paling rendah (orde pertama)
dirumuskan sebagai
dan penyelesaian dijabarkan seperti di bawah ini.
〉
〉
〉 .
/
〉
.
/
Untuk m=l maka
. Sehingga suku koreksi
〉
dapat dinyatakansebagai superposisi linear vektor eigen
, yaitu
〉
〉
Penjabaran di atas juga dapat digunakan untuk menjabarkan koreksi pada orde kedua sebagai berikut.
dan besar energi
dirumuskan sebagai
2. Keadaan TerdegenerasiPada keadaan terdegenerasi, solusi eigen berlaku
baik untukm=l maupun untuk m≠l dan
〉
〉
. Sehingga ruas kanan padapersamaan ruas kanan menjadi tak hingga saat m=l . Sedangkan untuk m≠l
persamaan ruas kanan menjadi
Karena adanya gangguan
maka pada kelompok keadaan eigen yang terdegenerasi tersebut perlu dilakukan koreksi pada orde terendah dengan superposisi linear yang mendiagonalkan
. Hasil diagonalisasi kelompok keadaan eigen yang terdegenerasi ini merupakan suku koreksi pertama terhadap nilai eigen
.Sekarang kita tinjau, keadaan
yang memiliki sub ruang degerate dengan derajat g. beberapa g keadaan eigen
〉
dengan i= 1,2,…,g yang
sesuai dengan suatu energi eigen
. Keadaan eigen
〉
ini dianggap sebagai basis ortonormal.Untuk mendiagonalkan keadaan eigen
dalam sub ruang degenerasi, maka dibentuk basis baru sebagai berikut.
〉
〉
Dengan
dan∑
∑
maka
dan berlaku persamaan
〉
〉
Diagonalisasi matriks
akan menghasilka elemen diagonal yang tidak lagi sama pada
. Sehingga pengaruh koreksi
adalah pengurangan atau penghapusan degenerasi dalam spektrum nilai eigen semula. Untuk memperoleh koreksi tersebut, maka dijabarkan sesuai pada keadaan nondegenerated dengan mengasumsikan bahwa eigen berada dalam sub ruang degenerasi.
〉
|
〉
Dengan memperhatikan syarat kontinuitas
〉
〉
dan ketentuan ortonormalitas
, diperoleh persamaan
〉
〉
.
/
〉 .
/
〉
.
/
〉 .
/
〉
〉
Ketiga persamaan di atas menghasilkan persamaan
Suku koreksi pada persamaan di atas bergantung pada indeks i dari vektor
eigen yang berdegenerasi sebelumnya. Gangguan
dapat menimbulkan pemisahan tingkat-tingkat energi yang sebelumnya berimpit, serta mengurangidegenerasi pada spektrum eigen
.Untuk membuktikan bahwa persamaan di atas setara dengan persamaan eigen
maka perlu dijabarkan sebagai berikut.
Kedua ruas dikalikan dengan a jm kemudian indeks j dijumlahkan dengan
syarat ortonormal sehingga diperoleh
Atau dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai
Solusi untuk persamaan di atas adalah spektrum nilai eigen
dan koefisien superposisi linear{
}
untuk
〉
yang merupakan vektor eigen simultan dari
dan
dalam subruang degenerasi sebagai berikut
Pendekatan orde pertama dituliskan:
〉
〉
Terjadinya degenerasi dalam suatu spektrum nilai eigen menunjukkan adanya sifat simetri atau invarian dari hamiltonian terhadap operasi transformasi tertentu. Misalkan sistem yang ditinjau itu invarian terhadap
rotasi dalam keadaan tak terganggu. Ini berarti antara
dan generator rotasil i berlaku hubungan
Atau
[
][
][
]
Sehingga
〉
〉
〉
Dari hubungan komutasi
,
-
diperoleh bahwa
〉 〉
Ini membuktikan bahwa energi eigen pada keadaan
〉
sama dengan energi eigen pada keadaan〉
sehingga spektrum energi eigen tersebut mengandung degenerasi dengan derajat g = 2l + 1 terhadap bilangankuantum m.
Untuk menghilangkan kuantum degenerasi spektrum eigen
, perlu merusak simetri yang terdapat di dalam spektrum tersebut. jika
komut dengan
maka hanya terjadi pergeseran yang berdegenerasi menyeluruh. Jika gangguan
masih menyisakan simetri
maka
akan menghilangkan degenerasi secara partial.BAB III PENUTUP A. Kesimpulan
Suku tambahan Ĥ‟ pada perator Hamiltonian Ĥ sering kali muncul pada
beberapa persamaan dalam mekanika kuantum. Suku tambahan tersebut merupakan sebuah ganguan. Dalam teori gangguan, Hamiltonian diuraikan menjadi dua bagian yaitu bagian tanpa gangguan dan bagian suku pengganggu. Suku pengganggu dibagi lagi menjadi dua yaitu gangguan yang bergantung waktu dan gangguan stasioner atau tak bergantung waktu.
1. Gangguan stasioner apabila sistem Hamiltonian diuraikan menjadi sebagai berikut:
Gangguan nonstasioner dibedakan menjadi dua jenis yaitu: c. Gangguan transien (terbatas dalam waktu)
d. Gangguan terus menerus atau tetap
2. Gangguan nonstasioner c. Gangguan Nondegenerasi
〉
〉
〉
d. Gangguan Terdegenerasi
DAFTAR PUSTAKA
Herbert Kroemer. 1994. Quantum Mechanics. New Jersey: Prentice-hall.inc Ohno. Koichi. 2004. Kimia Kuantum. Tokyo: Iwanami Shoten. Mathews
Venkatesan. 1978. A Tekt Book Of Quantum Mechanics. New Delhi: Tata
McGraw-hill Publishing Company Limited
Richard Liboff. 1997. Introductory Quantum Mechanics Third Edition. USA:
Addison-Wesley Publishing Company, inc
Sutopo. 2003. Pengantar Fisika Kuantum. Jakarta: Direktorat Jenderal
Pendidikan Tinggi
