Tujuan. Interpolasi berguna untuk memperkirakan nilai-nilai tengah antara titik data yang sudah ditentukan dan tepat.

Tujuan

 Interpolasi berguna untuk memperkirakan nilai-nilai

tengah antara titik data yang sudah ditentukan dan tepat.

Macam Interpolasi

 Interpolasi Linear  Interpolasi Kuadratik  Interpolasi Kubik

 Interpolasi Polinomial

 Interpolasi Beda Terbagi Newton

 Interpolasi Lagrange

Proses Interpolasi dari dua sampai

lima titik data

Perbedaan Interpolasi dan

Ekstrapolasi

Interpolasi Linear

 

     

₀



0 1 0 1 0 2 x x x x x f x f x f x f     

Diketahui: Dua titik(x₁, y₁), (x₂, y₂)

Ditanya: Garis yang melewati 2 titik tersebut

Contoh: f(x) = ln x x₀ = 1 dan x₁ = 6:  f₂(2) = 0.3583519 x₀ = 1 dan x₁ = 4  f₂(2) = 0.4620981 ln 2 = 0.6931472

 Merupakan bentuk paling sederhana dari interpolasi, yang menghubungkan 2 titik data dengan garis lurus

 f₁(x) menyatakan bahwa ini adalah polinomial orde pertama.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

x

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f





















Persamaan interpolasi linear Kemiringan garis merupakan pendekatan terhadap turunan pertama

Interpolasi Linear

Interpolasi Linear



Interpolasi Linier

Derajat/orde 1



memerlukan 2 titik

x f(x)

1 4,5

2 7.6

3 9.8

4 11.2

Berapa f(x = 1,325) = ? Memerlukan 2 titik awal :

x = 1 x = 2

Interpolasi Kuadratis

              0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2 0 1 0 1 1 0 0 x x x x x f x f x x x f x f b x x x f x f b x f b           

 

_{0 1}



₀



₂



₀



₁



2 x b b x x b x x x x f      

Diketahui: Tiga titik(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃,y₃)

Ditanya: kuadratis f₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x2 _{yang melewati ke-3 titik diatas}

Contoh: f(x) = ln x Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759) b₀ = 0 b₁ = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981 b₂ = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1) = -0.0518731 f₂(2) = 0.5658444 ln 2 = 0.6931472

 Interpolasi Kuadratik

Derajat/orde 2  memerlukan 3 titik x = 1  f(x = 1) = . . . .

x = 2  f(x = 2) = . . . . x = 3  f(x = 3) = . . . .

f (x = 1,325) = ?

Interpolasi Polinomial

Diketahui: n titik data (x₁, y₁), (x₂, y₂), … (x_n, y_n)

Ditanya :a₀, a₁, …, a_n sehingga

Dua titik data : Garis Tiga titik data : Kuadratik

Empat titik data :Polinomial tingkat-3 …

n titik data :Polinomial tingkat-n

  n nx a x a x a a x f  ₀  ₁  ₂ 2  0 2 2 1 0 2 2 2 2 2 1 2 0 1 1 2 2 1 1 1 a y a x a x a x a y a x a x a x a y a x a x a x n n n n n n n n n n                ... ... ... 

 Interpolasi Kubik

Derajat/orde 3  memerlukan 4 titik

 Interpolasi derajat/orde ke-n

 memerlukan n+1 titik

 Semakin tinggi orde yang digunakan untuk interpolasi

hasilnya akan semakin baik (teliti).

Interpolasi Linier

 Cara:

menghubungkan 2 titik dengan sebuah garis lurus

 Pendekatan formulasi interpolasi linier sama dengan

persamaan garis lurus.

       

_

_{ }

₀



0 1 0 1 0 1

_x

_x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

f











Interpolasi Linier

 Prosentase kesalahan pola interpolasi linier :

gan

l_perhitun

Harga_hasi

narnya

Harga_sebe

gan

l_perhitun

Harga_hasi

ε

_t





Interpolasi Linier (Contoh 1)

 Diketahui suatu nilai tabel distribusi ‘Student t’ sebagai

berikut :

t₅% = 2,015 t_2,5% = 2,571 Berapa t₄% = ?

Interpolasi Linier (Contoh 1)

 Penyelesaian

x₀ = 5  f(x₀) = 2,015 x₁ = 2,5  f(x₁) = 2,571 x = 4  f(x) = ?

Dilakukan pendekatan dengan orde 1 :

       

_

_{ }

₀



0 1 0 1 0 1 _{x x} x x x f x f x f x f     



_{ }

237 , 2 2374 , 2 5 4 5 5 , 2 015 , 2 571 , 2 015 , 2       

Interpolasi Linier (Contoh 2)

 Diketahui: log 3 = 0,4771213 log 5 = 0,698700  Harga sebenarnya: log (4,5) = 0,6532125 (kalkulator).

 Harga yang dihitung dengan interpolasi:

log (4,5) = 0,6435078

100

%

1

,

51

%

6435078

,

0

6532125

,

0

6435078

,

0



_

_



t



Contoh :

 Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti

adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.

 Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah

Contoh :

Example

The upward velocity of a rocket is given as a function of time in Table. Find the velocity at t=16 seconds using linear

splines. t v(t) s m/s 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67 Table : Velocity as a function of time

Figure : Velocity vs. time data for the rocket example

Interpolasi Linier

 Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada

kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga tertentu melalui garis lurus.

 Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah

interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dan yang

Interpolasi Kuadrat

Interpolasi Kuadrat

 Titik-titik data (x₁,y₁) (x₂,y₂) (x₃,y₃)

 Hitung a, b dan c dari sistem persamaan tersebut

Interpolasi Kuadrat (Versi lain)

) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( 2 3 1 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 1 x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y y               

Interpolasi Kuadratik

 Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai interpolasi

kuadratik, memerlukan 3 titik data.

 Bentuk polinomial orde ini adalah :

f₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x2

dengan mengambil: a₀ = b₀ – b₁x₀ + b₂x₀x₁

a₁ = b₁ – b₂x₀ + b₂x₁ a₂ = b₂

Interpolasi Kuadratik

 Sehingga f₂(x) = b₀ + b₁(x-x₀) + b₂(x-x₀)(x-x₁) dengan Pendekatan dengan kelengkungan Pendekatan dengan garis linier

 

   









   





   











2 1 0



0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2 0 1 0 1 0 1 1 0 0 , , , x x x f x x x x x f x f x x x f x f b x x f x x x f x f b x f b             

Interpolasi Kubik

 f₃(x) = b₀ + b₁(x-x₀) + b₂(x-x₀)(x-x₁) + b₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂) dengan:

 

   













   





   



















3 2 1 0



0 3 0 1 2 1 2 3 3 0 1 2 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 0 2 0 1 1 2 2 0 1 0 1 0 1 1 0 0 , , , ] , , [ ] , , [ , , ] , [ ] , [ , x x x x f x x x x x f x x x f b x x x f x x x x x f x f x x x f x f x x x x f x x f b x x f x x x f x f b x f b                    

Interpolasi Beda Terbagi Newton

 Secara umum: f₁(x) = b₀ + b₁(x-x₀) f₂(x) = b₀ + b₁(x-x₀) + b₂(x-x₀)(x-x₁) f₃(x) = b₀ + b₁(x-x₀) + b₂(x-x₀)(x-x₁) +b₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂) … f_n(x) = b₀ + b₁(x-x₀) + b₂(x-x₀)(x-x₁) +b₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂) + … +b_n(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n-1)

Interpolasi Beda Terbagi Newton

Dengan:  b₀ = f(x₀)  b₁ = f[x₁, x₀]  b₂ = f[x₂, x₁, x₀] …  b_n = f[x_n, x_n-1, x_n-2, . . . ., x₀]

Interpolasi Beda Terbagi Newton

(Contoh 3)

 Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’

pada derajat bebas dengan  = 4%, jika diketahui: t_10% = 1,476 t_2,5% = 2,571

t_5% = 2,015 t_1% = 3,365

Interpolasi Beda Terbagi Newton

(Contoh 3a)

Interpolasi Newton Orde 2:  butuh 3 titik

 _{x0 = 5 f(x0) = 2,015} x₁ = 2,5 f(x₁) = 2,571 x₂ = 1 f(x₂) = 3,365  b₀ = f(x₀) = 2,015

   





   







2 0



0 1 0 1 1 2 1 2 2 _{x x} x x x f x f x x x f x f b       

   





2,5 5 0,222 015 , 2 571 , 2 0 1 0 1 1         x x x f x f b 077 , 0 5 1 5 5 , 2 015 , 2 571 , 2 5 , 2 1 571 , 2 365 , 3        

Interpolasi Beda Terbagi Newton

(Contoh 3a)

 f₂(x) = b₀ + b₁(x-x₀) + b₂(x-x₀)(x-x₁)

= 2,015 + (-0,222) (4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5) = 2,121

Interpolasi Beda Terbagi Newton

(Contoh 3b)

Interpolasi Newton Orde 3:  butuh 4 titik

 x₀ = 5 f(x₀) = 2,015

x₁ = 2,5 f(x₁) = 2,571 x₂ = 1 f(x₂) = 3,365 x₃ = 10 f(x3) = 1,476

Interpolasi Beda Terbagi Newton

(Contoh 3b)

 b₀ = f(x₀) = 2,015 b₁ = -0,222  f[x₁,x₀] b₂ = 0,077  f[x₂,x₁,x₀] 007 , 0 5 077 , 0 043 , 0 5 10 077 , 0 5 , 2 10 5 , 2 1 571 , 2 365 , 3 1 10 365 , 3 476 , 1 3              b

Interpolasi Beda Terbagi Newton

(Contoh 3b)

 f₃(x) = b₀ + b₁(x-x₀) + b₂(x-x₀)(x-x₁) + b₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂) = 2,015 + (-0,222)(4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5) + (-0,007)(4-5)(4-2,5)(4-1) = 2,015 + 0,222 + 0,1155 + 0,0315 = 2,153

Contoh Interpolasi Polynomial Newton

 x b₀ b₁x x₀ b₂x x₀x x₁ b₂x x₀x x₁ b₃x x₀x x₁x x₂ f_n                    0.182 6 5 791759 . 1 609438 . 1 , 203 . 0 4 6 386294 . 1 791759 . 1 , 462 . 0 1 4 0 386294 . 1 , _{0 2 1 3 2} 1 _            f x x f x x x x f     0020 4 5 203 0 182 0 052 0 1 6 462 0 203 0 1 2 3 0 1 2 . . . , , . . . , ,          f x x x x x x f Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438)

Ditanya: Perkirakan x = 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

f₃(2) = 0.629   0008 1 5 ) 052 0 ( 020 0 0 1 2 3 . . . , , ,       x x x x f

Divided Differences (Beda Terbagi)

0 1 1 0 2 1 1 0 0 2 1 0 2 1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 ] ,..., , [ ] ,..., , [ ] ,..., , [ ... .. . . . . DD order Second ] , [ ] , [ ] , , [ DD order first ] [ ] [ ] , [ DD order zeroth ) ( ] [ x x x x x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f x f x f k k k k k k           

Tabel Beda Terbagi

x F[ ] F[ , ] F[ , , ] F[ , , ,] x₀ F[x0] F[x₀,x₁] F[x₀,x_1,x₂] F[x₀,x₁,x₂,x₃] x₁ F[x₁] F[x₁,x₂] F[x₁,x₂,x₃] x₂ F[x₂] F[x₂,x₃] x₃ F[x₃]









  

















n i i j j i n

x

F

x

x

x

x

x

f

0 1 0 1 0

,

,...,

]

[

)

(

Tabel Beda Terbagi

f(x i) 0 -5 1 -3 -1 -15 i x x F[ ] F[ , ] F[ , , ] 0 -5 2 -4 1 -3 6 -1 -15

Tabel Beda Terbagi

0 -5 1 -3 -1 -15 i y i x x F[ ] F[ , ] F[ , , ] 0 -5 2 -4 1 -3 6 -1 -15

Dua kolom pertama adalah kolom data titik

Kolom ketiga adalah beda orde pertama

Tabel Beda Terbagi

0 -5 1 -3 -1 -15 i y i x x F[ ] F[ , ] F[ , , ] 0 -5 2 -4 1 -3 6 -1 -15 2 0 1 ) 5 ( 3 _     0 1 0 1 1 0

]

[

]

[

]

,

[

x

x

x

f

x

f

x

x

f







Tabel Beda Terbagi

0 -5 1 -3 -1 -15 i y i x x F[ ] F[ , ] F[ , , ] 0 -5 2 -4 1 -3 6 -1 -15 6 1 1 ) 3 ( 15       1 2 1 2 2 1

]

[

]

[

]

,

[

x

x

x

f

x

f

x

x

f







Tabel Beda Terbagi

0 -5 1 -3 -1 -15 i y i x x F[ ] F[ , ] F[ , , ] 0 -5 2 -4 1 -3 6 -1 -15 4 ) 0 ( 1 ) 2 ( 6 _{ }    0 2 1 0 2 1 2 1 0

]

,

[

]

,

[

]

,

,

[

x

x

x

x

f

x

x

f

x

x

x

f







Tabel Beda Terbagi

0 -5 1 -3 -1 -15 i y i x x F[ ] F[ , ] F[ , , ] 0 -5 2 -4 1 -3 6 -1 -15

)

1

)(

0

(

4

)

0

(

2

5

)

(

2

x







x





x



x



f

f₂(x)= F[x₀]+F[x₀,x₁] (x-x₀)+F[x₀,x₁,x₂] (x-x₀)(x-x₁)

Bandingkan!

x y 1 0 2 3 3 8 x y 2 3 1 0 3 8

1 ) 2 )( 1 ( 1 ) 1 ( 3 0 ) ( 2 2         x x x x x P x Y 1 0 3 1 2 3 5 3 8 x Y 2 3 3 1 1 0 4 3 8 1 ) 1 )( 2 ( 1 ) 2 ( 3 3 ) ( 2 2         x x x x x P

]

,

,

[

]

,

,

[

]

,

,

[

x

₀

x

₁

x

₂

f

x

₁

x

₂

x

₀

f

x

₂

x

₁

x

₀

f





Urutan titik tidak akan mempengaruhi hasil beda terbagi