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Mathématiques financières – Support de Cours 1

La valeur et le temps

Sophie Gay Anger – SKEMA Business School

Table des matières

Introduction : concepts clef de l’évaluation financière...2

1. Introduction : notion d’intérêt...3

1.1 Intérêt simple... 3

1.2 Intérêt composé :...4

2. Valeur actuelle (ou présente) et valeur finale (ou future) de flux uniques...5

3. Valeurs présentes et futures de périodicités...6

4. Les déterminants du taux d’intérêt...9

4.1 Les taux de référence...9

4.2 La structure par terme des taux d’intérêt...10

4.3 Les déterminants des mouvements des taux d’intérêt...11

Introduction : concepts clef de l’évaluation financière

Nous allons aborder l’évaluation des instruments financiers les plus communs : actions et obligations. Pour ce faire, il nous faut présenter au préalable certains principes généraux ainsi que les outils techniques qui y sont associés.

Concept#1 : La valeur de tout actif financier est égale à la valeur présente de tous les flux de trésorerie que cet actif va générer dans le futur.

Ce principe simple, qui exprime l’égalité entre la valeur aujourd’hui et les flux de trésorerie futurs est souvent complexe à appliquer. Considérons un actif financier qui, moyennant un prix d’achat P aujourd’hui, vous promet une somme de 100€ dans un mois. S’il est clair de considérer que P est l’équivalent aujourd’hui de 100€ dans un mois, il est plus difficile de calculer P : comment trouver l’équivalent aujourd’hui des 100€ ? Que faire si l’entrée de fonds est incertaine ? Nous allons voir dans les pages qui vont suivre les mécanismes de l’actualisation qui sont à la base de l’évaluation des titres financiers.

L'ACTUALISATION permet d'obtenir la valeur aujourd'hui de flux monétaires futurs.

Concept #2 : Le problème d’allocation de la richesse peut être ramené à un compromis entre risque et rendement.

Le problème du choix d’investissement est de sélectionner un projet ou des titres financiers. Pour répondre à cette question il nous faut inévitablement en aborder une autre : quelle rémunération exigerons-nous pour compenser le risque ?

Considérons les deux actifs suivants :

 actif A : acheté 50’000€ aujourd’hui, il vaudra avec certitude 51’500€ demain  actif B : acheté 50’000€ aujourd’hui, il vaudra demain 100'000€ avec une

probabilité de 50% et 25'000€ avec une probabilité de 50%.

L’actif A est sans risque (car sa valeur future est certaine), et son rendement :

E

(

r_A

)

=r_A=Valeurfuture−valeur présente Valeur présente =

51'500−50'000 50'000 =3

L’actif B est risqué (sa valeur future est incertaine), et l’espérance de son rendement est :

 

 





E r~_B , ' '

' ,

' '

' , , ,

0 5_100 000 50 000 _  _  _    

50 000 0 5

25 000 50 000

50 000 0 5 1 0 5 0 5 25%

risque supporté, mais nous devons aussi élaborer des estimateurs des préférences des agents, et en particulier de leur aversion envers le risque. On suppose en effet que les agents sont rationnels : ils vont préférer, pour un même niveau de rendement espéré, supporter le moins de risque possible.

Voici donc comment sera abordée la question du choix de portefeuille : quelle compensation en termes de rendement est adéquate pour un niveau de risque donné ? Divers modèles théoriques sont susceptibles de répondre directement à cette question. Mais à la base, il faudra toujours déterminer le compromis pertinent entre risque et rendement.

Nous verrons aussi dans ce cours comment formaliser ce compromis, mais nous devons au préalable maîtriser les calculs de valeurs présentes en utilisant les mathématiques financières.

1. Introduction : notion d’intérêt.

L’intérêt est le prix à payer pour utiliser des fonds empruntés. C’est le loyer de l’argent : le prix payé pour bénéficier d’une somme donnée durant une période donnée, cette somme étant remboursée au prêteur en fin de période.

En tant que prix, l’intérêt est soumis dans sa formation aux lois de l’offre et de la demande : plus il y a demande de fonds, plus l’intérêt est élevé, et inversement si l’offre de fonds est plus grande, l’intérêt est plus faible. Plus précisément à tout moment prévaut une multiplicité de taux d’intérêts, variant en fonction de l’horizon de temps considéré, des qualités de l’emprunteur, des caractéristiques du prêteur, ... Mais nous n’entrerons pas dans ces détails pour l’instant, car nous voulons mettre en valeur avant tout dans ce chapitre les mécanismes de calcul. 1.1 Intérêt simple.

L’intérêt est dit « simple » lorsqu’il est calculé à chaque période seulement sur la base de la somme prêtée ou empruntée à l’origine (par la suite, nous appellerons cette somme le capital).

Par l’intérêt simple, le capital, base de calcul, reste constant, de même que le montant d'intérêt de chaque période.

MODE DE CALCUL :

Soit

V

P _{: le capital initial ou valeur présente,}

V

_{F: le capital final ou valeur future}

rs : taux d’intérêt simple pour une période

n : nombre de périodes (horizon)

I

_{t : montant d’intérêt accumulé sur t périodes,}

i

_{t montant d’intérêts pour} la période t.

I

₁

=

V

_P

×

r

_s

I

_n

=

(

V

_P

×

r

_s

)

+

(

V

_P

×

r

_s

)

+

. . .

+

(

V

_P

×

r

_s

)



=



n



[

V

_P

×

r

_s

]

Périodes 1 2 n

V

_F



=



V

_P

+

I

_n

=



V

_I

+

n



[

V

_I

×

r

_s

]



=



V

_I



(

1

+

nr

_s

)

Formules récapitulatives :

I

_n

=

V

_P

×

n

×

r

_s

V

_F



=



V

_P



(

1

+

nr

_s

)

V

_P

=

V

F

(

1

+

nr

_S

)

Exemple 1:

Le premier août 1291, votre aïeul a placé une somme équivalente à 500 € au taux d’intérêt simple de 8%, calculez combien votre famille a accumulé d’intérêt au 1er _{août 2012, et quelle est à cette date la valeur totale (capital plus intérêts)} de votre placement.

Solution :

I1500 0 08 40 ,  intérêt perçu chaque année. I₇₂₁=500×0,08×721=28840

intérêts accumulés depuis 1291.

V_F=500(1+721×0, 08)=500×58 . 68=29340 _{valeur totale du placement le 1}er _{août 2012.}

Exemple 2 : prix des obligations du Trésor à taux fixe (BTF)

Les obligations du Trésor à taux fixe sont des titres du marché monétaire, ayant des échéances fixes de 13, 26 ou 52 semaines. Par convention, les intérêts précomptés sont calculés sur la base de 360 jours par an. La valeur du titre s’exprime en pourcentage.

Considérons un BTF, échéance 91 jours (13 semaines). Si le taux fixe est de 1.85%, quel sera le prix à payer aujourd’hui pour ce titre ?

Solution :

V

_P

=

100

(

1

+

0. 0185

∗

91

360

)

=

99 . 535

Ainsi, si vous avez acquis pour 1Mio de BTF, vous avez déboursé 1'000’000*0.99535=995’350€ pour recevoir 1'000’000€ dans 13 semaines. Les intérêts sont donc versés au début de la période sur laquelle ils sont calculés : on les nomme « intérêts précomptés ».

1.2 Intérêt composé :

Le taux d’intérêt est dit composé lorsqu’à la fin de chaque période l’intérêt s’ajoute au capital de début de période pour former la base de calcul de l’intérêt pour la période suivante.

- le montant d’intérêt varie à chaque période.

- s’il s’agit d’un placement l’intérêt s’ajoute au capital. MODE DE CALCUL :

V

P

Ainsi, on peut calculer le montant périodique d’intérêt de la manière suivante :

i

₁

=

V

_P

×

r

i

₂

=

(

V

_P

+

i

₁

)

r

=

(

V

_P

+

V

_P

×

r

)

×

r

=

V

_P

(

1

+

r

)

r

i

₃

=

(

V

_P

+

i

₁

+

i

₂

)

r

=

(

V

_P

+

V

_P

×

r

+

V

_P

(

1

+

r

)

r

)

r

=

V

_P

(

1

+

r

)

2



r

et par récurrence on aboutit à :

i

n

=

V

P

(

1

+

r

)

n−1



r

De même, on calcule le capital accumulé comme suit :

V

₁

=

V

_P

+

i

₁

=

V

_P

+

V

_P

×

r

=

V

_P

(

1

+

r

)

V

₂

=

V

_P

(

1

+

r

)+

V

_P

(

1

+

r

)

r

=

V

_P

(

1

+

r

)

2

V

₃

=

V

_P

(

1

+

r

)

2

+

V

_P

(

1

+

r

)

2

r

=

V

_P

(

1

+

r

)

3

ou de manière générale :

V

n

=

V

P

(

1

+

r

)

n

lorsque le capital est placé en début d’année.

Exemple 3 :

Alors même que votre aïeul effectuait son placement en 1291, son épouse décidait de suivre son exemple. Cependant elle préféra placer à un taux de 8% annuel composé.

Solution:

I1 i1 500 0 08 40 ,  intérêt perçu la première année.

V_F=500(1+0, 08)721=500×1, 25 1024_{=6,27 10}26

valeur totale du placement le 1er _{août 2012.}

I721=6, 27 10 26

−500=6,27 1026 _{intérêts accumulés depuis 1291.}

2. Valeur actuelle (ou présente) et valeur finale (ou future)

de flux uniques.

Comme nous l’avons déjà vu, la valeur finale correspond à la valeur accumulée d’un placement à un taux d’intérêt donné durant une période de temps donnée.

Intérêts :

i

2

Calculés sur la base de

V

_{P +}

i

₁ Intérêts :

i

1

Calculés sur la base de

D’après les concepts précédemment présentés, une somme de 1'000 € placée pendant 4 ans au taux de 5% effectif annuel aura une valeur finale de :

V_F=1'000(1,05)4=1'215.51€

Période de placement Valeur _accumulée

De même, supposons que vous gagniez 450'000 € à la loterie. On vous donne le choix entre obtenir cette somme immédiatement ou dans un an. Sachant que vous estimez qu’une rémunération juste d’un placement de cette taille auprès d’une institution offrant peu de risque de défaut est de 4% annuel effectif, on peut dire que vous serez indifférent entre recevoir 450,000 € aujourd’hui ou

450'000(1,04)=468'000€ _{dans un an.}

Inversement on peut dire que 450'000 € représente la valeur actuelle de 468’000€ dans un an.

Donc : 450'000=

468'000 1,04

et de manière plus générale on peut définir : VP=

V_F

(1+r)n

NB : dans le cas particulier de l’intérêt simple, nous aurions VP=

V_F

(1+n×r)

Exemple 4 :

Sachant que vous pouvez obtenir une rémunération de 4% effectif annuel sur vos placements préféreriez-vous recevoir 5’000€ aujourd’hui ou 5’800€ dans trois ans ?

Solution :

Pour en juger il faut ramener ces deux montants à la même date, car nous avons clairement vu qu’un euro aujourd’hui n’est pas égal à un euro demain.

Valeur actuelle des 5’800€ :

5'800

(1,04)3=5'156,18

Valeur future des 5’000€ : 5'000(1,04)3=5'624,32

Vous allez donc préférer recevoir 5’800€ dans trois ans car ce montant est supérieur à la valeur future de 5’000€ (5'624.32€), ou de manière équivalente la valeur présente de 5’800€ (5'156.18€) est supérieure à 5’000€.

3. Valeurs présentes et futures de périodicités.

Jusqu'à présent nous avons traité de versements uniques (un placement, l’emprunt d’une somme donnée à un moment donné). Mais dans la réalité de nombreux instruments financiers sont caractérisés par des versements successifs :

 titres à revenu fixe : les obligations versent régulièrement ce que l’on appelle

un « coupon », qui représente la rémunération en intérêts.

De plus, nos dépenses de la vie courante impliquent bien souvent des suites de versement : les paiements de loyer, les remboursements d’hypothèque, d’emprunts, ...

Nous allons donc nous intéresser de plus près aux versements successifs, à leur valeur future, et à leur valeur actuelle.

Supposons que vous réserviez chaque mois un montant de 450€ pour le déposer dans un compte d’épargne rémunéré au taux périodique de 0.3% par mois :

La suite de versements de 450€ constitue une périodicité fixe de fin de période, car le premier versement a lieu en fin du premier mois de perception du salaire. Les versements de fin de période sont les plus fréquents (dividendes, coupons d’obligations notamment), mais ceux de débuts de période se rencontrent aussi, on peut notamment citer : les paiements de loyer, de prime d’assurance, ... Les périodicités de fin de période seront appelées tardives, et celles de début de période seront appelées précoces.

 Valeur future de périodicités tardives.

Vous déposez 100€ chaque fin de mois pendant 4 mois, combien avez-vous accumulé sachant que votre placement est rémunéré au taux périodique mensuel de 0,3%.

La situation est graphiquement la suivante :













VF 100 1 003 100 1 003 100 1 003 100

3 2

, , ,

Ce type de calcul pourrait s’avérer très long à effectuer pour des produits dotés d’une longue échéance. Il nous est heureusement possible d’utiliser la formule simplifiée suivante :

 

V X r

r F n          1 1 Valeur finale ? 450€ r. 450€ r. 450€ r. 450€ r. 450€ r. 450€ r. 450€ r.

Valeur finale ?

Période 3 Période 4

Période 1 Période 2

Correspondant à la valeur finale d’une suite de versements périodiques tardifs

d’une somme X. Soit dans notre exemple : VF=100

[

(1,003)4−1

0,003

]

=401,80€

NB : remarquez que dans le calcul de la valeur finale l’exposant employé est 4 dans l’exemple ci-dessus. Cet exposant correspond au nombre de termes dans la suite, ou de manière équivalente au nombre de versements effectués (4), et non à l’exposant du dernier terme de cette suite.

Reprenons maintenant notre exemple plus complexe de la section précédente. Vous vous demandez combien d’argent vous allez accumuler au bout de 4 ans en plaçant chaque fin de mois 450€. Le taux est de 0,3% par mois : la périodicité du taux doit toujours correspondre à la fréquence des paiements. Pour des versements trimestriels, on utilisera un taux d’actualisation trimestriel par exemple.

V_F=450

[

(1,003)

48₋₁

0,003

]

=23'195,28

L’exposant employé est 48 car vous allez effectuer 12x4=48 versements en 4 ans.

 Valeur présente de périodicités tardives

Pour ce qui est de l’évaluation d’instruments financiers, c’est davantage la valeur présente de flux futurs qui retient notre attention car nous chercherons à déterminer la valeur aujourd’hui d’un titre qui promet des flux financiers futurs. Imaginons donc que vous souhaitiez savoir quelle est la valeur aujourd’hui d’un instrument financier qui vous rapporte mensuellement 1’000€ par mois durant 6 mois, sachant qu’un taux d’actualisation de 4% annuel vous semble pertinent. Nous sommes confrontés à la situation suivante :

Bien sûr, comme la périodicité est mensuelle, il nous faut un taux périodique mensuel, soit 0,04/12 = 0,333%:





















Vp     

1000 1 0033 1000 1 0033 1000 1 0033 1000 1 0033 1000 1 0033 1000 1 0033

2 3 4 5 6

Comme précédemment, il est possible d’appliquer une formule simplifiée :  

X r

r

n

1 1  



 

 



correspondant à la valeur présente d’une suite de n versements tardifs X au taux d’intérêt r.

Dans notre exemple, cela implique :

V_p=1'000

[

1−

(

1,0033

)

−6

0,0033

]

=5931,31

Exemple :

Vous achetez une automobile en effectuant un versement de 2’500€ à la livraison (aujourd’hui) et en versant la somme de 495€ chaque fin de mois durant 36 mois. Sachant qu’on vous indique que vous bénéficiez d’un crédit au taux proportionnel annuel de 5,44%, quelle est la valeur totale présente de votre voiture ?

Solution :

Calcul du taux périodique mensuel : 0,0544/12 =0,453%

V_p=2'500+495

[

1−(1,00453)

−36

0,00453

]

=18'908,63€. _{Vous pourriez donc acheter aujourd’hui votre}

automobile en versant la somme totale de 18'908,63€ .

Maintenant que les mécanismes de l’actualisation sont connus, il nous faut parler davantage d’une des variables clef de nos estimations : les taux d’intérêt.

4. Les déterminants du taux d’intérêt

Comme nous l’avons indiqué, l’intérêt représente le loyer de l’argent, c'est-à-dire la rémunération du prêteur ou investisseur.

Comment déterminer le taux d’intérêt correspondant à une juste rémunération ? Celle-ci doit évidemment compenser pour l’inflation, mais il reflète aussi la préférence des agents pour le présent, leur aversion pour le risque ainsi que le niveau de demande de fonds.

4.1 Les taux de référence

Les titres de créance à taux variable se réfèrent aux taux interbancaires de court terme : le LIBOR (London Interbank Offered Rate) ou dans la zone Euro l’EURIBOR. Ces taux reflète les conditions auxquelles les banques se prêtent entre elles sur le marché de Londres (Libor en £, € ou autre devise) ou en Europe continentale (Euribor en €).

Source : site internet de la Banque de France, http://www.banque-france.fr/economie-et-statistiques/changes-et-taux/les-taux-interbancaires.html

L’EONIA représente quant à lui le interbancaire « overnight », c’est-à-dire du jour pour le lendemain.

Enfin, les taux des bons du Trésor français complètent cette gamme de taux de référence. Ils sont utilisés notamment pour déterminer le taux d’intérêt légal (utilisé pour compenser les retards de paiement, en particulier par l’administration fiscale).

Taux des bons du Trésor français

Source : site de la Banque de France, http://www.banque-france.fr/economie-et-statistiques/changes-et-taux/les-taux-de-reference-des-bons-du-tresor-et-oat.html

Ces taux représentent la rémunération requise pour des placement de court terme, moyen terme et long terme, sans risque de contrepartie (ou soumis à un risque très faible).

4.2 La structure par terme des taux d’intérêt

Comme nous l’avons vu ci-dessus, les taux d’intérêt vont varier selon l’échéance de l’emprunt ou du placement. La structure à terme des taux d’intérêt représente graphiquement la relation entre l’échéance et le niveau des taux pour un émetteur de la meilleure qualité possible : les états1_.

La figure ci-dessous représente la courbe des taux selon l’échéance en Allemagne en date du 09/10/12 (source :Financial Times).

Chaque point de la courbe représente le taux de rendement d’un titre de dette de référence émis par un gouvernement pour une échéance donnée. Par exemple, pour une échéance de 5 ans, le taux est de 0,55% dans la zone Euro et de 0.65% aux Etats-Unis.

En général, les structures par terme des taux sont croissantes (plus l’échéance est longue, plus le taux d’intérêt est élevé), ce qui exprime la préférence pour le présent, mais aussi potentiellement les anticipations de taux futurs à la hausse. La structure constitue une référence pour déterminer le taux d’intérêt pertinent pour un instrument financier car elle offre une indication du taux requis pour un investissement de haute qualité (pour ce qui est de l’Allemagne en zone euro). Une prime de risque sera ajoutée au taux si l’on considère des emprunteurs plus risqués.

Pour ce qui concerne les obligations, des agences de rating (Fitch, Standard & Poor’s, Moodys sont les plus connues et influentes) publient des évaluation du risque de crédit (risque de dégradation de la qualité de l’emprunteur ou risque de non-paiement) associé. Plus le rating sera de piètre qualité, plus la prime de risque sera élevée.

4.3 Les déterminants des mouvements des taux d’intérêt Le taux de rendement requis sur un titre dépend :

- Du niveau général des taux d’intérêt à court terme (déterminés à leur tour par la politique de la Banque Centrale, le niveau d’activité économique, l’inflation, …). En période de croissance notamment, les entreprises ont tendance à requérir davantage de capitaux. Cette plus grande demande implique généralement une hausse du niveau des taux d’intérêt. Inversement, en période de contraction économiques, les besoins de fonds sont plus limités et les taux ont tendance à être plus bas. - De l’inflation : les variations des prévisions d’inflation constituent

peut-être le facteur le plus important de variation des taux. En effet, les investisseurs réagissent immédiatement aux changements dans les attentes concernant l’inflation : si ces dernières sont à la hausse, les rendements requis seront eux aussi plus élevés. Cette influence est d’autant plus sensible que l’on considère des taux à long terme.

- Du risque de crédit associé : comme indiqué précédemment, plus la probabilité de non-paiement (ou défaut) sera élevée, plus le rendement requis sera élevé afin de compenser de manière pertinente l’investisseur pour le risque supplémentaire qu’il ou elle supporte.

allemand. On constate ainsi que la France (Aaa, outlook négatif2_{) emprunte à 10} ans à un taux plus élevé que l’Allemagne (+0.75%, rating Aaa, outlook négatif, AAA), alors que la Confédération suisse (Aaa, AAA) emprunte à un taux inférieur (-0.82%). Le gouvernement de la Grèce (C, CCC) doit quant à lui offrir une prime très conséquente (+22.8%) afin de compenser les investisseurs pour le risque encouru.

Tableau 1 : Yield Spreads – Ecart sur le rendement requis par rapport aux obligations d’Etat allemandes, maturité 10 ans.

Pays émetteur Yield ou taux de

rendement requis

Spread vs. rendement des obligations d’Etat

allemand (Bund)

USA 1.64% +0.29

Royaume Uni 1.46% +0.11

Suisse 0.53% -0.82

Suède 1.38% +0.03

Espagne 6.57% +5.22

Portugal 9.64% +8.29

Italie 5.89% +4.55

Grèce 24.15% +22.80

France 2.09% +0.75

Allemagne 1.35%

--Source : www.FT.com, market data, bonds & rates, consulté le 28/08/2012.

Ces spreads ou écarts de rendement se constatent aussi en ce qui concerne les titres émis par les entreprises, avec des écarts encore plus importants parfois. A la fin de cette session, vous êtes en mesure d’utiliser les mathématiques financières pour calculer la valeur présente de flux futurs et vous connaissez les déterminants les plus importants du niveau des taux d’intérêt. Nous allons utiliser ces connaissances dans la séquence suivante afin de déterminer le prix des obligations à taux fixe et des actions ordinaires.

Annexe : exercices

1. Un individu place 51000€ pour trois mois à partir du 1er juin, au taux d’intérêt simple annuel de 2.75%. De combien dispose t- il à l’issue du placement ?

2. Quel est le montant des intérêts générés par un placement de 75’800€ pendant 7 mois au taux d’intérêt simple annuel de 3.5% ?

3. Quelle est la valeur présente d’une rente de fin de période de 25’000 € pendant 20 ans si le taux d’intérêt composé annuel est de 3.5% ?

4. Vous souhaitez investir dans un BTF, échéance 26 semaines, dont le taux de rendement est 1.05%. Quel est le prix de ce titre ?

5. Vous gagnez à une loterie 2,6 millions € et l’organisateur du jeu vous propose l’alternative suivante : toucher l’intégralité de la somme gagnée immédiatement, ou recevoir une rente trimestrielle (tardive) de 25 000€ pendant 35 ans. Quelle solution choisirez-vous si vous jugez que le taux de rendement sans risque sur la période sera en moyenne de 2.25% annuel (taux composé)?

6. Vous empruntez la somme de 26’000€ sur 4 ans et souhaitez rembourser par versements identiques mensuels de fin de période. Quel sera le montant de vos remboursements si le taux d’intérêt est de 4.5% annuel (taux nominal annuel composé)?

7. Vous placez la somme de 10’000€ durant 3 ans au taux annuel composé de 2%, puis pendant 6 ans au taux annuel composé de 1.25% et enfin durant 4 ans au taux annuel composé de 2.35%. Quelle est la valeur finale de votre placement ?

8. Vous épargnez chaque année la somme de 3’200€. Si vous pouvez investir ces sommes au taux moyen annuel (composé) de 1.55% pendant 20 ans quelle sera la valeur finale de votre épargne ?

9. L’entreprise ALPHA a une cote de crédit de BBB- selon S&P. Vous avez investi dans une obligation émise par ALPHA alors que ce titre promettait un rendement de 5.4%. Supposons que S&P dégrade la note de crédit de ALPHA à BB+, quel sera selon vous l’impact sur le rendement requis ? Sur le prix du titre ?