Menemukan Akar-akar Persamaan Non-Linear

Menemukan Akar-akar Persamaan Non-Linear

• Metode Tertutup – Biseksi – Regula Falsi • Metode Terbuka – Newton Method

Agenda

Solusi untuk Persamaan Non Linear

Akar-akar dari persamaan (y = f(x)) nilai dari x yang menjadikan f(x) = 0.

• Aljabar umum untuk persamaan sederhana, misalkan:

– f(x) = 2x – 3 = 0  x = 1.5 – f(x) = x2 _{– 4x – 5 = 0  x}

1 = 5 and x2 = -1

• Persamaan Non Linear  lebih sulit dikerjakan.

– h(x) = h₀(sin(2πx/α)cos(2πtv/ α) + e-x

Cara Menemukan Akar

Menemukan akar dari persamaan kuadrat.

0

2







c

bx

ax

x b b_a ac 2 4 2     General solution 2 . 1 2

1

sin

_

_



x

e

x

x

Untuk fungsi yang kompleks

Graphical Method

F(x) = x

2

_{- 3}

X 0 1 2 3

F(X) -3 -2 1 6

-2 < 0 1 > 0

=>

Terdapat sedikitnya satu akar diantara 1 dan 2.

Plot fungsi pada grafik [a, b].

Jika sebuah fungsi f(x) kontinyu dan f(a)f(b) < 0, maka persamaan f(x) mempunyai paling sedikit satu akar real pada interval (a,b).

Graphical Method (cont’d)

Plot grafik fungsi dengan menggunakan penggaris dan

pensil.

Root Approximation: The Methods

• Metode Tertutup (bracketing methods)

– Pendekatan akar pada interval [a, b].

– Menjamin menemukan minimal 1 (satu) akar. – Bisection dan regula falsi

• Metode Terbuka

– Menebak terlebih dahulu akar yang dimaksud.

– Secara iterative, mendekati akar sebenarnya, menggunakan nilai yang lama.

– Terkadang bersifat difergen maupu konvergen. – Newton method

Closed Methods

Pada sebuah interval, bisa terdapar satu atau lebih akar, atau mungkin tidak ada akar.

– f(a)f(b) < 0  Σ root = odd

– f(a)f(b) > 0  Σ root = zero or even

a

b a

b

Bisection Method

• Pastikan f(a

_i

) f(b

_i

) < 0 for i = 0,1,2,3,...

f(x)

b

₀

a

₀

m

₁

f(m1)>0

b

₁

a

₁

m

₂

=

=

Example (Bisection Method)

Tentukan akar dari persamaan f(x) = -11 -22x + 17x2 _-2.5x3

– Dengan menggunakan metode biseksi, dengan nilai error Ԑa, hingga mendapatkan 3 digit yang sama, dengan nilai awal x_i = 0 dan x_u = 4

• 0

th

_{iteration: f(x) = -11 -22x + 17x}

2

_-2.5x

3 x_l = 0;x_u = 4; x_r = (0 + 4) / 2 = 2 f(x_l) = -11; f(x_r) = -7; f(x_l) f(x_r) = 77 i xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl) f(xr) E_a e_a 0 0 4 2 -11 -7 77

f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x x_u x_r



1

st

iteration:

x_l = 2; (

∵

f(x_l) f(x_r) > 0) x_u = 4; x_r = (2 + 4) / 2 = 3 f(x_l) = -7; f(x_r) = 8.5; f(x_l) f(x_r) = -59.5 E_a= x_rnew _{– x} rold = 3 – 2 = 1 e_a= (x_rnew _{– x} rold) / xrnew = (3 – 2) / 3 = 0.3333333 i xl xu xr f(xl) f(xr) f(x_f(xl) r) Ea ea 0 0 4 2 -11 -7 77 1 2 4 3 -7 8.5 -59.5 1 0.3333333

f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x_l x_u x_r

i xl xu xr f(xl) f(xr) f(x_f(xl) r) Ea ea 0 0 4 2 -11 -7 77 1 2 4 3 -7 8.5 -59.5 1 0.3333333 2 2 3 2.5 -7 1.1875 -8.3125 -0.5 -0.2 3 2 2.5 2.25 -7 -2.91406 20.39844 -0.25 -0.1111111 4 2.25 2.5 2.375 -2.91406 -0.85059 2.478661 0.125 0.0526316 5 2.375 2.5 2.4375 -0.85059 0.173462 -0.14754 0.0625 0.025641 6 2.375 2.4375 2.40625 -0.85059 -0.33754 0.287106 -0.03125 -0.012987 7 2.40625 2.4375 2.421875 -0.33754 -0.08175 0.027595 0.015625 0.0064516 8 2.421875 2.4375 2.429688 -0.08175 0.045928 -0.00375 0.007813 0.0032154 9 2.421875 2.429688 2.42578 -0.08175 -0.0179 0.001463 -0.0039 -0.0016103 10 2.425781 3 2.429688



Lanjutkan iterasi hingga dihasilkan nilai pembulatan x

_l

dan x

_u

menghasilkan 3 digit yang sama

Comments on Bisection Methods

• Two-point method, Bracketing Method.

• Nilai yang dihitung hanya berdasarkan tanda dari nilai fungsi. • Pasti konvergen.

• Tingkat konvergen rendah.

– Setiap step menghasilkan peningkatan akurasi satu binary digit. (one decimal digit / 3.3 steps)

– Jika error didefiniskan sebagai

Maka setiap kali iterasi dihasilkan error sebesar , dengan mengambil nilai , maka dapat diperoleh jumlah iterasi yang akan dilakukan adalah :

Hitung persamaan f(x) = -4 -2x - x2 _{+ x}3

• Dengan nilai awal xi=2 dan xu=3 hingga 3 iterasi.

Regula Falsi Method (False-position Method)

f(x)

x

_u

x

_r

x

_l

S

)

(

)

(

)

(

)

(

l u l u u l r

x

f

x

f

x

f

x

x

f

x

x







)

(

)

(

)

(

l u l l u l

x

f

x

f

x

f

y

x

x

x

x











r

x

x

y

dengan

 ,

0



20

Algorithm of False-position method

• Pilihlah inisialisasi awal f(x

_r

) f(x

_l

)

< 0 dan

• Ulangi sehingga

)

(

)

(

)

(

)

(

l u l u u l r

x

f

x

f

x

f

x

x

f

x

x









_{Jika f(x}

_r

_{) = 0, maka x = x}

_r

_{adalah akar persamaan,}

_STOP



_{Jika f(x}

_l

_{) f(x}

_r

_{) < 0, gantikan x}

_u

_{dengan x}

_r

_.



_{Jika f(x}

_l

_{) f(x}

_r

_{) > 0, gantikan x}

_l

_{dengan x}

_r

_.



Kembali ke perulangan





)

(

x

_r

f



0

th

iteration: f(x) = -11 -22x + 17x

2

-2.5x

3 x_l = 0; x_u = 4; x_r = = 1.833333 f(x_l) = -11; f(x_r) = -9.59954; f(x_l)f(x_r) = 105.5949 i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(xl)f (xr) E_a e_a 0 0 4 1.83333 3 -11 13 -9.59954 105.5949 ) ( ) ( ) ( ) ( l u l u u l x f x f x f x x f x  

False-position Example

f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x x_u x_r



1

st

iteration:

x_l = 1.833333; (

∵

f(x_l) f(x_r) > 0) x_u = 4; x_r = = 2.753662 f(x_l) = -9.59954; f(x_r) = 5.12439; f(x_l)f(x_r) = -49.1918 E_a = x_rnew _{– x} rold = 2.753662 – 1.833333 = 0.920328 e_a = (x_rnew _{– x} rold) / xrnew = (2.753662 – 1.833333) / 2.753662 = 0.3342199 i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(xl)f (xr) E_a e_a 0 0 4 1.83333 3 -11 13 -9.59954 105.5949 ) ( ) ( ) ( ) ( l u l u u l x f x f x f x x f x  

f(x)=-11-22x+17x^2-2.5x^3 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x_l x_u x_r

i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(x_(xl)f r) Ea ea 0 0 4 1.83333 3 -11 13 -9.59954 105.5949 1 1.833333 3 4 2.75366 2 -9.59954 13 5.12439 -49.1918 0.92032 8 0.3342199 2 1.833333 3 2.75366 2 2.43335 9 -9.59954 5.12439 0.10587 4 -1.01635 -0.3203 -0.1316301 3 1.833333 3 2.43335 9 2.42681 3 -9.59954 0.10587 4 -0.00103 0.009928 -0.00655 -0.0026972 4 2.426813 2.43335 9 2.42688 -0.00103 0.10587

4 5E-07 -5.2E-10 6.3E-05 2.609E-05 5 2.426813 2.42687

6



Lanjutkan iterasi hingga x

_l

dan x

_u

memiliki pembulatan 3

angka yang sama

Kesimpulan – Regula Falsi

• Merupakan two-point method, Bracketing Method.

• Pada umumnya, lebih cepat menuju konvergen dibandingkan dengan biseksi

Newton-Raphson Method

)

(x

f

)

f(x

-

= x

x

i i i i1



f(x) f(xi) f(xi-1) xi+2 xi+1 xi X 

 



xi, f xi



Derivation

f(x) f(xi) xi+1 xi X B C  A

)

(

'

)

(

1 i i i i

x

f

x

f

x

x

_





1

)

(

)

(

'







i i i i

x

x

x

f

x

f

AC

AB







tan(

• Diperlukan SATU HARGA AWAL (dapat berupa tebakan), dan tebakan harga awal tersebut tidak menyebabkan harga fungsi menjadi tak berhingga.

• Persamaan y = f (x) mempunyai turunan yang dapat disebut sebagai y’ = f’(x) dan harus kontinyu di daerah domain jawab.

• Turunan fungsi tersebut tidak berharga nol, y’≠ 0 , pada harga xk _(pada

iterasi ke-k) yang diinginkan

Bilamana SALAH SATU dari syarat berikut ini terpenuhi :

• Selisih harga xk _{(pada iterasi terbaru) dengan x}k-1 _{(pada iterasi}

sebelumnya) lebih kecil atau sama dengan harga Ԑ, atau dapat dituliskan sebagai:

, atau

• Harga fungsi f(xk_{) (dengan menggunakan harga x pada iterasi terbaru)}

sudah sangat kecil dan menuju nol atau dapat dikatakan juga lebih kecil atau sama dengan harga Ԑ, yang dapat dituliskan sebagai:

• Tentukan Nilai Awal • Hitung nilai

f(x)

• Hitung nilai estimasi akar untuk iterasi selanjutnya,

• Hitung absolut error :

• Ulangi hingga memenuhi syarat kriteria penghentian iterasi

Algoritma Newton-Raphson

)

f'(x

)

f(x

-

= x

x

i i i i 1

0

10

x

1 1

x

- x

x

=

i i i a  



• Menemukan akar persamaan :

Contoh : Newton-Raphson

 

3 2 4

10

993

3

165

0

.

x

+

.

-x

x

f





Contoh : Newton-Raphson

 

 

x

x

-

x

f

.

+

x

.

-x

x

f

-33

.

0

3

'

10

993

3

165

0

2 4 2 3







Asumsi awal

Untuk

 

x



0

f

05

.

0

0



x

Hitung

f '

 

x

 

 





















06242 . 0 01242 . 0 0.05 10 9 10 118 . 1 0.05 05 . 0 33 . 0 05 . 0 3 10 .993 3 05 . 0 165 . 0 05 . 0 05 . 0 ' 3 4 2 4 2 3 0 0 0 1                     x f x f x x Iterasi 1 Perkiraan akar :

% 90 . 19 100 06242 . 0 05 . 0 06242 . 0 100 1 0 1         x x x a

 

 





















06238

.

0

10

4646

.

4

06242

.

0

10

90973

.

8

10

97781

.

3

06242

.

0

06242

.

0

33

.

0

06242

.

0

3

10

.993

3

06242

.

0

165

.

0

06242

.

0

06242

.

0

'

5 3 7 2 4 2 3 1 1 1 2





































   

x

f

x

f

x

x

Iterati 2 Perkiraan akar :

% 0716 . 0 100 06238 . 0 06242 . 0 06238 . 0 100 2 1 2         x x x a

 

 





















06238

.

0

10

9822

.

4

06238

.

0

10

91171

.

8

10

44

.

4

06238

.

0

06238

.

0

33

.

0

06238

.

0

3

10

.993

3

06238

.

0

165

.

0

06238

.

0

06238

.

0

'

9 3 11 2 4 2 3 2 2 2 3





































   

x

f

x

f

x

x

Iterasi 3 Perkiraan akar :

% 0 100 06238 . 0 06238 . 0 06238 . 0 100 2 1 2         x x x a

• Memiliki tingkat konvergensi yang cepat (quadratic convergence), jika konvergen.

• Hanya memerlukan satu buah nilai tebakan

• Divergen pada inflection point

Kerugian Newton-Raphson

Iteration Number x_i 0 5.0000 1 3.6560 2 2.7465 3 2.1084 4 1.6000 5 0.92589 6 −30.119 7 −19.746

• Division by zero

Akar dihitung dengan :

Untuk dihasilkan pembagian dengan 0

Kerugian Newton-Raphson

 

x



x

3



0

.

03

x

2



2

.

4



10

6



0

f

i i i i i i

x

x

x

x

x

x

06

.

0

3

10

4

.

2

03

.

0

2 6 2 3 1













 

02

.

0

atau

0

₀ 0



x



x

• Root Jumping

• Pada persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥

3

_{− 4𝑥}

2

_{+ 5 = 0,}

– Tunjukkan bahwa persamaan di atas memiliki solusi untuk selang [0,2]. Jelaskan kondisi-kondisi yang harus dipenuhi sehingga bisa

menyimpulkan bahwa fungsi f(x) memiliki akar di dalam interval [0,2]. – Carilah solusi untuk persamaan di atas dengan metode Regula Falsi

atau metode newton raphson (sebanyak 3 iterasi).

• www.cse.cuhk.edu.hk/~csc2800/tuto/tutorial_03.ppt, By Albert