KETAKSAMAAN HARNACK DALAM KONTEKS GRAF
1Institut Teknologi Bandung, rika.febrilia@students.itb.ac.id 2Institut Teknologi Bandung, sapto@math.itb.ac.id
Abstrak
Pada penelitian ini kami tampilkan suatu pendekatan baru dalam pembuktikan ketak-samaan Harnack dalam konteks graf,maxBu ≤CminBu, dimanaB suatu definisi bola dalam konteks graf,Cadalah konstanta danuadalah solusiLu(x) = 0dimana
Lu(x) :=X y∼x
axy(u(x)−u(y)).
Di sini ketaksamaan Harnack dibuktikan dengan menggunakan pendekatan probabilitas yang didasarkan padacritical density propertydandoubling property. Dengan pendekatan baru ini ketaksamaan Harnack kini dapat diperoleh tanpa menggunakanSobolev’s inequal-itydancovering lemmas.
Kata Kunci: ketaksamaan Harnack, graf,critical density property,doubling property
1. Pendahuluan
Pembuktian ketaksamaan Harnack pada umumnya didasarkan pada pendekatan iteratif Moser [2]. Ketaksamaan Harnack dalam konteks graf pertama kali diperkenalkan oleh T. Delmotte [4] dengan menggunakan Vitali’s covering lemmas, ketaksamaan John-Nirenberg’s dan ketaksamaan Sobolev’s. Penelitian lain yang dilakukan oleh G. Di Fazio dan teman-teman [1] menggunakan pendekatan probabilitascritical density propertydandouble ball property dengan menggunakancovering lemmas. Dalam penelitian ini, digunakan suatu pendekatan baru untuk membuktikan ketaksamaan Harnack, yaitu dengan menggunakan critical density propertydandoubling property.
2. Formulasi Model
Didefinisikan operator
Lu(x) =X x∼y
axy(u(x)−u(y)), (1)
dimana
axy =
1, x∼y ,
0, lainnya.
JikaLu= 0padaB\∂ Bmakaumerupakan fungsi harmonik. Dalam tulisan ini disajikan suatu pendekatan probabilitas untuk menunjukkan bahwauyang memenuhiLu = 0akan memenuhi ketaksamaan Harnack, yaitu:
max
B u≤CminB u. (2)
Definisi 1. Seperti dalam [1],KΩ adalah keluarga dari fungsiudeng ancounting measure #dan domain padaΩ. Untuku∈KΩdanA⊂dom(u)dapat ditulisu∈KΩ(A). Deng an kata lain,
KΩ(A) ={u∈KΩ dan A⊂dom(u)},
dimana dom(u)adalah domain dari fungsiu.
DikatakanKΩ tertutup pada perkalian dengan konstanta kecilτ jika untuk setiapu ∈ KΩ danτ ∈(0,1), makaτ u∈KΩ.
Definisi 2. KΩmemenuhiHarnack propertydengan konstantaCH, jika untuk setiapu ∈ KΩ(B2r(x0))denganutak negatif dan terbatas secara lokal, memenuhi
sup BR(x0)
u≤CH inf BR(x0)
u. (3)
Definisi 3. G= (V , E)adalah suatu graf dimanaV = simpul (vertices) danE= sisi (edg es). Misalkan x, y ∈ V. x dan y dikatakan bertetangga (neighbors), x ∼ y, jika terdapat sisi (edges) diantara keduanya. Suatu graf dikatakan terhubung jika setiap dua simpul di dalamnya terdapat lintasan.
Definisi 4. MisalkanGadalah graf yang terhubung,x, y ∈ Gdanr ∈ N. Jarakxdany adalah lintasan terpendek darixdany, yang dinotasikan dengand(x, y),
d(x, y) = min{r | ∃(x=a0, a1, ..., ar=y) ∀i, ai ∼ai+1}. (4)
Definisi 5. Bola dan kulit dalam grafGdidefinisikan masing-masing sebag ai
B(x, r) ={y∈G|d(x, y)< r} dan ∂ B={y∈G|d(x, y) =r}. (5)
Untuk mempersingkat penulisan notasiBr(x)digunakan untuk mengg antikan notasiB(x, r). UntukB = Br(x)danλ >0, dapat ditulisλB = Bλr(x) =B(x, λr). UntukX ⊂G, #X=banyaknya simpul diX.
Kondisi keteraturan yang pertama pada grafGadalah terdapatC1>1sedemikian hingg a untuk setiap bolaB ⊂G, berlaku
# (2B)≤C1# (B).
Karena# (B(x,1)) = 1untuk setiapx∈G, denganB :=B(x,1)diperoleh untuk setiap
x∈G,
Untuk setiapx∈V didefinisikan suatu pengukuran
µ(x) =X y∈V
b(x, y),
dimana
b(x, y) =
1, jika (x, y)∈E,
0, lainnya.
GrafGdiasumsikan tanpa arah dengan tak hingga simpul dimana memenuhi sifatµ(x)≤
N (terbatas secara lokal).
Diberikan fungsi f bernilai real yang terdefinisi pada bolaB, rata-rataf pada bolaB
tersebut didefinisikan sebagai,
fB:= 1 # (B)
X
x∈B
f(x).
Untuk mempelajari PDE dalam graf, dibutuhkan suatu kondisi keteraturan padaG yang mengikuti pertaksamaan Poincar´e: terdapatC2 > 0sedemikian hingga untuk setiap bola B :=B(x0, n)⊂G,
X
x∈B
|f(x)−fB|2≤C2n2 X
x∈2B
X
y∈2B y∼x
|f(x)−f(y)|2.
Untuk setiap pasanganx ∼ y, kita kaitkansymmetric weightaxy dan kondisi keteraturan ketiga ellipticity sebagai berikut: terdapatC3>0sedemikian hingga untuk setiap pasangan
x∼ydi G,
1
C3
≤axy ≤C3.
KonstantaC1,C2 danC3 yang berasosiasi di dalam graf disebutgeometric constantsdan
konstanta lain yang bergantung hanya padageometric constantsdisebutstructural constant.
Definisi 6. (X, d,#)merupakandoubling metric spacejika(X, d)adalahmetric spacedan #memenuhidoubling property, yaitu terdapat konstanta positifC1 >1sedemikian hingga
0<# (B2r(x))≤C1# (Br(x)), x∈X, r >0. (6)
Definisi 7. Suatu fungsiu∈BM Ojika
1 # (B)
X
x∈B
|u(x)−uB |<∞ ∀B⊂Ω, (7)
dimana
uB= 1 # (B)
X
x∈B
Definisi 8. Diberikan ǫ ∈ (0,1), γ ∈ (0,1) dan M ≥ 1, KΩ memenuhi critical
den-Definisi 9. MisalkanCD >1.KΩmemenuhidoubling propertydengan konstantaCD jika untuk setiap bolaB2r(x0)⊂Ωdanu∈KΩ(B2r(x0))memenuhi
u̺merupakandoubling weight, jika terdapat̺ >0∋ 1
Teorema 1. ([2, Teorema 4])Misalkan(X, d,#)doubling metric space danKΩmemenuhi critical density property (dengan konstantaM danε) dan doubling property (dengan kon-stantaCD). Asumsikan, jika∀u ∈KΩ(Br(x0))danλ≥ upadaBr(x0) makaλ−u ∈
KΩ(Br(x0)).Jika∃̺ >0∋ ∀u∈KΩ,u̺merupakan doubling weight makaKΩmemenuhi
Harnack Property dengan konstantaCH yang hanya bergantung padaε,M,CD, dan dou-bling metric dengan konstantaKdanC1.
3. Hasil
Didefinisikan,
Dxyu:=u(x)−u(y).
u merupakan solusi (subsolution, supersolution) pada bola B jika Lu = (≥,≤) 0pada
B\∂B.
Proposisi 1. Jikauadalah supersolution (subsolution) padaB maka umerupakan weak supersolution (subsolution) pada B dalam pengertian berikut: untuk setiapφ≥ 0, φ= 0 pada∂B,
Lemma 1. Untuk setiapy∈G, r∈N, x∈B(y, r)dan setiapsdengan1≤s≤r,
Lemma 3. (Fabes Lemma [1]).Misalkanwadalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada B := (x0, n) dan 0 < ε ≤ 1. Terdapat konstantaC5 := 2 1 +ε12
Teorema 2. (Energy estimate forlnu). Terdapat structural constantsC > 0 sedemikian hingga jikau >0adalah supersolution pada4B0,B0 :=B(x0, n), maka
Proof. Didefinisikanηpada4B0 sebagai:
η≡1 pada 2B0,
Menggunakancut-off functionηpada Lemma 2, diperoleh
Hasil di atas dan ketaksamaan Poincar´e mengakibatkan
Dari (16) dan ketaksamaan H¨older diperoleh
X
Ini melengkapi bukti dari Teorema 2.
Teorema 3. (Critical density for allε ∈(0,1)). Diberikanε∈ (0,1), terdapat konstanta
Proof. Asumsikan bahwau >0adalahsupersolutionpada8B0dan # (E) := # {x∈2B0|u(x)≥1}
Definisikanηpada8B0sebagai:
η≡1 pada 4B0,
Dengan menggunakan (19), Lemma 3, Lemma 2 dan (12) diperoleh
yang dalam halumenjadi
min B0 u≥e
−C0 =:γ.
MisalkanB ⊂GdanKG(B)adalah kelas dari solusiLu(x) = 0, yaitu
KG(B) :={u|u >0,Lu(x) = 0, x∈B\∂B, B⊂dom(u)}.
Perhatikan bahwa,Lu = 0mengakibatkanLu ≥ 0danLu <0, sehinggaKGmemenuhi Teorema 2 dan Terorema 3. Untuku∈KG(B)danu≤λpada B, makaλ−u∈KG(B).
Teorema 4. Harnack. Terdapat structural constantC > 1yang hanya bergantung pada geometric constantsC1,C2 danC3yang bersesuaian dengan graf sedemikian hingga jika u >0adalah solusi pada8B, yaituLu= 0pada8B\∂(8B), maka
max
B u≤CminB u. (20)
Proof. Teorema Harnack merupakan akibat dari Teorema 1, Teorema 2 dan Teorema 3. Dari Teorema 2, diperoleh bahwalnu ∈ BM O B0
. Karenalnu ∈ BM O B0
, akibatnya
u memenuhi Doubling Property [2]. Dan dari Teorema 3 diperoleh bahwau memenuhi critical density property. Teorema 2 dan Teorema 3 memenuhi semua asumsi pada Teorema 1, akibatnyaumemenuhi Ketaksamaan Harnack.
Daftar Pustaka
[1]G. Di Fazio, C. Guti ´errez, and E. Lanconelli, Covering theorems, inequalities on metric spaces and aplications to PDE’s, Math. Ann.341, (2008), 255-291.
[2]J. Moser, On Harnacks theorem for elliptic differential equations, Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), 577591.
[3]S. W. Indratno, D. Maldonado and S. Silwal, On the axiomatic approach to Har-nack’s inequality in doubling quasi-metric spaces, To appear in Revista Matematica Iberoamericana.
