14-Laju Terkait

• Diferensial

• Maksimum dan Minimum

• Fungsi Naik dan Fungsi Turun (Uji Turunan pertama) • Kecekungan (Uji Turunan Kedua)

• Limit Tak Berhingga • Asimtot

• Problem Aplikasi Harga Ekstrim • Laju Terkait (Hubungan Kelajuan)

LAJU TERKAIT

Problem laju terkait – melibatkan laju variabel yang

berkaitan

Misal, 𝑥 dan 𝑦 adalah fungsi-fungsi yang dapat

diturunkan thd. waktu 𝑡, atau 𝑥 = 𝑥(𝑡), dan 𝑦 = 𝑦(𝑡)

Jika 𝑥 dan 𝑦 memenuhi persamaan 𝑥

3

− 𝑦

3

+ 2𝑦 − 𝑥 −

99 = 0, maka turunannya terhadap waktu :

3𝑥

2

𝑑𝑥

𝑑𝑡

− 3𝑦

2

𝑑𝑦

𝑑𝑡

+ 2

𝑑𝑦

𝑑𝑡

−

𝑑𝑥

𝑑𝑡

= 0

Turunan yang diperoleh terkait terhadap variabel 𝑡



disebut laju terkait. Nilai salahsatu laju ini dapat

diselesaikan jika variabel lainnya diketahui. Misal, jika

𝑥 = 5, 𝑦 = 3, dan 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 2, maka 𝑑𝑦/𝑑𝑡 = 148/25

Seseorang melempar batu ke danau dan menyebabkan gelombang air menyebar. Jika radius lingkaran gelombang

bertambah dengan laju konstan

0,5 m/det, berapa cepat luas gelombang air bertambah jika radiusnya 20 meter

1

Laju perubahan yang terkait adalah :

dR/dt = laju pertambahan radius terhadap waktu, dan dA/dt = laju pertambahan luas terhadap waktu

A = R2

dA/dt = 2R (dR/dt) , dimana dR/dt = 0,5 (diketahui)

= 2R (0,5) = R

Ketika R = 20, luas lingkaran gelombang bertambah dengan laju : dA/dt = (20) = 20  62,8 m2_{/ det}

Sebuah balon berbentuk bola dipompa dengan laju 10 m3

/menit. Tentukan laju pertambahan luas permukaan balon saat radiusnya 3m

Laju perubahan yang terkait : dR/dt, dV/dt, dan dS/dt

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑉 =4 3𝜋𝑅3 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 4𝜋𝑅2 𝑑𝑅 𝑑𝑡 → 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 1 4𝜋𝑅2 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑆 = 4𝜋𝑅2 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 8𝜋𝑅 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 8𝜋𝑅 1 4𝜋𝑅2 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 2 𝑅 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑃𝑎𝑑𝑎 𝑅 = 3 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 10, 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎𝑕 𝑑𝑔 𝑙𝑎𝑗𝑢: 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 2 3 10 = 6 2 3 𝑚2/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

2

Sebuah kolam renang segi 4, berukuran10m x 5m, mempunyai kedalaman 3m di satu sisi dan 1m di sisi lainnya (lihat pot. memanjang). Jika air dipompa ke dalam kolam dengan laju 300 liter/menit pada laju berapakah permukaan air akan naik saat kedalaman air 1,5m pada sisi dalam

𝑳𝒂𝒋𝒖 𝒑𝒆𝒓𝒖𝒃𝒂𝒉𝒂𝒏 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒕𝒆𝒓𝒌𝒂𝒊𝒕 𝒂𝒅𝒂𝒍𝒂𝒉: 𝒅𝑽 𝒅𝒕 𝒅𝒂𝒏 𝒅𝒉 𝒅𝒕 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒂𝒊𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒌𝒂𝒊𝒕 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒆𝒍 𝑳 𝒅𝒂𝒏 𝒉: 𝑽 = 𝒍𝒖𝒂𝒔∆ 𝒍𝒆𝒃𝒂𝒓 = 𝟏 𝟐𝑳𝒉 𝟓 𝒎𝟑, 𝒅𝒊𝒎𝒂𝒏𝒂 𝑳 𝒉= 𝟏𝟎 𝟐 → 𝑳 = 𝟓𝒉 𝑽 =𝟓 𝟐 𝟓𝒉 𝒉 = 𝟐𝟓 𝟐 𝒉𝟐 𝑽 𝒅𝒂𝒏 𝒉 𝒎𝒂𝒔𝒊𝒏𝒈 − 𝒎𝒂𝒔𝒊𝒏𝒈 𝒂𝒅𝒂𝒍𝒂𝒉 𝒇𝒖𝒏𝒈𝒔𝒊 𝒕: 𝒅𝒉 𝒅𝒕 = 𝟐𝟓𝒉 𝒅𝒉 𝒅𝒕, 𝒅𝑽 𝒅𝒕 = 𝟑𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒆𝒓 𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕= 𝟑𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟑_𝒎𝟑 𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕 𝑺𝒂𝒂𝒕 𝒉 = 𝟏, 𝟓 𝒎, 𝟑𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟑_{= 𝟐𝟓 𝟏, 𝟓} 𝒅𝒉 𝒅𝒕 → 𝒅𝒉 𝒅𝒕 = 𝟑𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟑 𝟐𝟓 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟖 𝒎/𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕

3

2m 3m _1m L h 10m

Seseorang berdiri di dermaga dan menarik perahu melalui tali dengan laju 2 m/det. Ujung tali yang dipegang berada 3 m di atas muka air. Berapa cepat perahu mendekati dasar dermaga jika panjang tali tersisa 5 m. Diasumsikan tali terikat di dasar perahu tepat pada muka air

𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎𝑕𝑎𝑛:𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑤2_{= 9 + 𝑥}2 _{, 𝑤 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑡} 2𝑤𝑑𝑤 𝑑𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 → 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑤 𝑥 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑆𝑎𝑎𝑡 𝑤 = 5𝑚 → 𝑥 = 25 − 9 = 4𝑚 𝐷𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎𝑕𝑢𝑖 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = −2𝑚/ det (𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 5 4 −2 = −2,5 𝑃𝑒𝑟𝑎𝑕𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑗𝑢 2,5 𝑚/𝑑𝑒𝑡

4

3𝑚 𝑤 𝑥

Sebuah mercu suar terletak 5 km dari garis pantai yang lurus. Lampu sorot pada mercu berputar dengan kecepatan sudut konstan 3 rad/menit. Dengan kecepatan berapa sinar lampu bergerak di sepanjang pantai jika sinar

membentuk sudut 600 _{terhadap garis pantai}

𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎𝑕𝑎𝑛:𝑑𝑥 𝑑𝑡𝑑𝑎𝑛 𝑑𝜃/𝑑𝑡 tan 𝜃 =𝑥 5 → 𝑥 = 5 tan 𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡, 𝑑𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎𝑕𝑢𝑖 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 3 𝑆𝑎𝑎𝑡 ∠𝐴𝑂𝐵 = 600 _{𝜃 = 30}0 ₌𝜋 6 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 , 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 5 𝑐𝑜𝑠2_𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 5(3) cos𝜋₆ 2= 15 3/4= 20 𝑆𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑚𝑝𝑢 𝑏𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟𝑎𝑘 𝑑𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑖 𝑑𝑔𝑛. 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑡. 20𝑘𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

5

Ѳ A B O 𝑥 5km

TUGAS

1. Jika masing-masing sisi kubus bertambah dengan laju konstan 3 cm/detik, berapa cepat volume kubus bertambah jika panjang sisi kubus x = 10 cm ?

2. Sebuah segitiga siku-siku mempunyai sisi miring 45 cm (tetap), dan sisi-sisi tegaknya x dan y. Jika sisi x bertambah pada laju 2 cm/menit, berapa cepat y berubah jika x = 4 cm ?

3. Jika sebuah plat logam dipanaskan, maka akan mengembang. Jika bentuk plat adalah lingkaran dan radiusnya bertambah pada laju 0,02 cm/detik ketika dipanaskan, pada laju berapa luas permukaan atas akan bertambah jika radiusnya 3 cm ? 4. Air mengalir ke dalam sebuah tangki silinder tegak berdiameter

6 m dengan laju 5 m3_{/menit. Tentukan laju peningkatan}

kedalaman air !

5. Pasir dituang ke permukaan tanah, membentuk sebuah kerucut dengan tinggi = ¼ diameter dasarnya. Jika pasir dituang pada laju 20 cm3_{/detik, berapa cepat ketinggiannya meningkat saat}

tinggi = 3 cm ?

6. Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik mempunyai radius R = 4 m dan tinggi h = 16 m. Jika air diisikan ke dalam

tangki dengan laju konstan 16 m3_{/menit, berapa}

cepat muka air akan naik saat kedalaman air 8 m

7. Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik mempunyai diameter 2 m dan kedalaman 4 m diisi air dengan laju 3

m3_{/menit. Saat kedalaman air 3m, diamati muka air meningkat}

0,5 m/menit, hitung laju kebocoran tangki

8. Sebuah corong berbentuk kerucut terbalik mempunyai

diameter 15 cm dan tinggi 15 cm. Corong mengalirkan minyak dengan laju 5 cm3_{/menit. Berapa cepat permukaan minyak akan}

turun jika ketinggiannya 8 cm

R h

9. Sebuah tangga 8 m disandarkan pada dinding vertikal. Jika dasar tangga ditarik menjauhi dinding pada laju 0,5 m/det, berapa cepat ujung atas tangga mengalami penurunan saat dasar tangga berada 3 m dari dinding

10. Seorang anak berjalan dengan laju 4 km/jam mendekati dasar tiang setinggi 20 m. Berapakah laju perubahan jarak (m/det) dari kaki anak ke ujung atas tiang jika ia berada 5 m dari tiang 11. Sebuah lampu jalan berada pada ketinggian 6 m. Seorang anak

(tinggi 1 m) berjalan di bawahnya dan menjauhi lampu dengan laju 40 m/menit, berapa cepat bayangan anak akan

bertambah panjang

12. Sebuah segiempat dengan diagonal 15 cm, salahsatu sisinya bertambah panjang dengan laju 2√5 cm/detik. Tentukan laju perubahan luasnya jika panjang sisi tersebut 10 cm

13. Sebuah segitiga samakaki mempunyai sisi-sisi 4 cm dengan sudut Ѳ diantaranya. Jika Ѳ bertambah dengan laju 20 _per

menit, berapa cepat luas segitiga berubah saat Ѳ = 300

14. Sebuah partikel P bergerak menyusuri parabola y2 _{= 4(3 – x).}

Saat P melintasi titik (-1, 4), ordinatnya bertambah dengan laju 3 satuan/detik. Berapa cepat jarak P ke titik asal akan berubah saat itu

15. Dua buah mobil menuju ke perempatan jalan. Mobil A mengarah ke timur dengan laju 30 km/jam, dan mobil B mengarah ke selatan dengan laju 40 km/jam.

Pada laju berapa kedua mobil saling mendekat saat mobil A berada 80 m dari perempatan dan mobil B berada 100 m dari perempatan

Ѳ

16. Untuk mengangkat barang setinggi 10 m, digunakan katrol dan pekerja menarik ujung tali mundur dengan laju 2 m/detik. Berapa cepat barang akan terangkat jika pekerja berada 5 m dari posisi awal

17. Sebuah kran di pelabuhan sedang memindahkan barang dari sebuah truk pengangkut. Jika secara bersamaan barang diangkat ke atas oleh kran dengan laju 2 m/det dan truk bergerak

dengan laju 5 m/det, berapa cepat barang dan truk akan terpisah 1 detik kemudian. Diasumsikan laju pengangkatan dan truk tetap 18. Seorang prajurit melihat pesawat musuh terbang ke

arahnya pada ketinggian tetap 1500 m. Ketika pesawat terlihat pada sudut 300_{, ia harus menaikkan moncong}

meriamnya pada laju 10 _{per detik agar pesawat}

masuk target. Hitung kecepatan pesawat! Ѳ

1500 m

10m

19. Pada suatu mesin piston, jarak antara pusat batang pendorong dan kepala piston diberikan oleh x = cos Ѳ + √(16 – sin2_Ѳ),

dimana Ѳ = sudut antara engkol dan alur gerak kepala piston. Jika Ѳ

bertambah pada laju konstan 450 _{radian/detik, berapakah}

kecepatan kepala piston saat Ѳ = /6 ?

20. Sebuah benda beratnya K pounds di permukaan bumi. Ketika berjarak R miles di atas permukaan bumi, beratnya :

W(R) = K[4000 / (4000+R)]2 _pounds.

Tentukan laju perubahan berat benda, yang terukur 1000 pounds di permukaan bumi, jika benda tersebut berada 50 miles di atas permukaan bumi dan terangkat dengan laju 10 miles per second

Ѳ x kepala piston busi engkol

SOAL

Misal x dan y adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan thd t. Tentukan dx/dt jika x = 3, y = 4 dan dy/dt = 2

1. x2 _{– y}2 _{= -7 2. x}2 _y2 _{= 432 3. x}2 _y3 _{= 576}

4. Misal x adalah fungsi yang dapat diturunkan dalam t. Saat x = 15, dx/dt = 3. Tentukan dy/dt jika y2 _{= 625 – x}2

---

Tentukan titik kritis fungsi berikut :

1. f(x) = x2 _{– 8x 2. f(x) = 1 – 6x + x}2 _{3. f(x) = x}2/3

4. f(x) = x √(1–x2_{) 5. f(x) = x}2_{/(x-1) 6. f(x) = (x+3)}2 _(x-1)2/3

Tentukan maksimum absolut dan minimum absolut pada soal di atas:

7. Soal 1, [-1, 10] 8. Soal 2, [0, 4] 9. Soal 3, [-1, 1] 10. Soal 4, [-1, 1] 11.Soal 5, [-1, ½] 12. Soal 6, [-4, 5]

13. Sebuah truk mempunyai kecepatan tertinggi 75 miles/jam. Ketika berjalan pada laju x miles/jam, truk memerlukan bahan bakar dengan laju (1/200)(1600/x + x) gallon/mile. Jika jarak yang harus ditempuh adalah 200 miles dan harga bahan bakar $1,60 /gallon, maka biaya C(x) = (1,60)(1600/x + x) (dalam $) Berapa kecepatan truk paling ekonomis, pada interval [10, 75] 14. Jika sopir truk (soal 13) dibayar $8,00 /jam dan gajinya

ditambahkan pada biaya di atas, berapa kecepatan paling ekonomisnya ?

15. Fungsi f(x) = Ax2 _{+ Bx + C mempunyai minimum lokal di x = 0,}

dan grafiknya melalui titik-titik ((0, 2) dan (1, 8). Tentukan A, B, an C