ELEMEN HINGGA
DISUSUN OLEH :
I PUTU LAINTARAWAN, ST, MT. I NYOMAN SUTA WIDNYANA, ST, MT.
I WAYAN ARTANA, ST.
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK
Puji syukur penulis kami panjatkan kehadapan Tuhan yang Maha Esa, atas rahmatNya, penyusunan Buku Ajar Elemen Hingga dapat diselesaikan. Buku Ajar ini disusun untuk menunjang proses belajar mengajar mata kuliah Elemen Hingga sehingga pelaksanaannya dapat berjalan dengan baik dan lancar, serta pada akhirnya tujuan instruksional umum dari mata kuliah ini dapat dicapai.
Diktat ini bukanlah satu-satunya pegangan mahasiswa untuk mata kuliah ini, terdapat banyak buku yang bisa digunakan sebagai acuan pustaka. Diharapkan mahasiswa bisa mendapatkan materi dari sumber lain.
Penulis menyadari bahwa diktat ini masih banyak kelemahan dan kekurangannya. Oleh karena itu kritik dan saran pembaca dan juga rekan sejawat terutama yang mengasuh mata kuliah ini, sangat kami perlukan untuk kesempurnaan tulisan ini. Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih.
Denpasar, Februari 2009 Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...i
DAFTAR ISI ...ii
BAB I PENDAHULUAN ...1
1.1 Konsep Dasar Metode Elemen Hingga ...1
1.2 Langkah-Langkah Metode Elemen Hingga ...2
BAB II MACAM-MACAM ELEMEN ...12
2.1 Elemen Satu Dimensi ...12
2.2 Elemen Dua Dimensi ...12
2.3 Elemen Selaput (Shell) ...13
2.4 Elemen Tiga Dimensi ...13
2.5 Elemen Simetris – Aksial ...14
BAB III PERSAMAAN DASAR PADA METODE ELASTIS ...17
3.1 Pendahuluan ...17
3.2 Persamaan Regangan – Peralihan ...18
3.3 Persamaan Tegangan – Regangan ...19
3.3.1 Distribusi Tegangan Tiga Dimensi ...19
3.3.2 Distribusi Tegangan Dua Dimensi ...22
3.3.3 Distribusi Tegangan Satu Dimensi ...24
3.5 Persamaan Kompatibilitas ...26
BAB IV KONSEP DASAR PERSAMAAN KEKAKUAN...28
4.1 1 Pendekatan Dengan Fungsi Peralihan (Displacement Function) ...28
4.2 Hubungan Antara Regangan {K} dan Derajat Kebebasan Kinematik {Ue} ...29
4.3 Hubungan Antara Tegangan {σ } Dan {Ue} ...30
4.4 Matrix Kekakuan ...31
4.5 Metoda Kerja Virtuil ...32
5.2 Kolom Pendek ...32
5.3 Elemen Balok ...50
5.4 Aliran Dalam Satu Arah ...56
5.5. Aliran Satu Dimensi yang Tergantung Waktu ...62
BAB VI ELEMEN DUA DIMENSI ...72
6.1 Elemen Segitiga ...72
6.1.1 Penyusunan Matrik Kekakuan Elemen ...73
6.1.2 Penyusunan matrik kekakuan struktur ...81
6.2 Elemen Segiempat ...87
DAFTAR PUSTAKA ...90 LAMPIRAN
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Konsep Dasar Metoda Elemen Hingga
Konsep yang mendasari Metoda Elemen Hingga (Finite Element Method untuk selanjutnya disingkat FEM) bukanlah hal yang baru. Prinsip "discretization" dipergunakan hampir pada semua bentuk usaha manusia. Barangkali kebutuhan untuk "discretizing” atau membagi sesuatu menjadi bentuk yang lebih kecil dan dapat dimengerti timbul dari keterbatasan manusia, dalam arti manusia tidak dapat mengerti atau menjangkau sekelilingnya dalam totalitasnya. Dengan perkataan lain kita membagi (discretize) alam atau sesuatu phenomena menjadi bagian-bagian kecil, dan penyatuan secara keseluruhan yang kita bayangkan akan merupakan sesuatu yang dapat menstimulir keadaan tersebut secara menyambung. Umumnya pada pandangan seperti ini akan terjadi suatu unsur penyimpangan atau kesalahan, tetapi prosedur FEM tersebut merupakan pendekatan praktis dengan toleransi penyimpangan yang dapat diterima.
Para sarjana Sipil tertarik untuk menganalisa pengaruh gaya, temperatur dan aliran air atau angin terhadap besaran-besaran seperti deformasi, tegangan, temperatur, tekanan dan kecepatan air dan sebagainya. Sifat-sifat distribusi pengaruh tersebut, dalam suatu massa tergantung daripada karakteristik sistem gaya dan sistem massa itu sendiri.
Tujuan kita adalah untuk mendapatkan distribusi pengaruh-pengaruh tersebut. Untuk memudahkan pengertian, baik kita gunakan istilah deformasi u untuk mengganti istilah ‘pengaruh’. Untuk problem lain mungkin kita gunakan istilah temperatur T atau fluid head ϕ .
Kita anggap bahwa distribusi deformasl u sulit dicari dengan cara konvensional dan kita perlu menggunakan FEM yang berdasarkan konsep "diskretisasl”. Kita bagi suatu massa atas sejumlah daerah-daerah kecil yang disebut "finite element" atau elemen hingga.
Untuk analisa tegangan deformasi dari massa tersebut dalam kesetimbangan akibat beban luar, pengertian kepada elemen ini mengenai penurunan dari hubungan beban - kekakuan bahan. Untuk menurunkan hubungan ini kita gunakan prinsip-prinsip yang mempengaruhi massa itu. Karena tujuan utama kita adalah mencari distribusi dari u, kiti
memilih pola atau bentuk dari distribusi u tersebut atas sebuah elemen.
Gambar 1.1 Distribusi dari perpindahan “u” temperature T atau fluid head ϕ
Didalam memilih bentuk tersebut kita harus mengikuti beberapa aturan, misalnya salah satu aturan mensyaratkan bahwa suatu massa yang dikenai beban agar bisa dianalisa tidak boleh mengalami pecah/putus di suatu daerah. Dengan kata lain, massa itu harus tetap berkesinambungan.
1.2 Langkah-Langkah Metode Elemen Hingga
Perumusan dan penerapan FEM dianggap terdiri darl 8 langkah dasar. Langkah-langkah ini akan dibahas secara umum dengan maksud untuk mempersiapkan kepada pengertian yang lebih detail daripada langkah-langkah tersebut. Pada bab berikutnya akan diberi contoh-contch sederhana dari penerapan langkah-langkah ini sehingga konsepnya akan jelas.
Langkah I : Diskretisasi Dan Pemilihan Konfigurasi Elemen
Diskretisasi adalah pernbagian suatu sistem menjadi elemen-elemen. Diskretisasi ini akan menghasilkan suatu harga pendekatan terhadap keadaan sesungguhnya. Jadi bukan merupakan solusi eksak. Massa dibagi menjadi sejumlah elemen yang kecil yang disebut "finite element". Titik potong sisi-sisi elemen disebut titik nodal dan pertemuan
antara elemen-elemen disebut garis nodal (nodal lines) atau bidang nodal (nodal planes). Kadang-kadang kita perlu menambahkan titik nodal tambahan sepanjang garis nodal atau bidang nodal. Pertanyaan yang timbul dari pekerjaan diatas adalah : "Berapa kecil ukuran elemen harus ditentukan ?"
Hal ini tergantung dari macam elemen yang dipakai, yang sebaliknya tergantung dari karakteristik sistem massanya. Misalnya untuk suatu struktur yang berbentuk batang maka elemen yang dipakai adalah elemen garis. Untuk massa berbentuk plat barangkali bentuk elemen yang dipilih adalah segitiga atau segiempat.
Proses diskretisasi ini mencakup prinsip-prinsip :
- pembagian
- kesinambungan (continuity)
- kompatibilitas
- konvergensi
- kesalahan/penyimpangan
Pada umumnya prinsip pembagian dapat diterapkan untuk semua hal. Segala sesuatu selalu dapat dibagi-bagi menjadi satuan yang lebih kecil.
Tentang prinsip kesinambungan, Aristoteles mengatakan bahwa sebuah massa yang berkesinambungan terbagi atas elemen-elemen. Misalnya antara dua buah titik pada suatu garis terdapat titik-titik yang lain, begitu pula ada suatu saat diantara dua saat yang lain didalam sebuah periode waktu.
Dengan konsep keterbatasan (finiteness), sifat dapat terbagi (divisability) dan kesinambungan (continuity) memungkinkan kita untuk membagi sesuatu menjadi komponen, satuan atau unsur yang lebih kecil.
Untuk menjelaskan pirinsip konvergensi, kita ambil contoh pendekatan luas suatu lingkaran, dengan menggunakan poligon-poligon atau segi ba nyak. Semakin banyak sisi poligon yang kita gunakan, semakin teliti pendekatan kita pada luas yang dicari, atau dengan perkataan lain solusi pendekatan tersebut konvergen mendekati harga yang sebenarnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar 1.2.
Proses diskretisasi tidak lain hanyalah suatu pendekatan. Konsekwensinya, apa yang kita peroleh bukanlah suatu solusi eksak. Harga penyimpangan disebut 'kesalahan' dan kesalahan ini semakin kecil bila elemen yang dipergunakan banyak dan makin kecil. Kesalahan tersebut dapat dinyatakan sebagai :
T = A* - A (1.1)
dimana :
t : kesalahan A* : solusi eksak A : solusi pendelcatan
Langkah 2 : Memilih Model Atau Fungs1 Pendekatan
Pada ini kita memilih sebuah pola atau bentuk untuk distribusi dari besaran yang dicari ( u, T, ϕ , dan sebagainya). Titik-titik nodal dari elemen merupakan titik yang dipilih sebagai fungsi matematis untuk menggambarkan bentuk distribusi dari besaran yang dicari itu pada suatu elemen. Umumnya fungsi polinom dipergunakan sebagai fungsi pendekatan karena sederhana untuk perumusan pada finite element.
Bila deformasi u sebagai besaran yang dicari, fungsi interpoIasi polinom dapat dinyatakan
U = NiU1 + N2u2 + …. + Nmum (1.2)
Disini u1, u2, ……,um adalah deformasi yang dicari pada titik-titik nodal dan N1, N2,
….Nm merupakan fungsi interpolasi. Misalnya. untuk elemen batang dengan dua titik
nodal di ujungnya, kiia dapat mempergunakan u1 dan u2 sebagai besaran yang dicari itu.
Besaran yang tidak diketahui disebut "degree of freedom" atau derajat kebebasan.
Derajat kebebasan dapat didefinisikan sebagal peralihan yang independent yang dapat terjadi pada suatu titik. Sebagai contoh, untuk problem deformasi satu arah pada kolom misalnya, hanya ada satu arah kemana titik tersebut bebas beralih, yaitu searah sumbunya. Maka titik tersebut mempunyai satu derajat kebebasan (one degree of freedom) .
Perlu dicatat bahwa setelah semua langkah FEM dijalankan, akan diperoleh solusi dari besaran yang dicari (u) pada semua titik nodal ( u1, u2, ... um) yang mengikuti
nodal. Ini merupakan akibat dari proses diskretisasi. Gambar (1.3) menunjukkan solusi akhir yang tidak perlu sama dengan solusi eksak.
Namun demikian dalam pendekatan ini kita menghendaki hasil yang dihitung sedekat mungkin dengan solusi eksaknya atau kesalahannya sekecil mungkin.
Langkah 3: Menentukan Hubungan Tegangan – Regangan Atau Gradien - Besaran yang Dicari
Untuk meneruskan ke langkah berikutnya dimana digunakan sesuatu prinsip misalnya prinsip energi potensial minimum untuk mendapatkan persamaan elemen, kita harus mendefinisikan besaran-besaran yang tercakup yang akan muncul dalam prinsip
tersebut. Untuk "Stress-Deformation problem" besaran tersebut adalah regangan dari peralihan titik. Misalnya untuk kasus deformasi yang terjadi hanya dalam satu arah y,
regangan ε y dianggap, cukup kecil dan dapat dinyatakan :
dimana v deformasi dalam arah y. Untuk kasus aliran cairan dalam satu arah, hubungannya adalah gradien ix dari fluid head.
dimana ϕ adalah fluid head atau potensial dan ix merupakan gradien dari ϕ yaitu
perubahan ϕ terhadap jaraknya x. Sebagai ilustrasi sederhana, hukum Hooke dapat
dipakai untuk mendefinisikan hubungan tegangan - regangan pada suatu massa yang masif.
dimana : σ y = tegangan dalam arah vertikal
Ey = modulus elastisitas
Dengan substitusi, diperoleh :
Untuk kasus aliran melalui media berpori maka hukum Darcy kecepatan aliran adalah dapat dinyatakan :
dimana : kx = permeabilitas dalam arah x
ix = gradien
Langkah 4 : Menurunkan Persamaan Elemen
Dengan menggunakan hukum-hukum atau prinsip yang berlaku, kita dapat memperoleh persamaan yang menentukan tingkah laku (behavior), sifat sifat serta keadaan dari elemen. Persamaan yang diperoleh disini adalah dalam bentuk umum sehingga dapat digunakan untuk sernua elemen dalam massa yang telah dibagi-bagi
Ada beberapa cara untuk menurunkan persamaan elemen. Dua cara yang lazim dipakai, ialah Cara Energi dan Cara Residual. Dalam Bab ini hanya dibahas mengenai Cara Energi.
Cara Energi
Cara ini didasarkan pada ide memperoleh kondisi yang konsisten dari suatu massa atau struktur sehubungan dengan nilai-nilai stationer dari besaran skalar yang dimiliki oleh massa/struktur yang dibebani itu. Dalam llmu Teknik, besaran ini adalah suatu ukuran energi atau usaha. Istilah stationer dapat diterapkan pada suatu fungsi F(y) dalam arti nilai maximum, minimum atau titik baliknya. Dalam kondisi tertentu, dapat diambil nilai minimum atau maximumnya saja. Untuk mendapatkan nilai stationer ini dalam matematika kita kenal syarat :
Dalam kasus analisa Stress-Deformasi, fungsi F disini bersifat umum dan sering dinyatakan oleh salah satu fungsi energi. Misalnya kita dapat mendefinisikan F sebagai energi potensial dalam sebuah massa yang dibebani, yang untuk selanjutnya energi potensial ini dinyatakan dengan simbol ∏p.
Energi potensial ∏p adalah jumlah energi regangan dalam (internal strain
energy) U dan potensial dari beban luar Wp, dimana W menunjukkan kerja yang
dilakukan oleh kapasitas beban sebesar p sehingga terjadi deformasi sebesar V, misalnya pada soal pemendekan kolom akibat beban aksial.
Bila kita menerapkan prinsip energi potensial minimum, pada hakekatnya kita
menurunkan ∏p dan menyamakan turunan tersebut = 0.
Simbol ∂ menunjukkan variasi dari energi potensial ∏p, disini kita dapat mengartikan
variasi atau perubahan yang terdiri dari serangkaian turunan partial dari ∏p dan disini
kita gunakan hubungan antara variasi dari potensial akibat beban luar serta kerja yang dilakukan sebagai
dimana tanda negatif timbul karena potensial dari beban luar menurun setelah kerja dilakukan. Dalam kesetimbangan pada kondisi elastis, nilai ∏p adalah minimum.
Karena ∏p = ∏p (u1, u2, ……..un)
dimana : u1, u2, ...un merupakan besaran yang dicari maka penurunan = 0,
mengakibatkan :
Dimana n : banyaknya besaran yang akan dicari. Persamaan elemen :
Sesudah cara tersebut dikerjakan, akan diperoleh persamaan:
dimana dalam pengertian umum :
[K] : element property matrix (matrix sifat elemen)
{q} : vector of unknown at nodal point (vektor besaran yang tidak diketahui
pada titik nodal)
{Q} : vector of element nodal forcing parameters (vektor parameter gaya pada elemen nodal)
Untuk problem kasus analisa tegangan, maka matrix-matrix tersebut dapat diartikan : [K] Stiffness matrix (matrix kekakuan)
{q} Vector of nodal displacement (vektor peralihan titik nodal) {Q} Vector of nodal forces (vektor gaya titik nodal)
Condition).
Tujuan terakhir adalah untuk momperoleh persamaan-persamaan untuk seluruh sistem yang menentukan pendekatan perilaku struktur secara keseluruhan. Sebuah persamaan elemen diturunkan, kita dapat memperoleh persamaan-persamaan yang sama untuk elemen yang lain berturut-turut.
Kemudian persamaan-persamaan tersebut digabungkan untuk mendapatkan persamaan global. Proses penggabungan ini didasarkan pada hukum kompatibilitas atau kontinuitas/kesinambungan. Dalam hukum tersebut diisyaratkan bahwa sistem harus tetap berkesinambungan/kontinu, artinya titik-titik yang bersebelahan akan tetap berada berdampingan setelah beban luar dikerjakan. Dengan perkataan lain, peralihan dua buah titik yang bersebelahan harus sama. Pada akhirnya akan diperoleh persamaan yang dinyatakan dengan matrix:
dimana :
[K] matrix penggabungan (assemblage property matrix)
{r} vektor penggabungan darl besaran yang dicari (assemblage
vector of nodal unknowns)
{R} vektor penggabungan dari beban luar (assemblage of nodal forcing parameter)
Syarat batas adalah kandisi fisik yang membatasi struktur sehingga sistem tersebut dapat berdiri dalam suatu ruang (space) secara unik.
Macarn-macam syarat batas:
1. Syarat batas paksa atau syarat batas geometri (forced or geometric boundary condition) ialah syarat batas yang dinyatakan oleh besarnya peralihan. Contoh: balok diatas 2 perletakan tetap, mempunyai syarat batas di kedua titik ujungnya; yaitu peralihannya = 0.
2. Natural boundary condition, terjadi bila turunan kedua dari peralihan = 0.
Misalnya balok pada dua tumpuan maka di titik tumpuan momennya = 0. (Moemen = turunan kedua dari peralihar).
dilakukan modifikasi dari sistem persamaan yang telah digabungkan. Persamaan-persamaan sekarang mempunyai bentuk yang telah dimodilikasi dan hasil akhir dari modifikasi tersebut dapat dinyatakan:
dimana matrix-matrix tersebut merupakan modifikasi dari matrix-matrix pada persamaan (1.14) terhadap syarat batas.
Langkah 6 Selesaikan Primary Unknown
Persamaan gabungan yang telah dimodifikasi dengan memasukkan syarat-syarat batas itu akan merupakan sistem persamaan linier. Sistem persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara eliminasi Gauss atau iterasi.
Langkah 7 Selesaikan Besaran Kedua
Seringkali besaran lain harus dihitung dari besaran pertama (primary unknown). Dalam hal masalah peralihan tegangan, besaran pertamanya berupa peralihan (displacement) sedangkan besaran kedua berupa regangan, tegangan, momen atau gaya geser.
Untuk persoalan aliran, besaran utamanya adlah potensial di titik nodal sedangkan besaran keduanya, dapat berupa kecepatan aliran atau debit. Pada umumnya besaran kedua itu mudah diperoleh dari hubungan yang didapat pada langkah 3.
Langkah 8 : Interpretasi Hasil
yang penting juga dalam FEM ini adalah mereduksi hasil-hasil dari prosedur perhitungan menjadi suatu bentuk yang dapat segera dipergunakan untuk analysis dan design. Hasil-hasil tersebut biasanya berupa output dari komputer. Kemudian memilih penampang-penampang yang kritis dari sistem dan menggambarkan nilaiinilalnya atau peralihan dan tegangannya sepanjang sistem struktur itu.
Berdasarkan konsep dari Metoda Elemen Hingga, yaitu ProseS Diskretisasi, maka suatu sistem akan dibagi-bagi menjadi elemen-elemen yang lebih kecil. Ada berbagai jenis elemen yang dapat dipakai dan dipilih berdasarkan jenis struktur dan keperluannya. Secara garis besar, elemen dibagi menjadi:
1. Elemen satu dimensi 2. Elemen dua dimensi 3. Elernen selaput (shell) 4. Elernen tiga dimensi 5. Elernen simetris-aksial
Masing-masing jenis elemen diatas masih dapat dikernbangkan lagi menurut kebutuhan, antara lain jenis struktur dan ketelitian yang diinginkan.
2.1 Elemen Satu Dimensi
Elemen satu dimensi dapat dipakai dalam berbagai jenis keperluan. Misalnya untuk menganalisa sebuah portal atau rangka batang rata dan lain lain yang akan dibahas tersendiri.
Gambar 2.1 Portal satu dimensi pada portal kaku dan rangka batang rata Elemen satu dimensi ini dapat dibagi menjadi dua, yaitu:
a) Elemen batang, digunakan bila peralihan yang terjadi hanya menurut satu koordinat.
b) Elemen balok, digunakan bila elemen berbentuk balok dengan 3 translasi dan 3 rotasi pada tiap titik nodalnya.
Titik (1) dan (2) yang merupakan titik hubung dua/lebih elemen disebut Titik nodal luar.
2.2 Elemen Dua Dimensi
Menurut bidang pernbebanannya, maka elemen dua dimensi dibagi menjadi : a) Elemen bidang, bila beban terletak pada bidang elemen (in-place loading), sehingga peralihan terjadi pada bidangnya.
b) Elemen Pelat, bila beban tegak lurus bidang elemen (face loading), sehingga peralihan yang terjadi akan keluar bidang elemen.
Bentuk paling sederhana dari elemen dua dimensi ini adalah elemen segitiga dengan tiga titik nodal, kemudian elemen segiempat dengan empat titik nodal. Bila dikehendaki ketelitian yang lebih tinggi, maka jumlah titik nodal tiap elemen dapat ditingkatkan dan juga dibuat elemen isoparametrik.
2.3 Elemen Selaput [Shell]
Elemen ini mempunyai sebuah arah ukuran yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan ukuran dua arah lainnya, baik untuk beban pada bidangnya maupun beban tegak lurus bidangnya. Dan bidang elemen ini dapat tidak rata atau rata seperti pada elemen bidang atau elemen pelat.
2.4 Elemen Tiga Dimensi
Elemen tiga dimensi merupakan pengembangan dari elemen dua dimensi. Dari elemen segitiga akan berkembang menjadi bentuk elemen limas atau tetrahedron. Dan dari elemen segiempat akan berkembang menjadi bentuk elemen prisma atau hexahedron. Kemudian dengan fungsi bentuk tertentu dapat diubah bentuknya menjadi elemen isoparametrik.
2.5 Elemen Simetris - Aksial
Elemen ini rnerupakan elemen tiga dimensi yang bentuk dan bahannya mempunyai sumbu simetri. Dalam hal ini koordinat silinder dua dimensi dapat dipakai
Karena geometri, beban dan bahan tidak tergantung pada θ maka diferensiasi terhadap
θ sama dengan nol (ini berlaku untuk beban yang juga aksial simetris).
Macam-macam bentuk elemen jumlah titik nodal dan derajat kebebasan tiap elemen dalam bentuk tabel.
BAB III
PERSAMAAN DASAR PADA TEORI ELASTIS
3.1 Pendahuluan
Pada Bab ini akan dibahas masalah distribusi peralihan & tegangan yang banyak dipakai pada rnasalah-masalah struktur.
Pada penentuan masalah distribusi peralihan dan tegangan, baik statis maupun dinamis pada suatu struktur secara analitis akibat beban luar dan suhu, harus dipakai solusi yang berdasarkan persamaan dasar dari teori elastisitas, yang rnemenuhi syarat-syarat batas gaya dan atau peralihan. Persamaan-persamaan itu adalah sebagai berikut.
6 buah persamaan regangan - peralihan 6 buah persamaan tegangan - regangan
Jadi ada 15 persamaan untuk mencari 15 variabel: 3 peralihan, 6 tegangan dan 6 regangan. Pada masalah dua dimensi: 2 peralihan, 3 tegangan dan 3 regangan. Masih ada tambahan persamaan akibat kompatibilitas dan syarat batas.
3.2 Persamaan Regangan - Peralihan
Bentuk deformasi struktur elastis akibat suatu sistem pembebanan dan suhu dapat dinyatakan sebagai berikut.
Regangan dapat dinyatakan sebagai turunan parsial dari peralihan ux, uy, dan uz .
Untuk deformasi yang kecil, relasi regangan - peralihan linier. Kornponen regangan adalah sebagai berikut:
Penjelasan dari notasi diatas dapat dilihat pada gambar (3.1). Terlihat bahwa suatu elemen akan mengalaml dua deformasi geometrik dasar yaitu perubahan panjang dan perubahan sudut. Perubahan panjang dari AB adalah:
dimana regangan normal pada arah sumbu x adalah:
Demikian juga pada arah sumbu y dan sumbu z.
Distorsi sudut dari elemen dinyatakan dalam γ 1 dan γ 2.
Bila regangan geser exy didefinisikan sebagai total deformasi sudut atau jumlah γ 1 dan
γ 2 maka :
Analog untuk bidang YZ dan ZX
3.3 Persamaan Tegangan - Regangan 3.3.1 Distribusi Tegangan 3 Dimensi
Karena penentuan tegangan akibat suhu mempunyai peranan penting pada disain struktur yang terkena peningkatan suhu, maka persamaan tegangan - regangan harus termasuk efek dari suhu. Untuk menjelaskan bagaimana suhu akan memodifikasi persamaan tegangan-regangan, akan ditinjau elemen kecil pada "elastic body" yang mengalami perubahan suhu T.
Bila panjang elemen dl, maka akibat perubahan suhu T, elemen akan memanjang
menjadi (l + α T ) dl, dimana α adalah koefisien pemuaian. Untuk bahan isotrop dan
homogen, koefislen ini tak tergantung pada arah dan posisi elemen, tetapi hanya tergantung pada suhu. Disini masalah dibatasi, hanya pada isotropis. Jadi deformasi
bebas (unrestrained element) adalah
Diambil suatu badan isotropis elastis yang terdiri atas elemen-elemen kubus kecil dengan ukuran yang sama yang membentuk badan yang berkesinambungan (continuous body). Bila suhu pada badan itu meningkat merata, dan tak ada halangan luar pada tepi-tepinya, maka tiap elemen akan memuai secara bebas dan sama ke semua arah, dan tetap membentuk "continuous body".
Tetapi bila suhu tidak meningkat secara merata, besar pemuaian tidak sama untuk tiap elemen, sebanding dengan suhu masing-masing. Elemen yang memuai tidak lagi membentuk "continuous body". Akibatnya regangan elastis harus ada. sehingga tiap elemen akan menahan distorsi dari elemen tetangganya, sehingga tercapai kontinuitas peralihan dari bagian yang distorsi itu. Jadi jumlah regangan pada badan yang terkena panas akan terdiri atas 2 bagian : 1) regangan termal eTij akibat suhu yang merata, 2)
regangan elastis eij yang diperlukan untuk menjaga kontinuitas peralihan akibat
distribusi suhu yang tidak merata.
Bila pada saat yang sama, badan juga menerima boban-beban luar, maka eij akan
meliputi regangan yang timbuf akibat beban-beban itu. Harga eij pada bab sebelumnya
didapat dari jumlah peralihan akibat suatu sistem pembebanan dan distribusi suhu, jadi merupakan regangan total yang dapat dinyatakan dalam regangan elastis eij dan
regangan termal eTij.
Regangan elastis eij berhubungan dengan tegangan menurut hukum Hooke untuk
dimana E modulus Young
v Poisson's ratio
Persamaan di atas menyatakan hukum Hooke secara umurn untuk tiga dimensi pada efek suhu. Persamaan ini dapat diubah untuk mencari harga tegangan:
3.3.2. Distribusi Tegangan Dua Dimensi
Ada dua macam distribusi tegangan dua dimensi, yaitu:
1) Distribusi tegangan bidang, misal: pelat datar tipis dengan pembebanan pada bidangnya.
2) Distribusi regangan bidang, misal: tanggul yang panjang.
Tegangan bidang didasarkan pada asumsi bahwa
σ zz = σ zx = σ xy = 0
dimana z adalah arah yang tegak lurus bidang, sehingga tidak ada perubahan komponen tegangan pada ketebalan pelat. Asumsi ini cukup teliti bila pelat cukup tipis.
Berdasarkan hukum Hooke tiga dimensi, didapat tegangan :
Jadi regangan normal ezz tergantung secara linier pada regangan exx dan eyy dan
karenanya tidak dimasukkan dalam persamaan matrix.
Regangan bidang didasarkan pada asumsi
dimana z menyatakan arah memanjang struktur elastis dengan penampang yang tetap yang menerima beban merata. Dengan asumsi di atas, dihasilkan:
Jadi tegangan normal σ zz pada keadaan regangan bidang tergantung secara linier pada
σ xx dan σ yy. Karenanya σ zz tidak dimasukkan dalam matrix persamaan tegangan -
regangan. Persamaan matrix untuk regangan menjadi :
3.3.3 Distribusi Tegangan Satu Dimensi
Bila semua tegangan nol, kecuali tegangan normal σ xx, maka hukum Hooke
dapat disederhanakan menjadi :
3.4 Persamaan Keseimbangan
Gambar 3.3 Sembilan komponen tegangan
Persamaan keseimbangan dalam yang berhubungan dengan sembilan komponen tegangan (tiga tegangan normal dan enam tegangan geser ), diturunkan dari peninjauan keseimbangan momen dan gaya-gaya yang bekerja pada kubus kecil seperti tergambar. Tinjau dulu momen terhadap sumbu X, kemudian Y dan terakhir Z. Terlihat bahwa dengan tidak adanya momen body, maka σ ij = σ ji.
parsial :
dimana Xx , Xy dan Xz adalah "body forces" pada arah X, Y dan Z. Persamaan diatas
harus dipenuhi pada semua titik pada body. Tegangan σ ij, berubah sepanjang body, dan
pada permukaannya harus dalam keadaan seimbang dengan gaya luar yang bekeria pada permukaan. Bila komponen dari gaya, permukaan pada arah ke i dinotasikan dengan
φ i, maka karena adanya keseimbangan pada permukaan akan menghasilkan persamaan
berikut :
dimana l, m, n menyatakan arah kosinus untuk normal mengarah keluar pada permukaan. Persamaan diatas didapat dari uraian gaya menurut gambar bawah. Pada keadaan tegangan bidang, menjadi :
Gaya permukaan φ i dan gaya body Xi harus memenuhi persamaan keseimbangan
keseluruhan, yaitu semua gaya-gaya luar, termasuk gaya-gaya reaksi. Bila gaya-gaya luar terdiribatas suatu sistem dari beban-beban terpusat Pi dan momen Mi selain φ dan Xi , maka harus dipenuhi persamaan berikut:
Tiga persamaan pertama diatas menyatakan kondisi dimana jumlah semuua gaya yang bekerja pada arah X, Y dan Z harus sama dengan nol. Dan tiga persamaan berikutnya menyatakan kondisi momen nol terhadap sumbu-sumbu X, Y dan Z.
3.5 Persamaan Kompatibilitas
Regangan dan peralihan pada "elastic body" harus berubah secara kontinue, dan ini akan menghasilkan kondisi kontinue dari turunan peralihan dan regangan. Peralihan ui dapat dieliminasi dan didapat 6 persamaan kompatibilitas sebagai berikut :
Untuk masalah tegangan bidang dua dimensi, ke enam persamaan itu direduksi sehingga tinggal satu persamaan :
KONSEP DASAR PERSAMAAN METODA KEKAKUAN
4.1 Pendekatan Dengan Fungsi Peralihan (Displacement Function)
Pada FEM titik-titik akan beralih tempat, sehingga terjadi suatu peralihan tempat atau displacements. Peralihan adalah suatu vektor dan karenanya secara umum mempunyai 3 (tiga) komponen yaitu u, v dan w. Ketiga besaran skalar ini didekati dengan fungsi yang merupakan fungsi interpolasi antara peralihan titik-titik nodal yang dipilih pada tepi elemen. Biasanya sistem koordinat dipilih koordinat Kartesian sesuai dengan hukum tangan kanan yang berputar ke kanan, X, Y, Z. Ketiga komponen peralihan itu dinyatakan dalam kolom matrix sebagai berikut:
dimana : u = deformasi peralihan dalam arah X v = deformasi peralihan dalam arah Y w = deformasi peralihan dalam arah Z
u, v dan w diasumsikan didekati oleh polinom yang biasanya berderajat rendah. Pada struktur bidang menjadi :
dalam bentuk matrix :
dimana :
[p] = matrix fungsi xi, yj, zk
(a) = matrix koefisien Misalnya :
Maka :
Kemudian {V} dinyatakan dalam fungsi dari peralihan titik nodal elemen {ue}.
dimana indeks T menunjukkan kedudukan transpose dan n adalah jumlah titik nodal elemen. Persamaan (4.6) memenuhi fungsi peralihan, maka dapat dinyatakan hubungannya dengan {a} :
Setelah diinvers dihasilkan :
Kemudian persamaan (4.3) dapat dirubah menjadi :
Dimana :
[N] = matrix dari fungsi bentuk (shape function)
Elemen-elemen dari {ue} disebut derajat kebebasan kinematis / DOF
4.2 Hubungan Antara Regangan {K} dan Derajat Kebebasan Kinematik {Ue}
{ε }adalah matrix kolom untuk regangan dan perubahan sudut.
Polinorn (4.1),dan (4.2) dapat dideferensier, atau persamaan (4.3), untuk kemudian dipakai persamaan (4.7), sehingga hubungan antara {ε } dan {ue} yang diinginkan
dapat dicari. Dapat juga persamaan (4.9) yang langsung dideferensier, sehingga didapat:
dimana. [b] disebut matrix diferensi
4.3 Hubungan Antara Tegangan {σ } Dan {Ue}
Matrix kolom untuk tegangan adalah :
Hubungan {σ } dan {ε } dinyatakan dalam :
dimana [D] = matrix bahan.
Pada bahan elastis isotrop dan keadaan bidang.:
dimana E = modulus elastisitas v = koefisien Poisson.
Pada masalah bidang dibedakan masalah tegangan bidang dan masalah regangan bidang.
Hubungan antara {σ } dan {ue} didapat dari eliminasi ε antara persamaan (4.12) dan
Hasil kali matrix [D] [b] disebut matrix tegangan elemen.
4.4 Matrix Kekakuan
Matrix kekakuan menunjukkan hubungan antara gaya noda suatu elemen {Fe}
dan peralihan nodal suatu elemen {ue}. Matrix {Fe} adalah:
dimana Fe
xi = Gaya yang bertitik tangkap pada titik nodal i dari suatu elemen e
menurut arah positif dari sumbu X.
Gaya titik nodal didefinisikan sebagai energi ekivalen dengan tegangan-tegangan yang ada didalam elemen.
Dapat dimengerti bahwa gaya titik nodal di tempat tegangan-tegangan suatu elemen memancar keluar bidangnya, dan didefinisikan sebagai bagian dari tegangan {σ } yang bertitik tangkap di titik-titik dari bidang elemen.
Dari definisi itu didapat :
dimana
[S] biasanya matrix bujursangkar yang menyatakan besaran geometris dari elemen.
Dengan mengeliminasi (a) dari persamaan (4.18) dan persamaan (4.16), didapat :
atau :
yang menyatakan matrix kekakuan :
atau disebut matrix kekakuan elemen.
Jadi [ke] adalah hasil kali tiga buah matrix berikut:
[S] : yang menunjukkan ikatan antara{Fe} dan {σ }
[D]: matrix bahan yang menunjukkan ikatan antara {σ } dan {ε }
4.5 Metoda Kerja Virtuil
Biasanya, untuk menyusun [ke] dipakai metoda kerja virtuil. Pertama ditinjau
struktur elastis linier dari bahan elastis linier. Energi regangan U total dari elemen
hingga adalah sama deagan pekerjaan luar Wp yang merupakan fungsi dari {Fe}.
atau :
dimana diasumsilcan bahwa perilaku struktur adalah elastis linier seperti bahannya. Ruas ke satu diambil tidak tergantung pada pembebanan dan ruas ke dua dari persamaan (4.23) menunjukkan bahwa semua gaya bekerja simultan. Berdasarkan linieritas perilaku struktur dapat dinyatakan :
dimana [ke] merupakan matrix konstanta yang bujursangkar yang disebut kekakuan.
Dari hukum timbal-balik Maxwell,maka untuk [ke] yang simetris, didapat:
Dari persamaan (4.16) , (4.23) , (4.24) kemudian dengan memperhatikan [D] dari persamaan (4.15) dan [ke] dari persamaan (4.25) dan kemudian dengan {ue} dikeluarkan
dari tanda integrasi, didapat:
Kedua suku adalah bi-kwadratis dalam {ue}. Turunan terhadap {ue} menghasilkan :
Dengan mengeluarkan harga {ue} didapat :
Sedangkan berdasarkan kerja virtuil dapat diturunkan sebagai berikut :
Diambil suatu harga variasi sebarang dari {ue} ialah {δ ue}, yang kompatibel dengan
Variasi dari usaha dalam δ U sama dengan variasi usaha luar δ Eu.
yang merupakan persamaan kerja virtuil. Persamaan (4.30) sekarang menjadi :
atau setelah ditranspose didapat :
{δ ε }T diganti dengan apa yang dinyatakan dalam persamaan (4.29), dan oleh
persamaan (4.16), maka persamaan, (4.32) menjadi:
Karena {δ u}T mempunyai harga yang sembarang, maka:
dimana harga [ke] seperti yang dinyatakan dalam persamaan (4.28) terlihat lagi.
Perlu diperhatikan bahwa selama terjadi peralihan virtuil, tegangan {σ } dan gaya-gaya luar {Fe} tetap konstan. Terlihat bahwa sebetulnya adalah integrasi dari harga
diferensial {σ }T {δ ε } atau {δ ε }T {σ } , sedangkan δ W
ELEMEN SATU DIMENSI
6.1 Pendahuluan
Akan kita tinjau persoalan satu dimensi untuk dapat menjelaskan detail dari langkah-langkah FEM seperti yang telah dijelaskan dalam bab I serta bab-bab yang lain, sehingga konsepnya dapat dimengerti. Cara penjelasan rinci adalah dengan menggunakan cara manual.
6.2 Kolom Pendek
Problem pertama kita ambil sebuah kolom pendek yang dikenai beban aksial tekan. Dalam kondisi ini dapat kita anggap bahwa kolom dapat diganti dengan sebuah garis yong mempunyai kekakuian aksial sebesar EA. Dalam pembahasan ini, juga akan dijelaskan prinsip energi. Sekarang kita jalankan langkah-langkah FEM pada persoalan ini.
(a) kolom dalam keadaan sesungguhnya (b) idealisasi dalam satu dimensi (c) diskretisasi
Gambar 5.1 Kolom dengan beban aksial
Langkah 1 Diskretisiasi Dan Pemilihan Konfigurasi Elemen
Sebelumnya perlu dijelaskan koordinat atau geometri dari kolom dengan menggunakan sistem koordinat yang memudahkan perhitungan. Dalam pendekatan persoalan satu dimensi, cukup digunakan satu koordinat sepanjang arah vertikalnya. Kita sebut sebagai sumbu Y. Karena sistem koordinat ini digunakan untuk meninjau seluruh kolom (atau struktur) maka disebut sistem koordinat global.
Sekarang kita bagi-bagi kolom menjadi beberapa bagian kecil yang disebut elemen. Hingga. Perpotongan dari elemen-elernen disebut titik nodal.
Pada tahap ini perlu dijelaskan sistem koordinat lokal atau sistem koordinat elemen. Banyak keuntungan yang akan didapat dengan menggunakan sistem koordinat lokal ini terutama untuk menurunkan persamaan elemen. Khususnya pada persoalan 2 atau 3 dimensi, pekerjaan penurunan atau integrasi yang diperlukan menjadi sangat sederhana. Dengan menggunakan sistem koodinat lokal ini mempermudah formulasi persamaan elemen.
Koordinat Global dan Koordinat Lokal
a) Konsep sistem koordinat global don lokol b) Koordinat lokal diukur dari titik nodal I c) Koordinat Jokal diukur deri titik nodal tongsh 3
Gambar 5.2 Koordinat global don lokal
Suatu survai geodesi dapat menggunakan penentuan tempat titik P dari A dengan menentukan jaraknya terhadap A. Anggaplah A sangat jauh dari P, maka sulit untuk mencari relasinya dengan A. Untuk itu dipilih titik B yang telah tersedia dan lokasinya dapat ditentukan dari A sebagai titik referensi untuk P. Dalam hal ini titik B dapat dipilih berbeda-beda untuk setiap titik yang akan ditentukan lokasinya.
penggunaan sistem koordinat lokal adalah sama dengan keperluan diatas.
Pada gambar 5.2.b dan gambar 5.2.c kita akan menggunakan sistem koordinat lokal untuk suatu elemen batang pada kolom tersebut. Koordinat global diukur dari dasar kolom. Perhatikan bahwa, titik I adalah analog dengan titik B, dan titik dasarnya
analog dengan titik A. Bila koordinat lokalnya disebut Ymaka koordinat global dari
setiap titik pada elemen dapat dinyatakan:
Sering untuk mudahnya koordinat ini dibuat tak berdimensi. Prosedur ini adalah untuk memudahkan integrasi dan differensiasi pada perhitungan berikutnya. Untuk
menondimensionalkan koordinat ini, kita bagi Y dengan panjang elemen:
dimana : s = koordinat tokat tak berdimensi I = panjang elemen
Y1 dan Y2 = koordinat global dari nodal 1 dan 2.
dengan demikian nilai s bervariasi dari 0 di titik 1 dan 1 di titik 2. alternatif lain adalah menggunakan titik tengah 3 diantara kedua titik nodal 1 dan 2. Disini koordinat lokalnya dinyatakan :
Harga L dengan demikian akan bervariasi dari -1 di titik 1, 0 di titik 3 dan 1 di titik 2. Hal penting dari koordinat lokal ini ialah bahwa ia ditulis dalam bentuk tak berdimensi yang harganya hanya bervariasi dari 0 sampai 1 atau dari -1 sampai 1. Keadaan ini memudahkan pekerjaan integrasi.
Langkah 2 Memilih Modfl Atau Fungsi Pendekatan dari Besaran Yang Dicari (Peralihan)
Karena sulit menentukan closed form atau solusi eksak, pada tahap ini kita harus menggunakan pendekatan fungsi matematis secara apriori untuk menyatakan bentuk,
deformasi sistem akibat pembebanan. Dalam memilih fungsi ini, kita harus mengikuti hukum-hukum, prinsip-prinsip dan syarat batas yang terkandung dalam masalah ini.
Fungsi yang umum digunakan adalah fungsi polinom. Pada tahap awal dari FEM, fungsi polinom yang dipergunakan dinyatakan dalam generalized coordinate tetapi saat ini dalam banyak masalah FEM, digunakan fungsi interpolasi.
Fungsi polinom yang sederhana, yang dapat kita gunakan untuk memberikan variasi peralihan titik secara linier ialah
atau dalam bentuk matrix
atau
Dimana:
α 1, α 2 = koordinat umum (generalized coordinate)
y = koordinat di suatu titik pada elemen v = peralihan di titik nodal dalam arah y
Catatan : Karena disini yang ditinjau hanyalah peralihan dalam arah sumbu y, maka, matrix peralihan {ue}dapat dinyatakan dengan v saja.
Maka :
yang menunjukkan bahwa α merupakan fungsi dari y1, y2, v1 dan v2. Perhatikan bahwa
harga-barga α berkaitan dengan harga-harga v1 dan v2 tapi bukan fungsi eksplisit dari
disini timbul pengertian model fungsi interpolasi. Dalam persamaan ini N1 dan N2
disebut fungsi interpolasi atau fungsi bentuk atau fungsi dasar. Peralihan v di sembarang titik pada elemen dinyatakan dengan :
N1 disebut matrix interpolasi atau matrix bentuk. Sifat dari fungsi interpolasi adalah
bahwa jumlahnya = 1. Jadi N1 + N2 = 1
Fungsi Interpolasi
Karena tujuan kita dalam analisa FEM adalah mencari peralihan titik-titik nodal v1 dan v2, kita dapat memanfaatkan model pendekatan dengan fungsi interpolasi. Dalam
persamaan diatas, {v} dinyatakan langsung peralihan titik nodal (v1 dan v2). Begitu pula
penggunaan fungsi interpolasi mempermudah kita melakukan differensiasi dan integrasi yang diperlukan dalam perumusan finite elements.
Suatu fungsi interpolasi mempunyai harga = 1 untuk derajat kebebasan yang berhungan dengannya dan berharga = 0 untuk semua derajat kebebasan yang lain.
Gambar 5.3c dan gambar 5.3d menunjukkan harga N1 dan N2 sepanjang elemen, fungsi
N1 bertalian dengan titik 1 dan fungsi N2 bertalian dengan titik 2.
Hubungan antara koordinat global dan koordinat lokal
Terdapat hubungan antara koordinat global (y) dan koordinat lokal ( s atau L ) yang dapat dinyatakan dengan :
dimana yn merupakan vektor dari koordinat titik nodal. Bandingkan dengan persamaan yang menyatakan peralihan v di suatu titik:
Perumusan elemen disini adalah untuk koordinat dan peralihannya. Elemen ini disebut elemen isoparametrik.
Variasi Sifat-Sifat Elemen
Kita dapat menurunkan elemen-elemen dengan variasi yang berubah secara linier untuk modulus elastisitasnya (E) maupun luas penampangnya (A) dengan :
Syarat Fungsi Pendekatan
Agar depat diterapkan sesuai dengan hukum-hukum dan prinsip yang mengatur sesuatu problem, maka suatu fungsi pendekatan harus memenuuhi syarat :
1. Kontinu dalam setiap elemen. Fungsi linier untuk v adalah kontinu sebab tidak memberikan loncatan maupun patahan sepanjang elemen.
2. Harus memenuhi syarat kompatibilitas antar elemen. 3. Harus menjamin konvergensi.
Dalam hal deformasi aksial suatu kolom, kondisi tersebut mengatur bahwa dengan memperkecil elemen maka regangannya, ε y = dv/dy dalam tiap elemen
semakin mendekati harga yang konstan.
Langkah 3: Tentukan Hubungan Tegangan - Regangan
Dalam kasus yang kita bahas, gaya aksial pada kolom akan menimbulkan regangan atau deformasi dan tegangan. Hubungan antara kedua besaran diatas dapat dinyatakan dengan:
dimanaε y = regangan aksial sepanjang sumbu y.
Karena kita akan menggunakan koordinat lokal L, dapat digunakan dalil rantai dalam diferensial:
Untuk problem 2 dimensi maka dimensi matrix B akan menjadi lebih besar.
Hubungan tegangan regangan
Anggap hukum Hooke berlaku σ y = Ey . ε y
dalam notasi matrix :
[C] = matrix tegangan-regangan (untuk problem 1 dimensi, hanya berisi satu besaran skalar).
Langkah 4 Turunkan Persamaan Elemen
Prinsip energi potensial minimum adalah dalam suatu massa elastis yang dibebani dalam keadaan setimbang, energi potensial dari massa yang mengalami deformasi ini akan mencapai suatu harga stationer.
Dalam hal ini, nilai stationernya adalah minimum. Energi potensial (ΠP) terdiri
dari dua komponen, energi regangan U dan potensial Wp dari beban luar:
ΠP = U + Wp
Energi regangan dapat diinterpretasikan luas dibawah kurva tegangan-regangan (Gambar 5.4).
Secara maternatis, dengan meminimalisir ΠP kita mendeferansialkan atau mengambil
variasi ΠP terhadap peralihan v. Sementara itu kita anggap bahwa gaya yang bekerja
konstan, dan dapat kita cari hubungan variasi usaha (kerja) yang dilakukan gaya tersebut W dan potensial dari gaya sebagai : ∂W = -∂Wp dimana menunjukkan suatu
variasi. Untuk problem ini dapat kita anggap sebagai rangkaian dari diferensial parsiil. Tanda negatif menunjukkan bahwa potensial dari beban luar ΠP menurun / hilang
menjadi kerja oleh beban tersebut.
Prinsip energi potensial minimum dapat dinyatakan :
dimana W negatif menunjukkan kerja beban luar mengurangi / menurunkan E potensial, menunjukkan variabel lebih dari 1. Kita elemen kolom pada Gambar 3.5
Catatan : dalam soal kita Fy tidak ada.
Y = berat sendiri persatuan volume (body force)
T y = beban permukaan persatuan luas = traction free = surface loading
Si = bagian dari permukaan dimina T y bekerja
Pil = besarnya gaya pada titik nodal
vi = peralihan titik yang bersangkutan dengan Pi
M = banyaknya titik nodal pada elemen dimana ada gaya Pi, disini M = 2
Harga Pil merupakan kontribusi dari harga gaya luar yang bekerja pada sistem pada
elemen yang bersangkutan. Untuk problem diatas, dapat kita anggap bahwa harga A adalah konstan, sehingga persamaan tersebut dapat disederhanakan :
Dimana T y = beban permukaan persatuan panjang
Catatan.
1) Persamaan diatas merupakan persamaan kwadrat dalam v1 dan v2.
dimana :
[K] matrix kekakuan dari elemen dan dengan pendekatan linier, matrix ini identik dengan matrix dari koefisien pengaruh kekakuan didalam analisa struktur dengan matrix.
{q} vektor beban pada elemen, terdiri dari berat sendiri (body force), gaya-gaya pada permukaan (surface traction) dan gaya-gaya di titik sambungan (joint load)
Dalam pembicaraan dimuka, persamaan elemen diturunkan dengan mudah
karena hanya ada 2 buah variabel v1 dan v2. Dalam persoalan yang lebih komplex,
variabelnya akan semakin banyak dan umumnya hasil perhitungan ditulis langsung dalam persamaan matrix. Misalnya dari persamaan diatas :
Tugas utama dalam finite elemen dapat dianggap penurunan dari persamaan elemen. Langkah-langkah berikutnya terdiri dari penggabungan, dan penggunaan dari solusi persamaan linier secara aljabar.
Langkah 3 Gabungkan Persamaan-Persamaan Elemen Membentuk Persamaan Global
sebuah elemen perlu ditegaskan bahwa kesetimbangan dari seluruh struktur lebih perlu mendapatkan perhatian. Konsekwensinya, kita dapat memandang energi potensial dari totalitas struktur dan bisa diperoleh juga nilai stationernya. Prosedur penggabungan persamaan-persamaan elemen dapat juga diinterpretasikan melalui proses minimalisir energi potensial secara total. Sebagai contoh, kolom yang kita miliki dapat dibagi atas 3 elemen dengan 4 titik nodal.
Dalam persamaan tadi diasumsikan A , E , I , T dan Y mempunyai harga yang
I dimana :
[K] = matrix kekakuan gabungan {r}T = {v
1 v2 v3 v4} = vektor peralihan titik nodal gabungan
[R] = vektor beban gabungan
Cara kekakuan langsung
Penggabungan disini adalah berdasarkan syarat kompatibilitas antar elemen, yaitu bahwa peralihan disuatu titik nodal pada dua elemen yang berturutan adalah sama. Persamaan-persamaan elemen adalah
Gambar 5.7 Elemen Balok
Pada gambar 5.7 terlihat sebagian balok yang terletak antara titik 1 dan 2 sepanjang l, dan teletak pada bidang X - Z. Diasurnsikan bahwa A adalah luas penampang dan I momen inersianya. Tiap titik pada balok akan beralih tempat akibat pembebanan. Vektor peralihan pada keadaan bidang akan mempunyai dua komponen u dan w menurut arah sumbu X dan Z.
{ }
= v u v (5.24)Ternyata bahwa peralihan u tidak tergantung kepada peralihan w. Bila hanya lendutan yang diperhatikan, maka peralihannya menjadi :
Dari syarat batas di jepitan diketahui bahwa :
Jadi baris kesatu dan baris kedua serta kolom kesatu dan kolom kedua dapat dihapuskan. Persamaan menjadi
b) Ralok di atas 2 perletakan bebas dengan beban terbagi rata
Gambar 5.8 Balok sederhana dengan beban terbagi rata
Untuk memecahkan persoalan ini dipakai prinsip kerja virtuil. Dikerjakan perpindahan virtuil W yang selaras dengan syarat-syarat batasnya. Didapat kerja virtuil luar sebagai berikut:
Berikut ini diberikan contoh beberapa balok. a) Balok terjepit sebelah dengan beban terpusat
Gambar 5.9 Balok terjepit dengan beban terpusat Dari persamaan usaha luar = usaha dalam, didapat:
dimana:
δ ue adalah perpindahan virtuil
Jadi harga yang didapat 20% lebih kecil dari lendutan sebenarnya. Kesalahan ini disebabkan hal-hal sebagai berikut :
Lendutan W diatas didapat dari persamaan : {W} = [N] – {ue}
dimana [N] mengandung elemen-elemen yang merupakan fungsi x pangkat 3, atau dengan perkataan lain, W didapat dari polinom berderajat 3. Sedangkan lendutan dari perhitungan teoritis/eksak, didapat dari sebuah polinom berderajat 4.
Pada penjabaran pekerjaan luar maupun pekerjaan dalam, dipakai W sebagai fungsi x derajat 3. Dengan demikian, pemilihan polinom derajat rendah pada metoda elemen hingga menyebabkan energi tidak dihitung dengan benar. Hasil yang didapat adalah perpindahan yang lebih kecil dari seharusnya. Kesalahan ini juga dapat dikurangi dengan membagi balok menjadi elemen-elernen yang lebih kecil. Elemen balok hanya dapat memberikan hasil bila pembebanan ada di titik-titik nodal harus ditransformasikan dulu menjadi beban titik nodal.
5.4 Aliran Dalam Satu Arah
Aliran panas atau cairan merupakan yang sering dijumpai dalam bidang teknik. Umumnya persoalan aliran teriadi pada tidak dimensi, tetapi dalam beberapa hal dapat kita anggap bahwa aliran tersebut terjadi dalam satu dimensi. Cantoh yang jelas misainya aliran panas melalui sebuah batang atau aliran air/cairan didalam sebuah pipa.
Persamaan diferensial yang berlaku untuk aliran konstan dalam satu arah (one-dimensional steady state flow) dapat dinyatakan :
dimana :
kx = sifat material yang menjadi medium aliran
= koefisien permeabilitas untuk aliran pada media berpori = kanduktivitas panas untuk aliran panas
ϕ e = potensial, dapat berupa (fluid) head atau temperatur tergantung persoalannya.
Gambar 5.10 Diskritisasi pada elemen aliran Untuk problem aliran,
ϕ = potensial = fluid head = p/r + z p = tekanan
r = density
z = ketinggian terhadap bidang referensi kx = koefisien permeabilitas dalam arah x
f (x) = q(x)= fluid flux intensity
LANGKAH I : Menentukan konfigurasi elemen / diskritisasi
LANGKAH 2 : Menentukan fungsi pendekatan Anggap model pendekatan linier :
LANGKAH 4 : Turunkan persamaan elemen.
LANGKAH 6 : Selesaikan besaran pertama
Dalam hal ini besaran pertamanya adalah potensial pada titik-titik nodal. Untuk menyelesaikan langkah ini, akan digunakan contoh perhitungan :
A = 1,0 cm2 kx = 1 cm/dt q = 0 cm2/dt l = 10 cm Syarat batas ϕ (x=0) = 2 cm ϕ (x=h) = 1 cm Penyelesaian
Persamaan elemen yang diperoleh, misalnya untuk elemen 1,
demikian pula untuk elemen yang lainnya, sehingga penggabungan persamaan-persamaan elemen akan menghasilkan
Hasil perbitungan FEM disini memberiken angka yang sama dengan solusi eksaknya Hal ini karena sifat material dan luas penampang pipanya serba sama dan hokum Darcy
material yang dilalui aliran non-linier maka distribusi dari dan v juga tidak linier.
5.5. Aliran Satu Dimensi yang Tergantung Waktu
Dalam bagian ini akan kita pelajari masalah dimana ternperatur atau tekanan, air bekerja disamping beban luar. Pengaruhnya dapat terjadi dangan 2 cara:
1. Bila besarnya temperatur atau tekanan air diketahui, maka persoalannya lebih sederhana yaitu dengan memasukkan pengaruhnya ke dalam formulasi elemen hingga, sebab dapat disuperposisikan. Persoalan ini disebut "uncoupled”. 2. Kasus yang sering terjadi adalah bila temperatur atau tekanan air tidak
diketahui sebagaimana halnya peralihan (displacement). Disini perlu diperhitungkan interaksi atau “coupling” antara deformasi dan pengaruh panas atau pengaruh tekanan air.
Kasus uncoupled
Sebagai ilustrasi, anggaplah pengaruh dari perubahan temperature yang diketahui besarnyaT memberikan regangan yang diketahui pula (hat gambar 5.13)
Perhatikan suku-suku yang berkaitan dengan gaya-gaya luar adalah sama dengan penurunan sebelumnya. Suku pertama yang berkaitan dengan energi regangan dapat ditulis 3:
apa-apa bila dideferensialkan. Jadi satu-satunya suku baru yang muncul adalah suku kedua.
Disini U2 adalah bagian dari energi regangan yang dihasilkan dari sedang U1
adalah energi regangan yang dihasilkan akibat beban luar. Pada penurunan / diferensiasi
ΠP terhadap v1 dan v2 diperoleh :
{Qo} disebut additional, correction, initial atau "residual" load vector. Jadi regangan
yang besarnya diketahui ini akibat perubahan temperatur, seolah-olah menjadi tambahan beban yang disuperposisikan pada beban luar {Q}.
Konsep initial load vector ini akan menjadi jelas dengan contoh sebagai berikut : Pada gambar 5.13, akan dicari persamaan elemen untuk memasukkan pengaruh dari perubahan temperatur sebesar 1000C.
ε y0 = α ’ . T = 0,0000065 X 100
= 0.00065 cm/cm
Regangan tersebut sama dengan jumlah regangan akibat bebau luar ε y = -0,0005 dan
Sebagai illustrasi, akan dikemukakan 2 persoalan yang mempunyai persamaan yang serupa, yaitu pengaruh temperatur dan persoalan konsolidasi. Kedua persoalan dapat ditampilkan dengan persamaan diferensial.
Dimana:
T* : temperatur atau tekanan air
α : termal diffusivity = K/ρ C K : konduktivitas panas ρ : berat isi C : spesifik heat x : koordinat t : waktu
(Bedanya terletak pada suku di sebelah kanan yang menunjukkan ketergantungan waktu). Untuk persoalan yang menyangkutkan lapisan-lapisan dan tidak homogen se-ring persamaan di atas dinyatakan
Untuk "time dependent problem", syarat batas tambahan berupa kondisi awal sebagai keadaan mula-mula dari persoalan tersebut yang diketahui. Sedang untuk bab 3 dan 4 yang berupa persoalan statis atau "time independent problem", maka syarat batas itu tidak diperlukan.
Akan dijelaskan dulu langkah-langkah pada problem panas kemudian aplikasinya pada konsolidasi.
LANGKAH I : Diskretisasi dan konfigurasi elemen. Media dibagi atas elemen-elemen batang. LANGKAH 2: Memilih model pendekatan.
Gunakan model linier untuk menyatakan temperatur didalam elemen.
LANGKAH 3 : Cari hubungan gradien - temperatur.
q’ = kecepatan aliran panas dalam arah x [Btu/m) k = konduktivitas panas
A = luas penampang tegak lurus arah x LANGKAH 4 : Turunkan persamaan elemen
tertentu. [N] = fungsi koordinat yang konstan, tidak tergantung waktu.
Sekarang turunkan Ω terhadap T1 dan T2. Perbedaan penting yang perlu dicatat disini
dibandingkan dengan pembicaraan pada bab 3 dan bab 4, terletak pada variasinya. Disini terdapat penurunan terhadap waktu T1 dan T2 . Pada penurunan terhadap T1
Dalam hal media yang berlapis-lapis maka formulasi berdasarkan cara di atas akan menghasilkan persamaan elemen:
masing-masing berlaku untuk problem panas dan konsolidasi. Dalarn persoalan konsolidasi maka besaran temperatur diganti dengan tekanan air pori Perhatikan bahwa q dalam kedua persoalan mempunyai satuan yang lain.
[Kα ] = element thermal diffusivity matrix
[Kt] = matrix elemen sehubungan dengan ketergantungan pada waktu
{Q(t)} = vektor nodal elemen dari paramenter gaya (flux) yang dapat juga tergantung waktu.
Penyelesaian dalam waktu
Turunan tambahan diperlukan untuk kasus time-dependent karena munculnya suku kedua, dari ruas kiri. Penurunan tersebut dapat dilakukan dengan cara finite-difference.
Turunan pertama, dapat dilakukan dengan :
dimana ∆ t = penambahan waktu (yang dapat kita pillh) /(time increment).
Pada hakekatnya persamaan ini memberikan kemiringan dari tali busur AB sebagai pendekatan pada turunan kontinu
t T
∂ ∂
. Untuk kedua titik nodal pada elemen
Untuk suatu saat t , suku di ruas kanan biasanya diketahui, {Q(t+∆ t)} dari fungsi gaya (forcing function) dan suku kedua dari harga T pada saat sebelumnya. Karena kondisi: awal diberikan, maka harga T mula-mula diketahui pada tiap titik saat t = 0. Jadi
ELEMEN DUA DIMEN81
6.1 Eleman Segitiga
Untuk memperjelas permasalahan, akan diberikan contoh sebuah struktur segitiga yang terletak di bidang vertikal, dimana sisi-sisi segitiga itu diperkaku.
Gambar 6.1 Elemen Segitiga
Sudut-sudut struktur diberi nomor 1 sampai 3. Di titik sudut 2 dan 3 bekerja gaya luar Fx2, Fx3 dan Fy3. Struktur sekarang dibagi menjadi elemen-elemen, yang jelas
akan terdiri atas dua elemen. Bidang struktur berupa segitiga, yang kemudian diambil sebagai elemen segitiga. Dan disekelilingnya terdapat elemen balok sebagai pengakunya. Pada contoh ini dipilih elemen yang paling sederhana, jadi akan ada satu e-lemen segitiga dan tiga ee-lemen batang. Seharusnya, untuk ketelitian, dapat dibagi-bagi lagi menjadi elemen-elemen yang lebih kecil-kecil.
6.1.1 Penyusunan Matrik Kekakuan Elemen
Elemen batang hanya dapat menerima gaya aksial dan disebut elemen satu dimensi. Peralihan u dari sesuatu titik sebarang dengan koordinat x dari batang, hanya tergantung pada peralihan u1 dan u2, dari ujung-ujung batang. Peralihan u1 disebabkan
oleh gaya F1, dan peralihan u2 disebabkan oleh gaya F2.
Diasumsikan bahwa peralihan u dari titik-titik yang terletak antara 1 dan 2 merupakan fungsi dari X. Karena disini hanya ada 2 parameter, u1 dan u2 maka dipilih
polinomial berderajat 1, sebagai berikut :
a1 dan a2 dapat dinyatakan sebagai fungsi dari u1 dan u2 dengan menuliskan persamaan
(6.1) untuk titik 1 dan 2.
Bila diinverskan, didapat:
Bila sumbu elemen batang tidak sama dengan sumbu X, maka perlu ditransformasikan. Dimisalkan adalah sudut antara elemen batang dengan sumbu X.
Gambar 6.3 Sudut antara elemen batang dengan sumbu X
Persamaan (6.9) berarti sesuai dengan sumbu lokal X'Y' dari batang. Resultante kedua gaya mempunyai arah aksial, komponen gaya arah sumbu Y' adalah nol. Persamaan (6.9) menjadi:
Elemen segitiga
Titik sudut diambil sebagai titik nodal. Jadi hanya ada satu elemen dengan 3 titik nodal, serta termasuk tegangan bidang. Diasumsikan t = t (x,y ) merupakan tebal
keharusan. Bahan dari elemen dapat diambil sebarang. Hubungan antara tegangan dan regangan dinyatakan oleh matrix bahan [D]. Perilalu elemen, dengan perkataan lain daerah peralihan sesuatu titik sebarang, dinyatakan sebagai fungsi dari enam peralihan titik nodal, yaitu u1, v1, u2, v2, u3, v3,
Gambar 6.4 Enam peralihan titik nodal pada elemen segitiga
Pada gambar terlihat arah putaran penomoran yang akan mempengaruhi su-ku-suku matrix kekakuan. Arah putaran ini tidak tergantung pada penomoran titik sudut pada gambar struktur. Sebagai fungsi polinomial dipilih :
Dengan memasukkan koordinat titik 1, 2, dan 3, didapat :
Setelah d;inverskan akan didapat parameter u1, u2, u3, yang kemudian dimasukkan
dimana fungsi bentuknya adalah
dimana :
6.1.2 Penyusunan matrik kekakuan struktur
Gambar 6.5 Gaya-gaya pada elemen segitiga Dicari dulu matrix kekakuan tiap elemen. Diambil E = 106 kg/cm2 dan v= 0,3.
Penomoran keempat elemen seperti pada gambar.
Penting untuk membedakan / memisahkan penomoran pada struktur seperti pada gambar (6.1) dan penomoran elemen seperti gambar (6.5). Pada tiap elemen, penomoran selalu mulai dari nomor 1 lagi. Untuk elemen 1, 2 dan 3, dipakai persamaan (6.14), (6.12) dan (6-8).
Catatan : Untuk gaya nodal dipakai penomoran lokal. Untuk peralihan dipakai penomoran global.
Matrix kekakuan struktur sudah dapat disusun. Struktur mempunyai 3 titik nodal dan ada 2 derajat kebebasan pada tiap titik nodal, sehingga total ada 6 derajat kebebasan. Berarti matrix 6 x 6, seperti pada persamaan (6.34).
Gaya-gaya aksial pada ketiga elemen batang dihitung dari persamaan (6-30), (6.3 1) dan (6.32) dengan menghilangkan kolom-kolom di mana peralihan sama dengan nol ialah u1, v1, dan v2.
elemen bidang.
6.2 Elemen Segiempat
Akan dibahas disini elemen segiempat yang paling sederhana yang mempunyai empat titik nodal. Untuk keadaan tegangan bidang, tiap titik nodal mempunyai dua derajat kebebasan pada bidang elemen yaitu translasi arah X dan Y seperti yang tergambar pada gambar (6.7).
Gambar 6.7 Translasi arah X dan Y elemen segiempat
Sedangkan pada lenturan pelat, tiap titik nodal akan mempunyai tiga derajat kebebasan, lendutan tegak lurus bidang pelat dan dua putaran sudut keluar bidang pelat. Selanjutnya akan dibahas, keadaan bidang elemen segiernpat. Medan peralihan untuk sesuatu titik (x,y) pada elemen ini adalah :
dimana [D] adalah matrix bahan yang berbeda untuk tegangan bidang dan regangan bidang.
1. Desai, C.S. “ Dasar-dasar Metode Elemen Hingga”, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1988
2. Cook, Robert D., “ Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga”, PT Eresco,
Bandung, 1990
3. Hadipratomo, Winarni., dan Rahardjo, Paulus P., “Pengenalan Metode Elemen
Hingga pada Teknik Sipil”, Penerbit Nova, Bandung, 1985.
4. Suhendro, B., Analisis Struktur Metode Matrik, Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Gadjah Mada, 2000.
