10-11.APLIKASI INTEGRAL (LUAS&VOLUME)

(1)

(2)

APLIKASI INTEGRAL

PENERAPAN INTEGRAL

(3)

(4)



Sydney Opera House

di design berdasarkan

irisan-irisan bola. Banyak persamaan diferensial

diselesaikan (dalam menyelesaikannya

(5)



Pada saat terjadi kecelakaan mobil, bagian tubuh yang

(6)

9

2

x y

Luas daerah di bawah kurva berdsar prinsip Riemaan

2

x

y



Indikator 1 _{Indikator 2}

x x

y   2 4

PENERAPAN INTEGRAL

Volume benda putar, jika kurva

(7)

=

= 2(2)3 – ₂₍₂₎2 – _[2(-1)3 – _2(-1)2_]

= 16 – 8 + 2 + 2 = 12







 

2

1

2

dx 4

6x x





2

1 2 3 ₂ 2x  x _

Hitunglah nilai dari _





 

2

1

2 ₄ _dx

6x x

Contoh 1 :

Jawab

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan

misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka

berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai Teorema Dasar Kalkulus

) ( F ) ( F )

(x dx b a f

b

a

 



 

b

a

(8)

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai

luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

x

0 a x _b

y

a

x

0 _b



b

a

dx x f( ) Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral

Tentukan limitnya

n  

) (x f





n

i 1f(xi)xi

) (x f

Luas Daerah

i n

i

i n

b

a

x x

f dx

x f

L     

   1

) ( )

(9)

Kegiatan pokok dalam menghitung luas

daerah dengan integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi

L_i f(x_i) x_i

4. Jumlahkan luas partisi

L   f(x_i) x_i

5. Ambil limitnya L = lim  f(xi) xi 6. Nyatakan dalam integral

x

0

y

) (x f y 

a

x_i

x_i

) (x_i f

L_i



 a f x dx

0

(10)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2_{, sumbu x, dan garis}_{x = 3}

Contoh 1.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya L_i  x_i2 _x i 4. Jumlahkan luasnya L   x_i2 _x

i 5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim  x_i2 _x i

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya

y

0

x 3

2

) (x x f 

dx x



 3 0

2

L

9 0

3 3 3 3

0 3

3

L







x











L_i

x_i

x_i

2

i

x

Luas Daerah

(11)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4

Contoh 2.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya L  x_i.y 4. Jumlahkan luasnya L   y. y 5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim  y. y

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y 0 x 4 dy y



 4 0 . L 3 16

8

.

3

2

3

2

L

4 0 2 3

















y

Jawab x_i 2 ) (x x

f 

y 

y

(12)

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : L_i  (4x_i- x_i2₎_x

i dan A_j -(4x_j - x_j2₎_x

j

3. Jumlahkan : L  (4x_i - x_i2)x_idan A

  -(4x_j - x_j2₎_x j

4. Ambil limitnya L = lim  (4x_i - x_i2)x_i

dan A = lim  -(4xj - xj2)x j 5. Nyatakan dalam integral

y

0 4 6 x

2

4 )

(x x x f  

dx x x    4 0 2 ) 4 (

L







x



x

dx

6 4 2

)

4

(

A

x_i

L_i

x_i

x_j

A_j

x_j 2

4x_ix_i

) 4

(

0 xx2

Luas Daerah

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2_{, sumbu x,}

dan garis x = 6

Contoh 3.

(13)

dx x x    4 0 2₎ 4 ( L

dx

x







6 4 2

)

4

(

A

y

0 4 6 x

2

4 )

(x x x f   x_i

L_i

x_i

x_j

A_j

x_j 2

4x_ix_i

) 4

(

0 xx2





4

0 3 3 1 2 2

L  x  x

3 64 3

3 1

2 ₍₄₎ ₀ ₃₂

) 4 ( 2

L     





6

4 3 3 1 2

2

A





x



x



3



3 1 2 3 3 1 2

)

4

(

)

4

(

2

)

6

(

)

6

(

2

A











3 64 3

216

32

72

A









40

A



152₃



3

1

21

40

32

daerah

Luas

152₃

3

64







(14)

Luas Daerah

Kesimpulan :





b

a

dy

x

L

.





b

a

dx

y

L

.

y

0

x

y 

y

x

0

) (x f y 

x_i

x_i

) (x_i f

(15)

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.

1. Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : L_i  [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya :

L = lim  [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

b a

) (x f y

) (x g y 

0

x

L_i

x

x

) ( ) (x g x f 



f

x

g

x



dx

b a







(

)

(

)

(16)

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 _{dan garis}_{y = 2 - x}

Contoh 4.

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 _{= 2}– _x _x2 _{+ x}– _{2 = 0} _{(x + 2)(x}– _{1) = 0}

diperoleh x = -2 dan x = 1 3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya L_i  (2 - x - x2₎_x

dx x

x 

  

 1

2

) 2

(

L 0

x

1 2

-1 -2

-3

2 x y 

x

y 2 y

1 2 3 4 5

L_i

x

x

2

) 2

( x x

Luas Daerah

(17)

dx x x      1 2 2₎ 2 ( L 0 x 1 2 -1 -2 -3 2 x y  x y 2

y 1 2 3 4 5 Li x x 2 ) 2

( x x





1

2 3 2 3 2

2

L



x



x



x _

      _ _ _        _ _

  (₃2)3

2 2 ) 2 ( 3 3 1 2 2

1 ₂₍ ₂₎

) 1 ( 2 L



 

₃8



3 1 2

1 ₄ ₂

2

L       

3 8 3

1 2

1 ₄ ₂

2

L      

2 1 2

1 ₄

5

(18)

Untuk kasus tertentu pemartisian

secara vertikal menyebabkan ada

dua bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama untuk

menghitungnya.

) (x f y 

y

a _b

L_i

x

) ( ) (x gx f 

) ( 2f x A_i

0

x

) (x g y

Luas daerah =

a



f

x

dx

0

)

(

2











b

a

dx

x

g

x

f

(

)

(

)

(19)

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh

satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga

penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

) ( )

(x x f y f

y   

y

0

x

) ( )

(x x g y g

y  

Luas daerah =









d

c

dy y

f y

g( ) ( )

L_i y

c d

) ( ) (y f y

(20)

Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 _{= x}_{, garis}_{x + y = 6}_,

dan sumbu x

Contoh 5.

Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y2 _{= 6}– _y _y2 _{+ y}– _{6 = 0} _{(y + 3)(y}– _{2) = 0}

diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya L_i  (6 - y - y2₎_y

Luas daerah = 



 



2 0

2

6 y y dy

2

y x 

y x 6

2 y

6

x 0

6

L_i y

y

2

) 6

( y y

Luas Daerah

(21)

Luas daerah = 



 



2 0

2

6 y y dy

2

y x 

y x 6

2 y 6 x 0 6

L_i y

y

2

) 6

( y y

Luas daerah =

2 0 3 3 2 2 6         

 y y

y

Luas daerah = 0

3 3 2 2 4 ) 2 (

6   _ 

     

Luas daerah = _   _

3 8 2

12

Luas daerah =

(22)

PENERAPAN INTEGRAL

(23)

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu sejauh

360º, maka akan terbentuk suatu

benda putar. Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda putar

dengan integral adalah: partisi,

aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan menyatakan

(24)

Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah

bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi

tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda

putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

y

0 x

y

x

0

x

1 2

-2

-1

y

(25)



RUMUS DASAR TABUNG :

>> LUAS PERMUKAAN TABUNG

L = 2 x

π

x jari-jari x tinggi

L = 2

π

r t

>> VOLUME TABUNG

V = luas alas x tinggi

V =

π

x (jari-jari)

2

x tinggi

(26)

Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat dianalogikan

seperti menentukan volume

mentimun dengan

memotong-motongnya sehingga tiap

(27)

Bentuk cakram di samping dapat

dianggap sebagai tabung dengan jari-jari

r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

volumenya dapat diaproksimasi sebagai

V  r2_{h atau} _V  _f(x)2_x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam integral

diperoleh:

V    f(x)2 _x V = lim   f(x)2 _x

dx x

f

a





0

2

)] (

[

v



x

h=x x

x y

0 x

y

x

a

) (x f

) (x f r

dx

y

a





0 2

(28)

x

h=x x x y 0 x y x a ) (x f ) (x f r

dx

y

a

.

V

0 2







x h=y

) (y f x r 

y y y x ) ( )

(x x f y f

y  

(29)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 _{+ 1}_,

sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 6.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Nyatakan dalam bentuk

integral.

y

2 x

1

2_

x x

1

2 _

x y

1

y

h=x

x

1

2_ x r

x

Jawab

dx

y V 



2

0 . 2



dx

x

V







2

0

2 2

)

1

(

(30)

y

h=x

x x 1 2_ x r dx

x

V







2 0 2 2

)

1

(



dx

x

V







2 0 2 4

)

1

2

(







2

0 3 3 2 5 5

1

x

V









15

11

3

16

5

32

2

₀

)

13

(







V

d x

y

V





2

0

. 2

(31)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2_,

sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 7.

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

bentuk integral.

2

y

y

2 x y 

x y

y

x y

h=y y

y r

(32)

dy

y

V





2

0







2 0 2 2 1

y

V





)

0

4

(

₂1









V

x y

h=y y

y r

2

dy

y

V





2

0



2



V

dy

x

V





2

0 2

.

(33)

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan

memotong-motongnya yang potongannya

(34)

Volume Benda Putar

Menghitung volume benda putar

dengan menggunakan metode

cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume

cincin seperti gambar di samping,

yaitu V=



(R

2

–

r

2

)h

h

r

R

dan











b

a

dx

y

V



₁2 ₂2

.











b

a

dy

x

(35)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 _{dan garis}_{y = 2x} _{diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.}

Contoh 8.

1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk

integral.

4 y

y = 2x

2

2 x y 

x

x

x

x2

2x

y

x

(36)

y

x 4

y

y = 2x

2 2 x y  x x x r=x2 R=2x

V  (R2 – _r2_{) h}

V   [ (2x)2 –_(x2₎2 _]_x

dx x

x V  2 

0 4 2 ₎ 4 ( 





2

0 5 5 1 3 3

4 _x _x

V 





)

(

5 32 3 32







V

) ( 15 96 160 



V



15 64  V

dx

y

V







(37)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 _{, garis}_{x = 2}_{, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.}

Contoh 9.

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil limitnya,

dan nyatakan dalam bentuk integral. 0

x

1 2

x

x

2 x y 

x2

y

1 2 3 4

(38)

Metode kulit tabung yang

digunakan untuk menentukan

volume benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume roti pada

(39)

r

r

h

2r

Δr V = 2rhΔr

a b





b

a

dx

y

x

V

2



.

(40)

Volume Benda Putar 0 x 1 2 x x 2 x y  x2 y 1 2 3 4

r = x

x

h = x2

0 x 1 2 1 2 y 1 2 3 4

V  2rhx

V  2(x)(x2₎_x V   2x3_x

V = lim  2x3x

dx x

V  

2

0 3

2





2

0

4 4 1

2 x

V 



8  V

dx

y

x

V

2

.

2