Luas d2 kurangsamadg Luas d1

“ Dia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya,

serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu

mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya…”

(QS Yunus:5 )

M a t e m a t i k a ....

Pendahuluan Luas

Sifat :

- Luas daerah rata adalah bilangan riil tak negatif

- Lpersegipanjang=panjang x lebar (satuan sama)

- Daerah kongruen mempunyai luas yang sama

- Luas gabungan daerah yang hanya berimpit satu ruas garis

= Luas kedua daerah

Beberapa jumlah khusus yang dibutuhkan

dalam penghitungan Luas

Pendahuluan

Pilar-pilar jembatan membentuk partisi-partisi yang akan dijadikan

Luas sebagai limit

X Y

x y  sin Menentukan luas daerah dengan

limit jumlah dapat diilustrasikan

oleh gambar di samping.

Langkah :

1) Partisi

2) Aproksimasi,

3) Jumlahkan dan

Langkah menghitung luas daerah

dengan limit jumlah adalah:

1. Bagilah interval menjadi selang

yang sama panjang.

2. Partisilah daerah tersebut.

3. Masing-masing partisi buatlah

persegi panjang.

4. Perhatikan persegi panjang pada

interval [x_i-1 , x_i].

y

a x

0

L_i

x

x_i

) (x f y

5. Tentukan luas persegi

panjang ke-i (L_i)

6. Jumlahkah luas semua

persegi panjang

7. Hitung nilai limit jumlahnya

y

a x

0

L_i

x

x_i

) (x f y

) (x_i f

Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x

Jumlah luas persegi panjang :L   f(x_i) x

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2_{, sumbu X, dan garis x = 3}

dengan menggunakan cara limit jumlah. Contoh 1.

Langkah penyelesaian:

1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n. 2. Partisi daerah tersebut menurut persegi

panjang luar.

3. Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [x_i , x_i+1] dan hitunglah luasnya. x₀ = 0

x₁ = 3/n

x₂ = (3/n) × 2 = 6/n

Jadi x_i = 3i/n dan x_{i + 1} = 3(i +1)/n

y

0

x 3 L_i

3/n

2 1



i x

2

) (x x f 

x_i+1 x_i x₁ x₂ x₃

 2 3

i 1

27 L  i 

n

 

i_{n n}

n i

x ₁2 3 3( 1) 2 3

i

L  _    

4. Jumlahkan luas semua partisi       1 0 2 3 1 27 L n i i n



2 2 2



3 1 2 ...

27

L n

n   

 ) 1 2 )( 1 ( 6 1 27

L  ₃  n n n n ) 2 )( 1 ( 2 9

L 1 1

n n 

 

5. Tentukan limitnya

) 2 )( 1 ( 2 9

L _lim 1 1

n n

n  

   9 ) 0 2 )( 0 1 ( 2 9

L    

Jadi luas daerah = 9 satuan

6 ) 1 2 )( 1 ( 1

2  

 

n n n n

k k 0 x 3 L_i 3/n 2 1  i x 2 ) (x x f 

x_i+1 x_i

Perhatikan gambar di

bawah

Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian

(lebar tidak harus sama) dengan lebar selang

ke-i adalah x_i = x_i – x_i-1. Pada selang [x_i-1, x_i]

diambil titik sampel x_k maka jumlah Riemann

dituliskan sebagai :

k n

k k

x x

f( ) Δ 1





y

a

x

0 _b

x_{i-1 x} i x_k x_i

Integral Tentu

Selanjutnya didefinisikan bahwa:

k n

k k

n

x x

f dx

x

f( ) lim ( ) Δ

1 b

a

 

   

Bentuk  b

a

)

(x dx

f

=

= 2(2)3 – ₂₍₂₎2 – _[2(-1)3 – _2(-1)2_]

= 16 – 8 + 2 - 2 = 8







 

2

1

2 _{4 dx}

6x x





2

1 2 3

2 2x  x _

Hitunglah nilai dari







 

2

1

2 _{4 dx}

6x x

Contoh 2.

Jawab

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F

adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai

Teorema Dasar Kalkulus

)

(

F

)

(

F

)

(

x

dx

b

a

f

b

a







 

b

a

x

)

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai

luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

x

0 a x _b

y

a

x

0 _b



b

a

dx x f( )

Jumlah Luas Partisi

Berubah Menjadi

Integral

Tentukan limitnya n  

) (x f



 n

i 1f(xi)xi

) (x f

i n

i i

n b

a

x x

f dx

x f

L     

 

 1

) (

)

Kegiatan pokok dalam menghitung

luas daerah dengan integral tentu

adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi

L_i  f(x_i) x_i

4. Jumlahkan luas partisi

L   f(x_i) x_i

5. Ambil limitnya L = lim  f(x_i) x_i

6. Nyatakan dalam integral

x

0

y

) (x f y

a x_i

x_i

) (x_i f

L_i



 a f x dx

0

) ( L

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2_{, sumbu x, dan garis x = 3}

Contoh 3.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya L_i  x_i2 _x i 4. Jumlahkan luasnya L   x_i2 _x

i 5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim  x_i2 _x i

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya

y

0

x 3

2

) (x x f 

dx x



 3 0

2 L

9 0 3

3 3 3

0 3

3

L  _x _   

L_i x_i

x_i

2

i

x

Menghitung Luas dengan Integral

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : L_i  (4x_i - x_i2₎_x

i dan A_j  -(4x_j - x_j2₎_x

j

4. Jumlahkan : L  (4x_i - x_i2₎_x

i dan A   -(4x_j - x_j2₎_x

j

5. Ambil limitnya L = lim  (4x_i - x_i2₎_x i dan A = lim  -(4x_j - x_j2₎_x

j 6. Nyatakan dalam integral

y

0 4 5 x

2

4 )

(x x x f  

dx x

x

 

 4 0

2

) 4

(

L  5 x  x dx

4

2₎

4 ( A

x_i

L_i

x_i

x_j A_j x_j

2

4x_ix_i

) 4

(

0 xx2

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2_{, sumbu x,}

dan garis x = 5

Contoh 4.

dx x x    4 0 2₎ 4 ( L dx x x    5 4 2 ) 4 ( A y

0 4 5 x

2

4 )

(x x x f   x_i

L_i

x_i

x_j A_j x_j

2

4x_ix_i

) 4

(

0 xx2





4

0 3 3 1 2 2

L  x  x

3 64 3

3 1

2 _{(4) 0 32}

) 4 ( 2

L     





5

4 3 3 1 2 2

A   x  x



3



3 1 2 3 3 1

2 _{(5) 2(4) (4)}

) 5 ( 2

A      

3 64 3

125 ₃₂

50

A     

18 A  61₃ 

18 32

daer ah

Luas   64₃  61₃ 

13 daerah

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.

Langkah penyelesaian:

1. Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : L_i  [ f(x) – g(x) ] x

4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim  [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

b a



f

x

g

x



dx

b

a







(

)

(

)

L

) (x f y

) (x g y  0

x

L_i

x

x

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 _{dan garis y = 2 - x}

Contoh 5.

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 _{= 2} – _x  _x2 _{+ x} – _{2 = 0}  _{(x + 2)(x} – _{1) = 0} diperoleh x = -2 dan x = 1

3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya

L_i  (2 - x - x2₎_x 4. Jumlahkan luasnya

L   (2 - x - x2₎_x

5. Tentukan limit jumlah luasnya L = lim  (2 - x - x2₎_x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

dx

x

x











1

2

2

)

2

(

L

0

x

1 2

-1 -2

-3

2

x y 

x

y 2 y

1 2 3 4 5

L_i

x

x

2

) 2

dx x x      1 2 2₎ 2 ( L 0 x 1 2 -1 -2 -3 2 x y  x

y 2 y

1 2 3 4 5 Li x x 2 ) 2

( x x

1 2 3 3 2 2 L      _{ }

 _x x x

      _{  }        _{ }

  (2₃)3 2 2 ) 2 ( 3 3 1 2 2

1 _{2( 2)}

) 1 ( 2 L



 

₃8



3 1 2

1 _{4 2}

2

L       

3 8 3

1 2

1 _{4 2}

2

L      

2 1 2

1 ₄

5

Untuk kasus tertentu

pemartisian secara vertikal

menyebabkan ada dua bentuk

integral. Akibatnya diperlukan

waktu lebih lama untuk

menghitungnya.

) (x f y 

y

a _b

L_i

x

x

) ( ) (x gx f 

) ( 2f x

A_i 0

x

) (x g y

Luas daerah = a_

f

x

dx

0

)

(

2











b

a

dx

x

g

x

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan

diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah

tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari

sebelumnya.

) ( )

(x x f y f

y   

y

0

x ) ( )

(x x gy g

y   

Luas daerah = d





_



c

dy y

f y

g( ) ( )

L_i y

c d

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 _{= x, garis x + y = 6, dan sumbu x}

Contoh 6.

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y2 _{= 6} – _y  _y2 _{+ y} – _{6 = 0}  _{(y + 3)(y} –

2) = 0

diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya L_i  (6 - y - y2₎_y

4. Jumlahkan luasnya L   (6 - y - y2₎_y

5. Tentukan limitnya L = lim  (6 - y - y2₎_y

6. Nyatakan dalam integral tertentu

Luas daerah = 2











0

2

6

y

y

dy

2

y x 

y x 6

2 y 6

x 0

6

L_i y

y

2

) 6

( y y

Luas daerah = 



 



2

0

2

6 y y dy

2

y x 

y x 6

2 y 6

x 0

6

L_i y y

2

) 6

( y y

Luas daerah =

2

0 3

3

2 6

    

    

  y y

y

Luas daerah = 0

3 3 2 2

2 )

2 (

6   _ 

  

  

Luas daerah = 

  



 _{ }

3 8 1

12

Luas daerah =