Pemetaan Dirichlet ke Neumann untuk Rangkaian Listrik berbentuk Segi dengan Elemen bernilai Real-Positif

(1)

Pemetaan Dirichlet ke Neumann untuk

1

Rangkaian Listrik berbentuk Segi

2

dengan Elemen bernilai Real-Positif

3

A.D. Garnadi

1

, M.N. Indro

2

, M.T Julianto

1

, A. Pribadi

3

1

_{Departemen Matematika, Institut Pertanian Bogor}

2

_{Departemen Fisika, Institut Pertanian Bogor}

3

_{STEI, Institut Teknologi Bandung}

4

Abstract

5

Dalam tulisan ini dibahas representasi peta Dirichlet ke Neumann dari 6

sebuah rangkaian listrik berbentuk segi dengan elemen rangkaian bernilai 7

real positif. Permasalahan ini berasal dari analogi diskret dari Tomografi 8

Kapasitansi. Secara tidak langsung, analogi diskret terkait dengan ben-9

tuk hampiran elemen hingga campuran dari permasalahan Tomografi Kap-10

asitansi. 11

Keywords: Rangkaian Listrik, Elemen Diskret, 12

Plan your flight, and fly according to your plan · · ·

13

(A pilot saying) 14

1 Pendahuluan

15

Tomografi Kapasitansi Elektrik (Electrical Capacitance Tomography(ECT))

meru-16

pakan salah satu teknologi pemetaan tak merusak yang menggambarkan distribusi

17

bahan yang di batasi alat dengan cara melakukan pengukuran listrik di batas.

18

Berdasarkan data pengukuran, algoritma rekonstruksi digunakan untuk

menge-19

tahui distribusi impedansi bahan dalam bentuk citra.

(2)

Rentang pemakaian ECT sebagai teknik citra tak merusak, cukuplah luas.

21

Dalam bidang biomedis, teknologi ini digunakan sebagai alat monitor klinis

den-22

gan kemungkinan aplikasi yang cukup luas[15]. Lebih jauh lagi, dalam industri

23

proses, ERT digunakan sebagai instrumen untuk memonitor peralatan proses yang

24

berbentuk silindris [16].

25

Meski pun dapat dikatakan sebagai alat yang cukup menjanjikan dan ’murah’,

26

untuk menghasilkan distribusi sebagai gambar berdasarkan data yang dikumpulkan

27

melalui algoritma rekonstruksi citra yang andal dan kekar merupakan hal yang

28

tidak mudah.

29

Metoda Elemen Hingga [12] pada umumnya dijadikan metoda diskretisasi model

30

alat ERT[10], sedangkan varian MEH yang dikenal sebagai metoda campuran,

di-31

gunakan di [7]. Sementara itu, model analogi mempergunakan rangkaian kapasitor

32

diberikan oleh [6], [11][8], untuk potongan penampang sebagai masalah 2 dimensi,

33

dan [4] untuk masalah 3 dimensi.

34

2 Rangkaian dengan Elemen bernilai real positif

35

Misalkan, Γ = (N,B), graph berarah (digraph) yang terkait dengan rangkaian

36

listrik, tanpa kehilangan keumuman, anggap Γ graph datar (planar digraph). Sebut

37

B={b1, b2,· · ·, bE}menyatakan himpunan cabang berarah (directed branches/edges), 38

berkait dengan himpunan elemen{c1, c2,· · ·, cE}dengan Re(cj)>0 ,N ={n1, n2,· · ·, nI, nI+1, nI+2,· · ·, nI+β} 39

menyatakan himpunan simpul (nodes), berkait dengan himpunan tegangan, I

40

menyatakan jumlah simpul dalam, danβmenyatakan jumlah simpul di batas,

den-41

gan :nN =I+β.Terkait dengan rangkaian tersebut, misalkanA0 ∈({−1,0,1})E×nN

42

merupakan matriks insidensi dari topologi rangkaian listrik1.

43

Dengan menerapkan hukum-hukum listrik pada cabang dan simpul, akan kita

44

peroleh hasil sebagai berikut ini.

45

Dengan menggunakan Hukum Ohm di cabang, berlaku :

46

j+ (∆V)j = ijcj;

(vj−vl) = ijcj;j = 1,· · ·, E (TANPA sumber tegangan)

ijcj−(vj−vl) = 0;j = 1,· · ·, E (1)

serta Hukum Kirchoff di simpul :

47

X

k∈B

ak`ik= 0, ∀`∈ N. (2)

1_{Istilah matriks insidensi disajikan agak berbeda dari satu buku ke buku yang lain, meski}

pun secara esensial identik [2][5][17], di sini kita gunakan representasi di [17], sementara di buku yang lain, transposisinya yang disebut sebagai matriks insidensi.

(3)

Tuliskan :

48

j = [i1i2· · ·iE]t; v= [v1v2· · ·vIvI+1· · ·vI+β]t.

Dengan anggapan bahwa elektroda terakhir di bumikan, dan penomoran simpul

49

dilakukan sedemikan rupa sehingga nomor simpulnya merupakan nomor buntut.

50

Maka, kolom terakhir dari matriksinsidensiakan dibuang [17]. TuliskanAsebagai

51

matriks dariA0 setelah kolom terakhirnya dibuang, tanpa kehilangan keumuman,

52

A kita sebut matriks insidensi.

53 54

Maka dari (1) dan (2) akan diperoleh sebuah sistem persamaan linear berikut :

55 C A At 0 ! j v ! = 0 q ! , (3)

denganC = diag(c1,· · ·, cE), dan A matriks insidensi. 56

Akibat pengurutan nomor simpul dengan menomori terlebih dulu simpul di

57

bagian dalam, kemudian mengikuti terkemudian simpul pada batas, kita peroleh

58

partisi matriks sebagaimana berikut ini :

59

A= (AI|Aβ); AI ∈({−1,0,1})E×I, Aβ ∈({−1,0,1})E×β,

maka persamaan (3) dapat dituliskan dalam bentuk partisi :

60    C [AIAβ] " At I At β # 0    j v ! =    0 0 q   , (4)

Bila input diberikan dalam bentuk arus pasangan dipol pada batas :

61

qβ = (

±1;j 6=k sepasang node di batas

0 lainnya.

Apabila dilakukan pengukuran dari batas sebanyak m kali pengukuran dengan

62

input arus pasangan dipol yang semuanya berbeda, kita peroleh sebuah persamaan

63

matriks :

64

K[a1· · ·am] = [b1· · ·bm]

denganK merupakan matriks sisi kiri di (4), dan kolom di ruas kanan berasal dari

65

eksitasi arus input.

(4)

3 Pemetaan Tegangan ke Arus di Batas (

Dirichlet to

Neu-67

mann Map

,

Λ

γ

) dari Rangkaian Bujur Sangkar (

Square

68

Network

).

69

Dalam bagian ini, akan ditinjau kasus khusus rangkaian kapasitor di bidang. Untuk

70

setiap bilangan bulat positif n, sebuah jala kapasitor Ωh dibangun dengan cara 71

sebagai berikut. Simpul (nodes) dari Ωh ialah titik kisi di bidangp= (i, j) dengan 72

0 ≤ i ≤ n + 1 dan 0 ≤ j ≤ n + 1, dengan tidak mengikutkan titik di sudut

73

(0,0),(n+ 1,0),(0, n+ 1),(n+ 1, n+ 1).Titik simpul dari Ωhkita notasikan dengan 74

Ω0. Interior dari Ω0, sebut int(Ω0), terdiri dari titik simpul p = (i, j) dengan

75

1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n. Batas dari Ω0, sebut ∂Ω0, ialah Ω0\int(Ω0). Setiap

76

titik interior pmemiliki 4 simpul tetangga, masing-masing bertempat di satu kisi

77

terdekat di atas, kanan, bawah, dan kiri; himpunan tetangga dari simpul p, kita

78

tuliskan N(p). Setiap simpul dalam p, p ∈ int(Ω0), memiliki sifat semua simpul

79

tetangganya merupakan simpul dalam, N(p) ⊂ int(Ω0). Setiap titik p di batas,

80

hanya tepat memiliki satu tetangga, tepatnya satu simpul dalam berada pada

81

jarak satu kisi. Satuedge(sisi) (p, q) di Ω,denganpdanq di int(Ω0) yang berjarak

82

satu unit kisi, atau simpul batas p dengan tetangganya q yang merupakan titik

83

dalam. Himpunan edge disimbolkan dengan Ω1. Suatu sisi (p, q) dengan p titik

84

batas dan q merupakan titik dalam, disebut edge batas.

85

Dengan melakukan eliminasi variabel j di persamaan (3) kita dapatkan :

86

AtC−1Av= 0

qβ !

Akibat partisi yang diinduksi oleh penomoran simpul, maka akan kita peroleh

87

pemetaam dari tegangan ke arus di batas (Dirichlet to Neumann map) dari

rangka-88 ian listrik :[11] 89 qβ = [Atβ ·C −1_·_A β−Atβ ·C −1 _·_A I(AtI·C −1_·_A I)−1AtI·C −1_·_A β] | {z } Λγ vβ .

Sebaliknya pula, kita dapatkan peta input arus ke tegangan di batas ( Neu-90

mann to Dirichlet map) :

91

vβ = Λ†γqβ,

dengan [·]† menyatakan invers Moore-Penrose dari [·].

92

Kedua peta ini mengungkapkan pada kita, bahwa tegangan pada bata selalu

93

dapat diperoleh untuk setiap arus yang menjadi input di batas, demikian pula

94

sebaliknya. Curtis & Morrow [3], membahas sifat-sifat Λγ untuk rangkaian bujur 95

sangkar.

(5)

4 Hubungan rangkaian kapasitor dan Diskretisasi Elemen Hingga

97

Campuran.

98

Perhatikan analogi sebagaimana diperlihatkan di tabel berikut :

99

Rangkaian Listrik Elemen Hingga Campuran

simpul Elemen

edge edge Elemen

100

Dengan pemilihan basis elemen hingga Raviart-Thomas orde terkecil untuk

101

approksimasi Elemen Hingga, analogi di atas akan menghasilkan struktur matriks

102

yang serupa manakal koefisien bernilai kompleks real-positif, bandingkan dengan

103

hasil di [9] untuk elemen bernilai positif. Sejalan dengan pemikiran di atas, akan

104

diperoleh pula pemetaan Λγ dan Λ†γ hasil diskretisasi elemen hingga yang serupa. 105

Ucapan Terima Kasih

106

Pekerjaan ini didanai oleh Kemenristekdikti melalui skim PUPT-IPB dengan

kon-107

trak nomor 079/SP2H/LT/DRPM/II/2016.

108

References

109

[1] Pribadi, A., Garnadi, A.D., Indro, M.N. and Julianto, M.T., ‘Phantom

Vir-110

tual’Berbasis Rangkaian Kapasitor untuk Electrical Capacitance

Tomogra-111

phy, Prosiding Seminar ???.

112

[2] N.L. Biggs, Algebraic Graph Theory, Oxford University Press.

113

[3] E.B. Curtis & J.A. Morrow, The Dirichlet to Neumann Map for a Kapasitor

114

Network, SIAM J.Appl.Math., 50(1991), 1011-1029.

115

[4] A. R. Daniels, R. G. Green, & Basarab-Horwath, Modelling of three

dimen-116

sional resistive discontinuities using HSPICE, Meas. Sci. Tech.,v 7, 338-442

117

[5] N. Deo, Graph Theory and its Applications, Prentice-Hall India.

118

[6] K. A. Dines & R. J. Lyttle, 1981, Analysis of electrical conductivity imaging,

119

Geophysics, v 46, 1025-1036

120

[7] A. D. Garnadi, 1997, Electrical Impedance Tomography Based on Mixed

Fi-121

nite Element Model, Proceedings CMSE97, IV.C.6-1-IV.C.6-7

(6)

[8] A. D. Garnadi, 2004, Discrete Resistance Tomography, Proc. HPA,

Yo-123

gyakarta.

124

[9] A. D. Garnadi, 2004, Mixed Finite Element formulation of Forward Problem

125

of EIT on Quadrilateral, Manuscript.

126

[10] P. Hua & E. J. Woo, 1990, Reconstruction Algorithms, in [18], 97-137

127

[11] M. A. Hussain, B. Noble, & B. Becker, 1989, Computer simulation of an

128

Inverse Problem for Electric Current Tomography using A Uniform Triangular

129

Discretization, IEEE Eng. Med. Biol. Soc. 11th Ann. Int. Conf.,448-450

130

[12] C. Johnson, 1990, Numerical Solution of Partial Differential Equations by the

131

Finite Element Method, Cambridge University Press

132

[13] W. R. B. Lionheart, S. B. Arridge, M. Scweizer, M. Vauhkonen, & J. P.

Kai-133

pio, Electrical Impedance and Diffuse Optical Tomography Reconstruction

134

Software, 1st World Congress in Industrial Process Tomography, Buxton,

135

Greater Manchester, April 14-17, 1999

136

[14] T. Murai & Y. Kagawa, 1985, Electrical Impedance Tomography Based on a

137

Finite Element Model, IEEE Trans. Biomed. Eng., v BME-32, 177-184

138

[15] J. C. Newell, 1996, State of the art in Impedance Imaging, Lecture Notes

139

distributed at College on medical Physics : Methods, Instrumentation and

140

Techniques in Medical Imaging, 9-27 September 1996, ICTP, Trieste

141

[16] A. Plaskowski, M. S. Beck, R. Thorn, & T. Dyakowski, 1995, Imaging

Indus-142

trial Flows: Applications of electrical process, Institute of Physics Publishing

143

[17] G. Strang, 1986, Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge

144

Press

145

[18] J. G. Webster (ed), 1990, Electrical Impedance Tomography, Adam Hilger

146

[19] T. J. Yorkey, 1990, Electrical impedance tomography with piecewise

polyno-147

mial conductivities, J. Comp. Phys., 91, 344-360