Azwar Anas, M. Kom 11/1/2016. Azwar Anas, M. Kom - STIE-GK Muara Bulian

Azwar Anas, M. Kom



 Algoritma lainnya yang digunakan dalam persoalan

program linier adalah metode penugasan. Seperti halnya metode transportasi, metode penugasan bisa lebih efisien daripada metode simpleks, untuk jenis-jenis persoalan tertentu. Akan dijelaskan pula bahwa persoalan

penugasan merupakan kasus khusus dari persoalan transportasi. Dengan kata lain, kita dapat memecahkan suatu persoalan penugasan dengan menggunakan

metode transportasi. Model penugasan pertama kali dikembangkan oleh D. Konig, ahli matematika dari Hungaria. Itulah sebabnya, untuk mengabadikan hasil karyanya, metode penugasan sering disebut sebagai Hungarian Metdhod.

Pemecahan Persoalan Minimasi



Tabel Persoalan Penugasan



1) Bengkel Zhivanna menangani pekerjaan logam untuk sejumlah proyek di daerah sekitarnya. Saat ini Zhivanna mempunyai empat pekerjaan yang harus digarapnya (A, B, C dan D). Zhivanna juga mempunyai empat mesin

yang mengerjakan pekerjaan tersebut (P, Q, R dan S).

Setiap pekerjaan dapat diproses secara penuh pada setiap mesin, selanjutnya biaya pemrosesan tiap

pekerjaan pada tiap mesin sudah diketahui. Penugasan pekerjaan ke mesin harus dilakukan atas basis satu ke satu, yaitu tiap pekerjaan harus ditugaskan sepenuhnya ke satu dan hanya satu mesin. Tujuan akhir penugasan ini adalah meminimumkan biaya.

Contoh



Pekerjaan Mesin

P Q R S

A 10 4 6 10

B 13 8 12 14

C 14 16 13 17

D 19 11 17 20

Biaya Pengoperasian Mesin



1. Tentukan tabel biaya kesempatan.

a. Kurangkan biaya terendah dalam tiap baris pada tabel biaya tertentu dari semua biaya dalam baris tersebut.

b. Kurangkan biaya terendah dalam tiap kolom tabel yang diperoleh dari langkah a dari semua biaya dalam kolom.

2. Tentukan apakah penugasan optimal dapat dibuat.

Prosedurnya adalah menarik garis lurus (vertikal dan

horizontal) terhadap tabel total biaya kesempatan sedemikian rupa guna meminimumkan jumlah garis yang melintasi

semua elemen nol.

Suatu penugasan optimal dapat dibuat bila jumlah garis sama dengan jumlah baris.

Langkah-langkah pemecahan



3. Memperbaiki tabel total biaya kesempatan.

a. Pilihlah angka terkecil dalam tabel yang tak

dilalui garis lurus dan kurangkan angka ini dari semua angka yang tak dilalui oleh garis lurus.

b. Tambahkan angka yang sama pada

perpotongan antara dua garis dan kembali ke

langkah 2.



 Biaya kesempatan (i) Biaya kesempatan (ii)

Langkah 1 bagian a

Pekj Mesin

P Q R S

A 6 0 2 6

B 5 0 4 6

C 1 3 0 4

D 8 0 6 9

Pekj Mesin

P Q R S

A 5 0 2 2

B 4 0 4 2

C 0 3 0 0

D 7 0 6 5



 Tujuannya adalah merumuskan penugasan

pekerjaan untuk mesin agar meminimumkan total biaya. Melalui tabel total biaya kesempatan, tujuan ini dapat dicapai dengan menugaskan pekerjaan

untuk mesin sedemikian rupa sehingga didapat total biaya kesempatan nol. Jadi kemungkinan penugasan pekerjaan pada mesin yang paling baik, akan

mengandung biaya kesempatan nol.

Langkah 2.

Pengujian Optimalitas Penugasan



 Berdasarkan total biaya kesempatan dalam tabel (ii) kita dapatkan 6 segi empat bernilai nol. Oleh karena itu kita harus menugaskan pekerjaan A ke mesin Q, dan pekerjaan C ke mesin P, R atau S, karena itulah penugasan yang terbaik (biaya kesempatan nol).

Tetapi tidak bisa menugaskan pekerjaan B dan D ke mesin Q, karena penugasan pekerjaan A untuk

mesin Q menghalangi penugasan B dan D ke mesin Q. Penyelesaian penugasan semacam itu hanya

dapat dibuat dengan total biaya kesempatan nol.



 Tentu saja penugasan dengan biaya kesempatan terkecil yang terpilih dalam persoalan kita adalah penugasan pekerjaan A ke mesin R atau S dan juga pekerjaan B ke mesin S yang mempunyai biaya

kesempatan 2. Dengan kata lain kita harus merubah biaya kesempatan penugasan itu dari 2 menjadi nol.

Caranya adalah dengan mengurangkan angka 2

(terkecil) pada tabel (ii) dari semua angka yang ada.

Langkah 3.

Revisi Tabel Biaya Kesempatan

Revisi Uji Optimal 

Pekj Mesin

P Q R S

A 5 0 2 2

B 4 0 4 2

C 0 3 0 0

D 7 0 6 5 Pekj Mesin

P Q R S

A 3 0 0 0

B 2 0 2 0

C 0 1 0 0

D 5 0 4 3



 Langkah berikutnya adalah penugasan optimal dengan cara identifikasi baris atau kolom yang

memuat hanya satu angka (biaya kesempatan) nol.

 Dalam hal ini baris D memuat hanya satu angka nol berpotongan dengan kolom Q, elemen lain pada

kolom Q disilang untuk menandai bahwa mesin Q

telah terpakai.



Penugasan Biaya ($)

A ke R 6

B ke S 14

C ke P 14

D ke Q 11

Total $45

Visualisasi Total Biaya Penugasan Optimal

Pekj Mesin

P Q R S

A 3 0 [0] 0

B 2 0 2 [0]

C [0] 1 0 0

D 5 [0] 4 3



 Buatlah kasus sendiri, dan selesaikan dengan metode penugasan!

Exercise



 Metode penugasan Hungarian untuk persoalan minimasi juga dapat digunakan untuk

menyelesaikan persoalan maksimasi. Dalam persoalan maksimasi, tabel angka-angka

menunjukkan tingkat kinerja (atau indeks

produktivitas). Efektivitas penugasan diukur

berdasarkan jumlah maksimum kontribusi yang

dapat diperoleh.



 Bagian personalia IBM baru saja mengadakan seleksi calon karyawan yang akan ditugaskan pada empat jenis jabatan, kita sebut saja 1, 2, 3 dan 4. Dari hasil seleksi terpilih empat orang yang memiliki hasil tes tertinggi. Keempat calon tersebut yaitu A, B, C dan D, dan kemudian diujicobakan pada empat jabatan itu secara bergilir selama dua bulan. Selama uji coba tersebut kinerja mereka diukur dan hasilnya bisa

dilihat pada tabel berikut.

Contoh



Karyawan Jabatan

P Q R S

A 3 2 4 8

B 10 11 11 6

C 5 11 14 10

D 9 11 12 11

Tabel Kinerja Karyawan



 Setelah dua bulan dalam masa uji coba tersebut,

manajer personalia kemudian mengadakan evaluasi dengan tujuan untuk menugaskan keempat

karyawan tersebut pada empat jabatan yang tersedia. Dasar yang akan digunakan dalam

penugasan ini adalah kinerja mereka selama uji coba,

sebagaimana yang terlihat dalam tabel berikut.



 Tujuan dari pemecahan persoalan ini dengan menggunakan program linier adalah

memaksimumkan kinerja total. Oleh karena itu,

sesuai dengan model penugasan, variabel keputusan kasus ini adalah X

_ij

yaitu penugasan karyawan i = A, B, C, D ke jabatan j = P, Q, R, S. Dengan demikian ada 16 (4 x 4) variabel keputusan. Tabel berikut

menjelaskan penugasan kasus IBM dengan 16

variabel keputusan.



Tabel Persoalan Penugasan



 Maksimumkan:

 Z = 3X

_A1

+ 2 X

_A2

+ 4X

_A3

+ 8X

_A4

+ 10X

_B1

+ 11X

_B2

+ 11X

_B3

+ 6X

_B4

+ 5X

_C1

+ 11X

_C2

+ 14X

_C3

+ 10X

_C4

+ 9X

_D1

+ 11X

_C2

+ 12X

_D3

+ 11X

_D4

Model Program Liniernya sbb:



 Batasan-batasan:

X

_A1

+ X

_A2

+ X

_A3

+ X

_A4

= 1

X

_B1

+ X

_B2

+ X

_B3

+ X

_B4

= 1

X

_C1

+ X

_C2

+ X

_C3

+ X

_C4

= 1

X

_D1

+ X

_D2

+ X

_D3

+ X

_D4

= 1

X

_A1

+ X

_B1

+ X

_C1

+ X

_D1

= 1

X

_A2

+ X

_B2

+ X

_C2

+ X

_D2

= 1

X

_A3

+ X

_B3

+ X

_C3

+ X

_D3

= 1

X

_A4

+ X

_B4

+ X

_C4

+ X

_D4

= 1

X

_ij

= 0 atau 1



 Fungsi batasan kasus ini memaksa seluruh variabel keputusan hanya bernilai 0 atau 1, meskipun kita tidak menggunakan program linier integer biner.

Hal ini terjadi karena nilai baris atau kolom pasti

sama dengan 1.



 Langkah pertama dalam persoalan maksimasi adalah

merubah tabel kinerja menjadi suatu tabel opportunity loss.

Dalam persoalan ini, A mempunyai kinerja tertinggi yakni 8, bila ditugaskan pada jabatan 4. oleh karena itu, bila A ditugaskan pada jabatan 1 ada sebesar 5 poin

sebagai opportunity loss yang terjadi dengan penugasan ini, dan seterusnya. Seluruh elemen dalam setiap baris dikurangi dengan nilai maksimum dalam baris yang sama. Prosedur ini menghasilkan tabel opportunity loss yang ditunjukkan dalam tabel berikutnya. Tabel ini sebenarnya bernilai negatif.

Pemecahan

Opportunity Loss 

Karyawan Jabatan

P Q R S

A 5 6 4 0

B 1 0 0 5

C 9 3 0 4

D 3 1 0 1



 Seperti pada pembahasan sebelumnya, tabel ini akan berisi paling tidak satu angka nol untuk tiap

barisnya. Langkah berikutnya dengan meminimumkan opportunity loss akan

memaksimumkan total kontribusi keuntungan

(dalam hal ini kinerja karyawan). Tabel opportunity loss diperoleh melalui pengurangan seluruh elemen dalam setiap kolom dengan elemen terkecil dari

kolom tersebut.

Uji Optimalitas OL 

Karyawan Jabatan

P Q R S

A 4 6 4 0

B 0 0 0 5

C 8 3 0 4

D 2 1 0 1



 Sama seperti pada pembahasan sebelumnya, uji

optimalitas dilakukan melalui pembuatan sejumlah minimal garis horizontal dan vertikal yang melalui seluruh elemen nol. Dalam tabel di atas seluruh

elemen nol terliput hanya dengan tiga garis, jadi

penugasan optimal belum bisa dilakukan. Jadi perlu tahap perbaikan tabel opportunity loss dengan cara kurangkan elemen terkecil (1) dari elemen yang tak terliput garis dan tambahkan pada elemen yang

terliput dua garis (vertikal dan horizontal), hasilnya

dapat dilihat pada tabel berikut.

Revisi Total OL 

Karyawan Jabatan

P Q R S

A 4 6 4 0

B 0 0 1 5

C 7 2 0 3

D 1 0 0 0



Visualisasi dan Total Kinerja Penugasan Optimal

Karya wan

Jabatan

P Q R S

A 4 6 4 [0]

B [0] 0 1 5

C 7 2 [0] 3

D 1 [0] 0 0

Penugasan Biaya ($)

A ke S 8

B ke P 10

C ke R 14

D ke Q 11

Total $43