Arantika Desmawati, Respatiwulan, dan Dewi Retno Sari S
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Proses percabangan muncul secara alami dalam berbagai hal terutama
reproduksi individu. Dalam proses percabangan dipelajari fungsi pembangkit pro-babilitas yang merepresentasikan propro-babilitas suatu kejadian. Salah satu persoalan proses percabangan yang tertua yaitu tentang kepunahan nama keluarga. Nama ke-luarga hanya dapat diwariskan oleh keturunan laki-laki. Kepunahan nama keke-luarga sesuai dengan distribusi geometrik. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan proses percabangan pada distribusi geometrik. Berdasarkan pe-nurunan ulang tersebut, diperoleh fungsi pembangkit probabilitas yang digunakan untuk menentukan rata-rata dan variansi banyaknya generasi sampai nama keluarga punah. Berdasarkan penerapan proses percabangan untuk rantai keturunan laki-laki di Amerika diperoleh hasil bahwa proses percabangan pada distribusi geometrik de-ngan probabilitas sukses sebesarb = 0,4107, probabilitas tidak memiliki keturunan laki-laki sebesarp0= 0,4825 dan probabilitas memilikij keturunan laki-laki sebesar
pj = (0,2126)(0,5893)(j−1) untuk j ≥ 1 mempunyai rata-rata banyaknya generasi
sampai nama keluarga di Amerika punah sebesarµ= 1,4349 dengan variansi sebesar 3,4937.
Kata kunci : proses percabangan, distribusi geometrik, probabilitas, rata-rata, vari-ansi
1. PENDAHULUAN
Proses percabangan muncul secara alami pada berbagai hal dalam kehidup-an. Proses percabangan erat kaitannya dengan reproduksi individu. Individu-individu yang diamati saling independen dan hidup dalam suatu rentang waktu. Tiap individu akan mempunyai sejumlah keturunan dan kemudian mati. Bebera-pa kasus proses percabangan yang menonjol yaitu penggandaan elektron, reaksi rantai neutron, dan penurunan nama keluarga (Taylor dan Karlin [8]). Proses per-cabangan juga berperan dalam biologi tentang bermacam-macam karsinogenesis (Meza [4]), teori jaringan (Newman [6]) dan reaksi berantai polimerase (Kimmel dan Axelrod [3]).
Salah satu persoalan proses percabangan yang tertua yaitu tentang nama keluarga bangsawan Inggris yang hanya diturunkan kepada keturunan laki-laki (Kimmel dan Axelrod [3]). Nama keluarga yang diturunkan oleh leluhur akan pu-nah apabila semua keturunan laki-laki meninggal tanpa mewariskannya kepada anak laki-laki mereka. Dalam suatu keluarga, terdapat dua kemungkinan jenis ke-lamin dari keturunan mereka yaitu laki-laki dan perempuan. Apabila keturunan mereka berjenis kelamin laki-laki maka keturunan mereka akan membawa nama keluarga, tetapi tidak bila keturunan mereka berjenis kelamin perempuan. Nama keluarga tidak dapat diturunkan apabila keturunan berjenis kelamin perempuan. Kepunahan nama keluarga sesuai dengan karakterisrik distribusi geometrik. Asumsikan jenis kelamin tiap kelahiran bersifat independen. Kelahiran keturunan pada suatu generasi diandaikan sebagai suatu percobaan Bernoulli. Untuk me-ngetahui kepunahaan nama keluarga, dikatakan percobaan Bernoulli memperoleh hasil sukses apabila pada suatu generasi setiap kelahiran memberikan keturunan berjenis kelamin perempuan dan gagal apabila terdapat kelahiran yang membe-rikan keturunan berjenis kelamin laki-laki sehingga nama keluarga masih dapat diturunkan. Serangkaian percobaan Bernoulli yang terjadi sampai pertama kali diperoleh hasil sukses ini merupakan distribusi geometrik. Pada penelitian ini di-kaji ulang tentang proses percabangan dengan banyaknya generasi sampai punah berdistribusi geometrik dan penerapannya.
2. PROSES PERCABANGAN
Proses percabangan dikemukakan pertama kali oleh Bienayme pada tahun 1845. Sekitar tahun 1870, model tersebut dikembangkan oleh seorang ahli mate-matika bernama Henry William Watson bersama seorang ahli biometri bernama Francis Galton. Pengembangan tersebut khususnya dalam hal penurunan nama keluarga yang hanya diturunkan untuk keturunan laki-laki (Mode [5]). Menu-rut Allen [1], proses percabangan waktu diskrit merupakan suatu rantai Markov
waktu diskrit dengan variabel waktu dan ruang state diskrit. State pada waktu
n+ 1 hanya dipengaruhi olehstate pada waktu n.
Dimisalkan variabel randomX adalah banyaknya keturunan pada generasi
tertentu dan setiap individu menghasilkan keturunan berjumlah random sebanyak
ξ dengan distribusi probabilitas P r(ξ = k) = pk untuk k = 0,1,2, . . . dengan
pk ≥ 0 dan
P∞
k pk = 1. Banyaknya keturunan pada generasi ke-n adalah Xn
dan ukuran total populasi pada generasi ke-n adalah Zn dengan n = 0,1,2, . . ..
Menurut Allen [1], pada proses percabangan terdapat tiga asumsi yaitu
(1) probabilitas individu menghasilkan keturunan adalahpyang bernilai sama
(2) setiap individu menghasilkan keturunan secara independen, dan
(3) proses dimulai dengan individu tunggal pada waktu n= 0.
Asumsi 1 dan 2 memberikan definisi proses percabangan Galton-Watson waktu diskrit yaitu rantai Markov waktu diskrit yang menggambarkan pertum-buhan populasi yang bereproduksi dengan percabangan sederhana dan proses tidak harus dimulai dengan individu tunggal. Ilustrasi dari contoh proses perca-bangan Galton-Watson waktu diskrit dapat dilihat pada Gambar 1. Asumsi 3
menyatakan bahwa Z0 = 1.
[image:3.612.150.464.223.365.2]Generasi
Gambar 1. Proses percabangan Galton-Watson waktu diskrit
Pada generasi ke-n,Xn secara independen menghasilkan keturunan
berjum-lah ξ1(n), ξ2(n), . . . , ξX(n)
n sehingga kumulatif banyaknya keturunan yang dihasilkan
pada generasi ke-(n+ 1) adalah
Xn+1 =ξ1(n)+ξ (n)
2 +. . .+ξ (n) Xn.
Total populasi pada generasi ke-(n) adalah
Zn=X0+X1+X2+. . .+Xn.
3. DISTRIBUSI GEOMETRIK
Distribusi geometrik merupakan distribusi yang muncul dari serangkaian percobaan Bernoulli yang saling independen. Percobaan Bernoulli adalah
perco-baan yang memiliki dua kemungkinan hasil yaitu sukses (R) dengan P(R) = b
dan gagal (F) dengan P(F) = 1−b = c. Andaikan percobaan Bernoulli
dila-kukan hingga terjadi sukses yang pertama, maka banyaknya sukses adalah satu dan banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan merupakan variabel random berdistribusi geometrik. Banyaknya percobaan Bernoulli yang diperlukan sampai
adalah 1,2,3, . . . denganY =y terjadi jika dan hanya jika terdapat serangkaian
y−1 kegagalan dan 1 sukses. Dengan syarat bahwa percobaan saling independen,
maka berlaku
f(y) =P[Y =y] =P[F F . . . F R] = cy−1
b, y= 1,2,3, . . . .
4. FUNGSI PEMBANGKIT
Fungsi pembangkit sangat berguna untuk menentukan nilai ekspektasi.
Menurut Bain dan Engelhardt [2], jika Y adalah suatu variabel random,
ma-ka nilai ekspektasi MY(s) = E(esY) disebut fungsi pembangkit momen dari Y.
Untuk variabel random yang bernilai bilangan bulat tak negatif seperti dalam kasus proses percabangan, lebih mudah dikerjakan dengan ekspektasi tipe
la-in yang dikenal dengan momen faktorial. Momen faktorial ke-r dari Y adalah
E[Y(Y −1). . .(Y −r+ 1)] dan fungsi pembangkit momen faktorial dariY adalah
GY(s) =E(sY)
apabila nilai ekspektasi ada untuk setiap s dalam interval 1−h < s <1 +h.
Fungsi pembangkit momen faktorial juga disebut fungsi pembangkit
proba-bilitas karena variabel randomY yang bernilai bilangan bulat tak negatif. Fungsi
pembangkit probabilitas menentukan distribusi dari variabel random tersebut.
Jika Y mempunyai suatu fungsi pembangkit probabilitas, GY(s), maka
G′Y(1) =E[Y],
G′′Y(1) =E[Y(Y −1)],
G(r)Y (1) =E[Y(Y −1). . .(Y −r+ 1)].
5. HASIL DAN PEMBAHASAN
5.1. Proses Percabangan pada Distribusi Geometrik. Suatu individu yang ingin melestarikan jenisnya, ia harus melakukan reproduksi. Reproduksi adalah proses suatu individu menghasilkan individu baru. Proses inilah cara dasar indi-vidu untuk mempertahankan jenisnya sehingga memiliki keturunan yang hidup pada generasi selanjutnya. Suatu populasi terdiri atas individu yang melakukan reproduksi misalnya hewan, bakteri, dan virus komputer.
Mengacu pada pengertian proses percabangan, reproduksi pada suatu gene-rasi dianggap sebagai suatu percobaan Bernoulli yang memiliki keturunan sukses
(R) apabila diperoleh keturunan dengan keadaan yang diharapkan dan keturunan
gagal (F) apabila diperoleh keturunan dengan keadaan yang tidak diharapkan.
Probabilitas untuk memiliki keturunan sukses sebesar b dan probabilitas untuk
memiliki keturunan sukses sebesar 1−b = c. Reproduksi akan dilakukan
hing-ga diperoleh keturunan denhing-gan keadaan yang diharapkan atau denhing-gan kata lain hingga percobaan Bernoulli memiliki keturunan sukses. Apabila variabel random
Y adalah banyak generasi sampai diperoleh keturunan dengan keadaan yang
di-harapkan untuk pertama kalinya maka Y berdistribusi geometrik. Variabel
ran-dom dalam proses percabangan berkaitan dengan fungsi pembangkit probabilitas. Fungsi pembangkit probabilitas merupakan alat utama untuk analisis proses per-cabangan. Fungsi pembangkit probabilitas dapat digunakan untuk menentukan rata-rata dan variansi. Untuk mengetahui fungsi pembangkit probabilitas dari suatu variabel random, harus diketahui terlebih dahulu distribusi dari variabel random tersebut.
5.2. Rata-rata dan Variansi. Rata-rata dan variansi pada proses percabangan ditentukan berdasarkan fungsi pembangkit probabilitas sesuai distribusi dari va-riabel random. Fungsi pembangkit probabililtas diturunkan untuk memperoleh rata-rata dan variansi. Turunan pertama fungsi pembangkit probabilitas pada distribusi geometrik adalah
G′Y(s) =E(Y sY−1 ).
Untuk s = 1, diperoleh
G′Y(1) =E(Y1Y−1
) =E(Y).
Nilai ekspektasi variabel random Y adalah rata-rata populasi yang diamati
se-hingga
G′Y(1) =µ. (5.1)
Fungsi pembangkit probabilitas untuk variabel random Y dengan
probabi-litas memiliki keturunan sukses sebesar b adalah
GY(s) =
b
1−(1−b)s. (5.2)
Turunan pertama untuk persamaan (5.2) adalah G′Y(s) = b(1−b)
(1−(1−b)s)2 dan untuk
nilai s = 1, diperolehG′Y(1) = b(1−b)
b2 = 1−b
b . Jadi nilai rata-rata variabel random
Y yaitu
µ= 1−b
Mengacu pada Bain dan Engelhardt [2], diberikan definisi variansi sebagai
σ2 =E(Y2)−(E(Y))2. (5.4)
Turunan kedua fungsi pembangkit probabilitas adalah
G′′Y(s) =E(Y(Y −1)sY−2 )
=E((Y2−Y)sY−2
).
Untuk s = 1, diperoleh G′′Y(1) = E((Y2−Y)1Y−2
) dan untuk y = 0,1,2,3, . . .,
diperoleh nilai 1Y−2
= 1 sehingga
G′′Y(1) =E((Y2−Y))
=E(Y2)−E(Y)
atau
E(Y2) =G′′Y(1) +E(Y). (5.5)
Berdasarkan persamaan (5.5), persamaan (5.4) dapat dinyatakan sebagai
σ2 =G′′Y(1) +E(Y)−(E(Y))2. (5.6)
Turunan kedua fungsi pembangkit probabilitas untuk variabel random Y
sebagaimana pada persamaan (5.2) adalah
G′′Y(s) = 2b(1−b)
2
(1−(1−b)s)3.
Untuk nilai s = 1, diperoleh
G′′Y(1) = 2(1−b)
2
b2 . (5.7)
Berdasarkan persamaan (5.3) dan (5.7), variansi pada persamaan (5.6) dapat dinyatakan sebagai
σ2 = 2(1−b)
2
b +
1−b
b −(
1−b
b ) 2
= (1−b)
2
b2 +
1−b
b .
Jadi variansi variabel random Y adalah
σ2 = (1−b)
2
b2 +
1−b
5.3. Penerapan. Proses percabangan mulai muncul sejak Galton menyampai-kan persoalan tentang punahnya nama keluarga pada suatu populasi. Nama ke-luarga hanya dapat diturunkan oleh keturunan laki-laki sehingga nama keke-luarga akan berhenti diturunkan apabila keturunan berjenis kelamin perempuan. Pada 1931, Alfred Lotka mengasumsikan suatu distribusi geometrik untuk menyesuai-kan distribusi keturunan populasi laki-laki Amerika pada tahun 1920. Teori proses percabangan dengan distribusi geometrik digunakan untuk membahas kepunah-an nama keluarga. Karena nama keluarga diturunkkepunah-an oleh keturunkepunah-an laki-laki maka hanya jumlah keturunan laki-laki yang diperhitungkan. Probabilitas bahwa
seorang laki-laki memiliki j keturunan laki-laki adalah
pj = (1−p0)(1−b)(j
−1)
b, j = 1,2,3, . . . , j≥1.
Probabilitas bahwa seorang laki-laki tidak memiliki keturunan laki-laki adalah
p0. Probabilitas sukses atau dengan kata lain nama keluarga akan punah adalah
b. Lotka memberikan estimasi probabilitas untuk distribusi geometrik yaitu b =
0,4107 dan p0 = 0,4825 sehingga diperoleh pj = (0,2126)(0,5893)(j
−1) .
Dari pembahasan yang telah diuraikan, diketahui bahwa rata-rata
banyak-nya generasi sampai nama keluarga punah sebesar µ = 1−b
b = 1,4349.
Dike-tahui bahwa variansi banyaknya generasi sampai nama keluarga punah adalah
σ2 = (1−b)2
b2 + 1
−b
b = 3,4937. Hal ini berarti bahwa rata-rata nama keluarga
di Amerika pada tahun 1920 akan punah pada generasi ke-1,4349 dan memiliki
ukuran penyebaran sebesar 3,4937 terhadap nilai rata-rata. Berdasarkan
simu-lasi untuk beberapa nilai b pada interval 0,20 sampai 0,50 dapat disimpulkan
jika besarnya probabilitas sukses punah yaitu b semakin kecil, maka rata-rata
banyaknya generasi sampai nama keluarga punah semakin besar dengan variansi yang semakin besar pula.
6. KESIMPULAN
Dari hasil dan pembahasan yang telah dilakukan, diperoleh dua kesimpulan berikut.
(1) Rata-rata dan variansi proses percabangan pada distribusi geometrik ada-lah
µ= 1−b
b
dan
σ2 = (1−b)
2
b2 +
1−b
b .
(2) Penerapan proses percabangan pada distribusi geometrik dengan
laki-laki sebesar 0,4825 dan probabilitas memiliki j keturunan laki-laki
sebesar (0,2126)(0,5893)(j−1)
untuk j ≥ 1 diperoleh µ = 1,4349 dengan
variansi sebesar 3,4937. Hal ini berarti bahwa rata-rata nama keluarga
di Amerika pada tahun 1920 akan punah pada generasi ke-1,4349 namun
memiliki ukuran penyebaran sebesar 3,4937 terhadap nilai rata-rata.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Allen, L. J. S.An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology. Prentice
Hall, New Jersey, 2003.
[2] Bain, L. J. and M. Engelhardt. Introducton to Probability and Mathematical Statistics.
Duxbury Press, California, 1991.
[3] Kimmel, M and D. E. Axelrod. Branching Process in Biology. Springer-Verlag, New York,
2002.
[4] Meza, R. Age-specific Incidence of Cancer: Phases, Transitions, and Biological Implications.
Proceedings of the National Academy of Science, 105(42), 2008.
[5] Mode, C. J. Multitype Branching Process Theory and Applications. Elsevier, New York,
1971.
[6] Newman, M. E. J. et al. Random Graph with Arbitrary Degree Distributions and Their
Applications.Physical Review E, 64(2), 2001.
[7] Reluga, T. C. Branching Process and Noncommuting Random Variables in Population
Bi-ology.Canadian Applied Mathemathics Quarterly, 17:397–407, 2009.
[8] Taylor, H. M. and S. Karlin.An Introduction to Stochastic Modeling. Academic Press, San
