Optik Moderen. S3 Fisika

1

Optik Moderen

I. Gelombang EM

II. Interaksi Gelombang EM dengan Materi III. Refleksi dan Refraksi Gelombang Bidang IV. MEDIA BERLAPIS ISOTROPIK

V. MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D

7. GELOMBANG TERPANDU DALAM MEDIA BERLAPIS

3

I. Gelombang EM

1.1 Persamaan Maxwell 0 ) 4 ( ) 3 ( x ) 2 ( x ) 1 ( = ∇ = ∇ + ∂ ∂ = ∇ ∂ ∂ − = ∇ • • B D J t D H t B E r r r r r r r

ρ

( )

H

B

E

D

r

r

r

r

μ

ε

=

=

)

6

(

5

muatan rapat k aruslistri rapat bahan magnet tas permeabili bahan; dalam induksi magnet medan vektor bahan listrik tas permittivi bahan; dalam listrik pergeseran vektor magnet medan vektor listrik; medan vektor = = = = = = = =

ρ

μ

ε

J B D H E r r r r r

Bahan optik bersifat dielektrik, isolator dan nonmagnetik: ρ=0, J=0 0 ) 4 ( 0 ) 3 ( x ) 2 ( x ) 1 ( = ∇ = ∇ ∂ ∂ = ∇ ∂ ∂ − = ∇ • • B D t D H t B E r r r r r r

H

B

E

D

o

r

r

r

r

μ

ε

=

=

)

6

(

)

5

(

bahan dalam cahaya kecepatan , c bahan bias indeks ; bahan dielektrik tetapan ; hampa ruang dalam cahaya kecepatan ; 1 dielektrik bahan dalam cahaya kecepatan ; 1 n n c r o r o o o = = = = = ν ε ε ε ε μ ε εμ ν

5

1.2 Syarat Batas di batas dua bahan dielektrik

Divergensi Gauss: ⊥ ⊥ − ⊥ ⊥ − = → = = → = • • 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 0 ) ( 0 ) ( E E D D n B B B B n ε ε r r r r r r 2 1

nˆ

2 1

nˆ

Teorema Stokes: // 2 // 1 1 2 // 2 // 1 1 2

0

)

ˆ

(

x

ˆ

0

)

(

x

ˆ

B

B

H

H

n

E

E

E

E

n

=

→

=

−

=

→

=

−

r

r

r

∫

∫

∇

F

•

n

dS

=

F

•

d

l

r

r

r

ˆ

x

∫

∫

∇

•

F

dV

=

F

•

n

ˆ

dS

r

r

1.3 Persamaan Gelombang dalam bahan dielektrik 0 atau 0 ) 3 ( ) ( ) x ( x x : ) 5 ( & ) 2 ( x ) x ( x : ) 6 ( & ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∇ = ∂ ∂ − ∇ ∂ ∂ − = ∇ − −∇ = ∇ − ∇ ∇ = ∇ ∇ ∂ ∂ = ∇ ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ − = ∇ ∇ • t E c n E t E E t E E E E E E t E H t H t E o o o r r r r r r r r r r r r r r

ε

μ

ε

μ

ε

μ

7 Gelombang bidang ) . ( 2 ) . ( 1

ˆ

ˆ

r k t i o r k t i o

e

H

u

H

e

E

u

E

r r r r

r

r

− −

=

=

ω ω

E_o dan H_o adalah amplitudo kompleks, konstan dalam ruang dan waktu.

0

ˆ

0

0

ˆ

0

2 1

=

→

=

∇

=

→

=

∇

• • • •

k

u

H

k

u

E

r

r

r

r

Artinya, amplitudo tegak lurus terhadap arah penjalaran.

Dari pers. Maxwell (1): o

o o

E

H

k

u

k

u

μ

ε

=

=

x

ˆ

dan

ˆ

1 2

r

r

k

r

1 ˆu 2 ˆu n n _o o o = ≈ Ω = 1 377

ε

μ

ε

μ

η

Adalah impedansi material; impedansi ruang vakum=377Ω

1.4 Rapat energi dan Fluks energi

Cahaya membawa energidalam bentuk radiasi gelombang EM. Dua aspek penting dari elektromagnet:

1. Rapat energi yang tersimpan dalam gelombang EM, 2. Fluks energi terkait dengan gelombang EM tersebut. Dari pers.Maxwell (2): D E H E E Jr

.

r = v

.

(∇x r)− v

.

∂_t r Identitas vektor:

_∇

.

₍

_E

r

_x

_H

r

₎

₌

_H

r

.

₍

_∇

_x

_E

r

₎

₋

_E

v

.

₍

_∇

_x

_H

r

₎

U S D E B H H E E J t t t ∂ − −∇ = ∂ − ∂ − −∇ = r r v r r r r r r

.

.

.

.

.

( x ) sehingga:

9 E J U Sr _t r

.

r

.

+∂ = − ∇ D E B H U D E B H t U t t r v r r r v r r

_.

_.

_.

_.

+ = → ∂ + ∂ = ∂ ∂ H E Sr = rx r

Rapat energi (Joule/m3₎

Fluks energi atau vektor poynting (Watt/m2_).

Sr

.

∇ merupakan daya EM yang mengalir keluar dari unit volum.

Merupakan persamaan kontinuitas, atau hukum kekekalan energi untuk gelombang EM.

E J U Sr _t r

.

r

.

+∂ = − ∇

II. Interaksi Gelombang EM dengan Materi

2.1 Konstanta dielektrik, indeks bias

Kehadiran medan listrik dalam bahan menyebabkan pergeseran posisi muatan positip dan muatan negatif dalam setiap atom.

Dalam bahan dielektrik, pergeseran itu menginduksikan momen dipol:

E

p

r

=

α

r

α=polarizabilitas atom

Jika N=jumlah atom/unit volum, maka polarisasi listrik yang terjadi adalah:

E P E N p N P o r r r r r χ ε α = = = o N ε α

χ = χ=suseptibilitas listrik bahan

Konstanta dielektrik bahan: _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = o o o N ε α ε χ ε ε (1 ) 1

α

11

2.2 Indeks bias dengan model elektron

Misalkan medan listrik yang mengenai atom: i t oe

E E = ω Karena keelastisan elektron, persamaan geraknya:

t i o o

x

eE

e

m

dt

dx

m

dt

x

d

m

₂

+

γ

+

ω

2

=

−

ω 2

x=posisi elektron relatif terhadap inti atom, m=massa elektron, ω_o= frekuensi eigen dari elektron, γ=koefisien redaman.

)

(

ω

2

ω

2

i

γω

m

eE

x

o

−

+

−

=

Momen dipol terinduksi:

_E

i

m

e

ex

p

o

)

(

2 2 2

γω

ω

ω

−

+

=

−

=

Solusi stasioner:

Jadi, polarizabilitas atom:

)

(

2 2 2

γω

ω

ω

α

i

m

e

o

−

+

=

Indeks bias bahan:

)

(

1

_{2 2} 2

γω

ω

ω

ε

m

i

Ne

n

o o

−

+

+

=

Jika suku ke dua dalam tanda akar sangat kecil terhadap 1, maka

)

(

2

1

_{2 2} 2

γω

ω

ω

ε

m

i

Ne

n

o o

−

+

+

≈

1. N dan ω_o bergantung pada bahan. Jelas bahwa indeks bias bergantung pada frekuensi cahaya ω.

2. Jika ω dinaikkan mendekati ω_o, indeks bias juga akan naik. Ini berlaku pada semua bahan transparan. Indeks bias untuk cahaya biru > indeks bias untuk cahaya merah. Fenomena ini disebut dispersi.

3. Karena iγω, indeks bias menjadi kompleks:

4

4

4

4

3

4

4

4

4

2

1

4

4

4

4

4

3

4

4

4

4

4

2

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

(

2

)

(

2

)

(

1

ω

γ

ω

ω

ε

γω

ω

γ

ω

ω

ε

ω

ω

+

−

−

+

−

−

+

≈

o o o o o

m

Ne

i

m

Ne

n

13 ) ( t kz i o

e

E

E

=

ω −

Tinjau gelombang EM menjalar sepanjang sb-z:

λ

π

2 ; ) " ' ( − = = = nk _o n in k_o k_o k Tuliskan: n=n’-in”

Komponen imajiner dari indeks bias menyebabkan atenuasi amplitudo sepanjang penjalarannya. ) ' ( "k z i t nk z n o o o

e

e

E

E

=

− ω −

2.3 Indeks bias logam

Di dalam logam terdapat banyak elektron bebas; dengan medan listrik elektron-elektron bebas bergerak. Jadi ω_o=0, dan indeks bias menjadi:

)

(

1

₂ 2

γω

ω

ε

m

i

Ne

n

o

−

−

=

Jika γ<< ω: 2 2

1

ω

ω

_p

n

=

−

m

Ne

o p

ε

ω

=

2 _{Frekuensi plasma elektron}

Untuk ω>ω_p: n ril, gelombang menjalar bebas dalam logam.

Untuk ω<ω_p: n imajiner murni, gelombang teratenuasi dalam logam. Aluminium, tembaga, emas dan perak: N~1023_/cm3 , ω

p~2x1016s-1;

jadi untuk sinar tampak ω<ω_p sehingga n imajiner.

Secara umum, karena γ finit maka logam memiliki n kompleks. Emas: n=0,84+ i1,84 pada 0,5 μm

15

2.4 Pulsa optik dan kecepatan grup

Dalam berbagai aplikasi, laser diopersikan dalam bentuk pulsa.

Penjalaran pulsa laser dalam bahan linier (P=ε_oχE), bisa dinyatakan sebagai superposisi dari gelombang-gelombang bidang dengan berbagai frekuensi. Misalkan A(k) menyatakan amplitudo dari komponen gelombang bidang dengan k=bilangan gelombang. Pulsa dapat dituliskan:

∫

∞ ∞ − −

=

A

k

e

dk

t

z

,

)

(

)

i( t kz)

(

ω

ψ

di mana dimisalkan k dan ω(k) ril.

Hubungan antara ω dan k disebut hubungan dispersi.

Misalkan ω_o= pusat frekuensi dengan k_o= bilangan gelombangnya, dan Δω disekitar ω_o adalah pelebaran frekuensi dengan Δk pelebaran bilangan

gelombangnya. Ekspansi Taylor dari ω(k) adalah:

4

43

4

42

1

abaikan

.

...

...

)

(

)

(

0

+

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

_o

k

k

_o

dk

d

k

ω

ω

ω

Substitusikan ke ψ(z,t):

∫

∞ ∞ − − − − ≈ e A k e dk t z, ) i( ot koz) ( ) i[(d /dk)ot z](k ko) ( ω ω

ψ

∫

∞ ∞ − − − = − d dk t A k e dk z E i d dk ot z k ko o ) ]( ) / [( ) ( ] ) / ( [

ω

ω

Integral di atas merupakan fungsi envelop, dan dituliskan: ] ) / ( [ ) , (z t ei( ot koz)E z d

ω

dk _o t

ψ

₌ ω − ₋ ψ(z,0) z k_{o k} ) (k A o g dk d v ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

17

Dispersi material

Bilangan gelombang:

c

n

k

=

ω

o g dk d v ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

ω

ω

ω

dn d n c v_g / + =

Jadi, kecepatan fasa > kecepatan grup.

Kecepatan grup bergantung pada frekuensi cahaya. Kecepatan fasa :

n

c

v

_f

=

Kecepatan grup: serat optik Pelebaran pulsa

III. Refleksi dan Refraksi Gelombang Bidang

) . ( t k r i

e

E

r r

r

_{ω −} i

k

r

) . ( t k r i r r

e

E

r r

r

_{ω −} r

k

r

t

k

r

) . ( t k r i t t

e

E

r r

r

_{ω −} i

θ

r

θ

_θ

_t 2 1

n

n

x z

k

i

k

r

n

c

ω

1

=

=

r

r

c

n

k

r

_t

=

₂

ω

t r i

k

k

k

r

,

r

,

r

yang disebut bidang datang.

Komponen tangensial ketiga medan itu sama: tz rz iz t t r r i i

k

k

k

k

k

k

=

=

=

=

θ

θ

θ

sin

sin

sin

r

r

r

t t i i r i

θ

n

θ

n

θ

θ

=

;

sin

=

sin

terletak dalam bidang-xz

19

3.2 Refleksi dan Transmisi

H₁ E₁ H’₁ E’₁ H₂ E₂ 2 1

n

n

z x TE atau gel-s H₁ E₁ H’₁ E’₁ H₂ E₂ 2 1

n

n

z x TM atau gel-p + 1

θ

θ

2

θ

₁

θ

2

Solusi umum dari persamaan gelombang dalam setiap medium merupakan superposisi dari gelombang datang dan gelombang pantul:

H’₂ E’_{2 H’} 2 E’₂ +

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

+

<

+

=

− − − −

0

;

)

'

(

0

;

)

'

(

. ' 2 . 2 . ' 1 . 1 2 2 1 1

x

e

e

E

e

E

x

e

e

E

e

E

E

t i r k i r k i t i r k i r k i ω ω r r r r r r r r

r

r

r

r

r

E

i

H

o

r

r

x

∇

=

ωμ

E₁ H’₁ E’₁ H₂ E₂ 2 1

n

n

z x TE atau gel-s 1

θ

θ

2 _H’ 2 E’₂ Kontinuitas E_y dan H_z di x=0: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 cos ) ' ( cos ) ' ( : ' ' :

θ

θ

_{s s} s s z s s s s y E E n E E n H E E E E E − = − + = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ s s s s s s E E D E E D 2 2 1 1 ' ) 2 ( ' ) 1 ( 2 , 1 ; cos cos 1 1 ) ( _⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = i n n i D i i i i s

θ

θ

21 Koefisien refleksi: i i ix x x x x E s s s n k k k k k n n n n E E r s θ λ π θ θ θ θ cos 2 cos cos cos cos ' 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 0 ' 1 1 2 = + − = + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = Koefisien transmisi: x x x E s s s k k k n n n E E t s 2 1 1 2 2 1 1 1 1 0 ' 1 2 2 cos cos cos 2 2 + = + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = θ θ θ Reflektansi:

R

_s

=

r

_s 2 Transmittans: x x s s k k t T 1 2 2 =

TM atau gel-p H₁ E₁ H’₁ E’₁ H₂ E₂ 2 1

n

n

z x + 1

θ

θ

2 H’₂ E’₂ + ) ' ( ) ' ( : cos ) ' ( cos ) ' ( : 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 p p p p y p p p p z E E n E E n H E E E E E − = − + = + θ θ Kontinuitas E_z dan H_ydi x=0: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ p p p p p p E E D E E D 2 2 1 1 ' ) 2 ( ' ) 1 ( 2 , 1 ; cos cos ) ( _⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = i n n i D i i i i p θ θ

23 Koefisien refleksi: x x x x E p p p k n k n k n k n n n n n E E r p 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 ' 1 1 cos cos cos cos ' 2 + − = + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = θ θ θ θ Koefisien transmisi: x x x E p p p k n k n k n n n n n E E t p 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 0 ' 1 2 2 cos cos cos 2 2 + = + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = θ θ θ Reflektansi:

R

_p

=

r

_p 2 Transmittans: x x p p k k t T 1 2 2 =

n₁=1 θ₁ 7 , 1 2 = n x z

Reflektans dielektrik-dielektrik, n

₁

<n

₂.

Reflektans gelombang-s terus naik hingga sudut maksimum.

Reflektans gelombang-p mempunyai harga minimum.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Sudut datang Re fle kta ns s p

25

3.3 Refleksi total internal

2 2 1 1 sinθ n sinθ n = Jika n₁>n₂:

θ

₂

>

θ

₁ Agar θ₂=90o_, θ₁ →θ_c = sin−1(n₂ / n₁)

Jika θ₁>θ_c terjadi refleksi total dari semua energi cahaya. Sudut θ₂ menjadi:

2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 cos 1 sin sin sin sin 1 cos 1 sin sin sin sin θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ i i n n c c c − = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = > = = θ₁ 2 n n₁>n₂ x z θ₂ 1

k

r

k

r

₁' 2

k

r

Cos θ₂ berharga imajiner; transmisi meluruh eksponensial terhadap x.

) sin ( ) . ( 2 2 2 θ ω ωt k r qx i t k z i

e

e

e

E

∝

− r

=

− − r

Total internal reflection terjadi pada

θ

₁

>

θ

_c

.

o c c

n

n

n

n

n

n

36

0

.

1

,

7

.

1

;

sin

2 1 2 1 1 2 1 1

=

→

=

=

>

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

>

−

θ

θ

θ

θ₁ 1 2 = n n₁=1,7 x z

Reflektans dielektrik-dielektrik, n

₁

>n

₂.

θ

_c

=55,4

o 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Sudut datang

R

ef

lek

tans

TIR p s θ_c

27 1 cos cos cos cos ; cos cos cos cos 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 = = + − − − = − + = p s p s r r n in n in r in n in n r θ θ θ θ θ θ θ θ

Koefisien refleksi pada saat refleksi total:

Semua energi cahaya direfleksikan secara total. Perbedaan sinar datang dan sinar terpantul

hanya pada fasa. Misalkan r∼eiφ_{, maka}

2 / 1 1 2 2 1 2 1 sin 1 sin sin 2 _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = −

φ

θ

θ

φ

c s tg ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − = − 2 2 1 2 / 1 1 2 2 1 2 1 sin 1 sin sin 2 n n tg c p

φ

θ

θ

π

φ

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Sudut datang Fa sa /p i 0 . 1 7 . 1 2 1 = = n n φ_s φ_p+π

3.4 Gelombang evanesen

Berkas cahaya transmisi:

_E

₂

_e

i( t k2.rr) r −

∝

ω ) cos sin ( . _{2 2 2} 2 r k z θ x θ kr r = + 1 1 2 2sinθ k sinθ k = 1 ) sin / (sin ) sin / (sin 1 cos 2 1 2 1 2 = − θ θc = −i θ θc − θ

Saat berlangsung refleksi total: 1 1 2 2sinθ n sinθ n = 0 ] 1 ) sin / [(sin cos 2 1/2 1 2 2 2 = − > = ik k _c q θ θ θ ) sin ( 2 1 1 θ ωt k z i qx

e

e

E

∝

− −

E₂ menjalar diperbatasan sepanjang sb-z, dengan amplitudo yang mengalami

qx e− m x qx m q nm n n₁ =1.7, ₂ =1.4, λ = 630 → = 7.388 x105 −1. Untuk =1 → =1.35μ x z

E

₂

29 2 2 2 2 x 1 xE k E i H o o r r r r ωμ ωμ ∇ = = ) . ( 2 2 r k t i

e

E

r r −

∝

ω qx o e E k H E S 12 Re _{2 2} 2 2 2 1 *] x Re[ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = = r r r r r ωμ qx o x x k E e S Re ˆ . _{2 2} 2 2 2 1 − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = r r ωμ iq ik k x z x k k x c − = − − = = + = 1 ) sin / (sin cos ) cos ˆ sin ˆ ( . ˆ . ˆ 2 1 2 2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ r ) cos ˆ sin ˆ ( _{2 2} 2 2 k z θ x θ kr = + 0 = x S

Harga rata-rata komponen-x dari vektor poynting:

Artinya, pada saat refleksi total tidak ada transmisi cahaya melalui perbatasan.

zˆ xˆ

3.5 Reflektans permukaan bahan penyerap

Bahan penyerap seperti logam mempunyai indeks bias kompleks:

n

=

n

' in

−

"

" 2 ' 2 2 1 1; n n in n = = − 2 n 1 θ 1 n 2 " 2 ' 2 1 ( )sin sinθ = n −in θ 2 θ x z Snellius: Koefisien refleksi: 1 2 2 1 1 2 2 1 cos cos cos cos θ θ θ θ n n n n r_p + − = 2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos cos cos θ θ θ θ n n n n r_s + − = 0.96 0.965 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1 1.005 Re fle kt an s

p

s

n₁=1.0 n₂=0.05-i 2.87 (Ag 500 nm)

31

Pada sudut di mana reflektans

gelombang-p minimum, foton-foton

cahaya dari

gelombang evanesen

terpakai untuk menggerakkan

elektron-elektron bebas di permukaan

logam; dengan itu terbentuk

gelombang kerapatan elektron.

Gelombang kerapatan elektron ini

disebut

surface plasmon

.

0 20 40 60 80 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1

Incident angle (degree)

R

ef

lec

tanc

e

Karena frekuensi foton sama dengan frekuensi eigen plasmon, maka

fenomena ini disebut

Surface Plasmon Resonance

(SPR).

Surface Plasmon

s

Penjelasan Surface Plasmon

x n₁ n_core n₂ x=-d x=0 z ( , , ) ( ) i( t z) y y x z t E x e E = ω −β

β=komponen-z dari vektor gelombang. Tinjau gelombang-s (TE):

Hr Er 0 ) ( 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{+ − =} ∂ ∂ → = ∂ ∂ − ∇ y y _y y E c n x E t E c n E

ω

β

→ < − → > − 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2

β

ω

β

ω

c n c n

Solusi merupakan gelombang menjalar.

Solusi merupakan fungsi eksponensial menurun

Jadi, agar gelombang menjalar dalam teras, maka selain TIR juga harus dipenuhi:

teras selubung

33 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < + < < − − > = + − d x e hd h p hd C x d hx h p hx C x Ce x E d x q px y , ] sin ) / ( [cos 0 ], sin ) / ( [cos 0 ; ) ( ) ( 2 2 2 2 1 2 2 2 _{; ( / ) ; ( / )} ) / (n c q n c p n c h = _coreω − β = β − ω = β − ω

Dengan menggunakan syarat kontinuitas di x=0 dan x=-d dari E_y dan H_z, akan diperoleh solusi persamaan gelombang:

) / 1 ( tg ₂ h pq h q p hd − + =

) ( ) ( ) , , ( i t z y y x z t H x e H = ω −β Tinjau gelombang-p (TM): ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < + − < < − + − > − = + − d x e hd hd p h C x d hx hx p h C x Ce p h x H d x q px y , ] sin cos ) / [( 0 ], sin cos ) / ( [ 0 ; ) / ( ) ( ) ( y x z y z x H i t z x E H i t z x E ∂ − = ∂ =

ωε

ωε

) , , ( ) , , ( q n n q p n n p q p h hd ( ); ( / )2 ; ( / )2 tg = + = =

Dengan menggunakan syarat kontinuitas di x=0 dan x=-d dari H_y dan E_z, akan diperoleh solusi persamaan gelombang:

35

Sistem 2-lapisan, d=0:

n₁ n₂ x z

0

q

p,

karena

terjadi

mungkin

tidak

0

:

s

Gel

−

p

+

q

=

>

;

0

:

p

Gel

₂ 1 2 2

=

+

−

n

q

n

p

0

c

n

n

n

n

ω

β

2 / 1 2 2 2 1 2 2 2 1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

2 2 2 2 1 4 1 2 2 2 2 2 1 4 2 2

_;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

c

n

n

n

q

c

n

n

n

p

ω

ω

0

0

Karena

2 2 2 1

+

<

→

>

n

n

β

(?)

imajiner

2

n

→

0

maka

0

Karena

2 2 2 1

>

n

<

n

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

≤

=

− − −

0

0

)

,

,

(

) ( ) (

x

e

e

C

x

e

e

C

t

z

x

H

z t i px z t i qx y β ω β ω

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤

=

− − −

0

0

)

,

,

(

) ( 2 2 ) ( 2 1

x

e

Ce

n

x

e

Ce

n

t

z

x

E

z t i px o z t i qx o x β ω β ω

ωε

β

ωε

β

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

−

≤

=

− − −

0

0

)

,

,

(

) ( 2 2 ) ( 2 1

x

e

Ce

n

ip

x

e

Ce

n

iq

t

z

x

E

z t i px o z t i qx o z β ω β ω

ωε

ωε

37

Ketiga komponen medan menjalar di

perbatasan dielektrik/ logam sepanjang

sb-z; amplitudo masing2 mengecil secara

eksponensial di dalam dielektrik dan logam.

Karena p>q>0, maka amplitudo itu lebih

cepat padam di dalam logam.

Komponen2 E

_x

dan E

_z

membentuk

polarisasi ellips di atas bidang-xz dekat

dengan batas dielektrik-logam.

E(x<0) E(x>0) x z x z n₁ n₂ qx

e

px

e

−

Kebanyakan logam memiliki tetapan dielektrik (n

2

_{) yang kompleks}

_.

Penjalaran gelombang permukaan pada perbatasan antara logam

dan bahan dielektrik mengalami hambatan ohmik.

Oleh sebab itu penjalaran akan mengalami atenuasi sepanjang

sumbu-z.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n

i

n

n

n

n

i

2 n

n

n

=

′

−

′′

→

=

′

−

′′

−

′

′′

β

β

β

ω

β

_⎟⎟

→

=

′

−

′′

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

i

c

n

n

n

n

1/2 2 2 2 1 2 2 2 1

39 x z n₁ n₂ qx

e

px

e

−

[

_n

_n

_n

_n

_n

]

c

n

n

n

c

n

n

n

n

n

n

ω

_β

ω

β

_1/2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 1 2 2 2 / 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1

)

)(

(

;

)

(

)

(

′′

−

′

+

′′

−

′

′′

′

=

′′

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′′

−

′

+

′′

−

′

=

′

Konstanta penjalaran

sepanjang sb-z.

Konstanta atenuasi

sepanjang sb-z.

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥

≤

∝

− ′′ ₋

0

0

,

,

x

e

x

e

e

E

E

H

px qx z z x y β

3.6 Lapisan homogen dan isotropik

x n₁ n₂ n₃ x=-d/2 x=d/2 z ) ( ) ( ˆ ) , , ( i t z y y x z t yE x e Er = ω −β

β=komponen-z dari vektor gelombang.

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < < − + − < + = − − − 2 / , 2 / 2 / , 2 / , ) ( 3 2 2 1 1 d x Fe d x d De Ce d x Be Ae x E x ik x ik x ik x ik x ik y x x x x x

Tinjau gelombang-s (TE):

i i

i

ix n c c n

k = ( ω / )2 − β 2 = (ω / ) cosθ

Medan magnet bisa ditentukan dengan:

y o E i Hr = ∇ x r

ωμ

) ( _; ) ( ) , , ( i t z y o x i e x E t z x H ω β ωμ β − − = Hr Er

41 ) ( ) ( _{( )} ) ( ) , , ( i t z z z t i x o z E x e H x e i t z x H ω β ω β

ωμ

− − ₌ ∂ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > < < − − − < − = − − − 2 / , 2 / 2 / ), ( 2 / ), ( ) ( 3 2 2 1 1 3 2 1 d x Fe k d x d De Ce k d x Be Ae k x H x ik o x x ik x ik o x x ik x ik o x z x x x x x ωμ ωμ ωμ

Kontinuitas E_y dan H_z berlaku di x=0 dan x=d:

F k De Ce k F De Ce D C k B A k D C B A x d ik d ik x d ik d ik x x x x x x 3 2 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 = − = + − = − + = + − −

d k i x x x x x x x x d ik x x x x e k k k k k k k k e k k A F 2 2 2 3 2 2 1 3 2 2 1 2 1 ) )( ( ) )( ( 4 − − − − + + + = d k i x x x x x x x x d k i x x x x x x x x x x e k k k k k k k k e k k k k k k k k A B 2 2 2 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 2 2 1 3 2 2 1 ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( − − − − + + + − + + + − =

Koefisien refleksi 2-lapisan:

x x x x x x x x k k k k r k k k k r 3 2 3 2 23 2 1 2 1 12 ; ₊ − = + − =

Koefisien transmisi 2-lapisan: t = 2n1n2k1x ; t = 2n2n3k2x Koefisien refleksi dan transmisi sistem 3-lapisan di atas

A F t A B r = ; =

43 d k i d ik d k i x x x x x x x x d ik x x x x x x e r r e t t e k k k k k k k k e k k A F t 2 2 2 2 2 23 12 23 12 2 3 2 2 1 3 2 2 1 2 1 1 ) )( ( ) )( ( 4 − − − − + + = − − + + + = =

Jadi untuk sistem 3-lapisan di atas:

d k i d k i d k i x x x x x x x x d k i x x x x x x x x x x x x e r r e r r e k k k k k k k k e k k k k k k k k A B r 2 2 2 2 2 23 12 2 23 12 2 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 2 2 1 3 2 2 1 1 ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( − − − − + + = − − + + + − + + + − = = x x x x k n k n k n k n r 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 12 ₊ − = x x x x k n k n k n k n r 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 23 + − = x x x k n k n k n n t 2 2 3 3 2 2 2 3 2 23 2 + = x x x k n k n k n n t 1 2 2 2 2 1 1 2 1 12 2 + =

Reflektans, transmittans dan absorptans: ) ( 1 ; cos cos ; 2 1 1 3 3 2 T R A t n n T r R = = = − +

θ

θ

3 3 2 2 1

1sin

θ

n sin

θ

n sin

θ

45 2 2 23 12 2 23 12

1

r

R

e

r

r

e

r

r

r

_{p p i} i p p

=

+

+

=

−₋ φ_φ 2 2

cos

2

_θ

λ

π

φ

=

n

d

n₁ n₂ n₃ x θ₂ d θ₃ θ₁

3.7 Attenuation Total Reflection (ATR)

1 2 2 1 1 2 2 1 12

cos

cos

cos

cos

θ

θ

θ

θ

n

n

n

n

r

+

−

=

2 3 3 2 2 3 3 2 23

cos

cos

cos

cos

θ

θ

θ

θ

n

n

n

n

r

+

−

=

2 2 3 2 3

1

sin

cos

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

θ

θ

n

n

Dengan rumusan di atas telah dibuat program komputer untuk R.

2 2 2 1 2

1

sin

cos

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

θ

θ

n

n

47

Hasil-hasil perhitungan:

d=50nm n₃ n₁ θ₁ n₂ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Sudut datang R efl ek tan s n₁=1.723 n₂=2.0 n₃=1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Sudut datang R ef lek tans n₁=1.723 n₂=1.6 n₃=1 λ=633 nm

0

20

40

60

80

100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Incident angle (degree)

R

ef

lec

tanc

e

n

₁

=1.723

n

₂

=0.173+i 3.422

(Au pada 633nm)

d=50 nm

n

₃

=1

d n₃ n₁ θ₁ n₂ Surface plasmon

49

35

36

37

38

39

40

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Incident angle (degree)

R

ef

lec

tanc

e

n

₃

=1

35

36

37

38

39

40

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Incident angle (degree)

R

ef

lec

tanc

e

n

₃

=1.005

51

IV. MEDIA BERLAPIS ISOTROPIK

4.1 Perumusan Matriks

Perhatikan lapisan medium dielektrik ini. Karena setiap lapisan itu homogen

sepanjang sumbu-z, maka gelombang bidang yang memenuhi persamaan Maxwell adalah (untuk gel-s):

) (

)

(

)

,

,

(

i t z y y

x

z

t

E

x

e

E

=

ω −β

βadalah komponen-z dari vektor gelombang. Untuk gel-p, ganti E_y dengan H_y. E_y(x) dapat dinayatakan sebagai superposisi gelombang menjalar ke kanan dan ke kiri; pada setiap lapis berlaku:

)

(

)

(

)

(

x

R

e

L

e

A

x

B

x

E

_y

=

−ikxx

+

ikxx

=

+

x z n₁ A₁ B₁ n₂ A’₂ A₂ B’₂ B₂ n₃ A’₃ B’₃ x=0 x=d

Sesuai dengan rumusan refleksi-transmisi (hal.19): ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ → ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ ' 2 ' 2 12 ' 2 ' 2 2 1 1 1 1 ' 2 ' 2 2 1 1 1 ~ ~ ~ ~ ~ B A D B A D D B A B A D B A D Penjalaran: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 ' 2 ' 2 ~ B A P B A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ → ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ' 3 ' 3 23 ' 3 ' 3 3 1 2 2 2 ' 3 ' 3 3 2 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ B A D B A D D B A B A D B A D x z n₁ A₁ B₁ n₂ A’₂ A₂ B’₂ B₂ n₃ A’₃ B’₃ x=0 x=d Secara keseluruhan: _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{− −} ' 3 ' 3 23 2 12 ' 3 ' 3 2 1 2 2 2 1 1 1 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ B A D P D B A D D P D D B A

53 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ₋ 2 2 0 0 ~ 2 _φ φ i i e e P 3 , 2 , 1 p gel untuk cos cos s gel untuk cos cos 1 1 ~ = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = i n n n n D i i i i i i i i i θ θ θ θ

d

k

c

n

k

c

n

_i

sin

_i

,

_ix

=

_i

cos

_i

,

₂

=

_2x

=

ω

θ

ω

θ

φ

β

D C D I D D T ~ det ~ ~ ) identitas ( ~ ~ ~ _{1 1} = → = − − ij ij

d

c

=

kofaktor

dari

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 ~ Misalkan d d d d d d d d d D

Kofaktor dari d_ij=(-1)i+j _M

ij; Mij =minor dari dij. Kofaktor dari d₁₂= - M₁₂ 33 31 23 21 12 d d d d M = Catatan:

( )

21 33 31 23 21 12 T C d d d d c = − =

( )

ji ij T

c

C

~

=

C C~ =T Tranpos dari ~

55 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 cos cos ~ cos cos 1 1 ~ i i i i i i i i i n n C n n D θ θ θ θ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = i i i i i i i i i n n C n n D θ θ θ θ cos cos ~ cos cos ~ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = 1 cos 1 cos ~ i i i i T n n C θ θ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − = − 1 cos 1 cos cos 2 1 ~ 1 i i i i i i i n n n D θ θ θ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = i i i i T n n C θ θ cos cos ~ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − = − i i i i i i i n n n D θ θ θ cos cos cos 2 1 ~ 1 Gel-s: Gel-p: Cek: _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − 1 0 0 1 ~ ~ 1 i i D D

= = − 2 1 1 12 ~ ~ ~ D D D gel s n n n n n n n n − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos 1 2 1 cos cos 1 2 1 cos cos 1 2 1 cos cos 1 2 1 θ θ θ θ θ θ θ θ = = − 2 1 1 12 ~ ~ ~ D D D gel p n n n n n n n n − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 cos cos 1 2 1 cos cos 1 2 1 cos cos 1 2 1 cos cos 1 2 1 θ θ θ θ θ θ θ θ

57

4.2 Perumusan untuk Sistem Multilapis

n_o A_o B_o n₁ A₁ B₁ n₂ A₂ B₂ n_N-1 A_N-1 B_N-1 n_N A_N B_N ……. n_s A’_s B’_s

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

<

<

<

<

<

<

<

<

=

−

.

,

,

...

...

....

,

,

,

)

(

1 2 1 2 1 1

x

x

n

x

x

x

n

x

x

x

n

x

x

x

n

x

x

n

x

n

N s N N N o o o x x_o x₁ x₂ ……. x_N-1 x_N 1 1 2 2 1 1

....

−

−

=

−

=

−

=

N N N o

x

x

d

x

x

d

x

x

d

d₁ d₂ d_N-1 d_N N=jumlah lapisan

) (

)

(

i t z

e

x

E

E

=

ω −β

Misalkan solusi persamaan gelombang adalah gelombang bidang:

N

l

x

x

e

B

e

A

x

x

x

e

B

e

A

x

x

e

B

e

A

x

E

N x x x ik s x x x ik s l l x x x ik l x x x ik l o x x x ik o x x x ik o s sx s sx l lx l lx o ox o ox

...,

,

2

,

1

,

.

,

'

'

,

,

)

(

) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) (

=

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

<

+

<

<

+

<

+

=

− − − − − − − − − − s N l c n c n k_{lx l} cos _{l l} 2 , 0, 1, 2, 3...., , 2 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ω θ ω β ; ~ ~ 1 1 1 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ B A P D D B A o o o ~ ~ _; 1 1 1 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + − l l l l l l l B A P D D B A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ s s s N N N B A D D B A ' ' ~ ~ 1

59 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ' ' 22 21 12 11 s s o o B A M M M M B A s l l l N l o D PD D D M M M M _{~ ~ ~ ~ 1 ~} 1 1 22 21 12 11 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ = −

∏

N l n n n n D l l l l l l l l l ..., , 2 , 1 p gel untuk cos cos s gel untuk cos cos 1 1 ~ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = θ θ θ θ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ₋ l l i i l e e P _φ φ 0 0 ~ l lx l

=

k

d

φ

Untuk 3 lapisan

n₁ A₁ B₁ n₂ A₂ B₂ n₃ A₃ B₃ x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 3 22 21 12 11 1 1 B A M M M M B A 3 1 2 2 2 1 1 22 21 12 11 ~ ~ ~ ~ ~ D D P D D M M M M _{− −} = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ d ⎞ ⎛ + − ⎞ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 2 2 1 1 3 3 21 2 2 3 3 1 1 2 2 1 1 3 3 12 2 2 3 3 1 1 2 2 1 1 3 3 11 cos cos sin 1 cos cos 1 1 cos cos cos cos sin 2 1 cos cos cos 1 2 1 cos cos cos cos sin 2 1 cos cos cos 1 2 1 cos cos cos cos sin 2 1 cos cos cos 1 2 1

θ

θ

φ

φ

θ

θ

θ

θ

θ

φ

φ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

φ

φ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

φ

φ

θ

θ

n n n n n n n i n n M n n n n i n n M n n n n i n n M Gel-s

61 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 1 2 2 3 2 1 3 2 1 3 1 3 22 1 2 2 3 2 1 3 2 1 3 1 3 21 1 2 2 3 2 1 3 2 1 3 1 3 12 1 2 2 3 2 1 3 2 1 3 1 3 11 cos cos cos cos sin 2 1 cos cos cos 2 1 cos cos cos cos sin 2 1 cos cos cos 2 1 cos cos cos cos sin 2 1 cos cos cos 2 1 cos cos cos cos sin 2 1 cos cos cos 2 1

θ

θ

θ

θ

φ

φ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

φ

φ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

φ

φ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

φ

φ

θ

θ

n n n n i n n M n n n n i n n M n n n n i n n M n n n n i n n M Gel-p

Koefisien refleksi dan transmissi:

11 11 11 21 11 21 1 cos cos 1 M n n T M t M M R M M r o o s s θ θ = → = = → =

Sistem lapisan ¼ gelombang

N pasangan lapisan dengan n₁d₁=n₂d₂=λ/4

n₁ n₂ n₁ n₂ d₁ d₂ d₁ d₂ n_o ns

[

]

s N o D PD D P D D D M M M M _{~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~} 2 2 2 1 1 1 1 1 22 21 12 11 ₌ − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 ………. N

63

V. MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D

5.1 Media berlapis periodik 1-dimensi

perioda

);

(

)

(

x

=

n

x

+

Λ

Λ

=

d

₁

+

d

₂

=

n

x n₁ n₂ n₁ n₂ n₁ n₂ d₁ d₂ d₁ d₂ d₁ d₂ x=nΛ x=(n-1)Λ x=(n-2)Λ n₁ n₂ n₁ n₂ n₁ n₂ d₁ d₂ d₁ d₂ d₁ d₂ n n n n n n

b

d

b

a

c

a

1 1 − −

unit sel ke-n

Misalkan solusi persamaan gelombang:

₍

₎

i( t z)

e

x

E

E

=

ω −β

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

Λ

<

<

Λ

−

+

Λ

<

<

−

Λ

+

=

_{− − Λ − Λ} Λ − Λ − − 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) (

)

1

(

;

;

)

(

2 2 1 1

d

n

x

n

e

d

e

c

n

x

d

n

e

b

e

a

x

E

n x ik n n x ik n n x ik n n x ik n x x x x 2 , 1 ; cos 2 2 = = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = i c n c n k_ix iω β iω θ_i

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

₋ − − n n n n

d

c

P

D

D

b

a

2 2 1 1 1 1

~

~

~

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

₋ n n n n

b

a

P

D

D

d

c

1 1 1 2

~

~

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

₋ 1 1 1 1

0

0

1 _{ik d} d ik x x

e

e

P

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

₋ 2 2 2 2

0

0

2 _{ik d} d ik x x

e

e

P

65

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− − − − n n x x d ik x x d ik x x d ik x x d ik n n

d

c

k

k

e

k

k

e

k

k

e

k

k

e

b

a

x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1

1

1

1

1

2

1

2 2 2 2 2 2 2 2 Untuk gelombang-s:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− − n n x x d ik x x d ik x x d ik x x d ik n n

b

a

k

k

e

k

k

e

k

k

e

k

k

e

d

c

x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1

1

1

1

1

2

1

1 1 1 1 1 1 1 1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− − n n n n

b

a

D

C

B

A

b

a

1 1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

− − 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2

sin

cos

sin

;

sin

;

sin

cos

1 1 1 1 1 1 1 1

d

k

k

k

k

k

i

d

k

e

D

d

k

k

k

k

k

i

e

C

d

k

k

k

k

k

i

e

B

d

k

k

k

k

k

i

d

k

e

A

x x x x x x d ik x x x x x d ik x x x x x d ik x x x x x x d ik x x x x

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− − n n n n

b

a

D

C

B

A

b

a

1 1

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

1

=

− BC

AD

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

D

C

B

A