Bab 9

9.1 Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem

Dalam ilmu ekonomi kita mengenal tentang maksiminasi dan minimasi dengan istilah umum optimasi, yang berarti

“mencari yang terbaik” . Akan tetapi hal ini berbanding terbalik karena istilah tersebut tidak memiliki kaitannya dengan matematika murni. Oleh karena itu, istilah kolektif untuk maksimum dan minimum sebagai konsep matematik ialah nilai ekstremum, yang berarti nilai ekstrem

9.2 Maksimum dan Minimum Relatif : Uji Derivatif- Pertama

Ekstrem Relativ Vs Absolut

Maksimum absolut pasti merupakan maksimum relatif atau salah satu titik akhir fungsi . Jadi, bila kita mengetahui semua maksimum relatif, maka kita hanya perlu memilih yang terbesar dan membandingkannya dengan titik akhir guna menentukan maksimum absolut

Bab 9

.Selanjutnya, nilai-nilai ekstrem yang dipertimbangkan akan merupakan ekstrem relatif atau ekstrem lokal, kecuali bila ditentukan lain.

Uji Derivatif-Pertama

Derivatif pertama adalah turunan pertama suatu fungsi. Misal fungsi y=f(x), maka f’(x) digunakan dalam mencari nilai ekstrem.

Uji derivatif pertama untuk ekstrem relatif. Jika derivatif pertama pada fungsi f(x) pada x=x₀ adalah f’(x₀) = 0, maka nilai fungsi x₀,f’(x₀) merupakan

a. Maksimum relatif jika f’(x) berubah tanda dari positif ke negatif dari sebelah kiri titik x0 ke sebelah kanannya

b. Minimum relatif jika f’(x) berubah tanda dari negatif ke positif dari sebelah kiri titik x0 ke sebelah kanannya

c. Tidak maksimum maupun minimum relatif bila f’(x) mempunyai tanda yang sama baik sebelah kiri maupun sebelah kanan titik x₀

Contoh derivatif pertama sampai kelima suatu fungsi:

Contoh derivatif pertama sampai keempat suatu fungsi rasional:

9.3 Derivatif Kedua dan Derivatif yang Lebih Tinggi

a) x = x0 merupakan titik relatif maksimum jika f "( x ) < 0 b) x = x0 merupakan titik relatif minimum jika f "( x ) > 0

c) x = x0 tidak dapat disimpulkan secara pasti atau uji derivatif kedua gagal jika f "( x ) = 0

Cara menguji kecekungan adalah sbb :

a) Jika f "( x ) < 0 maka fungsi cekung ke bawah (concave) b) Jika f "( x ) > 0 maka fungsi cekung ke atas (convex)

Titik belok (inflection point) adalah suatu titik dimana kecekungan berubah.

Cara mencari titik belok adalah mencari solusi dari f "( x ) = 0

9.4 Uji Derivatif Kedua

Tabel kondisi relative ekstremum : y = f ( x )

9.5 Deret Maclaurin

Deret MacLaurin adalah sebuah fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk deret polinomial

Tapi tidak semua fungsi bisa dinyatakan dalam bentuk tersebut, contohnya

Untuk itu, Taylor membuat deret yang lebih umum,Deret taylor merupakan derivatif dari Deret Maclaurin. Dapat ditulis dengan

Teorema Taylor dapat ditulis :

R_n = F ⁽ⁿ⁺¹⁾(C) (X-X₀ )ⁿ⁺¹ (n+1)!

Untuk suatu c diantara x dan x₀ . Formula R_n disebut bentuk Lagrange (atau bentuk derivatif) dari sisa

11.1 Versi Diferensial dari Syarat Optimisasi

Syarat Orde Pertama :

Jika diketahui fungsi z=f(x), kita dapat menulis diferensial dz= f’(x) dx

Kondisi derivatif orde pertama “f’(x) = 0” dapat diubah dalam kondisi diferensial orde pertama ; “dz = 0 untuk sembarang nilai dx yang tidak nol”.

Syarat Orde Kedua :

Syarat cukup orde kedua untuk titik ekstrem z adalah, dalam istilah derivatif, f”(x)

< 0 (untuk suatu maksimum) dan f”(x) > 0 (untuk suatu minimum) pada titik stasioner.

d²x d(dz) = d[f’(x) dx]

= [df’(x)] dx

=[f”(x) dx] dx = f”(x) dx²

Dapat diterjemahkan masing – masing, menjadi untuk sembarang nilai.

Syarat Diferensial versus Syarat Derivatif

Secara lebih spesifik, syarat orde nilai pertama(nilai dz yang sama dengan nol) dan syarat orde kedua (untuk d²x negatif atau positif) dapat digunakan dengan validitas yang sama untuk semua kasus yang diberikan dengan umgkapan “untuk sembarang nilai dx yang tidak sama dengan nol” yang harus dimodifikasi untuk menggambarkan perubahan jumah variabel pilihan.

dx ≠ 0

Syarat Orde 1

• Suatu fungsi 2 peubah memiliki nilai maksimum relatif pd titik (xo, yo) jika terdapat lingkaran berpusat di (xo, yo) s.d.h utk setiap (x, y) di dlm lingkaran dan f memiliki nilai maksimum mutlak di (xo, yo) bila utk semua titik (x, y) di domain f

• Jika f memiliki nilai ekstrim relatif pada titik (xo, yo) dan bila turunan parsialnya ada pada titik tsb maka fx (xo , yo ) = 0 dan f y (xo , yo ) = 0

11.2 Nilai Ekstrem fungsi dua variabel

Syarat Orde 2

Misal f fungsi 2 peubah dg turunan parsial orde 2 kontinu dalam beberapa lingkaran pada titik kritis (xo, yo) dan misalkan D = f xx (xo , yo ) f yy (xo , yo )− f xy 2 (xo , yo )

a. Jika D > 0 dan f xx (xo , yo ) > 0 , maka f punya minimum relative

b. Jika D > 0 dan f xx (xo , yo ) < 0 ,maka f punya maksimum relatif

c. If D < 0 , maka f memiliki titik pelana (a saddle point) d. If D = 0 , maka tdk ada kesimpulan yg dpt digambarkan

Setiap suku mempunyai derajat yang sama- yaitu, dimana jumlah eksponen dalam setiap suku sama, plinom ini disebut sebagi suatu bentuk (form). Misal :

4x – 9y + z adalah bentuk linear dalam tiga varibel 4x² – xy + 3y² adalah bentuk kuadrat dalam 2 variabel

Kita juga akan menjupai kuadrat dalam tiga variabel seperti x² + 2xy – yw + 7w², atau juga dalam n variabel

Diferensial Total Orde Kedua sebagai Suatu Bentuk Kuadrat Q = au² + 2huv + bv²

dx = u dy = v

11.3 Bentuk Kuadrat – Suatu Ekskursi

Variabel

11.4 Fungsi Tujuan dengan Lebih dari Dua Variabel

Syarat Orde Pertama untuk Titik Ekstrem

Pembahasan sebelumnya menyatakan bahwa, untuk memperoleh suatu maximum atau minimum dari z diperlukan dz = 0 untuk sembarang nilai dx1, dx2, dan dx3 tidak nol.

Karena nilai dz sekarang

dz= f1 dx1 + f2 dx2 + f3 dx3 , f1 = f2 = f3 = 0

Jadi, syarat perlu untuk titik ekstrem adalah, bahwa semua derivative parsial orde pertama adalah nol, sama seperti untuk kasus dua variable

Syarat Orde Kedua

d²z = d (dz) = f11 dx1² dx1 + f12 dx1 dx2 + f13 dx1 dx3 + f21 dx2 dx1 + f22 dx + f₂₃ dx₂ dx₃ + f₃₁ dx₃ dx₁ + f₃₂ dx₃ dx₂ + f₃₃ dx

=|H| yang minor utamanya bisa

dinyatakan sbb |H₁| = f₁₁ |H₂| = |H₃| = |H|

Jadi, berdasarkan criteria determinan untuk kedefinitan p[ositif dan negative, kita dapat menyatakan syarat cukup orde kedua untuk suatu titik ekstrem dari z sebagai berikut

Z* adalah suatu bila d²z definit negative atau d²z definit positif

Kasus n-Variabel

Z= f (x

₁

, x

₂

, … , x

_n

) diferensial totalnya akan menjadi dz = f

₁

dx

₁

+ f

₂

dx

₂

+ … + f

_n

dx

_n

Sehingga syarat perlu untuk titik ekstrem (dz = 0

untuk sembarang dz, tidak semuanya nol) berarti

bahwa semua n dserivatif positif parsial orde

pertama harus sama dengan nol

Z* = f(x^*_{1 ,……}x^*_n)

F adalah cekung sempurna

z* adalah maksimum absolut yang tunggal

z* adalah maksimum absolut

z* adalah maksimum relatif

d²z adalah definit negatif pada z*

(syarat cukup orde kedua)

d²z semi definit negatif pada z*

(syarat perlu orde kedua)

F adalah cekung

d²z adalah Definit negatif dimana saja

d²z adalah

Definit negatif dimana

saja

11.5 Syarat orde kedua dalam hubungannya dengan kecembungan dan kecekungan

Pengecekan kecembungan dan kecekungan

Suatu fungsi f adalah (cembung atau cekung) bila, untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda dalam domain f, dan untuk 0 < 0 < 1

Dalil untuk fungsi-fungsi dengan jumlah berapapun : Dalil I (fungsi linear) :

jika f(x) = fungsi linear, maka f(x) = fungsi cekung dan juga fungsi cembung, tetapi tidak sempurna

Dalil II (negatif dari suatu fungsi) :

jika f(x) fungsi cekung, maka f(x) adalah fungsi cembung, dsb, demikian juga, bila f(x) = fungsi cekung sempurna, maka f(x) adalah fungsi cembung sempurna, dsb.

Dalil III (jumlah dari suatu fungsi) :

jika f(x) dan g(x) kedua-duanya = fungsi cekung (cembung), maka f(x) + g(x) juga merupakan fungsi cekung (cembung) dan bila satu atau keduanya cekung sempurna (cembung sempurna), maka f(x) + g(x) adalah cekung sempurna (cembung sempurna)

Fungsi yang dapat dideferensialkan

Fungsi yang dapat dideferenialkan (fx) adalah (cekung, cembung) jika, untuk setiap titik tertentu u dan setiap titik lain v domain.

Fungsi Cembung vs Himpunan Cembung

Kombinasi linear dari dua vektor u dan v dapat ditulis sebagai K₁u + k₂v, dimana k₁ dan k₂ adalah dua skalar

Oquv membentujk jajaran genjang, maka diperoleh u = q + v atau q = u – v

Kombinasi cembung dari vektor u dan v dapat dinyatakan delam bentuk vektor q

W = Ɵu + (1-Ɵ)v = Ɵu + v – Ɵv = Ɵ(u –v) +v = Ɵq + v

11.6 Penerapan Ekonomi

PERMASALAHAN PERUSAHAAN MULTI PRODUK

Ausmsikan bahwa perusahaan dengan dua produk berada pada keadaan persaingan sempurna Maka,

fungsi pendapatannya akan menjadi :

R₁ = P₁₀Q₁ +P₂₀Q₂ P = harga

Qi = tingkat output produk ke-i Fungsi biaya perusahaan :

C = 2Q₁² + Q₁Q₂ + 2Q₂²

Fungsi laba perusahaan :

Mencari tingkat Q₁ dan Q₂ yang,dalam kombinasi,akan memaksimumkan π :

Dengan menetapkan keduanya sama dengan nol,maka :

Yang menghasilkan pemecahan tunggal :

DISKRIMINASI HARGA

Fungsi pendapatan total dan fungsi biaya total : R = R₁(Q₁) + R₂(Q₂) + R₃(Q₃)

C = C(Q) dimana Q = Q₁ +Q ₂+ Q₃

KEPUTUSAN INPUT DALAM PERUSAHAAN :

L* dan K* adalah persamaan permintaan input perusahaan.

Jika kita substitusikan L* dan K* ke dalam fungsi produksi ,kita peroleh :

1 1.7

y

F(v)

u v X

Fungsi yang data didiferensikan f(x)=

f(x₁ ,…,X_n) adalah (cekung cembung) jika, untuk setiantitik tertentu u= (U₁ ,…,U_n) dan setiap titik lain v= (V₁ ,…,V_n) dalam domain,

F(v) () f(u) + Σ f_j (u) (V_j - U_j )

Dimana fj (u) ≡∂f/ ∂ Xj dievaluasi pada u=

(U₁ ,…,U_n)

Fungsi z data didiferensiasikan dua kali secara kontinu z= f(x₁ ,…,X_n) adalah (cekung/cembung) jika, dan hanya jika, d² z di mana saja adalah semidefinit (negative/positif). Fungsi tersebut dikatakan (cekung/cembung) sempurna jika (tetapi tidak hanya jika) d² z dimana saja adalah definit (negative/positif).

F(u) A

B

C D

F