METODE NUMERIK D

(1)

BAHAN AJAR

METODE NUMERIK D6114006

Disusun Oleh:

Zaenal Abidin, S.Si., M.Cs.

JURUSAN ILMU KOMPUTER

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

(2)

2

BAB 1

PENGANTAR METODE NUMERIK

Metode Numerik Secara Umum

 Model matematika  fisika, kimia, ekonomi, teknik, dsb

 Seringkali model matematika  tidak ideal / rumit

 Model matematika rumit  tidak dapat diselesaikan dengan Metode Analitik untuk mendapatkan solusi eksak.

 Metode analitik  metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).

Contoh ilustrasi :

1. Tentukan akar-akar persamaan polinom:

2. Tentukan harga x yang memnuhi persamaan:

 Soal (1) tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom.

 Solusi untuk (1) memanipulasi polinom, misalnya memfaktorkan (atau menguraikan) polinom menjadi perkalian beberapa suku.

 Kendala: semakin tinggi derajat polinom, semakin sukar memfaktorkannya.

 Soal (2) masih sejenis dengan soal (1) yaitu menentukan nilai x yang memenuhi kedua persamaan.

Metode Analitik VS Metode Numerik

 Metode analitik  memberi solusi eksak, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol.

 Metode analitik hanya dapat digunakan pada kasus-kasus tertentu.

 Nilai praktis penyelesaian metode analitik, terbatas.

 Metode Numerik teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmatika biasa.

 Secara harfiah, metode numerik  cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.

(3)

3

Perbedaan antara metode numeriK dan metode analitik adalah :

Metode Numerik Metode Analitik

Solusi selalu berbentuk angka Solusi dalam bentuk fungsi matematika Solusi berupa hampiran atau pendekatan Solusi eksak

Terdapat galat (error) Tidak ada galat (galat=0)

Metode Numerik dalam Bidang Rekayasa

 Dalam bidang rekayasa, kebutuhan menemukan solusi persoalan secara praktis adalah jelas.

 Masih banyak cara penyelesaian persoalan matematis yang dirasa terlalu sulit atau dalam bentuk kurang kongkrit.

 Penyelesaian analitik, kurang berguna bagi rekayasawan.

 Banyak persoalan matematika dalam bidang rekayasa yang hanya dapat dipecahkan secara hampiran.

Contoh kasus :

Sebuah bola logam dipanaskan sampai pada suhu 100oC. Kemudian, pada saat t = 0, bola dimasukkan ke dalam air yang bersuhu 30oC. Setelah 3 menit, suhu bola berkurang menjadi 70^oC. Tentukan suhu bola setelah 22,78 menit. Diketahui tetapan pendingin bola logam itu adalah 0,1865.

Jawab:

Dengan menggunakan Hukum Pendingin Newton

k = tetapan pendingan bola logam = 0,1865

Untuk menentukan suhu bola pada t = 22,78 menit, persamaan differensial harus diselesaikan agar suhu T sebagai fungsi dari waktu t ditemukan.

Persamaan differensial  metode kalkulus diferensial (cari sendiri???).

Solusi umumnya adalah:

T(t)=ce^-kt + 30

Nilai awal yang diberikan T(0) = 100

(4)

4 T(t)=70e^-0,1865t+30

Dengan memasukkan t=22,78 ke dalam persamaan T, diperoleh T= 31^oC.

Bagi rekayasawan, solusi persamaan differensial yang berbentuk fungsi kontinu, tidak terlalu penting. Dalam praktik di lapangan, rekayasawan hanya ingin mengetahui berapa suhu bola logam setelah t tertentu. Rekayasawan cukup memodelkan sistem ke dalam persamaan differensial, lalu solusi untuk t dicari secara numerik.

Apakah Metode Numerik Hanya untuk Persoalan Matematika Rumit Saja?

Metode numerik berlaku umum, yakni dapat diterapkan untuk menyelesaikan persoalan matematika sederhana (yang juga dapat diselesaikan dengan metode analitik), maupun persoalan matematika yang rumit.

Peranan Komputer dalam Metode Numerik

 Perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmatika. Dalam operasinya, terkadang butuh suatu pengulangan, sehingga perhitungan manual terkesan menjemukan.

 Komputer berperan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan.

Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk membuat program.

 Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer yang dapat membantu mencari alternatif solusi, akibat perubahan beberapa parameter serta dapat meningkatkan tingkat ketelitian dengan mengubah-ubah nilai parameter.

 Jelas bahwa kecepatan tinggi, kehandalan, dan flesibikitas komputer memberikan akses untuk menyelesaikan masalah-masalah di dunia nyata.

 Contoh: solusi sistem persamaan linier yang besar menjadi lebih mudah dan cepat diselesaikan dengan komputer.

Alasan Mempelajari Metode Numerik

 Sebagai alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh, seperti mampu menangani sistem persamaan linear, ketidaklinearan dan geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitis.

 Mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program.

 Mampu merancang program sendiri sesuai persalahan yang dihadapi pada masalah rekayasa.

(5)

5

 Metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis.

 Menangani galat suatu nilai hampirandari masalah rekayasa yang merupakan bagian dari paket program yang berskala besar.

 Menyediakan sarana memperkuat pengetahuan matematika, karena salah satu kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi- operasi matematika yang mendasar.

Tahap Pemecahan Secara Numeris

 Pemodelan

 Penyederhanan Model

 Formulasi Numerik

o menentukan metode numerik yang akan dipakai, bersama dengan analisis error awal.

o Pertimbangan pemilihan metode

 Apakah metode tersebut teliti?

 Apakah metode mudah diprogram, dan waktu pelaksanaannya cepat?

 Apakah metode tersebut peka terhadap ukuran data.

o Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

 Pemrograman (translate algoritma  program komputer)

 Operasional  pengujian program dengan data uji

 Evaluasi  intepretasi output, penaksiran kualitas solusi numerik, pengambilan keputusan untuk menjalankan program guna memperoleh hasil yang lebih baik.

Peran Ahli Informatika dalam Metode Numerik

 Tahap 1, dan 2 melibatkan para pakar di bidang persoalan yang bersangkutan.

 Dimana peran orang informatika?

 Infromataikawan berperan dalam tahap 3, 4, dan 5.

 Agar lebih memahami dan menghayati persoalan, sebaiknya orang informatika juga ikut dilibatkan dalam memodelkan.

 Tahap 6 memerlukan kerjasama informatikawan dengan para pakar di bidang yang bersangkutan. Bersama-sama pakar, informatikawan mendiskusikan hasil numerik yang diperoleh.

(6)

6 Turunan

) ( )

(yy₁ m xx₁

1 1

x x

y m y



 

a x

x f y

x f m



1

1 ( )

) (

) ( '

) )(

( ' ) ( ) (

) ( ) ) (

( '

) ( ) ) (

( '

1

a x a f a f x p

a x

a f x a p

f

a x

a f x x f

f









 





 



x x

e x f



 ) ( '

) (

Log(x)→natural logaritmic(ln(x)) Misal: f(x)e^x,a0

P₁(x) f(a) f'(a)(xa)

x x

x e e

a x e e^a ^a





















1 ) ( 1 1

) 0 (

) (

0 0

Selesaikan !

1. d(x²) = 𝟐𝒙

2. d(1+x²-2x³) = 𝟐𝒙 – 𝟔𝒙² 3. ^𝑑(

1 1−𝑥) 𝑑𝑥 =

𝟏

𝟏−𝒙= (𝟏 − 𝒙)−𝟏 𝒅( (𝟏−𝒙)^−𝟏)

𝒅(𝟏−𝒙) .^{𝒅(𝟏−𝒙)}

𝒅𝒙 = −(𝟏 − 𝒙)^−𝟐 −𝟏 = (𝟏 − 𝒙)^−𝟐

= ^𝟏

(𝟏−𝒙)^𝟐

4. ^{𝑑( 1+𝑥)}

𝑑𝑥 =

𝒅(𝟏+𝒙^𝟏^𝟐)

𝒅𝒙 = ^{𝒅(𝟏+𝒙}

𝟏𝟐)

𝒅(𝟏+𝒙) . ^{𝒅(𝟏+𝒙)}

𝒅𝒙 = ^𝟏

𝟐 (𝟏 + 𝒙)^𝟏^−𝟏^𝟐

= ^𝟏

𝟐 (𝟏 + 𝒙)^{−𝟏 𝟐} = ^𝟏

𝟐 𝟏+𝒙

(7)

7 5. ^{𝑑( (1+2𝑥}⁵⁾¹⁰⁾

𝑑𝑥 =

𝒅( (𝟏+𝟐𝒙^𝟓)^𝟏𝟎)

𝒅𝒙 = ^{𝒅( ( 𝟏+𝟐𝒙}^𝟓⁾^𝟏𝟎⁾

𝒅𝒙(𝟏+𝟐𝒙^𝟓) . ^{𝒅(𝟏+𝟐𝒙}^𝟓⁾

𝒅𝒙

= 𝟏𝟎 (𝟏 + 𝟐𝒙^𝟓)^𝟗 (𝟏𝟎𝒙^𝟒)

6. ^𝑑(

𝑥−1 2𝑥+5) 𝑑𝑥 =

𝒅 ( 𝒙−𝟏𝟐𝒙+𝟓)

𝒅𝒙 = ^{𝒅(𝒙−𝟏)}_𝒅𝒙 .(𝟐𝐱+𝟓) – ^{𝒅(𝟐𝒙+𝟓)}_𝒅𝒙 .(𝐱−𝟏) (𝟐𝒙+𝟓)^𝟐

= 𝟐𝒙+𝟓 − 𝟐(𝒙−𝟏) (𝟐𝒙+𝟓)^𝟐

7. ^{𝑑 𝑥}

2−1 (2−3𝑥⁴)

𝑑𝑥 =

=^{𝒅 𝒙}^𝟐^{−𝟏 (𝟐−𝟑𝒙}^𝟒⁾

𝒅𝒙 = u'v + v'u

= ^𝒅(𝒙^𝟐^−𝟏)

𝒅𝒙 (2-𝟑𝒙^𝟒) + ^{𝒅(𝟐−𝟑𝒙}^𝟒⁾

𝒅𝒙 (𝒙^𝟐− 𝟏)

= 2x(2-𝟑𝒙^𝟒) + −𝟏𝟐𝒙^𝟑 (𝒙^𝟐− 𝟏) ^{=𝟒𝒙−𝟔𝒙}^𝟓^{+ −𝟏𝟐𝒙}^𝟓^{+𝟏𝟐𝒙}^𝟑

=−𝟏𝟖𝒙^𝟓+ 𝟏𝟐𝒙^𝟑+ 𝟒𝒙

8. ^{𝑑 cos 𝑥}

2

𝑑𝑥 =

𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝒙^𝟐

𝒅𝒙 = ^{𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝒙}_{𝒅 𝒙}_𝟐^𝟐

𝒅𝒙^𝟐 𝒅𝒙

= −𝐬𝐢𝐧 𝒙^𝟐 𝟐𝒙

=−𝟐𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙^𝟐

9. ^{𝑑 ln 𝑥}

𝑑𝑥 = ^𝟏

𝒙

10. ^{𝑑 ln 1−𝑥}

𝑑𝑥 =

𝒅 𝐥𝐧 𝟏−𝒙

𝒅 𝟏−𝒙 .^{𝒅 𝟏−𝒙}

𝒅𝒙 = ^𝟏

𝟏−𝒙 −𝟏 =_𝟏−𝒙^−𝟏

11. ^{𝑑( 𝑥}²^−3𝑥)²

3

𝑑𝑥 =

𝒅((𝒙^𝟐−𝟑𝒙^𝟐^𝟑)

𝒅 𝒙^𝟐−𝟑𝒙 .^{𝒅 𝒙}^𝟐_𝒅𝒙^−𝟑𝒙= ^𝟐_𝟑 𝒙^𝟐− 𝟑𝒙 ^−𝟏^𝟑 𝟐𝒙 − 𝟑

(8)

8 12.

𝑑 ^1−𝑥2_𝑥+1

𝑑𝑥 =

=

𝒅 ^{𝟏−𝒙𝟐}_𝒙+𝟏 𝒅𝒙 =

𝒅(𝟏−𝒙𝟐)𝟏 𝟐

𝒅𝒙 𝒙+𝟏 − ^{𝒅(𝒙+𝟏)}_𝒅𝒙 (𝟏−𝒙)^𝟏^𝟐 (𝒙+𝟏)^𝟐

= ^𝟏^𝟏−𝒙^𝟐 ^𝟐⁾^{−𝟏 𝟐} −𝟐𝒙 𝒙+𝟏 − 𝟏 𝟏−𝒙 ^𝟏^𝟐 𝒙+𝟏 ^𝟐

= ^𝟏^{𝟏−𝒙𝟐}^𝟐

−𝟏𝟐 −𝟐𝒙^𝟐−𝟐𝒙 − (𝟏−𝒙^𝟐)^𝟏𝟐 𝒙+𝟏 ^𝟐

= ^−𝟐𝒙^𝟐^{−𝟐𝒙−}

𝟐 𝟏𝒙𝟐 𝒙+𝟏 𝟐

− 𝟏 − 𝒙^𝟐= ^−𝟐𝒙^𝟐^{−𝟐𝒙−𝟐 𝟏−𝒙}^𝟐

𝟐 𝟏−𝒙𝟐 𝒙+𝟏 𝟐

=^−𝟐𝒙^𝟐^{−𝟐𝒙−𝟐+𝟐𝒙}^𝟐

𝟐 𝟏−𝒙^𝟐(𝒙+𝟏)² = ^{−𝟐𝒙−𝟐}

𝟐 𝟏−𝒙²(𝒙+𝟏)²

= ^{−𝟐(𝒙+𝟏)}

−𝟐 𝒙+𝟏 ^𝟐 𝟏−𝒙²= ^−𝟏

(𝒙+𝟏) 𝟏−𝒙²

13. ^{𝑑 𝑠𝑖𝑛}

3 1−𝑥²

𝑑𝑥 =

=^{𝒅 𝒔𝒊𝒏}

𝟑 𝟏−𝒙^𝟐 𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝟏−𝒙^𝟐 𝒅(𝟏−𝒙^𝟐) 𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝟏−𝒙^𝟐 𝒅 𝟏−𝒙^𝟐 𝒅𝒙

= 3𝒔𝒊𝒏^𝟐 𝟏 − 𝒙^𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟏 − 𝒙^𝟐 −𝟐𝒙

= -6x 𝒔𝒊𝒏^𝟐 𝟏 − 𝒙^𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟏 − 𝒙^𝟐

(9)

9

BAB 2

DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

Polinomial Taylor

Umumnya fungsi f(x) yang ada di matematika tidak dapat dikerjakan secara eksak dengan cara yang sederhana.Sebagai contoh untuk menentukan nilai f(x) = cos(x) , 𝑒^𝑥 atau 𝑥 tanpa menggunakan alat bantu adalah hal yang sangat susah.Salah satu cara yang digunakan untuk mencari nilai f(x) adalah dengan menggunakan fungsi pendekatan yaitu polinomial. Diantara polinomial-polinomial yang banyak digunakan adalah polinomial taylor.

Rumus umum dari polinomial taylor adalah sbb:

Pn(x) = f(a) + (x− a) f′(a) +⁽^𝑥−𝑎)_2! ² f′′(a)+. ..

+⁽^𝑥−𝑎)^𝑛

𝑛! 𝑓^𝑛(𝑎)

= ^𝑥−𝑎^𝑗

𝑗 ! 𝑓^𝑗 𝑎

𝑛𝑗 =0

dengan 𝑓⁰ 𝑎 = 𝑓 𝑎

Contoh 1 :

Misalkan 𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥𝑑𝑎𝑛 𝑎 = 0

maka 𝑓^𝑗 𝑥 = 𝑒^𝑥,𝑓^𝑗(0) = 1, ∀j≥ 0 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓^{′ 0}+ 𝑥 − 0 ²

2! 𝑓^{′′ 𝑎}+⋯ + 𝑥 − 0 ^𝑛

𝑛! 𝑓^𝑛 0

= 1 +𝑥 .1 + ^𝑥_2!² .1 +⋯ +^𝑥_𝑛!^𝑛 .1

= 1 +𝑥 +^𝑥_2!²+⋯ +^𝑥_𝑛!^𝑛

Kasus khusus bila fungsi polinomial taylor diperluas disekitar a=0 maka dinamakan deret Maclaurin.

Contoh 2 :

Diketahui 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 dan 𝑎 = 0

Carilah deret Maclaurin dari fungsi f tersebut ! Penyelesaian :

𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥 𝑓′′′ 𝑥 = −cos⁡(𝑥) 𝑓^𝑛 𝑥 = cos⁡(𝑥) 𝑓′′ 𝑥 = −sin⁡(𝑥) 𝑓⁴ 𝑥 = sin⁡(𝑥)

(10)

10 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓′ 0 +(𝑥 − 0)²

2! 𝑓′′ 0 +(𝑥 − 0)³

3! 𝑓′′′ 0 + 𝑥 − 0 ⁴

4! 𝑓⁴ 0 + 𝑥 − 0 ⁵

5! 𝑓⁵ 0 + ⋯

= 0 +𝑥. 1 +𝑥²

2! .0 +𝑥³

3! −1 +𝑥⁴

4! 0 +𝑥⁵ 5! 1

= 𝑥 −𝑥³ 3! +𝑥⁵

5! −−𝑥⁷ 7! +𝑥⁹

9!+⋯

Latihan Soal

Carilah deret Maclaurin dari 1. 𝑓 𝑥 = cos 𝑥

2. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 1 3. 𝑓 𝑥 =₁_−𝑥¹

4. 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥

Penyelesaian

1. 𝑓′ 𝑥 = −sin⁡(𝑥) 𝑓′′′ 𝑥 = sin⁡(𝑥) 𝑓⁵ 𝑥 = −sin⁡(𝑥) 𝑓′′ 𝑥 = −cos⁡(𝑥) 𝑓⁴ 𝑥 = cos⁡(𝑥)

𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓^{′ 0}+ 𝑥 − 0 ²

2! 𝑓^{′′ 0}+ 𝑥 − 0 ³

3! 𝑓^′′′ 0 +^𝑥−0⁴

4! 𝑓⁴ 0 +^𝑥−0_5! ⁵𝑓⁵ 0 + ⋯

= 1 +𝑥 +𝑥²

2! −1 + 𝑥 3!

3

. 0 +𝑥⁴

4!. 1 +𝑥⁵ 5!. 0

= 1−𝑥² 2! +𝑥⁴

4!… 2. 𝑓^{′ 𝑥} = ¹

𝑥+1

𝑓^{′′ 𝑥}= − 𝑥 + 1 ⁻² = ⁻¹

𝑥+1 ²

𝑓^{′′′ 𝑥} = 2 𝑥 + 1 ⁻³ = 2 𝑥 + 1 ³

𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑥 − 0 𝑓^{′ 0}+ 𝑥 − 0 ²

2! 𝑓^{′′ 0}+ 𝑥 − 0 ³

3! 𝑓^′′′ 0

= 0 +𝑥. 1 +𝑥²

2! −1 +𝑥³

3! 2 + ⋯